高数第一章1节
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高数-集合与映射
并集：A B { x | x A或x B} 集合的运算： 交集 : A B { x | x A且x B}
差集 : A \ B { x | x A且x B}.
文式图：
AB
AB
AB
AB
AB
A\ B
特 别 ， 若B A,则 称 差A \ B为B关 于A的 余 （ 或 补 ） 集 ， 记 为C AB， 若 全 集 记为X， 则 称X \ A为A的 余 （ 或 补 ） 集 ，
记 为AC。 若A B , 称A与B不 相 交 ， 若A B , 称A与B相 交 。
运算律： 交换律: A B B A, A B B A 结合律: ( A B) C A (B C ),
(A B)C A(B C) 分配律: ( A B) C ( A C ) (B C ),
解 ： 及 大 于 的 一 切 数 都 是2 上 界 ，
6
6
及 小 于 的 一 切 数 都 是 下 界 。
2
2
一个数集若有上（下）界则有无穷个上（下）界， 其中最重要的是最小（大）的上（下）界，此即 为上（下）确界。
定义1.2 设A R，且A ，若 R，满足： （1）x A，有x , （2） 0，x0 A, 使x0
邻域
N ( x0 , ) { x | | x x0 | }
x0 的 邻域
N( x0 , ) { x | 0 | x x0 | }
x0 的去心 邻域
简记： N ( x0 ) N ( x0 )
有限集 集合的类型： 空集：
无限集
集合间的关系
A是B的子集：A B或B A A是B的真子集：A B或B A A与B相等 : A B A B且B A
第一章 一元函数的极限与连续
高数第一章 函数与极限
第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．2. ε－N, ε－δ极限定义证明法3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．5. 闭区间上连续函数的几条性质．第一节映射与函数学习指导1．教学目的读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习会求函数的定义域，会求函数的反函数。
会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。
会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
3．应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。
学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。
高数 第一章
⑤奇，偶函数的运算性质 i) 有限个奇函数或偶函的和仍为奇（偶)（差不 一定）
ii) “同性”相乘为偶，“异性”相乘为奇 iii) 任意一个对称区间的函数可表达 为一个奇函数和一个偶函数之和：
xaa
ln xyln xln y(x>0, y>0)， O
x ln ln xln y(x>0, y>0)。 -1 y
5 .三角函数 ysin x与ycos x的定义域均为(, )，均以 2p为周期。ysin x为奇函数，ycos x为偶函数。 它们都是有界函数。
1
y=cosx y y=sinx
1
-2
-1
0
1
2
x
4 .对数函数y=logax 对数函数是指数函数y=ax的反函数, 定义域为 (0,),图形通过(1, 0)点。当 a>1 时, 函数单调增 加；当 0<a<1时, 函数单调减少。
常用公式： x ln eln x(x>0)， ln x(x>0)，
2 1
1 2 3 y y=log2x y=log10x 4 x y=log0.1x y=log0.5x
第一章
第一节函数
本节重点：
1、函数定义域与表达式求法
2、函数特性（4个）判别
3、区间与邻域的概念
一、 预备知识
1.绝对值:
①运算性质: ②绝对值不等式 :
2、区间与邻域
① 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
开 (a, b) x | a x b 有限区间 闭 a, b x | a x b 区间 半开半闭 a, b x a x b 半无限 a, , (, b) 无限区间 全无限 (-, +)
高数第一章参考答案
第一章：第1节： 1A 。
2D 。
3A 。
4x y =。
5．21)(nxx x f n +=。
6．当2/10<<a 时，定义域为]1,[a a -；当2/1>a 时，定义域为空集；当2/1=a 时，定义域2/1=x 。
7．)1ln()(x x -=ϕ，定义域为}0|{≤x x 。
第2节： 1D 。
2C 。
3B 。
4．证明：由定义知0>∀ε，N N ∈∃，使得当n N >时，有||n u a ε-<成立。
注意到a u a u n n -≤-。
因此当n N >时，有ε<-≤-a u a u n n 。
即||||lim a u n n =∞→。
反过来若1||lim =∞→n n u ，则n n u ∞→lim 不一定存在。
比如(1),n n u =-则n n u ∞→lim 不存在，但1||lim =∞→n n u 。
若0||lim =→∞n n u ，则由00-=-n n u u 知0lim =∞→n n u 。
第3节：1A 。
2B 。
3D 。
4C 。
5C 。
第4节： 1D 。
2D 。
3D 。
4C 。
5D 。
6．证：假设函数xx y 1sin 1=在区间]1,0(上有界，则0,M ∃>使得函数11sin y M x x =≤。
若取2/)1]([21ππ++=M x ，则有M M y >++=2/)1]([2ππ矛盾。
所以在区间]1,0(上无界，但也不是+→0x 时的无穷大。
因为若取πk x 21=（N k ∈），则当+∞→k 时，+→0x ，而此时0≡y 不是无穷大。
第5节： 1A 。
2C 。
3B 。
4B 。
5．1。
6．21。
7。
a 21-。
8．1。
9．2。
10．21。
11．6。
12．1,1-==b a 第6节： 1C 。
2D 。
3B 。
4．3。
5．3/5。
6．0 。
7．由于()nnn n11333213⋅<++<，所以由夹逼定理可得()3321lim 1=++∞→nn nn 。
高数第一章第一节.
