相似矩阵的性质及应用毕业论文
两矩阵相似得出的结论总
两矩阵相似得出的结论总
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，但是特征向量可能不同。
从这个结论我们可以得出以下总结：
1. 相似矩阵具有相同的特征值：特征值是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵转换后的向量的放大或缩小倍数。
两个相似矩阵具有相同的特征值意味着它们具有相似的特征变换效果。
2. 相似矩阵的特征向量可能不同：特征向量是与特征值相对应的向量，描述了特征变换后的向量的方向。
即使两个矩阵具有相同的特征值，它们的特征向量可能是不同的，因为不同矩阵的特征变换可能会将向量方向变换为不同的方向。
3. 相似矩阵可以通过可逆矩阵进行转换：两个相似矩阵可以通过一个可逆矩阵进行转换，使得它们具有相同的特征值。
这种转换称为相似转换，可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行。
4. 相似矩阵具有相似的性质：由于相似矩阵具有相同的特征值，它们也具有相似的矩阵性质，比如迹、行列式、秩等。
5. 相似矩阵可以简化计算：相似矩阵具有相同的特征值，这意味着它们具有相似的特征分解形式。
通过对一个相似矩阵进行特征分解，我们可以得到另一个
相似矩阵的特征分解，从而简化计算。
相似矩阵的性质与判定条件
相似矩阵的性质与判定条件相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论和应用中都有广泛的应用。
本文将介绍相似矩阵的性质以及判定条件，以便更好地理解和应用这个概念。
一、相似矩阵的定义在线性代数中，给定一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果满足$P^{-1}AP = B$，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，矩阵A和B互为相似矩阵，记作A~B。
其中，矩阵P是相似变换矩阵。
二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值。
即矩阵A和B的特征值相同，即$det(A-\lambda I) = det(B-\lambda I)$，其中I为单位矩阵，$\lambda$为特征值。
2. 相似矩阵有相同的特征多项式。
矩阵A和B的特征多项式相同，即$|A-\lambda I| = |B-\lambda I|$。
3. 相似矩阵有相同的迹。
矩阵A和B的迹相同，即$tr(A) = tr(B)$，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
4. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵A和B的秩相同，即$r(A) = r(B)$，其中r(A)表示矩阵A的秩。
5. 相似矩阵的乘积不变。
如果A和B是相似矩阵，那么对于任意的矩阵C，都有$CAC^{-1} = CBC^{-1}$。
三、相似矩阵的判定条件1. 相似矩阵具有相同的标准型。
如果两个矩阵A和B的标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
2. 相似矩阵具有相同的秩和相同的特征多项式。
如果两个矩阵A和B具有相同的秩和相同的特征多项式，那么它们互为相似矩阵。
3. 相似矩阵具有相同的Jordan标准型。
如果两个矩阵A和B的Jordan标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
四、相似矩阵的应用相似矩阵在矩阵表示、特征值计算、矩阵对角化等方面有着广泛的应用。
在线性代数的教学和研究中，相似矩阵的概念和性质是不可或缺的基础内容。
总结：相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，矩阵A和B互为相似矩阵意味着它们具有相同的特征值、特征多项式、迹和秩。
矩阵相似的几何意义
矩阵相似的几何意义
矩阵是线性代数中的重要概念，它在多个领域有广泛应用。
当两个矩阵具有相同的特征值和特征向量时，可以说它们是相似的。
那么，矩阵相似有什么几何意义呢？下面我们来详细探讨。
相似矩阵的定义
设A和B是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=B，那么称A与B相似。
相似矩阵满足以下性质：
•相似矩阵具有相同的特征值。
•相似矩阵对应的特征向量具有一一对应的关系。
•相似矩阵具有相同的行列式和迹。
相似矩阵的几何意义
在几何学中，矩阵相似有着重要的几何意义。
具体来说，矩阵相似可以表示以下几个几何变换：
1.平移：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
平移部分。
这意味着它们将向量按照相同的方向和距离进行平移。
2.旋转：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
旋转部分。
这意味着它们将向量按照相同的角度进行旋转。
3.伸缩：如果两个矩阵A与B相似，那么它们表示的线性变换具有相同的
伸缩部分。
这意味着它们将向量按照相同的比例进行伸缩。
结论
矩阵相似在几何学中有着重要的意义，它能够描述线性变换的平移、旋转和伸缩等几何特征。
研究矩阵相似可以帮助我们更好地理解线性代数和几何学的关系，并应用到实际问题中。
矩阵相似的若干判别法及应用
矩阵相似的若干判别法及应用LT目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (3)第一章基本概念 (4)1.1 矩阵 (4)1.1.1 矩阵的概念 (4)1.1.2 矩阵的性质 (4)1.2 矩阵相似 (5)1.2.1矩阵相似的概念 (5)1.2.2 矩阵相似的性质 (6)第二章矩阵相似的判别 (7)2.1 特征值与特征向量法判定 (7)2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法..................................... 错误!未定义书签。
2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (7)2.2用初等变法换判定 (10)2.3 应用分块矩阵相似判定 (12)第三章矩阵相似的应用 (15)3.1 利用相似变换把方阵对角化 (15)3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15)3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (16)结论 (18)参考文献 (19)致谢 (21)摘要相似矩阵是高等代数课程范围内,一个很重要的基本问题,并且矩阵相似是矩阵中很重要的一种关系.本文从矩阵的基本理论出发,以定性分析法,以综述的形式总结了几个重要的判定矩阵相似的定理和结论.通过矩阵的特征值与特征向量、矩阵的对角化、可逆矩阵、矩阵的初等变换和分块矩阵对矩阵相似进行判别,并运用例证对每一种判别法加以说明;另外,还对相似矩阵的一些应用进行了介绍,以便对矩阵的相似有更进一步的了解.关键词：特征值;特征向量;相似矩阵;判别;分块矩阵AbstractThe similarity of matrix is one of the most important problem within the area of the advanced algebra. In addition, the similarity of matrix is an elementary relationship between the matrixes.This paper reviews several important criteria which are used to judge the similarity of matrix. These criteria are generally based on the calculation of the Eigen value and Eigen vector, the diagonalization of matrix, the invertible transformation of matrix, the elementary transformation of matrix, and the partition of the matrix. Further, the examples follow and elucidate the counterpart criteria. At the end, the application of the similarity of matrix is given to deepen the understanding.Keywords: Eigen value;Eigen vector;Similarity of matrix;Distinguish;Partitioned matrix前言在数学中,矩阵就是一个平面上的数阵,矩阵理论的起源可追溯到18世纪,在以后的发展中，又相应的产生了许多理论知识,例如初等矩阵,矩阵的秩,矩阵的特征值与特征向量等.