2019山西中考数学一轮课件第14讲二次函数的综合应用
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2019年中考数学全国通用复习讲义§3.5 二次函数的综合应用(讲解部分)
考点一㊀ 抛物线与距离㊁面积㊁角度
（３） 当线段不平行于坐标轴时，常过线段的端点作坐标轴的
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
＝ ③㊀
１ 如图，作 ＣＤʊｙ 轴，则 Ｓ әＡＢＣ ＝ Ｓ әＡＣＥ ＋ Ｓ әＢＣＥ ＝ ＣＥ （ ＡＮ ＋ ＢＭ ） ２ １ （ ｙ －ｙ ） （ ｘＢ －ｘＡ ） ㊀ ． ２ Ｃ Ｅ
㊀ ㊀ 用顶点的坐标表示图形的边长， 利用全等 （ 或相似 ） 三角形 不要漏解．
考点三㊀ 抛物线与全等三角形㊁相似三角形
的对应边相等（ 或成比例） 解答问题，注意分类讨论思想的应用，
㊀ ㊀ 主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题． 一般步骤： （２） 确定自变量的取值范围； （３） 分析所得函数的性质； （４） 解决提出的问题．
考点四㊀ 二次函数在实际生活（ 生产） 中的应用
（１） 先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；
２
Ｃ，连接 ＢＣ 交抛物线的对称轴于点 Ｅ，Ｄ 是抛物线的顶点． （１） 求此抛物线的解析式； （２） 求出点 Ｃ 和点 Ｄ 的坐标； Ｐ 点坐标． 为 －
２
＝ － ｘ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 与 ｘ 轴交于点 Ａ（ －１，０） 和点 Ｂ （ ３，０） ， 与 ｙ 轴交于点
2019年人教版中考数学《二次函数的综合应用》复习课件
25 答案 (1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-3) + . 9 16 16 2 25 ∵点A =a(0-3) + , 0, 在此抛物线上,∴ 9 9 9 1 解得a=- . 9 1 2 25 ∴抛物线的函数表达式为y=- (x-3) + . 9 9
2
(2)有危险.理由如下:
1 (3)令y=8,解方程- (x-6)2+10=8, 6
得x1=6+2 3 ,x2=6-2 3, x1-x2=4 3.
答:两排灯的水平距离最小是4 3 m.
名师点拨 本题的解题技巧是转化,如在(2)中,把集装箱的宽度为4米转化为
货运汽车最外侧与地面OA的交点为坐标(2,0)或(10,0),然后求抛物线上x=2时 的y值,则问题进一步转化为比较此时的y值与6 m(集装箱的高度)的大小,至此 即可得到“能否通过”的答案.
答案
1 b c 0, b 2, (1)将A,B点的坐标代入y=-x +bx+c,得 解得 4 2b c 3, c 3.
2
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x-1)2+4,
∴D(1,4),C(0,3). 作点C关于直线x=3的对称点C',则点C'的坐标为(6,3). 连接C'D,C'D交直线x=3于M点,连接MC,此时MC+MD的值最小,如图所示.
∴拱顶D到地面OA的距离为10 m.
(2)根据题意,货运汽车最外侧与地面OA的交点坐标为(2,0)或(10,0),
1 2 22 1 2 22 当x=2或x=10时,y=- ×2 +2×2+4= 或y=- ×10 +2×10+4= . 6 3 6 3 22 ∵ m>6 m 3
2019中考数学第一轮复习 第3章第13讲 二次函数的应用(共40张PPT)
变式运用►1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对 称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与 x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和 抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M 到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M 的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动 点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第三章 函数及其图象 第13讲 二次函数的应用
考点梳理 考点 二次函数的应用
最值问题
根据实际意义列出二次函数关系式，并利用 二次函数求解实际生活中的最值问题
函数问题 几何问题
与方程(组)、其他函数及不等式的综合，涉 及二次函数与方程(组)及不等式的关系，需 综合应用各个数学工具，解决实际问题
与几何图形的综合，需要综合应用几何图形 的有关性质、图形变换的规律及动点问题的 处理方法
∵B(0， 3)，O(0，0)，
3 ∴直线 l 的表达式为 y＝ 2 .将其代入抛物线的表达式，
得－ 33x2＋2 3 3x＋ 3＝ 23，
10
10
解得 x1＝1＋ 2 ，x2＝1－ 2 .