p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
3/27
半开区间
无限区间
点的 邻域
a
(
a
a
)
去心 邻域 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
4/27
2. 集合之间的关系及运算
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
1/27
一、集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
11/27
(2) 复合映射
定义 设有映射 x D g
u g(x) g(D)
f u D1 则当 g(D) D1 时, 由上述映射链可定பைடு நூலகம்由 D 到 Y 的复
合映射 , 记作
或 f g(x), x D.
g(D)
注意: 构成复合映射的条件 g(D) D1 不可少.
12/27
三、函数
1. 函数的概念
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
使表达式及实际问题都有意义的自变量
集合.
• 对应法则的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域
值域
又如, 绝对值函数 定义域 值域
14/27
例3
已知函数
y
f
(x)
高数第一章
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
大学高数第一节 无穷小
数列中的每个数称为数列的一项, 数列中的每个数称为数列的一项
x n 称为数列的通项 或一般项 数列简记为 { xn }. 称为数列的通项 或一般项), 通项(或一般项
例如, 例如 数列 1 1 1 1, , , L , , L; 2 3 n
1 简记为 n
简记为 {2n }
1 简记为 n 2
x1
x2 x4
xn
x
x1 , x2 ,L , xn ,L
3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程： 数列的变化过程包含两个相关的无限过程：
n的主动变化: 即n 从1开始， 的主动变化: 开始， 的主动变化 开始 不断增大 每次加 ). 不断增大( 每次加1
何为无限增大？ 何为无限增大？
一定可以大于每个固定的正数. 一定可以大于每个固定的正数 称为n 趋于无穷大， 称为 趋于无穷大， 记为 n → ∞ .
2. 当 x → x 0 时 , f ( x ) 为无穷小与 f ( x ) 在 x 0 点
是否有定义无关. 是否有定义无关
− + x → x0 , x → x0 或 x → x0 时, ( x − x0 ) 都是无穷小 当 都是无穷小.
类似于定理1.1和定理 类似于定理 和定理1.2, 有 定理1.3 (无穷小比较定理 无穷小比较定理3) 定理 无穷小比较定理
定义1.2 ( x →+∞(−∞或∞) 时函数无穷小 时函数无穷小) 定义 有定义, 设 f ( x )在 (c ,+∞ ) 有定义 c 为常数 . 如果对于任意给定的正数 ε , 总存在正数 X, 当 x > X 时, 有
f (x) < ε
则称当 x → +∞ 时，f ( x ) 为无穷小. 则称当 为无穷小 记为 lim f ( x ) = 0, 或 f ( x ) → 0 ( x → +∞ ).
上财高数第1章函数、极限与连续第1节函数
有理数集合Q, 实数集合R, 复数集合C. 在这个次序中, 前一个集合是后一个
集合的子集.