其中，矩阵相似理论也是在矩阵的发展之后才进一步发展和应用的起来的.矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似可以让任何一个矩阵变为若当标准型.相似矩阵间有很多相同的性质,比如秩,矩阵对应的行列式,迹（对角线元素之和）,特征值,特征多项式,初等因子都相同.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值,通过相似变换,可以转而研究一个结构简单得多的矩阵的特征值的性质.利用矩阵相似的一些性质，可以让我们在解决一些特殊和复杂的问题时更加的简便,而且矩阵相似在实际生活中同样有着巨大的作用.本文主要介绍了矩阵的各种性质和特点,什么是矩阵相似,以及矩阵相似的判断和矩阵相似的一些应用.在第一章中,我们主要介绍了矩阵以及由它延伸出来的相关理论知识,例如矩阵的相似及它的一些简单的性质;在第二章中,着重介绍和总结了矩阵相似的三种判别方法.借助矩阵的特征值与特征向量将矩阵对角化，进而来对矩阵进行相似的判别，是对相似矩阵性质的综合运用，理论及方法都较为简单便于理解和掌握；初等变换法逻辑性强、理论系统；利用分块矩阵判别矩阵的相似，是对特型矩阵相似的一种判别法，较为简洁，但有局限性.第一章 基本概念1.1 矩阵矩阵是现代数学中极其重要、应用非常广泛的一个重要内容.利用这一数学工具,可以把所研究的多数据、多数量关系的问题化成简明的易于理解和分析的形式.1.1.1 矩阵的概念定义1.1 由t ⨯s 个数),2,1,,,2,1(n j m i a ij ==排成的s 行t 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 我们把它称为s 行t 列矩阵,简t s ⨯阵矩,其中ij a 称为矩阵A 的第i 行第j 列元素;如果矩阵A 的行数和列数相等,则我们也把矩阵A 叫做方阵A .定义 1.2 如果一个矩阵的元素全为零,我们就称之为零矩阵,记为mn O ,我们也可以简单的记为O .定义1.3 如果方阵A 中的元素能够满足条件)(0j i a ij ≠=,则我们就把方阵叫做对角阵.定义 1.4 如果一个n n ⨯矩阵除了主对角线上的元素,别的元素都是0,且主对角线是1的元素⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001 我们把它称之为n 级单位矩阵,记作n I ,一般情况下简写为I .1.1.2 矩阵的性质定义1.5 设ms ik a A )(=,sn kj b B )(=,那么矩阵mn ij c C )(=,其中∑==++++=sk kj ik sj is j i j i j i ij b a b a b a b a b a c 1332211 (1-1)我们将其称之为A 与B 的乘积,记为AB C =.注意,在乘法预算中方阵,要求前面方阵的行与后面方阵的列数位相同 定义 1.6 由方阵A 中的元素保持其原来相对的位置不变而构成的行列式称为方阵A 的行列式,记作A 或A det .定义1.7 对于数域P 上的n 阶方阵A ,如果满足0≠A ,则我们称其为非退化的;反之我们称它为退化的.定义1.8 对于n 级方阵A ,如果有一个n 级方阵B ,使得I BA AB == (1-2) 成立,我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.我们就称方阵A 是可逆的,这里的I 是n 级单位矩阵.定义1.9 如果有n 级方阵B 适合（1-2）,那么我们就把方阵B 叫做方阵A 的逆矩阵,记作1-A .引理1.1 0≠A 是n 阶方阵可逆的充要条件.定义1.10 设ij A 是矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式,则矩阵 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 就是矩阵A 的伴随矩阵.定理1.1 如果A 方阵是非退化的,那么它是可逆的;反之方阵A 可逆,则它也一定是非退化的有 *11A dA =- (0≠=A d ). (1-3) 定义1.11 矩阵的行秩是指以矩阵每一行的元素作为行向量而构成的行向量组的秩;矩阵的列秩是指以矩阵每一列的元素作为列向量而构成的列向量组的秩. 定理1.2 矩阵的行秩和列秩相等.因为矩阵的行秩和列秩相等,所以我们将行秩和列秩统称为矩阵的秩,矩阵A 的秩记为)(A R .1.2 矩阵相似相似的矩阵有很多共同的性质,所以只要从与A 相似的矩阵中找到一个特别简单的矩阵,只需通过对这个简单矩阵性质的研究就可以知道A 的性质.1.2.1 矩阵相似的概念定义1.12[1] 有A ,B 方阵在数域F 上,若是F 上有n 阶可逆方阵T 使等式：AT T B 1-=成立,那么就说B 与A 相似,并且写作.~B A定义1.13[1] 设)(λij a )...,2,1,,...,2,1(n j m i ==是数域F 上的多项式,以)(λij a 为元素的n m ⨯矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(...)()(............)(...)()()(...)()()(212222111211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 称为λ矩阵.记[]()(n m P A ⨯∈λλ[]n m P ⨯λ表示数域∈P 的λ矩阵的全体）.定义1.14 方阵上的相似关系~与数域K 上的n 阶方阵之间的关系是互推的,对任何n n K A ⨯∈,存在集合[]{}B A K B B A n n ~,|~⨯∈=则我们可称矩阵A 形成的相似(~)等价类.1.2.2 矩阵相似的性质性质1.1 反身性：由于AI I A 1-=所以每一个n 级方阵都是和自己相似的.即A A ~.性质1.2 对称性：如果B A ~,那么 A B ~ ;如果B A ~ ,那么 有X ,使TX X B 1-=令1-=X Y就有BY Y XBX A 11--==所以A B ~.性质1.3 传递性：如果B A ~,C B ~,那么C A ~.事实上,由AT T B 1-=和BU U C 1-=得)()(111TU A TU ATU T U C ---== （2-1） 由等式AT T B 1-=可知,对于n 维向量空间上的两个线性变换的基它们相似.矩阵相似还有具有如下一些性质. （1）相似矩阵的行列式相等; （2）相似矩阵有相同的秩;（3）相似矩阵有相同的可逆性,且它们可逆时,它们的逆矩阵也相似; （4）相似矩阵的幂仍相似;（5）相似矩阵有相同的特征值.第二章 矩阵相似的判别研究矩阵相似的好处很多,最大的好处是通过相似变换可以让任何一个矩阵变为若当标准型.若当标准型是尽可能最简单的一种矩阵,这种矩阵在运算上有许多方便之处.另一种好处是矩阵相似有许多相同的属性,这样可以将对形式复杂矩阵的研究转化为对简单形式矩阵的研究.本章给出三种判别矩阵相似的方法.2.1 特征值与特征向量法判定矩阵的特征值与特征向量作为一个极为重要的数学概念,它在数学中有着最为广泛的应用.应用特征值与特征向量将矩阵对角化,进而做矩阵相似的判断,是较为常用的、基本的判别矩阵相似的方法.2.1.1 特征值和特征向量定义及求法矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的两个基本概念,是判定矩阵相似的工具之一.定义2.1[1] 我们假设A 为n 阶方阵,如果有复数λ及n 维非零列向量，x 得x Ax λ= (1-1)或者0)(=-x A E λ(1-2)那么把λ看作是A 的特征向量,而x 则是λ的特征向量. 