10 3
10 3
∴P1(1－ 2 ， 2 )或 P2(1＋ 2 ， 2 )．
(3)如图 3，作 MH⊥x 轴于点 H.设 M(xm，ym)，
是(x，0)．
∴MN＝PN－PM
＝－54x2－147x＋1－(－12x＋1)
＝－54x2－145x
＝－54(x＋32)2＋4156，
3
45
∴当 x＝－2时，MN 的最大值为16.
1
1
S△ABC＝2AB·OC＝2×6×4＝12.
中考数学复习课件：二次函数的综合应用(共21张PPT)
∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，
������������ ������������ ∴△DEM∽△BOC，∴ = ， ������������ ������������ 4 ∵OB=4，OC=3，∴BC=5，∴DE= DM 5 3 12 3 12 ∴DE=﹣ a2+ a=﹣（ （a﹣2）2+ ， 5 5 5 5 12 当 a=2 时，DE 取最大值，最大值是 ， 5
∵点 B（4，1），直线 l 为 y=﹣1， ∴点 B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线 AB′的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 将 A（1， ）、B′（4，﹣3）代入 y=kx+b，得：
，解得：
，
∴直线 AB′的解析式为 y=﹣
x+
，
当 y=﹣1：x=
，
∴点 P 的坐标为（
【例3】如图，在平面直角坐标系 ∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经 过A、B两点． （1）求抛物线的解析式；
解题过程 （1）∵B（1，0）， ∴OB=1， ∵OC=2OB=2， ∴C（﹣2，0）， Rt△ABC中，tan∠ABC=2
当x=-0.75时y=6.625即M2（-0.75,6.625）
例4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c
与x 轴的两个交点分别为A（3，0），D（－1， 0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上， 且OB＝OD（1）求抛物线的解析式
解：（1）把A（3，0），D（﹣1，0）代入
y=﹣x2+bx+c得到， 解得，
K
E D
解：S△ABP=
PE×BC =
△APE △BPE=
中考数学专题复习课件 --- 第十四讲二次函数
结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
以下特点： 1.命题方式为二次函数解析式的确定,二次函数的图象与 性质的应用,判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方 程,二次函数的实际应用,题型多样,涉及了选择题、填空题与 解答题.
2.命题的热点为二次函数解析式的求法、二次函数的实
际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用.
3.(2011·凉山中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
反比例函数 y a 与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图
x
象是(
)
【解析】选B.由二次函数图象可知，a<0,c>0,
b 0, 2a
∴b<0.a<0,说明反比例函数图象在二、四象限，b<0，说明正 比例函数图象经过二、四象限，所以选B.
方法二：∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000.
∵x≤32，∴30≤x≤32时，w≥2 000.
∵y=-10x+500, k=-10<0, ∴y随x的增大而减小. ∴当x=32时，y最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小，成本越小，
∴20×180=3 600(元).
二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以通过配方得
2 b 2 4ac b 2 到: y a(x ) ,其中抛物线的顶点为 ( b , 4ac b ), 2a 4a 2a 4a 对称轴方程为直线 x b . 2a
2.已知一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，要求其图象关于x轴 对称、y轴对称的函数解析式时,应先把原函数的解析式化成 y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,然后考虑所求图象的顶点坐标、
(山西专用)2019中考数学一轮复习 第三单元 函数 第14讲 二次函数的综合应用课件
∴当 P D = P B时,△PDB∽△BOA,即 =a ,解5 得a=-2,此时抛物线解析式为y
BO BA
=-2x2+2x+4;
4 25
当 P D = P B时,△PDB∽△BAO,即 = a ,解5 得a=- ,此5 时抛物线解析式为y=-
BA BO
25 4
2
5 x2+3x+4.
2
综上所述,满足条件的抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4或y=- 5 x2+3x+4.
