2 二次函数零点的分布专题训练

二次函数零点的分布专题训练一、单选题1．若方程2(1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．43k <B ．43k >C ．43k <，且1k ≠ D ．43k >，且1k ≠ 2．已知函数()2xe f x x=（其中无理数 2.718e =⋅⋅⋅），关于x 的方程λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ）A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭3．已知函数()10,0 lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，函数()()()()24g x f x f x t t R =-+∈，若函数()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．[)3,4B ．[)lg5,4C ．[){}3,4lg5⋃D ．(]3,4-4．设ln ,0()2020,0e xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，2()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m <B ．1m <C ．2m >D ．1m5．函数()()23xf x x e =-，关于x 的方程()()210fx mf x -+=恰有四个不同实数根，则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2B ．()2,+∞C ．3360,6e e⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭6．已知()e xf x x =，又2()()()1()g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ B ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭7．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13(3,)4B ．(2,3)C ．4(,4)3D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4二、填空题9．21()4f x x b =+-+（,a b 是正实数）只有一个零点，则ab 的最大值为_____． 10．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是____________．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，则m 的取值范围为________．12．已知函数()cos f x x x =+，若方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，则实数a的取值范围为__________.13．函数()f x 满足21,0(),0x x x f x e e x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，若方程22[()]2()20f x mf x m -+-=有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_______________．三、解答题14．若函数235y x x a -=+的两个零点分别为12,x x ，且有1220,13x x -<<<<，试求出a 的取值范围．15．关于x 的方程4(3)20x xm m +-⋅+=有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围.16．已知函数21()2f x x mx m =-+在区间(0,4)上有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．17．试讨论当实数k 取不同值时，关于x 的方程()22121x x k --+=的解的个数．参考答案1．C 【解析】 【分析】由题意可得()1041210k k -≠⎧⎨∆=-->⎩，从而可求出实数k 的取值范围.【详解】解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得()1041210k k -≠⎧⎨∆=-->⎩ ，解得43k <，且1k ≠. 故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了1k ≠这一条件. 2．C 【解析】 【分析】利用导数研究()f x 的单调性和极值，由此画出()f x 的图像.令()t g x ==λ=有四个不等的实根转化为210t t λ-+=在0,,,22e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得λ的取值范围. 【详解】依题意可知函数()2x e f x x =的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.且()()'32x e x f x x-=.所以()f x 在()(),0,2,-∞+∞上递增，在()0,2上递减，且()224e f =，由此画出()f x 的图像如下图所示.令()t g x ==()t x g =的单调性与()f x 相同，且()22e g =.关于xλ=有四个不等的实根，所以1t tλ+=，即210t t λ-+=在0,,,22e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上各有一实根.令()()21,010h t t t h λ=-+=>，所以02e h ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即21042e eλ-⋅+<，所以22e e λ>+.所以实数λ的取值范围是2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 3．A 【解析】 【分析】做出()f x 的图象，判断()f x m =的根的情况，根据()0g x =的根的个数判断240m m t -+=的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t 的范围.【详解】解：作出函数()10,0lg ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图，令()f x m =，则()0g x =化为240m m t -+=， 由图象可知当m 1≥时，()f x m =有两解，∵()g x 有四个零点，∴240m m t -+=在[1，＋∞）有两个不等实数根，∴2164021140t m t ∆=->⎧⎪>⎨⎪-+≥⎩，解得34t ≤<， ∴实数t 的取值范围是[)3,4. 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题. 4．