有风险控制的最优资产组合的数学建模与计算分析
文章编号:1001-4098(2002)05-0040-03
有风险控制的最优资产组合的数学建模与计算分析
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张鸿雁,任叶庆
(中南大学数学科学与计算技术学院,湖南长沙 410083)摘 要:主要解决有风险控制的最优资产组合问题。采用修正后的序列lo g -最优资产组合模型:取多周期收益率乘积对数值的期望值,约束条件为:(1)风险控制函数值应在[r min ,r max ]范围内;(2)资产组合的分量之和为1。在算法实现时则采用一种新兴方法——最优保存遗传算法,并用C 语言实现。
关键词:最优保存;遗传算法;风险控制;多周期收益;最优资产组合
中图分类号:O 21 文献标识码:A
在投资过程中存在着风险,投资者要采取各种风险规避措施,方法之一就是将其总资产重新组合进行投资,分散总风险,即资产组合。近几年来,国内外的许多学者对此问题已有了很多的研究成果,但大都是采用经典的最优化方法在可行域内搜索最优解,在算法的实现过程中一般都用的是迭代法,而且涉及到求导的问题,给问题本身的解决过程代来诸多的不便。为解决此问题,本文尝试改进模型,并在算法的设计、实现过程中引入了一种“最优保存遗传算法”。
1 基本概念
定义1(资产组合[2]) 设投资者投资于第j 种资产的数量为N j ,N j >0代表买入,N j <0代表卖出,向量(N 0,N 1,N 2,…,N k )为投资者的资产组合,记
w j =N j x j ∑k i =0N
i x i 或w j =N j p (x j )
∑k i =0N i p (x i ), j =0,1,…,k
称向量w =(w 1,w 2,…,w k )T 为投资者的资产组合。其中,x j 代表第j 种资产的当前价格,p (x j )代表第j 种资产的未来价格。
定义2(倍率函数[2]) 设X =(X 1,X 2,…,X m )T 为m 种证券的收益向量,X 的联合分布函数记为F (x )=F (x 1,x 2,…,x m )。w =(w 1,w 2,…,w m )T 为资产组合,定义lo g(w T X )的期望值W (w ,F )=E{log (w T X )}=
∫[log (w T X)]d F (x )为倍率函数。
定义3 一个资产组合w *如果达到W (w ,F )的最大值,则称之为log -最优资产组合。
定义4(风险控制函数[2,4]) 设‖?‖为R 上的凸范数,X =(X 1,X 2,…,X m )T 为收益向量,则资产组合w =(w 1,w 2,…,w m )T 的风险控制函数定义为
R (w )=E ‖w T X -E(w T X )‖
易证R (w )是B 上的凸连续函数,特别地,如果取
R (w )=E[w T X -E(w T X )]2=w T 2w
其中2=cov(X ,X )是X 的协方差矩阵,则R (w )是S =w T X 的方差,因此用收益的方差作为风险的度量是我们这第20卷第5期(总第113期) 系 统 工 程 V ol.20,No.52002年9月 Systems Engineering Sept.,2002 X 收稿日期:2001-07-18;修订日期:2001-09-02基金项目:中南大学文理基金资助项目
作者简介:张鸿雁,男,湖南汨罗人,中南大学数学科学与计算技术学院教授,研究方向:最优化理论与应用。
里定义的风险控制函数的特例。
定义5(倍率-风险函数[2]) 定义有风险控制的log -最优投资收益
W *(r ,F )=max w ∈B r W (w ,F )=max w ∈B r E{log (w T X )}为倍率-风险函数。
倍率-风险函数的直接意义是在风险水平不超过r 的资产组合中能达到的log -最优投资收益。
2 log -最优资产组合问题
在实际生活中,投资者通常在证券市场上连续投资,即在一个周期结束时连本带利全部或部分地再投资。假设投资者有单位原始资金,不妨设为1,按资产组合w 1=(w 11,w 12,…,w 1m )T 投资到m 种股票,到一个周期之末连本带利得到w T 1X 1=∑j w
1j X 1j ,其中X 1=(X 11,X 12,…,X 1m )T 为该周期的投资收益向量。如果投资者既不增加资金,
也不减少资金,而是把这些资金再以资产组合w 2=(w 21,w 22,…,w 2m )T 继续投资,设X 2=(X 21,X 22,…,X 2m )T 为第
2个周期的收益向量,则到第2个周期之末,投资者拥有的资金为(w T 1X 1)(w T 2X 2)。
以此类推,设投资者在第i 个周期的资产组合为w i =(w i 1,w i 2,…,w im )T ,而第i 个周期的收益向量为X i =(X i 1,X i 2,…,X im )T ,则到第n 个周期末投资者拥有的资金累计为S n =∏n i =1(w