第一章 函数、连续与极限
7
一、集合 2.集合的运算
集合有三种基本运算,即交,并,差. 设 A, B 是已知的集合,则{x | x A且x B}称为 A 与 B 的交集, 记作A B ； {x | x A或x B}称为 A 与 B 的并集,记作 A B ; {x | x A但x B}称为A与B的 差集, 记作 A\B . 图1.1中所示阴影部分分别表示 A B, A B , A\B .
A
A
A
B
B
B
AB
AB
A\B
图1.1
第一章 函数、连续与极限
8
一、集合
含有我们所要研究的全部元素的集合称为全集, 并用I 表示, 则差集I \A
也称为 A 的余集或补集, 记作 A , 例如 H {x | 2x 3 0}, I R ， 则
H {x | 2x 3 0} .
在两个集合之间还可以定义直积或笛卡尔(Descartes)乘积, 设A, B是
方程 x2 3x 2 0的解；由无限个元素组成的集合,称为无限集, 如不等式 2x 3 0的解, 平面上所有直角三角形. 不含任何元素的集合称为空集, 记
作 , 例如由方程 x2 3 0 的实根组成的集合, 就是一个空集. 空集是任
何集合的子集. 元素为数的集合称为 数集, 常见的数集有 : 自然数集合N, 整数集合Z,
就说 a 属于 A, 记作 a A；如果 a 不是集合 A 的元素, 就说 a 不属于A , 记
作 a A. 如果集合 A 中的每一个元素同时也是集合 B 中的元素, 则称 A 是 B 的
子集或称 A 包含于 B 或 B 包含 A, 记作 A B 或B A.如果 A B且 B A,
大一高数课件第一章 1-1-1
第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。
高数函数,极限和连续总结
第一章 函数.极限和连续第一节 函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。
注:分段函数不是初等函数。
特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。
4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。
5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
第二节 极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。
4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。
性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。
注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。
5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若 则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若 则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。
高数大一第一节知识点总结
高数大一第一节知识点总结大学的高数课程对于很多理科生来说都是一个巨大的挑战。
无论是对于数学基础薄弱的同学，还是对于数学领域有所了解的同学来说，高数都是一门需要认真学习和掌握的课程。
在大一的第一节高数课上，我们学习了一些基础的数学概念和方法，下面就对这些知识点进行总结和归纳。
第一部分：数列与数列极限数列是高数中一个非常基础也非常重要的概念。
数列可以看作是按照一定规律排列的一系列数值。
在第一节课中，我们学习了数列的概念以及常见的一些数列类型，如等差数列和等比数列。
我们还学习了数列极限的概念。
数列极限可以理解为当数列中的项数趋近于无穷大时，数列的值会趋近于一个确定的值。
数列极限的计算可以使用一些特定的方法，如极限的四则运算法则、夹逼定理等。
第二部分：函数及其基本性质在高数课程中，函数是一个核心概念。
函数可以看作是一种输入和输出之间的映射关系。
在第一节课中，我们学习了函数的定义和性质。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系等。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。
我们还学习了函数的图像和函数的图像的基本变换。
在高数课程中，函数的图像是非常重要的，通过观察函数的图像可以更好地理解函数的性质和行为。
第三部分：极限与连续极限是高数课程中一个非常重要的概念。
极限可以理解为当自变量趋于一个确定的值时，函数的值会趋近于一个确定的值。
在第一节课中，我们学习了函数的极限和无穷小的概念。
无穷小可以理解为当自变量趋于一个确定的值时，函数值与这个确定值之间的差异非常小。
我们还学习了极限的四则运算法则和夹逼定理。
连续是一个和极限密切相关的概念。
在高数课程中，连续可以理解为函数在某一点处的极限与函数在该点的函数值相等。
第四部分：导数与微分导数是高数课程中一个重要且难点的内容。
导数可以理解为函数在某一点处的切线的斜率。
导数的计算可以使用一些特定的方法，如导数的基本公式、导数的运算法则等。
在第一节课中，我们学习了导数的定义和性质。