A 【解析】 【分析】求函数()f x '，研究函数的单调性和极值，作出函数()f x 的图象，设()t f x =，若函数()g x 恰有4个零点，则等价为函数2()(21)2h t t m t =---恰有两个零点，且满足1t <，利用一元二次方程根的分布进行求解即可． 【详解】解：当0x >时，2(1)()e lnx f x x -'=， 由()0f x '>得：10lnx ->，解得0x e <<， 由()0f x '<得：10lnx -<，解得x e >，即当x e =时，函数()f x 取得极大值，同时也是最大值，()1f e =， 当x →+∞，()0f x +→， 当0x +→，()f x →-∞， 作出函数()f x 的图像如图，设()t f x =，则2()()(21)()2g x f x m f x =---，等价为2()(21)2h t t m t =---，函数()g x 恰有4个不同的零点等价于2()(21)2h t t m t =---有两个零点，且1t <， 因为2()(21)2h t t m t =---过定点()0,2-，开口朝上， 所以只需2(1)1(21)1220h m m =--⨯-=->，即0m < 故选：A 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求函数的导数，研究函数的()f x 的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题． 5．D 【解析】 【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论210t mt -+=的根的情况，结合根的分布求解. 【详解】()()()()22331x x x x e x f e x x =+-=+-'，令()0f x '=，得3x =-或1x =，当3x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(),3-∞-上单调递增，且()0f x >; 当31x -<<时，()0f x '<，函数()f x 在()3,1-上单调递减; 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 所以极大值()363f e -=，极小值()12f e =-，作出大致图象：令()f x t =，则方程210t mt -+=有两个不同的实数根， 且一个根在360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一个根在36,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，或者两个根都在()2,0e -内.因为两根之和m 为正数，所以两个根不可能在()2,0e -内. 令()21g x x mx =-+，因为()010g =>，所以只需360g e ⎛⎫<⎪⎝⎭，即6336610m e e -+<，得3366e m e >+，即m 的取值范围为336,6e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数()()23x f x x e =-图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.6．A 【解析】 【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围. 【详解】,0()e ,0x xxxe x f x x xe x ⎧≥==⎨-<⎩， 当x ⩾0时,()0x xf x e xe'=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数；当x <0时,()(1)xxxf x e xe e x '=--=-+，由f ′(x )=0,得x =−1,当x ∈(−∞,−1)时,f ′(x )=−e x (x +1)>0,f (x )为增函数， 当x ∈(−1,0)时,f ′(x )=−e x (x +1)<0,f (x )为减函数， 所以函数f (x )=|xe x |在(−∞,0)上有一个最大值为1(1)f e-=， 则函数()f x 的大致图象如图所示：令f (x )=m ,要使方程f 2(x )−tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根， 则方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内. 再令h (m )=m 2−m +1,因为h (0)=1>0,则只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即21110t e e⎛⎫-⋅+< ⎪⎝⎭，解得21e t e +>. 故选A. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D 【解析】 【分析】根据题意，作出函数()f x 的图象，令()f x t =，()23g t t t a =-+，结合函数()f x 的图象可知，只需函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出实数a 的取值范围即可. 【详解】根据题意，作出函数()f x 的图象如图所示：令()f x t =，由图可知，关于t 的方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不等的实数根， 令()23g t t t a =-+，则函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，所以()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得924<<a ，所以实数a 的取值范围为924<<a .故选：D 【点睛】本题考查分段函数图象的作法、一元二次方程根的分布问题及一元二次函数的性质；考查数形结合思想、换元思想和运算求解能力；正确作出函数()f x 的图象和熟练掌握一元二次函数的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题. 8．B 【解析】 【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈， 设2()23g t t at a =-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B. 【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 9．116【解析】 【分析】先由二次函数零点个数，得到21404b ⎛⎫∆=--+= ⎪⎝⎭，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为二次函数21()4f x x b =+-+（,a b 是正实数）只有一个零点，所以21404b ⎛⎫∆=--+= ⎪⎝⎭，即41a b +=，所以21141444216a bab a b+⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⎪⎝⎭，当且仅当142a b==时，等号成立.故答案为：1 16.【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式，以及二次函数的零点个数问题即可，属于常考题型.10．12 (,) 23【解析】设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，由题意知()()()001020fff⎧>⎪<⎨⎪>⎩即210320410kkk->⎧⎪-<⎨⎪->⎩解得12<k<23.答案为：12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于x轴的交点个数；四是，区间端点值.11．190 3m-<<【解析】【分析】由{(4)0mf><或{(4)0mf<>时，可求得结果．【详解】设2()2(3)214f x mx m x m =++++,则当0{(4)0m f ><或0{(4)0m f <>时,符合题意， 即2042(3)42140m m m m >⎧⎨⨯++⨯++<⎩，解得>01913m m ⎧⎪⎨<-⎪⎩，所以此时无解； 或2042(3)4214>0m m m m <⎧⎨⨯++⨯++⎩，解得019>13m m <⎧⎪⎨-⎪⎩，所以1903m -<<； 故答案为：1903m -<<. 【点睛】本题主要考查了函数与方程根的问题，关键运用二次项的系数与特殊点的函数值的正负的关系，属于中档题.12．()【解析】【分析】先判断()f x 的性质，结合方程()()230f x af x -+=有四个不等实根，可求实数a 的取值范围. 【详解】因为()cos ()f x x x f x -=+=，所以()f x 为偶函数；当0x ≥时，()1sin 0f x x '=-≥，()f x 为增函数，所以()(0)1f x f ≥=；()()230f x af x -+=有四个不等实根，即()11f x >，()21f x >，且()()12f x f x ≠，则013012a a ⎧⎪∆>⎪-+>⎨⎪⎪>⎩，解得4a <，即实数a的取值范围为(). 【点睛】 本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.13．1m <≤1m >m =【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的个数，利用函数与方程之间的关系转化为二次函数，利用根的分布进行求解即可.【详解】解：当0x >时，函数22(1)()x x x e x e e x f x x x '--==， 则当1x >时，()0f x '>，函数为增函数，当01x <<时，()0f x '<，函数为减函数，即当1x =时函数取得极小值，同时也是最小值(1)0f e e =-=，画出的图象如图所示，设()t f x =，则二次方程等价为22220t mt m -+-=，设22g ()22t t mt m =-+-，要使方程22[()]2()20f x mf x m -+-=，有4个不相等的实数根，等价为方程22220t mt m -+-=有两个根，一个根1(0,1]t ∈内，一个根2(,0)t ∈-∞或者21(1,,)t t ∈+∞或210,(1,)t t ∈+∞=, 当1(0,1]t ∈，2(,0)t ∈-∞时，22(0)20(1)1220g m g m m ⎧=-<⎨=-+-≥⎩，解得1m <≤当21(1,,)t t ∈+∞时，()()2222420212(1)1220m m m g m m ⎧∆=-->⎪⎪-->⎨⎪=-+->⎪⎩，解得：1m >+当210,(1,)t t ∈+∞=时，2g (0)20m =-=，解得m =，将m =22220t mt m -+-=得20t ±=，则t =符合，即m =符合，综合得1m <≤1m >+m =.故答案为：1m <≤1m >m =. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用换元法转化为一元二次函数，利用根的分布是解决本题的关键.注意利用数形结合.14．120a -<<.【解析】【分析】根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围．【详解】令()235f x x x a -=+， 则(2)0(0)0(1)0(3)0f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩得a 的取值范围是120a -<<．故实数a 的取值范围为120a -<<.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．15．(0,1)【解析】【分析】利用换元法转化为一元二次方程根的问题，结合判别式与韦达定理即可求解.【详解】令2,0x t t =>，则关于x 的方程4(3)20x xm m +-⋅+=有两个不相等的实数根即为关于t 的方程2(3)0t m t m +-⋅+=有两个不相等的正实数根，所以()2340,30,0,m m m m ⎧∆=-->⎪-<⎨⎪>⎩解得01m <<，所以实数m 的取值范围为(0,1).【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查换元法与转化思想，属于基础题. 16．322,7⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数的零点分布结合草图建立不等式组即可得解.【详解】根据题意，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且其横坐标都在区间(0,4)内，如图，要得到这样的函数图像，则m 应该满足不等式组：220,04,21(0)0,21(4)1640.2m m m f m f m m ⎧∆=->⎪⎪<<⎪⎪⎨⋅=>⎪⎪⎪=-+>⎪⎩解不等式组，得3227m <<． 所以，实数m 的取值范围是322,7⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】此题考查二次函数零点的分布问题，一般用数形结合的思想来解决，将图中抛物线的开口方向、与x 轴的交点个数、对称轴的位置、特殊的点的位置转化成若干个不等式组成的不等式组来解，得到所求的取值范围．17．（1）当2k 或14k =-时，方程有1个解；（2）当124k -<<时，方程有2个解；（3）当14k <-时，方程无解 【解析】【分析】首先换元，令2x t =，将方程转化为关于t 的一元二次方程，然后再利用二次函数零点分布即可求解.【详解】关于x 的方程()22121x x k --+= 令2x t =，0t >，则()211t t k --+=，即2320t t k -+-=，令()232f t t t k =-+-，对称轴32t =， 当()020f k =-≤，即2k ≥时，函数只有一个正零点，即方程只有1个解；当0∆=，即()()23420k ---=，解得14k =-， 此时函数只有一个正零点，即方程只有1个解；当()000f ∆>⎧⎨>⎩，即()()2342020k k ⎧--->⎪⎨->⎪⎩ ，解得124k -<<， 此时函数有两个正零点，即方程有2个解；当∆<0时，即()()23420k ---<，解得14k <-， 此时函数无零点，即方程无解；综上所述，当2k 或14k =-时，方程有1个解； 当124k -<<时，方程有2个解； 当14k <-时，方程无解. 【点睛】本题考查了函数与方程、二次函数的零点分布、根据参数的取值范围确定方程根的个数，考查了转化与化归的思想，属于中档题.。