T i X i ),即在第n 个周期结束时的总收
益向量是n 个周期收益因子的乘积,此类序列投资模型收益情况不是取决于乘积的期望值,而是取决于对数的期望值,因此引入log -最优资产组合模型,对上式两边同时取对数后就把乘积形式的S n 变成了和的形式log S n =∑n i =1log (w
T i X i ),这是一种常用的效用函数,且在数学上便于处理。所以投资者的目标变成要使log S n 达到最大。这就
是所谓的log-最优资产组合问题。
3 模型的建立
通过讨论,可得采用惩罚函数法的修正序列log -最优资产组合模型。若记W (w )=
1n ∑n i =1log ∑m j =1w j x ij ,则
f (w )=W (w )+p (w ),其中
p (w )=
0,
-A *g (w )2-B *h (w )2-C *k (w )2,-A *g (w )2-C *k (w )2,
g (w )>0,h (w )>0,k (w )=0r min ≠0,g (w )≤0,或h (w )≤0,或k (w )≠0r min =0,g (w )≤0,或k (w )≠0且g (w )=r max -r ,h (w )=r -r min ,k (w )=e T w -1。
有关文献曾使用既约梯度法实现了对原有模型的算法[5]。但既约梯度法的缺点是运算时要运用到目标函数的可导性。为解决此问题,我们在建模和算法的设计、实现过程中引入了一种新兴的方法——最优保存遗传算法。
文献[1]、[3]和本文首次将最优保存遗传算法应用于有风险控制的最优资产组合分析。在具体实现时采用了以下技术:采用浮点数编码法,采用规则的适应度函数,采用最优保存选择法,采用算术交叉法,采用非均匀变异法,编制算法程序进行具体计算。4 数据分析
设给定了一投资者在半年中所投资的三种证券的收益值,即给定了收益向量
X =
5.9
8.4 6.43.610.39.14.4
7.9 5.73.0
6.510.58.4
8.1 4.97.19.0 6.7同时还得知了其在投资时的第一笔资金的分配比为w =(0.2:0.6:0.2)。
41
第5期 张鸿雁,任叶庆:有风险控制的最优资产组合的数学建模与计算分析
42系 统 工 程 2002年
程序中相关的一系列常数分别是:1初始惩罚因子A=0.25,B=0.3,C=0.2;o遗传算子p c=0.2,p m= 0.05;?最大代数M A X G EN=30,种群大小P OP SIZE=15;?计算精度ei取0.15。
在如上所置的常数的情况下,将程序迭代5次后得到的最优结果为:
w1=(0.2500,0.6169,0.2724),best1= 1.190965
但由运筹学中的拉格朗日法可得最优解为
w=(0.13543,0.5335,0.3714),best= 1.376827
在此过程中我们可以看到算法的优缺点,这里要分几种情况来考虑:
(1)遗传因子的大小问题
由程序可知,初始的遗传因子都较小,变异度不大。但当我们将其值改变后,可得:1当它们的值都变大时,每一代中的最优个体的值改变步伐较大,当它们的值接近于1时,出现的都是远远超出精度范围的个体,也即产生了不可行解;o当它们的值都变小时,每一代中的最优个体的值改变步伐很小,当它们的值趋向于0时,可以看到种群之间几乎没有什么变化,都约等于初始值。
(2)初始惩罚因子的大小问题
由程序可知,所设的惩罚因子的惩罚程度属于中等偏低,故产生负值的情况较少,经过改变其大小,可得:1当它们的值较大时,所得的目标值多数为负数,说明惩罚的强度过大;o当它们的值较小时,所得的目标值非常地相近,适应度函数值的差别也较小,使得在选择当代最优解个体时所用时间较长。
(3)计算精度的问题
由于程序中所用的算术交叉法的方法会使个体的分量值增大,但实际的方法和计算过程一定存在着误差,故设允许误差为ei,并将小于等于(1+ei)作为新产生的个体的可行标准。
改变ei的值,可看到个体变化的幅度明显:1当ei增大时,个体的变化幅度大,且容易超出精度的范围;o当ei 很小时,几乎不可能产生新的个体,因为搜索过程中随机数产生的关系,总使得个体的分量之和超出精度的范围。
参考文献:
[1] (日)玄光男,程润伟等.遗传算法与工程设计[M].北京:科学出版社,2000.
[2] 叶中行,林建忠等.数理金融[M].北京:科学出版社,1998
[3] 马晓岩,倪俊等.一种改进遗传算法及其收敛性分析[J].系统工程与电子技术,2000,(9).
[4] (美)凯斯?布朗斯等.投资分析与投资组合管理[M].辽宁:辽宁教育出版社,1998.
[5] 刘志新等.投资组合最大损失最小化模型研究[J].系统工程理论与实践,2000,(12).
The Mathematical Modeling and Algorithm Analysis
for the Optional Portfol io with Risk Control
ZHANG Hong-yan,REN Ye-qing
(Schoo l of M ath.Sci.&Comp.T ech.,SouthCentr al U niversity,Chang sha410083,China)
Abstract:I n t his paper,the pr oblem about optional portfo lio wit h risk co ntr ol is solv ed w ith the amended sequent ial log-optimal por tfolio model.Its goal function is the ex pectio n v alue of log arit hm of pr oduct of benefits during sev er al per iods.A nd its constr aint conditions are:(1)the v alue of risk contr ol function is between rmin and rmax,(2)the sum of all the amount of the por tfolio is1.When solv ing this algo rithm pr oblem,a new met ho d,OCG A(Optimal Containment G enetic Algor ithm),is taken,and put it into execut ion by pr og ramming using the language o f T ur bo C. Key words:O C(Optimal Containment);GA(Genetic A lg orithm);R isk Contr ol;Benefits D uring Sev er al Perio ds; Optimal P ort folio
数学建模路线优化问题
选路的优化模型 摘要: 本题是一个有深刻背景的NPC问题，文章分析了分组回路的拓扑结构，并构造了多个模型，从多个侧面对具体问题进行求解。最短树结构模型给出了局部寻优的准则算法模型体现了由简到繁，确保较优的思想而三个层次分明的表述模型证明了这一类问题共有的性质。在此基础上我们的结果也是比较令人满意的。如对第一题给出了总长为599.9，单项长为216的分组，第二题给出了至少分四组的证明。最后，我们还谈到了模型的优缺点及推广思想。 一、问题描述 “水大无情，人命关天”为考察灾情，县领导决定派人及早将各乡（镇），村巡视一遍。巡视路线为从县政府所在地出发，走遍各乡（镇），村又回到县政府所在地的路线。 1.若分三组巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 2.假定巡视人员在各乡（镇）停留时间为T=2小时，在各村停留时间为t =1 小时， 汽车行驶速度为V=35公里/时，要在24小时内巡视完，至少分成几组；给出这 种分组下你认为最佳的巡视路线。 3.上述关于T，t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多 少？给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 4.巡视组数已定（如三组）要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变时最佳路线的 影响（图见附录）。 二、问题假设 1、乡（镇）村只考察一次，多次经过时只计算一次停留时间。 2、非本县村不限制通过。 3、汽车的行驶速度始终一致。 三、符号说明 第i 人走的回路Ti=vv i(i) v2(i)v n(i) Ti=00表示第i人在0点没移动 四、模型建立
在这一节里，我们将提出若干个模型及其特点分析，不涉及对题目的求解。 最简树结构模型 在这个模型中我们依靠利用最短树的特殊结构所给出的准则，进行局部寻优，在一个不大的图里，我们较易得到较优解。 (a)分片 准则1利用最短树的长度可大致的估算出路程长，在具体操作中，各片中 的最短路程长度不宜相差太大。 准则 2 尽可能将最短树连成一个回路，这可保证局部上路程是较短的。 (b)片内调整 a2 a3 a4 a5 a6假设a3 a4有路相连 细准1对于右图的最短树结构，最好的走法是a 若a3 a4 进去重复走的话，它与上述的走法路程差w(a3, a2)+w(a2 ,a5)+w(a4, a5)—w(a3, a4)。由两点间最小原则上式是大于0的优劣可见 细准2若有如图所示结构，一般思想是：将中间树枝上的点串到两旁树枝，以便连成回路。 五、模型求解 问题一该问题完全可以用均衡模型表述 用算法模型 1 经过局部优化手工多次比较我们能够给出的最佳结果为第一组路径为 0—P—28—27—26—N—24—23—22-17—16—1—15—1—18—K—21—20—25— M--0 长191.1 经5 镇6 村 第二组路径为 0—2—5—6—L—19—J—11--G—13—14—H—12—F—10—F—9—E—8—E—7—6—5—2—0 长216.5 经6 镇11 村第三组路径为O—2—3—D—4—D—3—C—B—1—A—34—35—33—31—32—30—Q—29 —R 长192.3 经6 镇11 村总长S=599.9 公里 由算法2 给出的为 1组0—P—29—R—31—33—A—34—35—32—30—Q—28—27—26—N—24—33—22—23—N—2 6—P—0 5 乡13 村长215.2 公里 2组0—M—25—21—K—17—16—I—15—I—18—K—21—25—20—L—19—J—11—G—13—14 —O 5 乡11 村长256.2 公里 3组 O—2—5—6—7—E—9--F—12--H--—12—F—10—F—9—E-8—4—0—7—6—M—5-2—3—L —13—1—0 8 乡11 村长256.3 公里 总长727.7 公里
最优风险资产风险组合
最优风险资产的风险组合 分散化与资产组合风险 分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险，在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk) 资产组合中股票的个数 两种风险资产的资产组合 两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下：