求n 阶矩阵A 的特征值与特征向量有一般如下步骤： 第一步：我们应先求出矩阵的特征多项式||E A λ-;第二步： 那么接下来我们应需要知道||A E -λ0=的所有根值n λλλ,,,21 并且n λλλ,,,21 便是矩阵的所有特征值;假如i λ是特征方程的单根,则称i λ为A 的单特征值;若是j λ是特征方程的k 重根,那么A 的k 重特征值是j λ,并且j λ的重数是k .第三步：对A 的相异特征值中的每个特征值i λ,再求得齐次线性方程组0)(=-A E i λ (1-3)的一个基础解系j ik i i ξξξ,,,21 ,则有j ik i i ξξξ,,,21 即为对应于特征值i λ的特征空间的一个基,则有A 的属于i λ的全部特征向量为 j j ik k i i c c c x ξξξ+++= 2211 其中j k c c c ,,,21 是不全部为零的任意常数.2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定性质2.1 设n n ij a A ⨯=)(的全部特征值为n λλλ,,,21 ,则存在着||,21121A a n ni ii n ==+++∑=λλλλλλ在这里咱们可以利用性质1.3.1去简化特征值的问题的一些相关的运算. 性质 2.2 如果λ是方阵A 的特征值,x 是相应的特征向量矩阵,然后任意正整数k ,有x 是k A 的特征值的特征向量且特征值为k λ.性质2.3 假使λ是可逆矩阵A 的一个特征值,若λλ1,0≠为1-A 的一个特征值,且λ||A 为*A 的一个特征值.性质 2.4 如果有i x ),,2,1(m i =是方阵A 的相互存在差别的特征值m λλλ,,,21 的特征向量,那么存在着线性无关的向量组m x x x ,,,21 .并且,如果i λ的线性无关特征向量为i ik i i x x x ,,,21 ),,2,1(m i =,那么向量组,,,,11211i k x x x m mk m m k x x x x x x ,,,,,,,,21222212为线性无关.性质2.5 假使0λ是方阵A 的k 重特征值,那么0λ有不多过k 的个数的性无关的特征向量.定理 2.1[6]设存在着两个n 阶的方阵A 与B ,它们有n 个互不相同的特征值,并且它们两个的特征值是完全一样的,那么则矩阵A 与矩阵B 相似. 证明 假使n λλλ，，， 21是A 的n 个互不相同的特征值,那么存在着可逆的 方阵1P ,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n AP P λλλ 21111 又因为方阵B 的特征值也是n λλλ，，， 21,那么则会有2P 可逆矩阵,使得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n BP P λλλ21212 所以212111BP P AP P --=.而()()1211121121112-----=P P A P P P AP P P ,即存在可逆矩阵P P P =-121,使得B AP P =-1,而矩阵A 与矩阵B 相似.定理2.2 存在着n 阶方阵A ,且它的每一个i S 重特征值i λ,能使得秩()i i S n A E -=-λ那么A 相似于对角矩阵,否则不相似.例2.1 证明矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=122212221A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=30241112065B 相似.解 A 的特征多项式为()()()311122212221--+=------=-λλλλλλλA E所以A 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλA 的属于特征值3,1,1-的全部特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112α ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103α.若令(123,,)P ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=300011001,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011AP P ,而B 的特征值为 ()()()311--==-λλλλB E所以B 的全部特征值为3,1,1321==-=λλλB 的属于特征值3,1,1-的特征向量为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1222β ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1433β令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1114232321Q ,则有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-3000100011BQ Q .显然 BQ Q AP P 11--=,()()11111-----==QP B QP BQP PQ A记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-1011111231QP U ,有BU U A 1-=,所以A 与B 相似.例题2.2 证明下方矩阵是否相似于对角矩阵.(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=16-3-05-3-064A (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B解 （1）由于()()()212+-=λλλA f ,所以A 的特征值是11=λ（重数1S 2=),22-=λ(重数12=S ).又由()1231S n A E r -=-==-,()==--22A E r 113S n -=- 可知矩阵A 相似于对角矩阵.（2）因为()()33-=λλB f ,所以B 的特征值是3=λ（重数3=S ）,又由于()03323=-=-≠==-S n r A E r ,故B 不相似于对角阵.2.2 用初等变换法判定引理2.1 如果)(λA 是数域P 上的一个λ方阵,那么有数域P 上的可逆λ方阵)(λV ,使得)(λA )(λV 为上三角方阵.引理 2.2 如果A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么A 与B 相似的充要条件是数域P 上会有两个可逆的λ方阵)(),(λλV U ,能让A E VB E U -=-λλλλ)())(( （1-1） 并且A 与B 相似时有B AT T =-1,使得)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理 2.3[12] 假使A ,B 是数域上的两个n 级方阵,那么方阵A 与B 相似的充要条件是在数域P 上有可逆的λ矩阵)(),(),(21λλλV V U ,成立12()()()()()U E B V E A V λλλλλ-=- （1-2） 有方阵A 与B 相似时有B AT T =-1,并且)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值. 证明 充分性：当存在)(),(),(21λλλV V U ,可逆,我们把（1-2）式两端同时都在右边乘上12)(-λV 有,)()())((121A E V V B E U -=--λλλλλ令121)()()(-=λλλV V V ,那么)(λV 可逆,且A E VB E U -=-λλλλ)())((,由引理2.2可知,A 与B 相似. 必要性：可在（1-1）式中让E V V V ==)(),()(21λλλ那么可得（1-2）式.在A 与B 相似时,我们可以通过引理2.2得出B AT T =-1,那么)(A U T i =是)(λU 在A =λ时的左值.定理2.4[6] 如果有两个n 阶矩阵A ,B 存在于数域P 上,则存在可逆的λ方阵)(),(),(),(2121λλλλV V U U 在数域P 上,他们是矩阵A 与B 相似的充分必要条件 可以使得：)())(()())((2211λλλλλλV A E U V B E U -=- （1-3） 当方阵A 与B 相似时会有有B AT T =-1,同时有)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.