我们还学习了一阶导数和二阶导数的概念。
高数1(函数)
关于坐标原点对称的。
例如 cos x 是偶函数，sin x 是奇函数，但
y = sin x + cos x 是既不是奇函数也不是偶函数。
y
y = f (x)
偶函数的图像是 关于y轴对称
f (-x)
f (x)
-x
o x 偶函数 y
x y = f (x) f (x)
（3）图像法：图像法是把变量之间的函数关系借助图 形表示出来的方法，它可形象地表示出函数变化的性态。 优点是鲜明直观，但不便于作理论分析。 如图1-1 表示温度T 与时间 t 的函数关系。
T
T= f (t )
0
t
分段函数(piecewise function)：用解析式表示函 数时，有些函数在其定义域的不同范围内采用不同的 1 表达式。 x0 x sin 例1-4 函数 y 是一个分段 x 函数，它的定义域为全体实数。 例1-5 静脉注射G 钠盐100000单位后，血清中的药 C 物浓度C 为时间 t 的函数,
自变量 (independent variable) 定义域 (domain of definition)
{y y=f (x) , xD}称为函数的值域(domain of y fuction value),记为 f (D) 单值函数(one-valued function): f ( x) 如果定义域 D 中的每一个x值所 对应的函数值都是唯一的。 a x b 多值函数(multiple valued function): ( D [a, b] ) 如果有的x值所对应的函数值不止一个。 例1-2 函数 y2= x ，它的定义域为x>0。但是，对于 定义域内的每一个 x值，对应的 y 值有两个： y = ±√x 为多值函数。 ※ 没有特别说明时，函数指的都是单值函数。
高数第1章第1_2节函数与初等函数
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高 等 数 学
函数的图形
如果自变量在定 义域内任取一个数值 时，对应的函数值总 是只有一个，这种函 数叫做单值函数，否 则叫做多值函数．
y
Rf
y
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
o
x
广 东 工 业 大 学
高 等 数 学
高等数学
主讲教师：邱红兵
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课程要求
1、期末考试成绩计算方法
高 等 数 学
总成绩 考试成绩 80% 平时成绩 20%
平时成绩 基本分 作业分 考勤分
2、旷课 3、迟到 4、请假
5、作业: 每周周一交, 4号楼208
6、答疑: 7、公共邮箱：qhbqhb@ qhbqhb1111
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高 等 数 学
一、反函数
对于任意的 y W,
值域 在 D 上至少可以确定一个 x 满足
f ( x) y
若将 y 看作自变量, x 看作因变量, 得到一个新的函数 称为原函数 y = f (x) 的反函数, 记为 x = (y)
y
函数 y f ( x )
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高 等 数 学
一、实数与区间
自然数集: 整数集：Ｚ 有理数集：Ｑ 实数集：Ｒ
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Ｎ
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二、邻 域
注：当不需要特别辩明邻域 的半径时，可简记为U (a ) 。
高数黄立宏第四版1第一章第一节
Q(b, a)
y f 1 ( x)
1
yx
y f ( x)
o
x
根据定义求反函数时： 1、求出函数的值域 2、由y=f( x )解出 x f
1 y f ( x) 3、交换字母：
1
( y),
例18 y x , x (,), 求其反函数.
3
解：
y x3 的值域为 y (,)
y M1
f (x)在(a, b)内有上界M1.
(x A )
数集A称为函数f的定义域， 记为 D f
y : 因变量
；
y0= f ( x0 ) 叫做函数在 x = x0 处的函数值 数集
f ( A ) y | y f (x ), x A B
使函数有意义的自变量的取值范围，称为函数的定义域 称为函数f的值域，记作 R f
的复合过程.
y sin(x 2 1) 是由
2
y u u sin v v x 1 复合而成.
注意:
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ;
D( f ) [1,1]
D( f ) R ( f )
R( f ) [2,)
D( f ) (- , ), R( f ) [1, 0,1),
是分段函数.
例7 取整函数f（x）=[x]
x为任意实数，不超过x的最大整数
D( f ) (- , ),
是分段函数.
y
R f {整数}
•
•
•
0
• •
如
•
x
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oa
x
ob
x
(a, ) { x | a x},(, b] { x | x b},(, ) R
也都是无限区间.