债券股权期望收益率E(r)（%） 8 13标准差为σ（%） 12 20协方差Cov(r D, r E) 72 相关系数ρDE 投资于债券基金的份额为w D,剩下的部分为w E=1- w D投资于股票基金，这一资产组合的投资收益r p 为： r p=w D r D,+ w E r E r D为债券基金收益率 r E为股权基金的收益率。 资产组合的期望收益：E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E) 两资产的资产组合的方差：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E Cov(r D,r E) 根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r r D, r E)]/[ σD*σE] Cov(r r D, r E)= ρDE*σD*σE 所以：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE 当完全正相关时：ρDE=1 σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD+ W E σE）2 资产组合的标准差σP =W DσD+ W EσE 当完全负相关时：ρDE=-1 σ2P =W D2σ2D- W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD- W E σE）2 资产组合的标准差σP =︱W DσD- W EσE︱
投资组合习题
第二章风险与收益分析 二、资产的风险 （一）资产的风险含义 资产的风险是资产收益率的不确定性，其大小可用资产收益率的离散程度来衡量，离散程度是指资产收益率的各种可能结果与预期收益率的偏差。 （二）衡量风险（离散程度）指标 衡量风险的指标，主要有收益率的方差、标准差和标准离差率等。 1.收益率的方差（） 收益率的方差用来表示资产收益率的各种可能值与其期望值之间的偏离程度。其计算公式为： σ＝∑[R i－E（R）] ×P i 2.收益率的标准差（） 标准差也是反映资产收益率的各种可能值与其期望值之间的偏离程度的指标，它等于方差的开方。其计算公式为： 3.收益率的标准离差率（V） 标准离差率，是资产收益率的标准差与期望值之比，也可称为变异系数。其计算公式为： 标准离差率是一个相对指标，它表示某资产每单位预期收益中所包含的风险的大小。一般情况下，标准离差率越大，资产的相对风险越大；标准离差率越小，资产的相对风险越小。标准离差率指标可以用来比较预期收益率不同的资产之间的风险大小。 【例2·计算题】某企业有A、B 两个投资项目，计划投资额均为1000万元，其收益率的概率分布 如下表所示： 市场状况概率A 项 目 B 项目 好0.220%30% 一般0.610%10% 差0.25%－5%要求：[参见《应试指南》第15页例2] （1）分别计算A、B 两个项目预期收益率的期望值。 （2）分别计算A、B两个项目收益率的标准差。 （3）根据风险的大小，判断A、B两个投资项目的优劣。 【答案】 A项目：20%×0.2＋10%×0.6＋5%×0.2＝11% B项目：30%×0.2＋10%×0.6＋（－5%）×0.2＝11% 22
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
投资组合习题.doc
投资组合习题 一、单项选择题 1、下列不属于投资的战略动机的是（）。 A、取得收益 B、开拓市场 C、控制资源 D、防范风险 2、按照投资对象的不同，投资可以分为（） A、直接投资和间接投资 B、实物投资和金融投资 C、生产性投资和非生产性投资 D、对内投资和对外投资 3、下列选项中，说法错误的是（）。 A、金融资产具有投资收益高，价值不稳定的特点 B、实物投资一般比金融投资的风险要小 C、区分对内投资和对外投资，就是看是否取得了可供本企业使用的实物资产 D、直接投资的资金所有者和资金使用者是分离的 4、无风险收益率等于（）。 A、资金时间价值 B、资金时间价值与通货膨胀补贴率之和 C、资金时间价值与风险收益率之和 D、通货膨胀补贴率与风险收益率之和 5、单项资产的β系数可以衡量单项资产（）的大小。 A、系统风险 B、非系统风险 C、利率风险 D、可分散风险 6、某企业分别投资于A、B两项资产，其中投资于A资产的期望收益率为8％，计划投资额为800万元，投资于B资产的期望收益率为10％，计划投资额为1200万元，则该投资组合的期望收益率为（）。 A、9％ B、9.2％ C、10％ D、18％ 7、某公司股票的β系数为1.5，无风险收益率为9％，市场上所有股票的平均收益率为15％，则该公司股票的必要收益率应为（）。 A、9％ B、15％ C、18％ D、24％ 8、当某项资产的β系数＝1时，下列说法不正确的是（）。 A、该单项资产的收益率与市场平均收益率呈相同比例的变化 B、该资产的风险情况与市场投资组合的风险情况一致 C、该项资产没有风险 D、如果市场投资组合的风险收益上升10％，则该单项资产的风险也上升10％ 9、下列选项中，会引起系统性风险的是（）。 A、罢工 B、新产品开发失败 C、诉讼失败 D、通货膨胀 10、下列关于β系数的说法不正确的是（）。 A、单项资产的β系数可以反映单项资产收益率与市场上全部资产的平均收益率之间的变动关系
数学建模：投资问题
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析 3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这
数学建模面试最优化问题
C题面试时间问题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队(即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的)。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示(单位：分钟)： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司．假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司? 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n 位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 (1)