2
2
学法提点 本题考查了二次函数综合应用,解(1)问的关键是利用待定系数法求函数
解析式;解(2)问①的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的 纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数,又利用了二次函数的性质;解(2)问② 的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程,要分类讨论,以防遗漏.
考点二 二次函数中的分类讨论问题(5年5考)
=-2× 12 +4=3,则点N的坐标为 12 , 3.
②不存在.理由如下:MN= 9 -3=3 ,假设存在满足题意的点P,
22
设P点坐标为(m,-2m+4),则D(m,-2m2+2m+4),
∴PD=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,
∵PD∥MN,
∴当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即-2m2+4m= 3 ,
当x=1时,y=-2x+4=2,则P(1,2),
∴PB= 1=2 (,24)2 5
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4(a≠0), 把A(2,0)代入得4a+2b+4=0, 解得b=-2a-2, ∴抛物线的解析式为y=ax2-2(a+1)x+4, 当x=1时,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,则D(1,2-a),∴PD=2-a-2=-a, ∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA,
中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第14课时 二次函数的图象与性质(二)课件0
∴5a-2b+c=-a+c>0,∴结论③正确;
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
根据抛物线的轴对称性可知抛物线与 x 轴的右交点在原点与(1,0)之间(不含这两
1
4
点),∴当 x=1 时,y=a+b+c<0.∵a=3b,∴3b+c<0,∴4b+3c<0,∴结论④错误.
故选 A.
2. [2019·鄂州]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-7所示,对称轴是直线x=1.下
∴b2-4ac>0,∴①正确;
∵抛物线的对称轴为直线 x=1,而点(-1,0)关于直线 x=1 的对称点的坐标为(3,0),
∴方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1=-1,x2=3,∴②正确;
∵对称轴 x=- =1,即 b=-2a,而 x=-1 时,y=0,即 a-b+c=0,∴a+2a+c=0,
A.1
B.2
C.3
图14-6D.4)源自[答案] A3
[解析]根据对称轴-2 =-2得 b=3a,故可得 3a-b=0,∴结论①正确;
∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b2-4ac>0,∴结论②正确;
根据结论①可知 b=3a,∴5a-2b+c=5a-6a+c=-a+c,观察图象可知 a<0,c>0,
特殊关系
当x=-1时,y=⑩ a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0
若a-b+c>0,则当x=⑪ -1 时,y>0
图象的特征
对点演练
题组一
必会题
1.将抛物线y=x2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线
人教版中考数学一轮复习--二次函数的应用(精品课件)
∴易得c＝3，即y＝－ 1 x2＋bx＋3. 4
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
新人教版中考数学第一部分考点研究第三章函数课时14二次函数图象与性质解析式的确定课件
【解析】设抛物线解析式为y＝a(x－2)(x＋1)，∵OC＝2， ∴C点坐标为(0，2)或(0，－2)，把C(0，2)代入y＝a(x－ 2)(x＋1)得a·(－2)·1＝2，解得a＝－1，此时抛物线的解析 式为y＝－(x－2)(x＋1)，即y＝－x2＋x＋2，把C(0，－2) 代入y＝a(x－2)(x＋1)得a·(－2)·1＝－2，解得a＝1，此时 抛物线解析式为y＝(x－2)·(x＋1)，即y＝x2－x－2，即抛 物线解析式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2，故选D.
y＝a(x＋4)(x＋1)，求得a＝1.∴抛物线的解析式为
yx25x4 ，即 y (x 5)2 9 .∵a＝1>0，∴抛物
24 线开口向上；由解析式知对称轴为x＝
5
，当x > 5
2
时，y随x的增大而增大，二次函数的最小值为
9
2 ，由
4
此可判断，只有选项D中的说法是正确的.