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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例 设A {x | 0 x 2}, B { y | 0 y 1},则
A B {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1} 它表示平面直角坐标系中如图所示的矩形区域.
y
1
(2,1)
A×B
O
2x
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3.区间和邻域
a, b R,且a b. (符号 表示“对每(任）一个”) {x | a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
内排除0与负数的集.
2
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具体表示集合的方法 :
A {a1 , a2 , , an }
列举法
M { x | x具有性质P}
描述法
含有限个元素的集合称为有限集;含无限个元
素的集合称为无限集.
a M , a M(或a M ), 集合与元素的关系
若x A,则必x B,就说A是B的子集.记作A B.
所以 ( A B)c Ac Bc
x ( A B)c x A B x A或x B x Ac或x Bc x Ac Bc
所以 ( A B)c Ac Bc
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A与B的直积(或笛卡儿乘积) A B {( x, y) | x A 且 y B}
A B即为有序对( x, y)( x A, y B)组成的集合. 例如, R R {( x, y) | x R ,y R} R R即为xOy平面上全体点的集合.R R常记作R2 . 注 : 一般地, A B B A.
R----实数集
N {1, 2, , n, }
----正整数集
R* { x | x 0, x R} ----非零实数集 R { x | x 0, x R} ----正实数集
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数集间的关系:
N Z, Z Q, Q R.
若A B,且B A,就称集合A与B相等,记作 A B.
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x | x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
3
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常用数集:
N {0,1, 2, , n, } ----自然数集
Z { , n, , 2, 1,0,1, 2, , n, } ----整数集
Q { p | p Z , q N 且p与q互质} ----有理数集 q
( A B) C A (B C ); (3)分配律 ( A B) C ( A C ) (B C ),
( A B) C ( A C ) (B C ); (4)对偶律 ( A B)c Ac Bc ,
( A B)c Ac Bc .
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对偶律的证明:
x ( A B)c x A B x A且x B x Ac且x Bc x Ac Bc
例如 A {1,2}, C {x | x2 3x 2 0}, 则 A C.
若A B,且A B,则称A是B的真子集,记作 A B.
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2. 集合的运算
设A、B是两个集合.
A与B的并集(简称并) A B {x | x A,或x B}
A与B的交集(简称交) A B {x | x A,且x B}
oa
b
x
{x | a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
{x | a x b} 称为半开区间, 记作 [a, b)
{x | a x b} 称为半开区间, 记作 (a, b]
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区间(a, b),[a, b],(a, b],[a, b)都是有限区间.
第一节 函数与极限
主要内容
集合 映射 函数
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1
一、集合
1. 集合概念
具有某种特定性质的事物的全体.
总体
组成集合的事物称为该集合的元素.
个体
通常用大写拉丁字母A, B,C, 表示集合,小写
拉丁字母a, b, c, 表示集合的元素. 有时在表示数集的字母的右上角标上“*”来
表示该数集内排除0的集,标上“+”来表示该数集
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以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记 作U (a ).
设a与是两个实数 , 且 0.
开区间(a- ,a+ ) {x |x a | }称为点a的 邻域 ,记作U(a, ),即
U(a, ) {x a x a }.
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
集合X 称为映射f 的定义域,记作Df .而X中所有元素 的像组成的集合称为映射f 的值域,记作Rf 或f ( X ),即
A与B的差集(简称差)
A \ B {x | x A,且x B}
设I是全集(或基本集), A是I的子集.
A的余集(或补集) Ac I \ A
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集合的并、交、余运算满足以下法则 设A、B、C是任意三个集合，则有：
(1)交换律 A B B A, A B B A; (2)结合律 ( A B) C A (B C ),
定义 设X ,Y是两个非空集合,如果存在一个 法则 f ,使得对X中每个元素x,按法则 f ,在Y中有唯 一确定的元素 y与之对应,则称 f 为从X到Y的映射. 记作
f : X Y
其中y称为元素x(在映射f 下)的像,记作 y f ( x).
元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像.
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a
a
a x
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点a的 邻域去掉中心a后,称为点a的去心 邻域,记作U(a, ).
U(a, ) {x 0 x a }.
a
a
a x
开区间(a- ,a)称为a的左 邻域. 开区间(a,a )称为a的右 邻域.
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二、映射
1. 映射概念