（一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析 问题的约束条件主要有两个：一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试(同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束)，二是每个阶段同一时间只能有一位面试者(不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行)。 对于任意两名求职者P、Q，不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试，所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P完成j阶段的面试后，才能进入j阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1.我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2.面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3.参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4.假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5.面试者及各考官都能在8：00准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2，3，4；j=1,2,3)为求职者i在j阶段参加面试所需的时间 甲乙丙丁分别对应序号i=1，2,3，4 2.xij （i=1,2，3，4；j=1,2,3) 表示第i名同学参加j阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00记为面试的0时刻） (2)
投资组合有效边界计算
6最优投资组合选择 最优投资组合选择的过程就是投资者将财富分配到不同资产从而使自己的效用达到最大的过程。然而，在进行这一决策之前，投资者首先必须弄清楚的是市场中有哪些资产组合可供选择以及这些资产组合的风险-收益特征是什么。虽然市场中金融资产的种类千差万别，但从风险-收益的角度看，我们可以将这些资产分为两类：无风险资产和风险资产。这样一来，市场中可能的资产组合就有如下几种：一个无风险资产和一个风险资产的组合；两个风险资产的组合；一个无风险资产和两个风险资产的组合。下面分别讨论。 一、 一个无风险资产和一个风险资产的组合 当市场中只有一个无风险资产和一个风险资产的时候，我们可以假定投资者投资到风险资产上的财富比例为w ，投资到无风险资产上的财富比例为1-w ，这样一来，投资组合的收益就可以写为： 其中，r 为风险资产收益，这是一个随机变量；f r 为无风险资产的收益，这是一个常数。 这样，资产组合的期望收益和标准差就可以写出下述形式： (因为122 222122 )1(2)1(σσσσw w w w P -+-+=,2112122,0σσρσσ===0) 其中σ为风险资产的标准差。 根据上两式，我们可以消掉投资权重，并得到投资组合期望收益与标准差之间的关系： P f f P r r E r r E σσ -+ =)()( 3-1 当市场只有一个无风险资产和一个风险资产时，上式就是资产组合所以可能的风险-收益集合，又称为投资组合的可行集合。在期望收益-标准差平面上，3-1是一条直线，我们称这条直线为资本配置线。 随着投资者改变风险资产的投资权重w ，资产组合就落在资本配置线上的不同位置。具体来说，如果投资者将全部财富都投资到风险资产上1>w ，资产组合的期望收益和方差就是风险资产的期望收益和方差，资产组合与风险资产重合。如果投资者将全部财富都投资在无风险资产上0>w ，资产组合的期望收益和方差就是无风险资产的期望收益和方差，资产组合与无风险资产重合。风险资产r 与无风险资产f r 将配置线分为三段，其中，无风险资产和风险资产之间的部分意味着投资者投资在风险资产和无风险资产上的财富都是正值；此时10< 在手机普遍流行的今天，建设基站的问题分析对于运营商来说很有必要。本文针对现有的条件和题目的要求进行讨论。在建设此模型中，核心运用到了0-1整数规划模型，且运用lingo 软件求解。 对于问题一： 我们引入0-1变量，建立目标函数：覆盖人口最大数=所有被覆盖的社区人口之和，即max=15 1j j j p y =∑，根据题目要求建立约束条件，并用数学软件LINGO 对其模型求解，得到最优解。 对于问题二： 同样运用0-1整数规划模型，建立目标函数时，此处假设每个用户的正常资费相同，所以68%可以用减少人口来求最优值，故问题二的目标函数为：max=∑=15 1j j j k p 上述模型得到最优解结果如下： 关键字：基站; 0-1整数规划；lingo 软件 1 问题的重述．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2 问题的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 3 模型的假设与符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 3.1模型的假设．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 3.2符号的说明．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4 模型的建立及求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 5 4.1模型的建立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 4.2 模型的求解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 模型结果的分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 6 优化方向．