选修4-4极坐标与参数方程全套ppt课件
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人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 选修4—4 坐标系与参数方程 第1节 极坐标方程与参数方程
=
=
2
,
1+ 2 (t
4
1+ 2
为参
数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极
坐标方程为 2ρcos θ+ 3ρsin θ+11=0.
(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
1- 2
解:(1)因为-1<1+ 2
0
参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0,y0)的数量,即|t|=|0 |,t 可正,
可负.使用该式时直线上任意两点 P1,P2 对应的参数分别为 t1,t2,则|P1P2|=
1
|t1-t2|,P1P2 的中点对应的参数为2(t1+t2).
= + cos,
(2)圆的方程(x-a) +(y-b) =r 的参数方程为
5.曲线的参数方程的
应用
6.极坐标方程的应用
强基础•固本增分
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
' = ·, > 0,
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作
' = ·, > 0
用下,点P(x,y)对应到点P'(x',y'),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
化简得ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
即☉C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,
又由直线 l 的极坐标方程是
π
θ= (ρ∈R),可得直线
4
(2)设点 A,B 的极坐标分别为
高三数学精品课件： 选修4-4 坐标系与参数方程
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[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
1．椭圆 C 的参数方程为
x＝5cos φ， y＝3sin φ
(φ
为参数)，过左焦
点
F1
的直线
l
与
C 相交于 18
A，B
两
点，则|AB|min＝___5_____.
由yx＝＝35scions
φ， φ
(φ 为
参数)得，2x52 ＋y92＝1，
将 ∴xy＝＝直 t1－＋2线－1t2＋3＝l t的，2－t参2(，数t 为t方1t参2程＝数代－)，入74曲，y线2＝C4x的，极整坐理标得方4程t2＋为8ρt－sin72＝θ＝0，4cos
θ.设直线 l ∴ |AB| ＝
与－曲3线2＋C 2相2 |t交1 －于t2A| ＝，B1两3 ×点，t则1＋|At2B2|＝－_4_t1_t2_1＝_4_3__1.3
－圆4心sinCθ的相坐交标于为A(1，，B－两2)点，，半若径|ArB＝|＝52，3所，以则圆实心数Ca 到的直值线为
_的_－_距_5_离或__为－__|11_＋__2．＋a|＝ 2
r2－|A2B|2＝ 2，解得 a＝－5 或 a
＝－1.故实数 a 的值为－5 或－1.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
解析：∵ρsin2α－4cos α＝0，∴ρ2sin2α＝4ρcos α， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x. 由xy＝＝22tt，＋1， 消去 t，得 x＝y＋1. ∴直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0. 点 M(1,0)在直线 l 上，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
人教版高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》1ppt课件
C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，
D2cosπ3＋32π，2sinπ3＋32π， 即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－
3)，D(
3，－1)．
(2)设 P(2cos φ，3sin φ)， 令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1， 所以 S 的取值范围是[32,52]．
答案 2
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
• 即x2＋y2－2y－4x＝0.
• 答案 x2＋y2－4x－2y＝0
3
．
在
极
坐
标
系
中
，
以
a2，2π
为
圆
心
，
a 2
为
半
径
的
圆
的
方
程
为
________________．
解析 利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为 ρ＝asin θ.
答案 ρ＝asin θ
4．在极坐标系中，曲线 ρ＝2sin θ 与 ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的交点 的极坐标为________． 解析 由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为 x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1， 联立xx＝ 2＋－y21＝，2y，
优质实用课件精选选修4-4极坐标与参数方程全套课件
7、 , R
6
8、 sin 2 cos 1
4、 2sin 5、 2 cos 6、 2 2 cos 8 0
9、 sin( ) 2
42
10、 sin( ) 1
6
➢ 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线cos sin a 与圆 2cos相切，则a _____.
当然，非标准形式下
x y
x0 y0
at 你能推的到吗？ bt
(t1 t2 )2 4t1t2
| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
三种坐标系下的弦长问题----各具优势与特点
直线为参数方程标准形式、曲线为普通方程
非标准形式下弦长公式| AB | a2 b2 (t1 t2 )2 4t1t2
cos s in
(为参
数)，过点(0, 2)且倾斜角为的直线l与圆O交于A, B两点
(1)求的取值范围
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程
近三年高考真题
【2017全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为xy
3 c os s in
(为参
数)，直线l的参数方程为xy
a 4t(t为参数) 1t
近三年高考真题
【2018全国1卷22题】
在直角坐标系中，曲线C1的方程为y k | x | 2.以坐标 原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2
的极坐标方程为 2 2cos 3 0
(1)求C2的直角坐标方程 (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程
近三年高考真题
【2018全国2卷22题】
选修Байду номын сангаас-4极坐标及参数方程
高中数学课件-2015-2016学年人教A版选修4-4 极坐标系 课件(20张)
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
4
.