证明 充分性：假使)(),(),()(2121λλλλV V U U 可逆,当我们把（1-3）式两端同时左乘上12)(-λU 得到)()()())(()(21112λλλλλλV A E V B E U U -=--令)()()(112λλλU U U -=则)(λU 可逆,并且有)()()())((21λλλλλV A E V B E U -=-由定理2.3得A 与B 相似.必要性: 可以在(1-2)式中让E U U U ==)(),()(21λλλ那么可得(1-3)式.在A 与B 相似时,通过引理 2.2得B AT T =-1,那么)(A U T i =是)()()(112λλλU U U -=在A =λ时的左值.例题 2.3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011121111,211111110B A .判断A 与B 两个方阵是否相似,并且当相似时求可逆矩阵P ,使得B AP P =-1. 解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=--++-+++10011023133001101231330011123100111121011112121111111223223)](23[2)]1(32[2)](31[)]2(31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλA E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-+-+-+1000010112212001111000010101110011110011010121001111)|(22)]1(12[2)](31[)]1(21[λλλλλλλλλλλλλλλλλλE B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+--+--+-−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+--+--+-−−−−→−--++-++-+10010011111012243423133100001111011122434133231000010110111224341332310000101101012243413323222223222232)]1(2[222232)]1(32[222232)]12(31[)]24(21[22λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ所以,A 与B 相似. 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-+-+-=000111122434)(222λλλλλλλU则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100111123000000244000000111)(2λλλU 令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==011111101100111123000000244211111110000000111423212322100111123000000244000000111)(2A A A U P l 则⎢⎢⎢⎣⎡-011111101 ⎥⎥⎥⎦⎤100010001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--101011001⎢⎢⎢⎣⎡-→110210101 ⎥⎥⎥⎦⎤--110011001 ⎢⎢⎢⎣⎡→100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤----110211111 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1102111111P 所以B AP P =-12.3 分块矩阵相似判定在上一节我们通过利用矩阵的特征值与特征向量定理研究了矩阵的相似,那么这一小节我们来了解矩阵中的分块矩阵是否相似,现有两个分块矩阵着⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00,在著名的Roth （罗斯）定理中表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的一个充要条件是方阵方程C XB AX =- (1-1) 有解．定理2.5[10] 如果已知有A ,B 两个矩阵,并且有2A A =与B B =2,那么B AC +C C =则是分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0与⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似的充分必要条件. 证明 必要性 已知分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00,要是它中的A 和B 两个方阵都幂等的,那么它也必然为幂等的方阵.所以如果⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A 0和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A 00相似,那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0也是幂等方阵的,也就是20⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C A 0 把两边矩阵分别展开得到C CB AC =+.充分性 已知A 和B 这两个幂等方阵,因此它们可以分解为11000,000--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q IQ Q B P IP P A (1-2) 把它们代入（1-1）式中,得知PCQ IQ PXQ PXQ IP =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡000000 (1-3)我们让⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321Y Y Y Y PXQ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321F F F F PCQ (1-4)通过（1-4）式可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321323121000000F F F F Y Y Y Y Y Y (1-5)那么01=F 和04=F 是方程有解的充要条件,我们通过（1-2）,（1-4）,则可明确的知道等价于0=ACB 和0)()(=--B I C A I n m所以这两个方程也等价于C CB AC =+.由此可知,在C CB AC =+条件下,方程（1-1）有解,所以两个分块方阵0A C B ⎛⎫ ⎪⎝⎭和⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 00相似,证明完毕. 例题 2.4 设存在两矩阵C 和D ,并且D C ~其中B A ~,求证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A 00~00. 证 因为B A ~,且矩阵.~D C 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C A Y X Y E E X C O A E X Y E 00000000000001111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-D B YCY AXX Y X 0000001 又由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----Y E E XY E E X E X Y E 0000000000001111111 故.00~00⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D B C A第三章 矩阵相似的应用3.1 利用相似变换把方阵对角化定义3.1 相对应n 阶方阵A ,假使存在可逆矩阵P ,让B AP P =-1变为对角矩阵,那么我们就称矩阵A 可对角化，且可对角化为B .