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 7 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 8、附录．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩， 求目标函数f=110x1+75x2+60x3 在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 正则模型: 决策变量: x 1,x 2 ,…,x n . 目标函数: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n . 约束条件: a 11 x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束. 若有 a i1x 1 +…+a in x n ≤b i , 则引入 x n+i ≥ 0, 使得 a i1 x 1 +…+a in x n + x n+i =b i 若有 a j1x 1 +…+a jn x n ≥b j , 则引入 x n+j ≥ 0, 使得 a j1 x 1 +…+a jn x n - x n+j =b j . 第5章资产组合计算 资产组合是实务性比较强的内容，通过本章的学习，要求读者掌握协方差与相关系数之间的相互推导，熟悉资产组合基本理论，学会用MATLAB计算投资组合基本参数，如均值与方差、资产组合VaR，重点掌握资产组合有效前沿的计算，能够处理无风险利率以及借贷关系情况下的最优投资组合，会用MATLAB规划工具箱求解投资组合最优化问题。 资产组合基本原理 证券投资组合理论(Portfolio Theory)主要研究如何配置各种不同的金融资产，实现资产组合的最佳投资配置。1952年美国学者马克维茨创立了资产组合理论，该理论在实践中得到广泛运用。 收益率序列与价格序列间的转换 1．将收益率序列转换为价格序列 在处理金融时间序列时，有时需要把收益率序列转换为价格序列。在MATLAB中将收益率序列转换为价格序列的函数是ret2tick。 调用方式 [TickSeries,TickTimes]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime,Meth od) 输入参数 RetSeries %收益率序列 StartPrice %(0ptional)起始价格，默认值是1 RetIntervals %(0ptional)收益率序列的时间间隔，默认值是l StartTime %(optional)价格开始计算的时间，默认值是0 Method %(Optionl)转换方法。Method='Simple'表示简单,)r 1(P p 1t t 1t +++=;Method ＝'Continous'表示连续法，1t r t 1t e P P +=+。 输出参数 TickSeries %价格序列 TickTimes %与价格对应的时间序列 例5-1己知资产收益率以及时间间隔如表所示 表 资产收益率及时间 起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方法。 在MATLAB 中执行以下命令： RetSeries=[,,]'; RetIntervals=[182,91,92]'; StartPrice=10; StartTime=datenum('18-Dec-2000'); [TickSeries,TickTime]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime) datestr(TickTimes) ans = 18-Dec-2000 18-Jun-2001 17-Sep-2001 18-Dec-2001 这样就把收益率时间序列转换为价格时间序列，结果如表所示。 表 资产各时间的价格 《资产组合的风险与收益》微课设计 一、教学目标 主要帮助学生掌握马克维茨资产组合中资产组合的概念以及两者关系，风险与收益计算，绘制风险—收益组合曲线，投资组合的有效边界。 二、教学方法与手段 通过视频教学，结合对一个实例的精讲，运用PPT 、写字板等教学工具来展示教学内容，推导计算过程。 三、教学内容与设计 大家好，今天我给大家讲解马克维茨资产组合理论中关于资产组合的风险与收益计算相关的问题 第一步：引入，简要介绍现代资产组合理论（Modern Portfolio Theory ，简称MPT ） 1952年3月，美国纽约市立大学巴鲁克学院的经济学教授马柯维茨在题为《资产选择：有效的多样化》论文中，首次应用资产组合报酬的均值和方差来定义其收益与风险，并推导出了关于证券组合的上凸的“有效边界”。 第二步：给出资产组合的收益与风险的计算公式 在这一理论中，马克维茨给出了关于如何刻画资产组合风险与收益的两个重要的指标：用资产组合报酬的期望值去刻画组合的收益，用组合报酬的方差（或标准差）刻画其风险，其中 资产组合期望收益和标准差的计算公式分别如下： 2 22111N N N p i i i j ij i j i i j i j W WW σσρσσ===≠=+∑∑∑，开根号得到组合的风险p σ 其中： 第三步：实例讲解 为了帮助大家更好的理解上述两个计算公式，下面我结合一个简单的实例来加以介绍 假定现在有证券组合包含两只股票，股票1和股票2，该组合中两只股票的资金权重分别为股票1占40%，股票2占60%，股票1和2的期望收益分别为10%和12%，标准差为0.980和0.857，股票1和2收益的相关系数为-0.84，下面我们用上述资产组合的期望收益和标准差公式来刻画该证券组合的收益和风险。 资产组合的风险 这样便得到了关于上述证券组合的收益和风险值。 第四步：绘制资产组合的收益—风险组合曲线 从上述计算可以发现，当调整组合的资金分配比例，即权重时，将可以得到不同的收益—风险组合结果，如果我们以组合的期望收益为纵轴，以组合的风险（标准差）为横轴，绘制坐标平面，然后将不同权重下的组合点在坐标平面上标识，并用光滑的曲线链接，便可以得到组合的风险—收益曲线。 可以发现，这是一条开口向右的曲线。那么思考下，曲线的形状与什么有关呢？ 答案是资产之间的相关性，即相关系数会影响曲线的形状。当相关系数等于-1时，曲线的形状是AMB 这样的，当相关系数等于1时，曲线是AB 的连线，当相关系数介于-1和1之间时，便可以得到开口向右的曲线。这样不难发现，绝大多数资产组合风险与收益曲线的形状都是向右开口的，例如本例中相关系数为-0.84。 第五步：最小方差点与投资组合有效边界 在上述曲线中，如果作一条与X 轴垂直并与曲线相切的切线L ，使得切线L 与组合曲线相切与点M ，其中的M 点是所有组合中方差最小的点，因此称为最小方差点，最小方差点将组合曲线分割为MA 和MB 两段，组合的有效边界为其中的MA 段。 怎么来理解MA 才是有效边界，而MB 不是呢？ 可以在曲线中作一条垂线，使之相交于组合曲线，交点分别为O 和P ，O 和P 代表不同权重下投资组合风险与收益的结果，显然，O 和P 的风险是相同的，均是0.8，但O 点的收益高于P 点，因此，理性的投资者必然选择O 点组合进行投资。同理，可知，在同等风险下MA 段的收益高于MB 段，投资者的投资组合一定在MA 段中选择。 最优风险资产的风险组合 8.1 分散化与资产组合风险 分散化（diversification）：投资者如果不是进行单一证券的投资，而是投资于由两种以上证券构成的投资组合。如果构成投资组合的证券不是完全正相关，那么投资组合就会降低风险，在最充分分散条件下还保存的风险是市场风险（market risk）,它源于与市场有关的因素，这种风险亦称为系统风险（systematic risk）,或不可分散风险（nondiversifiable risk）。相反，那些可被分散化消除的风险被称为独特风险(unique risk)、特定公司风险(firm-specific risk)、非系统风险(nonsystematic risk)或可分散风险(diversifiable risk) 资产组合中股票的个数 8.2 两种风险资产的资产组合 两种资产的资产组合较易于分析，它们体现的原则与思考可以适用于多种资产的资产组合，我们将考察包括的资产组合，一个为只投资于长期债券的资产组合D，另一个专门投资于股权证券的股票基金E，两个共同基金的数据列表（8-1）如下： 债券股权期望收益率E(r)（%）8 13 标准差为σ（%） 12 20 协方差Cov(r D, r E) 72 相关系数ρDE 0.3 投资于债券基金的份额为w D,剩下的部分为w E=1- w D投资于股票基金，这一资产组合的投资收益r p 为：r p=w D r D,+ w E r E r D为债券基金收益率r E为股权基金的收益率。 资产组合的期望收益：E(r p)=w D E(r D)+ w E E(r E) 两资产的资产组合的方差：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E Cov(r D,r E) 根据第六章式[6-5]得：ρDE=[Cov(r r D, r E)]/[ σD*σE] Cov(r r D, r E)= ρDE*σD*σE 所以：σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W EρDE*σD*σE 当完全正相关时：ρDE=1 σ2P =W D2σ2D+ W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD+ W E σE）2 资产组合的标准差σP =W DσD+ W EσE 当完全负相关时：ρDE=-1 σ2P =W D2σ2D- W E2σE2+2W D W E*σD*σE=（W DσD- W E σE）2 资产组合的标准差σP =︱W DσD- W EσE︱ 数学建模案例之多变量最 优化 数学建模案例之 多变量无约束最优化 问题1[1]：一家彩电制造商计划推出两种产品：一种19英寸立体声彩色电视机，制造商建议零售价（MSRP）为339美元。另一种21英寸立体声彩色电视机，零售价399美元。公司付出的成本为19英寸彩电195美元/台，21英寸彩电225美元/台，还要加上400000美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。而且19英寸彩电的销售量会影响21英寸彩电的销售量，反之也是如此。据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。问题是：每种彩电应该各生产多少台？ 清晰问题：问每种彩电应该各生产多少台，使得利润最大化？ 1．问题分析、假设与符号说明 这里涉及较多的变量： s：19英寸彩电的售出数量（台）； t：21英寸彩电的售出数量（台）； p：19英寸彩电的售出价格（美元/台）； q：21英寸彩电的售出价格（美元/台）； C：生产彩电的成本（美元）； R：彩电销售的收入（美元）； P：彩电销售的利润（美元） 两种彩电的初始定价分别为：339美元和399美元，成本分别为：195美元和225美元；每种彩电每多销售一台，平均售价下降系数a=0.01美元（称为价格弹性系数）；两种彩电之间的销售相互影响系数分别为0.04美元和0.03美元；固定成本400000美元。 变量之间的相互关系确定： 假设1：对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降1美分。 假设2：据估计，每售出一台21英寸彩电，19英寸的彩电平均售价会下降0.3美分，而每售出一台19英寸的彩电，21英寸彩电的平均售价会下降0.4美分。 因此，19英寸彩电的销售价格为： p=339-a×s-0.03×t，此处a=0.01 21英寸彩电的销售价格为： q=399-0.01×t-0.04×s 因此，总的销售收入为： R=p×s+q×t 生产成本为： C=400000+195×s+225×t 净利润为： P=R-C 因此，原问题转化为求s≥0和t≥0，使得P取得最大值。 2．建立数学模型 根据前面的分析，原问题的数学模型如下： 第二章 1、 假设你正考虑从以下四种资产中进行选择： 资产1 市场条件 收益% 概率 好 16 1/4 一般 12 1/2 差 8 1/4 资产2 市场条件 收益 概率 好 4 1/4 一般 6 1/2 差 8 1/4 资产3 市场条件 收益 概率 好 20 1/4 一般 14 1/2 差 8 1/4 资产4 市场条件 收益 概率 好 16 1/3 一般 12 1/3 差 8 1/3 求每种资产的期望收益率和标准差。 解答： 1111 16%*12%*8%*12%424 E =++= 10.028σ== 同理 26%E = 20.014σ= 314%E = 30.042σ= 412%E = 40.033 σ= 2、 下表是3个公司7个月的实际股价和股价数据，单位为元。 证券A 证券B 证券C 时间 价格 股利 价格 股利 价格 股利 1 6 578 333 61068 598 1088 3 3598 0.725α 43688 1.35 124 0.40 4 4558 23828 21228 5 2568 386 41358 6 59 0.725 63978 1.35 61418 0.42 7 2608 392 61658 A. 计算每个公司每月的收益率。 B. 计算每个公司的平均收益率。 C. 计算每个公司收益率的标准差。 D. 计算所有可能的两两证券之间的相关系数。 E. 计算下列组合的平均收益率和标准差： 1/2A+1/2B 1/2A+1/2C 1/2B+1/2C 1/3A+1/3B+1/3C 解答：A 、 B 、 1.2% 2.94%7.93% A B C R R R === C 、 4.295%4.176%7.446% A B C σσσ=== D 、 ()()()0.140.2750.77 AB AC BC ρρρ===- E 、 C题面试时间冋题 有4名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即在任何一个阶段4名同学的顺序是一样的）。由于4名同学的专业背景不同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如下表所示（单位：分钟）： 这4名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司?假定现在时间是早晨8:00问他们最早何时能离开公司？ 面试时间最优化问题 摘要： 面试者各自的学历、专业背景等因素的差异，每个面试者在每个阶段的面试时间有所不同，这样就造成了按某种顺序进入各面试阶段时不能紧邻顺序完成，即当面试正式开始后，在某个面试阶段，某个面试者会因为前面的面试者所需 时间长而等待，也可能会因为自己所需时间短而提前完成。因此本问题实质上是求面试时间总和的最小值问题，其中一个面试时间总和就是指在一个确定面试顺序下所有面试者按序完成面试所花费的时间之和，这样的面试时间总和的所有可能情况则取决于n位面试者的面试顺序的所有排列数 根据列出来的时间矩阵，然后列出单个学生面试时间先后次序的约束和学生间的面试先后次序保持不变的约束，并将非线性的优化问题转换成线性优化目标，最后利用优化软件lingo变成求解。 关键词：排列排序0-1非线性规划模型线性优化 一）问题的提出 根据题意，本文应解决的问题有： 1、这4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在的时间是早晨8：00，求他们最早离开公司的时间； 2、试着给出此类问题的一般描述，并试着分析问题的一般解法。 （二）问题的分析问题的约束条件主要有两个： 一是每个面试者必须完成前一阶段的面试才能进入下一阶段的面试（同一个面试者的阶段次序或时间先后次序约束），二是每个阶段同一时间只能有一位面试者 （不同面试者在同一个面试阶段只能逐一进行）。对于任意两名求职者P、Q,不妨设按P在前，Q在后的顺序进行面试，可能存在以下两情况： （一）、当P进行完一个阶段j的面试后，Q还未完成前一阶段j-1的面试, 所以j阶段的考官必须等待Q完成j-1阶段的面试后，才可对Q进行j阶段的面试，这样就出现了考官等待求职者的情况。这一段等待时间必将延长最终的总时间。 （二）、当Q完成j-1的面试后，P还未完成j阶段的面试，所以，Q必须等待P 完成j 阶段的面试后，才能进入j 阶段的面试，这样就出现了求职者等待求职者的情况。同样的，这个也会延长面试的总时间。 以上两种情况，必然都会延长整个面试过程。所以要想使四个求职者能一起最早离开公司，即他们所用的面试时间最短，只要使考官等候求职者的时间和求 职者等候求职者的时间之和最短，这样就使求职者和考官的时间利用率达到了最高。他们就能以最短的时间完成面试一起离开公司。这也是我们想要的结果。 （三）模型的假设 1. 我们假设参加面试的求职者都是平等且独立的，即他们面试的顺序与考官无关； 2. 面试者由一个阶段到下一个阶段参加面试，其间必有时间间隔，但我们在这里假定该时间间隔为0； 3. 参加面试的求职者事先没有约定他们面试的先后顺序； 4. 假定中途任何一位参加面试者均能通过面试，进入下一阶段的面试。即：没有中途退出面试者； 5. 面试者及各考官都能在8：00 准时到达面试地点。 （四）名词及符号约束 1. aij （i=1,2 ，3，4；j= 1 ,2,3）为求职者i 在j 阶段参加面试所需的时间甲乙丙丁分别对应序号i=1 ，2,3 ，4 2. xij （i=1,2 ，3，4；j=1,2,3）表示第i 名同学参加j 阶段面试的开始时间（不妨把早上8:00 记为面试的0 时刻） 第6章 资产组合计算 6．1 收益率序列与价格序列转换 （1）将收益率序列转换为价格序列 格式： [Tickseries,Ticktimes]=ret2tick(Retseries,Startprice,Retintervals,Starttime,Method) 输入参数： Retseries ：收益率序列 Startprice ：起始价格，默认值为1 Retintervals ：收益率序列的时间间隔，默认值为1 Starttime ：价格开始计算的时间，默认值为0 Method ：转换方法。Method ＝’simple ’表示简单方法，11(1)t t t P P r ++=+ Method=’continuous ’表示连续法，1 1t r t t P Pe ++= 输出参数 Tickseries ：价格序列 Ticktimes ：与价格序列对应的时间序列 例6-1：已知资产收益率及时间间隔如下 起始价格为10元，起始时间为2000年12月18日，试求该资产价格时间序列，收益率采用离散方式。 MATLAB 命令： RetSeries=[0.10 0.05 -0.05]'; RetIntervals=[182 91 92]'; StartPrice=10; StartTime=datenum('18-Dec-2000'); %把字符串型日期转换为序数型日期 [TickSeries,TickTimes]=ret2tick(RetSeries,StartPrice,RetIntervals,StartTime) 运行结果： TickSeries = 10.0000 11.0000 11.5500 10.9725 TickTimes = 730838 731020 731111 731203 datestr(TickTimes)%把序数型日期转换为字符串型日期数学建模课程设计——优化问题
数学建模中的优化问题与规划模型
第章资产组合计算
资产组合的风险与收益
最优风险资产风险组合
数学建模案例之多变量最优化
资产组合分析与管理习题解答
数学建模-面试最优化问题
第6章 资产组合计算