办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
4
.
办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
2023最新整理收集 do
something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
感 谢 阅
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)(2)精选教学PPT课件
∴直角坐标方程为 x2＋y2＝4ay. (2)把方程变形为 ρ2＝9(ρcos θ＋ρsin θ )， ∵ρ 2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x，ρ sin θ ＝y， ∴直角坐标方程为 x2＋y2＝9(x＋y)． 答案：(1)x2＋y2＝4ay (2)x2＋y2＝9(x＋y)
4．(1)直角坐标方程x＋y－2＝0化为极坐标方程是________；
2
（3）直线 l 过点 P a, 且与极轴平行，则直线 l 的极坐标方程为 sin 2
a
0
题型一 求简单的极坐标方程
解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ )，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， 解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， π π |AP|＝5，∠AOP＝ － θ 或 . θ － π π 3 p A － 3 . |AP|＝5，∠AOP＝ －θ 或θ 3 3 π 82＋ρ2－52 82＋ρ2－52 π 由余弦定理，得 cos －θ＝ . 由余弦定理，得 cos － . θ＝ 3 2 × 8 ρ 2×8ρ 3 π π ＋ 39 ＝ 为所求的极坐标方程． ＋ 即 ρ －16ρcosθ 39 ＝ 00为所求的极坐标方程． － － θ 33
2 2 即 ρ －16ρcos
＋ 39 ＝ 0 ＋ 答案：ρ －16ρcosθ－ 39 ＝ 0 3 3
π ，半径为 5 的圆的方程． 例 1 在极坐标平面上，求圆心A8， π 3 ，半径为 例 1 在极坐标平面上，求圆心 A8， 5 的圆的方程． 3
3π sin －θ 4
＝
. 7π sin 12
ρ
选修4-4极坐标课件
极坐标函数的图像可以转化为 直角坐标函数的图像，通过极 坐标到直角坐标的转换实现。
极坐标函数的图像可以通过观 察其形状、对称性、周期性等 特征来理解其性质。
03 极坐标方程
极坐标方程的定义与特点
01
02
03
极坐标系
极坐标系是一种平面坐标 系，其中每个点由一个距 离和一个角度确定。
极坐标方程定义
在极坐标系中，曲线可以 用极坐标方程表示，形式 为$rho = f(theta)$或 $theta = g(rho)$。
利用极坐标的对称性进行积分 计算
利用极坐标的参数方程进行积 分计算
极坐标中的积分应用实例
01
02
03
04
利用极坐标的面积公式 计算圆环的面积
利用极坐标的体积公式 计算球体的体积
利用极坐标的线积分公 式计算电场线的长度
利用极坐标的曲面积分 公式计算球面的面积
05 极坐标在几何中的应用
极坐标在平面几何中的应用
极坐标系中的函数性质
极坐标函数描述了极坐标系中点与原点的距离和射线与正x轴的角度之间的关系。 极坐标函数的性质可以通过其直角坐标函数的性质来推断，如奇偶性、周期性等。
极坐标函数可以用于解决一些物理问题，如电场、磁场等。
极坐标系中的函数图像
极坐标函数的图像是极坐标系 中的点集，可以通过描点法或 参数方程法绘制。
通过极坐标研究旋转体的体积，可以简化计算过程。
球面和圆锥面的方程
在极坐标下，球面和圆锥面的方程可以表示为ρ和θ的函数。
空间曲线的方程
通过极坐标，可以更方便地表示和研究空间曲线的方程。
极坐标在解析几何中的应用
参数方程
参数方程是极坐标的一种表现形 式，可以用来表示和研坐标中，可以对ρ和θ进行微 积分运算，简化计算过程。
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该方程即为直线参数方程的标准形式
其中，M 0 (x0, y0 )表示直线上的一个已知点，
t表示任意一点到M
的距离，
0
则表示直线的倾斜角，它的范围是[0, )
16
➢ 随堂演练----求直线参数方程标准形式
1、已知直线过A(2,3)，且倾斜角为
4 2、已知直线过B(1,2)，且斜率为2
3、已知直线过C(0,1)，且斜率为 3 2
标准形式
19
➢ 直线参数方程----非标准形式化为标准形式
1、xy
3 2t 1 t
2、xy
1t 5
3t
3、xy
3 t 4 3t
4、xy
3 4t 2t
9、过A(2,4), 斜率k 2
10、过A(1,2),斜率k 2 3
20
圆锥曲线参数方程----约定形式
圆：(x a)2 ( y b)2 r 2
【2017天津，理11】
在极坐标系中，直线4cos( ) 1 0
6
与圆 2sin的公共点个数为：_______
10
➢ 随堂演练----高考真题
【2018江苏卷21C】
在极坐标系中，直线l的方程为 sin( ) 2,
6
曲线C的方程为 4cos，求直线l被曲线C截得的弦长.