练习2 如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与 y轴交于点C，若OC=2，则这条抛物线的解析式是 ( ) A. y= x2-x-2 B. y= -x2-x-2或y=x2+x+2 C. y= -x2+x+2 D. y= x2-x-2或y=-x2+x+2
与x轴的两个交 点坐标
( x1,0),( x2,0)及 另一点
①先将已知解析式化为顶点式 ya(xh)2k
变换后求 解析式
②得出顶点坐标，根据图表的变化求出变化后
的a、h、k ③再将变化后的a、h、k代换原顶点中相应的值
即可得变换后的解析式
得出顶点坐标，根据图表的变化求出变化后的a、h、k
×
C
由抛物线可知，m<0， n
中考数学复习方案 第14课时 二次函数的图象及性质课件
b2－4ac>0
与x轴有两个不同交点
b2－4ac<0
与x轴没有交点
当x＝1时，y＝a＋b＋c
当x＝－1时，y＝a－b＋c
考点聚焦
京考探究
第14讲┃ 二次函数的图象及性质
考点5 二次函数图象的平移 将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成y＝a(x－h)2＋ k(a≠0)的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k均可由抛物 线y＝ax2平移得到，具体平移方法如图14－1：
a>0
a<0
图象
开口 方向 对称轴
顶点坐标
抛物线开口向上，并 抛物线开口向下，并向下无
向上无限延伸
限延伸
直线 x＝－2ba －2ba，4ac4－a b2
考点聚焦
京考探究
第14讲┃ 二次函数的图象及性质
增减性
最值 二次项系 数 a 的特性
(续表)
在对称轴的左侧，即当 x< －2ba时，y 随 x 的增大而减 小；在对称轴的右侧，即
例1 [ 2011·北京]抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( A ) A．(3，－4) B．(3，4) C．(－3，－4) D．(－3，4)
解 析 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴顶点坐标为(3， －4)．
二次函数的图象特征从如下方面进行研究：开口方向，对 称轴，顶点坐标以及增减性，最值，开口大小．有时还关 注一些特殊代数式的值，如a＋b＋c，a－b＋c, 2a＋b等．
考点聚焦
京考探究
第14讲┃ 二次函数的图象及性质
热考三 二次函数图象的变换
例3 [ 2013·昌平二模] 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位， 再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( A )
2019年中考数学第一阶段复习课件：二次函数的综合应用(三)
∵sin∠1=
∴FP1=
Hale Waihona Puke ，OP1=∴点 P1 坐标为（ ，0）
②同理，当圆心 P2 在直线 BC 右侧时， 可求 r2= ，OP2=7 ∴P2 坐标为（7，0） ∴点 P 坐标为（ ，0）或（7，0）
考点梳理
考点五 相似三角形的存在性问题
，
【例2】（2014•东营）如图，直线y=2x+2与x轴交 于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A 落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交 于点D（3，﹣4）． （1）求直线BD和抛物线的解析式； （2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M， 作MN垂直于x轴，垂足为点N， 使得以M、O、N为顶点的三角形 与△BOC相似？ 若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由；
如图 2，当△ BOC∽△ONM 时， ，∴ ，
∴a=
或 ，
， ）或（ ， ） ．
∴M（
∵M 在第一象限， ， ） ；
∴符合条件的点 M 的坐标为（1，2） ， （
考点梳理
考点六 圆和二次函数问题 【例1】(2018•济宁)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0， ﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求 切点M的坐标；
2 2018• y=ax +bx+c（a≠0） 威海）如图，抛物线 【例2】（ 与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C （0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交 于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求点D的坐标； （3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线 DE相切于点R．求点P的坐标；
2025年山西省九年级中考数学一轮复习备考课件：第14讲 二次函数的实际应用
第三单元 函数
第14讲 二次函数的实际应用
课堂精讲
考点 二次函数的实际应用
●销售利润问题
1. (2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科
技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销
售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低
∴当 = 20时，取得最大值，此时S = 800.
即当 = 20时，围成的矩形花圃面积有最大值，最大值为800 m2.
●抛物线型问题
3. (2024·兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水
火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射
后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出的值.
解：令 = 750，则−2 2 + 80 = 750，整理，得 2 − 40 +
375 = 0，
此时，Δ = 2 − 4＝ −40
2
− 4 × 1 × 375 = 1600 − 1500 =
100 > 0，
∴围成的矩形花圃面积能为750m2 .