定理3.1 如果n 阶矩阵A 可对角化,那么它对角矩阵相似. ⇔A 中存在着n 个线性无关的特征向量.推论 3.1 如果n 阶矩阵A 存在n 个不同的特征值,那么矩阵A 与对角矩阵相似.例题3.1 利用相似变换将矩阵A 对角化..2-4242-2-22-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A解λλλλ-------=-242422221E A()()0722=+--=λλ得.7,2321-===λλλ当221==λλ时,齐次线性方程组()20A E X -=的基础解系为121,0P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2201P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当37λ=-时,齐次线性方程组()70A E X +=的基础解系为3122P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭因为，02-10201122-≠所以321,,P P P 线性无关,即A 有3个线性无关的特征向量,所以,利用线性变换221102012P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,可将矩阵A 对角化为200020007⎛⎫⎪Λ= ⎪⎪-⎝⎭,即矩阵A 与矩阵Λ相似.3.2 矩阵相似性质的简单应用应用矩阵相似的简单性质我们可以在方阵乘法的运算中可以简化运算的过程,大量的节省时间,极大的方便了我们.例3.2 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2-020021A ,求证100A .解（1）先算出A 方阵特征值与特征向量.由)2)(1)(1(112020021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A所以,A 的3个互异特征值为,2,1,1321==-=λλλ故A 可以对角化,对每个(),3,2,1=i i λ求得分别属于211-321===λλλ，，的特征向量为.35121-01100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα，，（2） 令=P 1(α,2α,,3511100210)3⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=α 有.2000100011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-AP P （3） 因为11001100100100()010002P A P P AP --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以100110010011110001210030100010101100025002010113A P P -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 10110113100100100100012111220002120020.501051120(12)033-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.3 矩阵相似在实际生活中的应用矩阵相似有许多相同的属性,如秩矩阵,行列式,微量（对角）,特征值,特征多项式,主要因素是相同的.一个矩阵很重要的一点就是它的特征值.通过相似变换的性质特点,可以使复杂运算变成更加简单的求值计算.例3.3 一实验生产线每年二月为熟练和非熟练工人的数量统计,然后把61熟练工人支持其他生产部门,招募新的非熟练工人完成的空缺.旧的和新的非熟练工人通过培训和时间,年终考核将有52成为熟练的工人.假使过了n 年在二月份的一次统计中熟练工人与非熟练工人在总人数中为百分之n x 与百分之n y ,我们把它写为向量.⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x（1）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x 和⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x 的关系式并写成方阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11n n y x .⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n y x A （2）求证A 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11-1421ηη，这两个不相关的特征向量,然后在分别算出他们的特征值;解 （1）根据上述已知有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++n n n n n n n y x y y x x x 615361526511 化简得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=++n n n n n n y x y y x x 531015210911对其用矩阵表示即为,531015210911⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++n n n n y x y x 于是 .5310152109⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A （2） 令，），（⎥⎦⎤⎢⎣⎡==111-421ηηP 则由05≠=P 知,21ηη，这两个特征向量线性无关.因.1411ηη=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=A 所以这个特征向量1η属于矩阵A .并且相应的11=λ为特征值. 因22212121ηη=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--A 故2η为A 的特征向量,且相应的特征值.212=λ结论本文以矩阵及矩阵的性质和矩阵相似的一些相关的性质为主要理论依据,从矩阵和矩阵相似的相关性质与应用处着手,主要论述了矩阵相似的几个判别方法,并在第三章中将矩阵相似的一些应用展示给了大家,通过将矩阵和矩阵相似的一些相关理论进行整理分析，找出了它们之间的转化关系.同时,在研究过程中,培养了应用数学的意识和能力.运用矩阵相似的性质和判别法,解决了几类较为基本的矩阵相似的应用问题.参考文献[1] 张禾瑞,郝鈵新,张禾瑞郝鈵新编.高等代数[M].北京:高等代数出版社,2007:327-328. 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Linear Algebra［J］.USA:Create Space.2008,（124-205）.致谢四年的大学生活即将结束,回头望去,百感交集.四年里,陪伴我的是敬爱的老师、亲爱的同学,所以,我要感谢母校黑河学院,您是养育我的土壤;我要感谢我的老师,是你们让我有了实现自我的能力和勇气;我要感谢我的同学们,是你们给了我家一样的感觉.另外,我要感谢我的指导老师由金玲老师,由于她的悉心指导,使我能够圆满地完成论文的撰写.在这段时间里,我深深的体会到由金玲老师的耐心与细致，以及她严谨的治学态度,这一切都将成为我今后生活、工作的榜样.再次由衷的感谢我的指导老师,您辛苦了！。
相似矩阵的判定及其应用
相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。
并通过一些具体的例子加以说明。
下面我们首先介绍相关的概念和性质。
定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价 特征矩阵 行列式因子 不变因子 初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。
我们从下面的例1来看这个定理的应用。
例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ； （3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。
相似矩阵的定义及性质
,
2
则有
P 1 AP
1
1
.