11
➢ 随堂演练----高考真题
3
3
3
极坐标下特殊直线与圆的方程
试用极坐标表示下列图形的方程
r2
3
3
过极点的射线
2
圆心在极点的圆
， R
3
过极点的直线
4
➢ 随堂演练----特殊方程
说出下列极坐标方程表示的图像
1、 3
2、
4
3、 7
4、 ， R
4
5
极坐标与直角坐标的转化
M (, )
M（x，y）
极坐标系
特点:直角坐标系下的方程，变量为x,y
x
t
3 2
y t
x t y 2t 3
14
➢ 参数方程与普通方程互化----消参是核心思想
将下列参数方程化为普通方程
1、x 2t 2 1 y t 1
4、xy
sin t 1 cost 3
2、xy
t 1 2t 2
3
5、x
y
t
t
1 t
1 t
选修4-4极坐标及参数方程
——陈俊锋
1
极坐标的定义
极径
o
M
我们如何表示极坐标平 面上的一个点M
极角
极点
极轴
因此M点在极坐 标平面的坐标表
示为M( , )
其中规定：
[0,); R
2
➢ 随堂演练----极坐标认识
在极坐标系中作出下列各点
A(1, ) B(1, ) C(2, 2 )
3
2
3
D(2, ) E(3, 4 ) F (3, 5 )
3、xy
sin t 2 c ost
6、xy
et et
பைடு நூலகம்
et et
15
直线的参数方程----标准形式
直线l 一那般么来说直，已线知几上个的条件任能确意定一一条点直线可以两点表示为：
一点一斜率或倾斜角
t
M(x, y) x x0 t cos y y0 t sin
O
M 0 (x0 , y0 )
7
➢ 随堂演练----线的互化
将下列直角坐标方程转化为极坐标方程
1、y x
6、x2 y2 1
2、y 3x 3、y x 1 4、y 1 5、x 2
7、(x 1)2 y2 1 8、x2 y2 4 y 0 9、x2 ( y 1)2 4
8
➢ 随堂演练----线的互化
将下列极坐标方程转化为直角坐标方程
的坐标x,
y都是某个变数t的函数xy
f (t)并且对于t的 g (t )
每一个允许值，上式所确定的点M (x, y)都在这条曲线
上，则称上式为曲线的参数方程，其中变数t称为参数
13
一般参数方程----认识
x t 2 1
y
2t
2
1
错误
参数方程形式不唯一
y 2x 3
x 2t 1
y
4t
1
普通方程
4、已知直线的普通方程为y 3x 4 5、已知直线普通方程为x 1 6、已知直线普通方程为y 1
17
直线参数方程----标准与非标准形式
x 2 3t y 1 2t
x 2
3t 13
y 1
2
t
13
结论：同比例的改变参数方程 中t的系数不会改变普通方程
1、试求出两个参数方程的普通方程
x 2 3 2x 4 3y 3 y 1 2 即，2x 3y 7 0
18
直线参数方程----非标准形式化为标准形式
b0
x x0 at
y
y0
bt
非标准形式
b0
x x0
y
y0
a t
a2 b2 b t
a2 b2
x x0
a t
a2 b2
y
y0
bt a2 b2
【2018全国一卷】 在直角坐标系中，曲线C1的方程为y k x 2. 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C2的极坐标方程为 2 2 cos 3 0.
(1)求C2的直角坐标方程. (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1方程
12
参数方程的定义
定义：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点
椭 圆 ：x 2 a2
y2 b2
1
x a r cos
y
b
rsin
双 曲 线 ：x 2 a2
y2 b2
1
抛物线：y2 2 px
x
a
cos
y b tan
x a cos y bsin
t2 x 2p
y t
21
➢ 随堂演练----求圆锥曲线参数方程
1、(x 1)2 ( y 2)2 16 3、x2 y2 4x 2 y 0
2、(x 2)2 ( y 4)2 25 4、x2 y2 2 y 0
1、 3 2、 4sin 3、 2cos 4、 2 2cos 3 0
1、x2 y2 1 49
1、 1 2、sin 1 3、cos 1 4、 2sin 5、 2 cos 6、 2 2 cos 8 0
7、 , R
6
8、 sin 2 cos 1
9、 sin( ) 2
42
10、 sin( ) 1
6
9
➢ 随堂演练----高考真题
【2018北京卷10】
在极坐标系中，直线cos sin a 与圆 2cos相切，则a _____.
x cos
y
sin
x2 y2 2
y x
tan
(x
0)
直角坐标系
两个坐标系下坐标有什么关系？
6
➢ 随堂演练----点的互化
1、将下列极坐标转化为直角坐标
A(1， )
3
B(2，3 ) C(4， )
2
6
2、将下列直角坐标转化为极坐标
D(2,0) E(1, 3) F(1,1) G(0,1)