进一步展开研究.如图2建立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.
科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程
中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的
几组关系数据如下：
水平距离x(m)
0
竖直高度y(m)
0
3
4
3.24 4.16
10
15
20
8
9
8
22
27
可以近似地用公式h ＝ － 5t2 ＋ v0t ＋ h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地
第14讲 二次函数的实际应用
课堂精讲
考点 二次函数的实际应用
●销售利润问题
1. (2024·烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科
技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销
售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低
∴当 = 20时，取得最大值，此时S = 800.
即当 = 20时，围成的矩形花圃面积有最大值，最大值为800 m2.
●抛物线型问题
3. (2024·兰州)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水
火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射
后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们
(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出的值.
解：令 = 750，则−2 2 + 80 = 750，整理，得 2 − 40 +
375 = 0，
此时，Δ = 2 − 4＝ −40
2
− 4 × 1 × 375 = 1600 − 1500 =
100 > 0，
∴围成的矩形花圃面积能为750m2 .
进一步展开研究.如图2建立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面A处.
科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程
中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的
几组关系数据如下：
水平距离x(m)
0
竖直高度y(m)
0
3
4
3.24 4.16
10
15
20
8
9
8
22
27
可以近似地用公式h ＝ － 5t2 ＋ v0t ＋ h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地
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考点二
二次函数中的分类讨论问题(5年5考)
与动点结合,考查综合解决问题的能力,同时渗透分类讨论的思想.
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2.(2018· 湖南衡阳,25,10分)如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B, 抛物线经过A、B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛
作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于
点F.
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(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角 形是等腰三角形.若存在,请 直接 写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
PD PB BO BA
a 5 4 2 5
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PD PB 5 a 5 当 = 时,△PDB∽△BAO,即 = ,解得a=- ,此时抛物线解析式为y=BA BO 2 2 5 4 5 2 x +3x+4. 2 5 2 2 综上所述,满足条件的抛物线的解析式为y=-2x +2x+4或y=- x +3x+4. 2
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点,PH⊥x轴于点H,与BC 交于点M,连接PC.
①求线段PM的长的最大值;
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时,求点P的坐标.
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解析 (1)将A,B,C三点坐标代入函数解析式,得
∴这个二次函数的表达式为y=x2-2x-3. (2)①设BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m, ∠MBQ=45°,
1 2 1 ∴QM=MB=4-m,PM=- m + m+4. 3 3 1 2 1 1 2 4 ∴QP=PM-QM=- m + m+4-(4-m)=- m + m. 3 3 3 3 3 2 3 2 1 2 4 2 2 4 2 m m =- m + m. ∴QF= QP= 7 7 3 7 7 3 2 ∵- <0,∴QF有最大值. 7
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类型一 二次函数中的线段问题
例1(2018· 山西,23,13分)综合与探究
1 2 1 如图,抛物线y= x - x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C, 3 3
连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P
∵-1<0,∴当x=4时,△PBC的面积最大,最大面积是16. ∵0<x<8,∴存在点P,使△PBC的面积最大,最大面积是16.
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学法提点
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系 数法求一次函数解析式以及三角形的面积,解题的关键:(1)利用二次函数的 性质求出a的值;(2)根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式.
图2
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设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4(a≠0),
把A(2,0)代入得4a+2b+4=0, 解得b=-2a-2, ∴抛物线的解析式为y=ax2-2(a+1)x+4, 当x=1时,y=ax2-2(a+1)x+4=a-2a-2+4=2-a,则D(1,2-a),∴PD=2-a-2=-a, ∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA, ∴当 = 时,△PDB∽△BOA,即 = ,解得a=-2,此时抛物线解析式为y =-2x2+2x+4;
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2 ∴PD=- x2+ x+4- = x +2x, x 4
1 3 1 1 4 2 2 4 1 1 1 2 2 2 ∴S△PBC= PD· OB= ×8· =x +8 x =-( x -4) +16. x 2 x 2 2 4
当PM=MC时,(-n2+3n)2=n2+(n-3+3)2,
解得n1=0(不符合题意,舍去),n2=3- 2 , n2-2n-3=2-4 2 ,P(3-2 2 ,2-4 2 ). 综上所述:P(2,-3)或(3- 2 ,2-4 2 ).