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。
可对角化的矩阵主要有以下几种应用：
1. 由特征值、特征向量反求矩阵
例3：已知方阵 A 的特征值是 1 0,2 1,3 3,
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
即 A 与 B 相似。
25
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
2 3
1 1,2 2. A 可以对角化。
当 1 1 时， 齐次线性方程组为 A E x 0
系数矩阵
A
E
5 2
5 1
2
0
1
0
1
x1 x2
令x2 1得基础解系:
p1
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
行列式与矩阵的相似与不同(论文)
行列式和矩阵的相似与不同学生姓名：学号：系部：数学系专业：数学与应用数学年级：指导教师：完成日期：中文摘要在本论文中主要讨论了高等代数中的行列式和矩阵两个重要概念，并且深入观察和比较行列式和矩阵的形式方面行列式表示一个数,矩阵表示为一个数表.概念中它们的本质与相等方面有区别。
性质方面主要区别为转置,进行一些初等变换的结果不同。
运算方面行列式和矩阵对加法来说都满足交换律,结合律与分配律，但矩阵对乘法来说不满足交换律,并且它们的数乘方法也不同，还有应用等方面阐述了行列式和矩阵的相似与不同和它们之间关系。
关键词：行列式；矩阵；相似；不同；应用。
1目录中文摘要 (1)引言 (1)1. 形式方面 (1)1.1相似： (1)1.2区别 (1)2. 概念方面 (2)2.1本质不同 (2)2.2相等方面不同 (2)3.性质方面 (3)3.1相同点 (3)3.2区别 (3)4. 运算方面 (5)4.1相同点 (5)4.2区别 (6)5. 应用方面 (8)5.1相同点 (8)5.2区别 (8)总结 (12)参考文献 (13)致谢 (14)2引言行列式和矩阵是高等代数中，特别是线性代数中的两个基本概念。
它们从一般地计算到求出线性方程组的解，判断向量的线性关系，线性变换和一些实际问题中广泛的应用。
虽然，行列式和矩阵是互不相同的两个概念，但它们也具有一些相同的性质。
所以要明确它们之间的相似与不同是很重要的。
1. 形式方面1.1相似：行列式和矩阵表面上看比较相似，即它们中的元素有顺序地排成行列表。
1.2区别：行列式中行数和列数必须相同，即行数必须等于列数，正因为如此，所以说行列式时称为n阶行列式，n为行列式中行数或列数。
且行列式在数表两端加竖线，表示由这个数表确定的一个数。
如：D=11121 2122212...... ............nnn n nn a a a a a a a a a矩阵中，行数和列数无丝毫关系，即可以不同。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
相似矩阵的定义及性质
定义: 阶矩阵， 定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得
P 1 AP = B
相似矩阵， 则称矩阵 B 是矩阵A 的相似矩阵， 相似， 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A
B
进行相似变换 相似变换， 对 A 进行运算 P －1 AP 称为对 A 进行相似变换， 相似变换矩阵。 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： A A. ）反身性： （2）对称性：若 A B 则 B A. ）对称性： （3）传递性：若 A B , B C , 则 A ）传递性：
0
1
1
12
1 2 0 P = ( p3 , p1 , p2 ) = 1 1 0 , 注意： 注意：若令 1 0 1 2 . 则有 P 1 AP = 1 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应． 位置要相互对应．
13
把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化， 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。 在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 几种应用 1. 由特征值、特征向量反求矩阵 由特征值、 例3：已知方阵 A 的特征值是 ：
1 λ
(1) A λ E = 2 2
2 2 λ 4
2
= (λ 2) (λ + 7) = 0
得
λ1 = λ2 = 2, λ3 = 7
6
当
λ1 = λ2 = 2 时，齐次线性方程组为 ( A 2 E ) X = 0
1 2 2 1 2 2 2 4 4 ( A 2E ) = → 0 0 0 2 4 4 0 0 0
矩阵相似及其应用
引 理 ２．１： 如 果 有 ｎ阶 数 字 矩 阵 Ｐ。，Ｑｏ使 入Ｅ－Ａ＝Ｐ。（ Ｅ一
（ｒｌ ，ｑ ， … ，Ｔ１ ） ＝ （￡ ，￡：， … ，￡ ） Ｘ。
于 是 （五Ｔ１，，加 ：， … ，五１１ ）＝五（Ｔ１ ，１１ ， … ，Ｔ１ ）
收稿 日期：２０１０—０８—０７修 回 日期 ：２０１０－０９－０２ 作者简介：刘嘉 （１９８３一）。女 ，大学本科 ，助教 ，研究方 向为应用数学。
＝ ｌ Ｂ Ｉ，ｔｒＡ＝ｔｒＢ： （３）Ａ与Ｂ有相 同的Ｊｏｒｄａｎ标准 形 ；
例 ： 证明：
（４）Ｐ。ＡＰ＝Ｂ＝＝＞Ｐ ｆ（Ａ） Ｐ＝ｆ（Ｂ），ｆ是 任 意 多 项 式 。
就仅涉及 上述性质的 问题而言 ，相似的矩阵可 以相互 ｉｌｆ ”ｆ 是 １，２， … ， ｎ的一 个 排 列 。
— — （式 ２）
ｒ 一Ｃ ～ ～６ １ ｆ —ｃ 一“ ～＾ １
【＝： ？ ｌ： ｊ Ｅ＿Ｂ
ｖ（ ）＝Ｒ（ ）（ Ｅ－Ａ）＋ｖ
— — （式 ３）
因子 。
ｒ６ ｆ 、 ｒ 日 ６、
例１：设ａ，ｂ，ｃ是实数，Ａ＝Ｉ ｃ“６Ｉ，Ｂ＝ｌ。６ ｃｌ，证
明：Ａ与Ｂ相似 。
Ｉ Ｊ ｌ 。』
ｆ 一＾ 一ｃ 一“１ ｆ—ｄ ～＾ 一 １
证明： Ｅ－Ａ＝｛一 ～ ｛一Ｉ “ ｛一
字 矩 阵ｕ 和 ｖ ， 使 ： Ｕ（入）＝（入Ｅ－Ａ）Ｑ（ ）＋ｕ
替换 ，这就 决定 了相 似概 念在 线性代 数 中的重 要性 。不 过，除了某些 联系于Ｊｏｒｄａｎ标准 形 （包括对角标准形 ）的
Ａ（￡，， 设ｇ ２： ， … …， ，ｅ ￡ ＝ ＝ｃ （ ｅ ￡， Ｉ ８ ８： ：… …， ， ｒｌ 。九几２ ． 九 ｊ Ｊ
矩阵相似的研究
矩阵相似的研究矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定和应用等方面对矩阵相似进行研究。
一、定义矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值和相似的特征向量。
具体来说，对于两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，那么我们称矩阵A和B相似。
二、性质1. 矩阵相似是一种等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
2. 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
3. 相似矩阵具有相同的迹、秩和行列式。
三、判定给定两个矩阵A和B，判断它们是否相似有以下几种方法：1. 比较特征值和特征向量：计算两个矩阵的特征值和特征向量，如果它们完全相同，则可以判定两个矩阵相似。
2. 比较迹、秩和行列式：计算两个矩阵的迹、秩和行列式，如果它们完全相同，则可以判定两个矩阵相似。
3. 使用相似矩阵的定义：找到一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B，如果存在这样的P，则可以判定两个矩阵相似。
四、应用矩阵相似在许多领域中都有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 特征值分解：矩阵相似可以将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式，这在信号处理、图像处理等领域中有着重要的应用。
2. 矩阵的对角化：矩阵相似可以将一个矩阵对角化，即将矩阵化为对角矩阵的形式，这在线性代数中有着重要的应用。
3. 矩阵的相似变换：矩阵相似可以表示一个矩阵的相似变换，这在几何变换、物理模型等领域中有着广泛的应用。
矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
通过研究矩阵相似，我们可以更好地理解和应用线性代数的知识，为解决实际问题提供了有力的工具。
希望本文对读者对矩阵相似有一定的了解，并能够进一步深入研究和应用。
矩阵相似的性质与应用的研究2
矩阵相似的性质与应用的研究2矩阵相似是一种非常有用的性质，它使得我们能够利用一些简单的矩阵来描述一些复杂的矩阵。
在这里，让我们来看一下矩阵相似的一些性质：（1）矩阵相似具有自反性，即任何矩阵都与自身相似；（2）矩阵相似具有对称性，即若A与B相似，则B与A相似；（4）矩阵相似保持行列式不变；（6）矩阵相似保持特征值不变，即若A与B相似，则它们的特征值相同；（7）矩阵相似保持特征向量不变（方向不变，大小可能变）。
矩阵相似是一种非常有用的数学工具，它在科学、工程和统计学等各个领域都有广泛的应用。
（1）对称矩阵对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们的对角线上的元素相等，而且它们的非对角线上的元素是相同的。
对称矩阵还有一个重要的性质，就是它们的特征值是实数。
在实际应用中，对称矩阵广泛存在于物理、工程和化学等领域中，比如说能量矩阵、惯性矩阵、协方差矩阵等等。
（2）正交矩阵正交矩阵是一类非常特殊的矩阵，它的每一行和每一列都是单位向量，而且这些向量是互相垂直的。
正交矩阵也有一个非常重要的性质，就是它们的逆矩阵等于它们的转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
在实际应用中，正交矩阵广泛存在于几何、物理、通信和图像处理等领域中。
（3）特征值分解特征值分解是一种非常重要的矩阵分解方法，它将一个方阵分解为它的特征值和特征向量的乘积。
在实际应用中，特征值分解广泛存在于信号处理、数据降维、机器学习和量子计算等领域中，比如说主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）等等。
总之，矩阵相似是一种非常重要的数学工具，它使得我们能够有效地描述和处理各种复杂的矩阵。
在实际应用中，矩阵相似被广泛应用于各个领域，它为我们提供了一种强大而灵活的数学工具来解决各种实际问题。
线性代数502相似矩阵
det( B E ) (n )( )n1 ,
即B与A有相同的特征值.
对应特征值 2 n 0,有n 1个线性无关的
特征向量, 故存在可逆矩阵 P 2 ,使得
P
1 2
B
P
2
,
从而
P
1
1
A
P1
P
1 2
B
P2,
即
P2
P
1
1
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1 0 0 ຫໍສະໝຸດ 0 0 .1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E ) (n )( )n1 , A的特征值为 1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆
矩阵 P1,使得
《线性代数》
一、相似矩阵的定义 二、相似矩阵的性质 三、小结与思考
一、相似矩阵的定义
定义5.3
设 A、B 为n 阶方阵， 若有可逆方阵 P，使
P 1 AP B
成立，则称B 是 A 的相似矩阵，或称 A 相似于B. 记为 A ~ B。
二、相似矩阵的性质
(1) 单位矩阵 I 与其自身相似,即 P 1IP I。
002，且 A ~ B,求 x和 y
解
1 x1
A ~ B, A B , 而 A x 1 y ( x y)2 ,
1 y1
B 0 故x y ;又由A ~ B 知,
A,B有相同的特征值, 而B有一个特征值为1
1 I A I A 0
0 x 1 x 0 x 2 x 2 0 x y 0。
矩阵论课程结业论文
浅谈矩阵论的发展在《九章算术》中用矩阵形式解方程组已相当成熟，但那时仅用它作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立起独立的矩阵理论。
直到18 世纪末至19 世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式的发展提供了矩阵发展的条件。
矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。
一、矩阵早期发展的社会与文化背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。
“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。
而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。
在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。
英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。
凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。
1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。
文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。
另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。
凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。
相似矩阵的性质及应用 论文
相似矩阵的性质及应用论文相似矩阵的性质及应用学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义-1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A和B相似，记为A~B 。
211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,,211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,,100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,,所以A~B二矩阵的相似关系具有的性质-11 自反性 A~A 因为A=EAE2对称性如果A~B，则B~A-1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P,-1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A3传递性如果A~B，B~C,则A~C-1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN,-1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质1.若A~B，则A与B的行列式相等2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似5. 若A~B，则r(A)= r(B)TT 例:证明若A~B，则A~B-1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CACT-1TT 其中P= C ,于是A~B四求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值为1(三重)对于特征值1 由T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值为10 21 39对于特征值10 由T得方程Ax0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21, 由T得方程(AE)x0的基础解系p2(1 1 0) 向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39 由T得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/2 1/2 1) 向量p3就是对应于特征值39的特征值向量. (3)解故A的特征值为121 341对于特征值121 由TT得方程(AE)x0的基础解系p1(1 0 0 1) p2(0 1 1 0) 向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341 由TT得方程(AE)x0的基础解系p3(1 0 0 1) p4(0 1 1 0) 向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量。
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相似矩阵的性质及应用毕业论文一.相似矩阵的定义定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~.二.相似矩阵的重要性质性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系.证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似.2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似.3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似.〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式.证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜.从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1)即乘积的秩不超过各因子的秩.证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.现在来分别证明这两个不等式.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nm n n m m a a a a a a a a a 212222111211，B=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ms m m s s b b b b b b b b b212222111211令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj mk ikb a∑=1，因而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）.即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）.同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）.这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕>引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由A=1-P B,又由秩（A ）≤秩（B ）,所以秩（A ）=秩（B ）=秩（PA ）.同理可证, 秩（A ）=秩（AQ ）.从而, 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩.证明:设A,B 相似即存在数域P 上的可逆矩阵C,使得 B=1-C AC , 由引理2可知秩（B ）=秩（1-C AC ）=秩（AC ）=秩（A ）. 〈证毕>性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆.证明:设A 与B 相似,由性质3可知B A = .若A 可逆,即0≠A ,从而0≠B 故B 可逆； 若A 不可逆,即0=A ,从而0=B ,故B 不可逆. 〈证毕〉性质5 若A 与B 相似,则n A 相似于n B .(n 为正整数)证明:由于A 与B 相似,即存在数域P 上的可逆矩阵X,使得AX X B 1-=,从而X A X AX X AX X AX X n n 1111----=•••个,即 n A 相似于n B . 〈证毕〉性质6 设A 相似于B,)(x f 为任一多项式,则)(A f 相似于)(B f . 证明:设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 于是Ea B a Ba B a B f E a A a A a A a A f n n nn n n n n 01110111)()(++++=++++=----由于A 相似于B,由性质5可知k A 相似于k B ,(k 为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得X A X B K k 1-=,因此)()()(01110111111011111B f Ea B a B a B a E a AX X a X A X a X A X a X E a A a A a A a X X x f X n n nn n n n n n n n n =++++=++++=++++=-----------这就是说)(A f 相似于)(B f . 〈证毕〉性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.证明：设A 相似于B ，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得AC C B 1-=， 则AE C C A E C A E CACC EC C AC C C C AC C E B E -=-=-=-=-=-=--------λλλλλλλ1111111由此可见，B 与A 有相同的特征多项式. 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹.证明：设A 相似于B 。
由性质7知，A 与B 有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值n λλλ,,,21 ，而A 的迹trA=n λλλ+++ 21 ,B 的迹trB=n λλλ+++ 21，从而，trA=trB.即相似矩阵有相同的迹. 〈证毕〉 性质9：若矩阵A 与B 相似，则它们有相同的不变因子和初等因子.证明：因为A 与B 相似，所以它们的特征矩阵A E -λ和B E -λ等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子.性质10：若A 与B 相似，B 与D 相似，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似. 证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ，使得AP P B 1-=，C 与D 相似，即存在可逆矩阵Q ，使得CQ Q D 1-=，由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Q P C O A Q P Q P C A Q P D B 0000000000000111显然⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Q P 00 是可逆矩阵.由此可见，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B0 相似. 三．相似矩阵性质的简单应用.例1：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112020021A ， 求 100A . 分析：该问题若按矩阵乘法直接运算相当复杂，耗费时间，若能找到A 的相似对角阵，则该问题就简单化了，解题过程如下：解：（1）求A 的特征值与相应的特征向量.由)2)(1)(1(11220021)(-+-=+---=-=λλλλλλλA E A f A ，所以，A 的3个互异特征值为2,1,1321==-=λλλ，故A 可以对角化，对每个i λ（i=1，2，3），求得分别属于2,1,1321==-=λλλ的特征向量为.3512,101,100321⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα（2）令()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==3511100210321αααP ，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2000100011AP P . (3)因为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--10010011001200010001)(AP P P A P 所以1100100200010001-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P P A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01002113112000100013511100210100⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=10010010123511200210⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0100211311 ()⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-=0213500200221100100101. 例2：已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21434302122234341R ，在一个直角坐标系里，它按关系式RX X ='定义一个旋转.现在引进一个新的直角坐标系.使得旋转轴为新的坐标轴之一.具体的说，假设新坐标轴方向的单位向量为321,,f f f 与.其中1f 在旋转轴上.现确定旋转的旋转角，在这里, 1f 在旧坐标系中应表为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113511f , 这个旋转： i 〉 保持1f 不动;ii 〉 对2f 与3f 的作用就象一个二维空间的旋转.因此，对于基底321,f f f 与，该旋转的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααcos sin 0sin cos 0001B , 其中α是旋转角 .则RC C B 1-=，其中C 是坐标变换矩阵.因为B 与R 相似，由性质8知，它们的迹相同.但 B 的迹trB=αααcos 21cos cos 1+=++ , 因此43212141cos 21-=--==+trR α,所以87cos -=α.现在旋转角可以查表得到.例2中的论证过程是相当一般化的。
因此，我们可得到如下结果：设R 是3×3的旋转矩阵，则其旋转角α由trR =+αcos 21给出.。