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学法提点
本题考查了二次函数综合应用,解(1)问的关键是利用待定系数法求函数 解析式;解(2)问①的关键是利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的 纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数,又利用了二次函数的性质;解(2)问② 的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程,要分类讨论,以防遗漏.
物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.① 求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
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(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的
三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请
说明理由.
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解析 (1)①如图1,
图1
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1 1 9 1 9 , ,将x= ∵y=-2x +2x+4=-2 x + ,∴顶点M的坐标为 代入y=-2x+4,得y 2 2 2 2 2 1 1 ,3 . =-2× +4=3,则点N的坐标为 2 2 9 3 ②不存在.理由如下:MN= -3= ,假设存在满足题意的点P, 2 2
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第14讲
二次函数的综合应用
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考点一 二次函数中的线段问题(5年2考)
与动点结合,用含有变量的关系式表示线段的长,也可以结合自变量的取值范
围,确定线段的最值.
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1.(2018· 贵港)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3, 0)两点,与y轴相交于点C(0,-3).
∴△FGP∽△AOC.
FG GP FG GP 4 3 AO OC 4 FG= 4 × 2 2 FQ. 2 FQ= ∴GP= 3 3 2 3
∴ = ,即 = .
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3 2 2 2 7 2 2 ∴QP=GQ+GP= FQ+ FQ= FQ.∴FQ= QP. 7 3 6 2
3k b 0, k 1, 将B,C的坐标代入函数解析式,得 解得 b 3, b 3,
a b c 0, 9a 3b c 0, c 3,
a 1, 解得 b 2, c 3,
∴BC的解析式为y=x-3,
(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.
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命题亮点
本题考查学生的推理能力,运算能力,几何观能力等,试题开放且综合性强. 解题思路 用含变量的式子表示点的坐标,线段的长度,结合变量的取值范围,确定线段 的最值.
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开放解答
答案 (1)由y=0,得 x2- x-4=0,
2 -5. ∴BQ=4
∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°.
4 2 5 5 2 ∴MQ=MB= =4- , 2 2
5 2 5 2 5 2 , 4 . ∴OM=OB-MB= ,∴点Q的坐标为 2 2 2
当AC=AQ时,如图2,∠AQC=∠ACQ,
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1 3 ∵PN= (3 1) 2 = 5 ,∴PN≠MN, 2 2
2
∴平行四边形MNPD不是菱形, ∴不存在点P,使四边形MNPD为菱形. (2)存在.如图2,OB=4,OA=2,则AB= 22 42 =2 5 , 当x=1时,y=-2x+4=2,则P(1,2),
12 (2 4) 2 = 5, ∴PB=
若存在,请求出△PBC的最大面积;若不存在,试说明理
由.
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解析
3 1 2 ∴- =3,解得a=- , 4 2a
3 (1)∵抛物线y=ax + x+4的对称轴是直线x=3, 2
2
1 2 3 ∴抛物线的解析式为y=- x + x+4. 4 2 1 2 3 当y=0时,- x + x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 4 2
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学法提点
此题看似是相似三角形的分类,其本质是直角三角形的分类,即△BPD为 直角三角的分类讨论,结合图形可知∠BPD不可能为直角,因此∠PBD,∠BDP 为直角为此题的突破口.
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考点三
的最值.
二次函数中的面积问题(5年2考)
二次函数与动点结合,用含变量的关系式表示图形的面积,进而确定图形面积
(3)解法一:如图3,过点F作FG⊥PQ于点G, 图3 则FG∥x轴. 由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形.
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∴∠OBC=∠QFG=45°.
2 ∴GQ=FG= FQ. 2
∵PE∥AC,∴∠1=∠2. ∵FG∥x轴,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3. ∵∠FGP=∠AOC=90°,
图2 ∴∠ACO+∠OCB=∠QAB+∠QBA. ∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠ACO=∠QAM.