人教版高中数学A版必修一2.2 基本不等式课件
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基本不等式【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件1
基本不等式的实际应用
解 设贮水池池底的相邻两边的边长分别为 x m，y m，水池的 总造价为 z 元．根据题意，有 z 150 4 800 120(2 3x 2 3y) 240 000 720(x y)
3
由容积为 4 800 m3，可得 3xy 4 800，因此 xy 1 600．
目标检测
2 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m． 故做当一矩 个形体的积长为为321m52m，，高宽为为27m. 的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
已(1)知xy一=个P 矩形x+的y≥周2长P为(当3且2 c仅m当，矩x=形y 时绕,它取的“=一”号条)边. 旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 2已基知本x,不y等都式是（正第数二, P课, S时是）常数.
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2、金版 P29-P32 则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18．
故当矩形的长为15 m，宽为7.
所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
则由题意得2ab＝32，即ab＝16．
解：设底面的长为a，宽为b，
解：设矩形的长为a，宽为b，
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
2、金版 P29-P32
即当底m，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时， 由已知一个矩形的周= 长9,可为得32 cm，矩8形1，绕当它且的仅一当条x边=旋y转=9形时成，一”=个”成圆立柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
2.2基本不等式(第一课时)课件(人教版)
必须要满足条件：(1)
；
(2)
；
(3)
.
练一练
4.试判断x(2-x)(0<x<2)与 1 的大小关系.
解答：
+(2−) 2
x(2-x)≤(
) =1
2
, 只有x=1时才取等号
2.2.1 基本不等式
思维篇
知识篇
素养篇
问
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
分
(１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２
二次式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
a×a+b×b
≥
a×b+b×a
自乘的和
不小于
互乘的和
①
如果把两个数相乘看成一
次合作“圈地”(如图)，那
b
a
b
a
么公式 ①折射诞生活的哲理：
自立自强比互相合作更
重要！
1 重要不等式
a2+b2≥2ab
(a、b ∈R，当a=b时取等号)
①
特别地：
；
1 2
(２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S ．
4
提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2 ．
无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最
+
数
学
建
模
1.已知x，y都是正数，求证：
析
方
法
总
结
值，且都在x＝y时取得等号.
基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当
高中数学人教A版 必修第一册 基本不等式 课件
(2) 如果和x十y 等于定值S，那么当x=y 时，
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
1
积xy 有最大值 S²。
4
解答：
应用
例3：
(1) 用爸围一个面积为 100 m²的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆
最短?最短篱笆的长度是多少?
(2) 用一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ园，当这个矩形的边长为多少时，菜园
的面积最大?最大面积是多少?
叫做正数a，b的算术平均数； ab 叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
定义
变形公式： ab≤
+
( )²
a+b≥2
重点应用：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件
“一正、二定、三相等”
2.2.2
基本不等式的证明
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
∀ a，b∈R，有a²+b²≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立)
特别的，如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别代替上式中的a，b，可得
≤
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
定义
基本不等式： ≤
其中：
a+b
2
+
(当且仅当a=b时，等号成立)
证明
证明方法一：作差法
证明方法二：借助完全平方公式
证明方法三：分析法
要证
≤
+
只要证 2 ≤ a+b
只要证 2 -a-b≤0
只要证 -( - )²≤0
只要证 ( − )²≥0
显然，最后一个成立，当且仅当a=b时，等号成
【课件】基本不等式(第二课时)2023-2024学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
出发使用基本不等式，求得最值.
练一练
2+1
已知a>1,b>0,则
+2a的最小值为
(−1)
提示：
目标式局部：b2+1≥2b,
所以
2+1
2
+2a≥
(−1)
−1
+2(a-1)+2≥…
.
用基本不等式求最值
( )
例3. 已知 x>0, y>0 ，x+y+2=xy,则xy的
条
件
最
值
之
最小值为
.
2
+2
+
2 (−2)2 (−1)2
=
+
+1
4 1
=(m+n)+( + )-6(以下逆代）
用基本不等式求最值
( )
七
条
件
最
值
之
等
价
变
形
1
例6.已知x>0,y>0,且
+2
+
1 1
= ，求xy的最小值.
+2 3
1
解：由等式
+2
1
3
变形得xy=x+y+8
+
1
+2
=
所以xy≥2 +8 解得xy最小值为16
( )
一
直
接
求
最
值
例1. 已知 x>0,
则y= 2
的最大值
+2+4
1
2_2 基本不等式-高中数学人教A版(2019)必修第一册
第二章一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式（第1课时）2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标思考1：这图案中含有怎样的几何图形？思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。
22222222)2(2)()214c b a c a ab b ab c a b ab =+∴=+−+∴=−+⋅ （证明：a b （1）大正方形边长为___________，面积S 为______________（2）四个直角三角形________，面积和S’为_______________（3）S 与S’的大小关系是_________，故有_______（4）S 与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？22b a +22b a +全等ab2'S S >ab b a 222>+a b 上述结论可描述为：ab b a b a 20,022≥+>>时，当成立吗？如何证明？为任意实数时，上式还、）当（b a 5时取等）。
当且仅当 证明：b a ab b a b ab a b a =≥+∴≥+−∴≥−(2020)(22222 此不等式称为重要不等式1、基本不等式0,0,,,,a b a b a b >>如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2a b a b+⋅≥2a b ab +≥替换后得到：即：),0,0(时取等当且仅当b a b a =>>2a b ab +≥即：基本不等式ab b a ≥+2注意：0,01>>b a 、时取等、取等条件：当且仅当b a =2叫几何平均数叫算术平均数，、ab ba 23+基本不等式的几何解释A B C D E a b O 如图, AB 是圆的直径, O 为圆心，点C 是AB 上一点, AC=a , BC=b . 过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD 、BD 、OD.②如何用a , b 表示CD? CD=______①如何用a , b 表示OD? OD=______2+a bab③OD 与CD 的大小关系怎样? OD_____CD ≥几何意义：半径不小于半弦长定理当点C 在什么位置时OD=CD ？此时a 与b 的关系是？基本不等式的证明2a b ab +≥证明：要证只要证_______a b +≥只要证_____0a b +−≥只要证2(______)0−≥显然, 上式是成立的.当且仅当a =b 时取等。
人教A版必修第一册高中数学2.2基本不等式精品课件
知识梳理
a＋b
思考 1：不等式 a ＋b ≥2ab 与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？
2
2
如果不同各是什么？
a＋b
不同，a ＋b ≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤
成立的条件
2
2
2
是 a，b 均为正实数。
1
思考 2： a＋ ≥2(a≠0)是否恒成立？
a
1
1
只有 a>0 时，a＋ ≥2，当 a<0 时，a＋ ≤－2。
四周墙壁建造单价为每米 500 元，中间一条隔壁(为圆的直径)建造单价为每米 100 元，池底建造单价为每平
方米 60 元(池壁厚忽略不计)．(注：π≈3.14)
(1)如采用方案一，游泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
(2)若方案一以最低总造价计算，试比较两种方案哪种方案的总造价更低？
例题解析
＝ 2，∴a≥ 2.
max
x＋y
例题解析
例 15 某校拟建一座游泳池，池的深度一定，现有两个方案，方案一：游泳池底面为矩形且面积为 200 平方
米，池的四周墙壁建造单价为每米 400 元，中间一条隔壁(与矩形的一边所在直线平行)建造单价为每米 100
元，池底建造单价每平方米 60 元(池壁厚忽略不计)；方案二：游泳池底面为圆且面积为 64π平方米，池的
40
900x·
＝36 000，当且仅当 900x＝
，即 x＝ 时取等号；
x
x
3
200
200
或者总造价为 200×60＋x＋
×2×400＋ x ×100，
x
200
200
人教版高中数学必修1《基本不等式》PPT课件
(二)基本知能小试 1．判断正误：
(1)当 x＞0 时，1x＋x 的最小值为 2. (2)已知 m＞0，n＞0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为 18.
答案：(1)√ (2)√
() ()
2．下列不等式正确的是
A．a＋1a≥2
B．(－a)＋－1a≤－2
C．a2＋a12≥2
D．(－a)2＋－1a2≤－2
(2)已知 0＜x＜12，求 x(1－2x)的最大值；
(3)已知 x＞0，y＞0，且8x＋1y＝1，求 x＋2y 的最小值．
[解]
(1)
∵
x
＞
2
，
∴
x
－
2
＞
0
，
∴
x
＋
4 x－2
＝
x
－
2
＋
4 x－2
＋
2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6.当且仅当 x－2＝x－4 2即 x＝4 时，等号成立．∴x＋
x－4 2的最小值为 6.
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴ a－bb－c≤a－b＋2 b－c＝a－2 c. 当且仅当 a－b＝b－c，即 2b＝a＋c 时，等号成立． 答案： a－bb－c≤a－2 c
题型二 利用基本不等式求最值 【学透用活】
(1) 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 必 须 按 照 “ 一 正 ， 二 定 ， 三 相 等 ” 的 条 件 进 行．若具备这些条件，可直接运用基本不等式；若不具备这些条件，则应进行适 当地变形．
()
A．x≥2y
B．x＞2y
C．x≤2y
D．x＜2y
解析：∵不等式成立的前提条件是各项均为正，∴x－2y＞0，即 x＞2y. 故选 B.
人教A版高中数学必修第一册精品课件 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2课时基本不等式的实际应用
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如下图所示.
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
反思感悟
1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条
件进行,若具备这些条件,则可直接运用基本不等式,若不具备
这些条件,则应进行适当的变形.
2.常见的变形技巧有:(1)配凑系数;(2)变符号;(3)拆补项.常见
形式有 y=ax+ 型和y=ax(b-ax)型.
【变式训练 1】 (1)已知 x>3,求 y=x+
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
(1)“x>0”是“x+ ≥2 成立”的充要条件.(
数学课件 人教a版必修1 第二章基本不等式的应用同步教学课件
3
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1
1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>
;
-
1
> ,则 a>0,b<0;
当 a<1 时,
<0,即 a+2< .
-1
1-
+
反思感悟 用作差法比较实数大小的步骤
作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)
变形.变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,
即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系.
课堂篇
探究学习
探究一
反思感悟 1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不
等式的性质,进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采
用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题
中经常采用这种办法.
1
1
2.注意正确的倒数法则,应该是 a>b,ab>0⇒ < ,不能误认为是
1
1
a>b⇒ < ,在应用时不能出错.
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
实数大小的比较
例2比较下列各组中的两个代数式的大小:
(1)2x2+3与x+2,x∈R;
3
,a∈R,且 a≠1.
1-
(2)a+2 与
分析:利用作差法进行比较.解第(2)小题时要注意对实数a分类讨
论.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2
(4)若
(5)若
1
a>b,
>
;
-
1
> ,则 a>0,b<0;
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课件新人教A版必修第一册
6．若 a，b 都是正数，则1＋ba1＋4ba的最小值为(
)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2
b 4a a·b
＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
7．已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25 C．9 D．36
8．若 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．a－b＞1b－1a B.ca2＜cb2
2ab C. ab>a＋b
D.3aa＋＋3bb＞ab
答案 C
解析 逐一考查所给的选项：当 a＝2，b＝13时，a－b＝53，1b－1a＝52，不 满足 a－b＞1b－1a，A 错误；当 c＝0 时，ca2＝cb2＝0，不满足ca2＜cb2，B 错误；
x＋4x＝－－x＋－4x≤－2
－x·－4x＝－4，C 错误，故选 D.
知识点二 直接利用基本不等式求最值 5．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
答案 C 解析 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy，即 xy≤x＋2 y2＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，等号成立，所以 xy 的最大值为 81.
3x·1x＝3－2 3，当且仅当 3x＝1x，
4．设 x>0，则 x＋2x＋2 1－32的最小值为(
)
A．0
1 B.2
C．1
3 D.2
答案 解析
A 因为 x>0，所以 x＋12>0，所以 x＋2x＋2 1－32＝x＋12＋x＋1 12－
2.2.2基本不等式的应用【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
例题讲解
用篱笆围一个面积为1 00m2矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
例题讲解
用篱笆围一个面积为1 00m2矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xcm,ycm,篱笆的
长度为2（x+y）m.由已知得xy=100.
②如果和 最大值
x__+_14y_等S__于2 __定_；值S，那么当x
=y时，积xy有
（3）讨论等号成立的条件是否满足.
复习回顾
利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)a，b必须是正数.（一正） (2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值；
在ab为定值时，便可以知道a+b的最大值. （二定） (3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等）
因此，当这个矩形菜园是边长为９ｍ的正方形时，菜园的 面积最大，最大面积是81ｍ２．
练习
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
练习
用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
分析：可设宽 矩分 形 a别 和 的 b， 为 长 已和 知2周 c0m ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 长
则a 可 b 1,由 知 0 a b a b 2 可 a 得 b 2， 5 2
由 xy xy 得 xy2 xy2， 0
2
所以 2xy40
当且仅x当y10时，上式等.号成立
因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱 笆最短，最短篱笆的长度为40m．
练习
已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少 时，两条直角边的和最小，最小值是多少？
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
高中数学人教A版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式(第1课时)课件
AB的弦DE，连AD,BD,
D
A
a O C
b
a
b
B
ab
2
则OD=＿＿,CD=
＿＿＿＿
Rt△ACD∽Rt△DCB， DC 2 BC AC ab
ab
≥ ab
2
几何意义：半径不小于
弦长的一半
做两个直角边分别为 a, b的等腰直角三角形，通过比较面积的大小，
你能发现什么？
ab
已知a 0, b 0, 求证 ab
4
上题的内容称为最值定理，即
（1）若a,b>0，当 + =
时，2
⩾
当且仅当 = 时等号成立.
+
（2）若a,b>0 当 = 时，
⩾
2
， ⩽
， + ⩾
2 ，当且仅当 = 时等号成立.
和定积最大，积定和最小.
2
，
4
例3 （1）用篱笆围一个面积为100 2 的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为
多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边长分别为x m，y m，篱笆的长度为2( + ).
（1）由已知得 = 100.
+
2
由
⩾
，可得 + ⩾ 2 = 20，
人教版A版（2019）
第24届“国际数学家大会”会标
学习目标
1.掌握基本不等式及其结构特点.
2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
D
A
a O C
b
a
b
B
ab
2
则OD=＿＿,CD=
＿＿＿＿
Rt△ACD∽Rt△DCB， DC 2 BC AC ab
ab
≥ ab
2
几何意义：半径不小于
弦长的一半
做两个直角边分别为 a, b的等腰直角三角形，通过比较面积的大小，
你能发现什么？
ab
已知a 0, b 0, 求证 ab
4
上题的内容称为最值定理，即
（1）若a,b>0，当 + =
时，2
⩾
当且仅当 = 时等号成立.
+
（2）若a,b>0 当 = 时，
⩾
2
， ⩽
， + ⩾
2 ，当且仅当 = 时等号成立.
和定积最大，积定和最小.
2
，
4
例3 （1）用篱笆围一个面积为100 2 的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为
多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边长分别为x m，y m，篱笆的长度为2( + ).
（1）由已知得 = 100.
+
2
由
⩾
，可得 + ⩾ 2 = 20，
人教版A版（2019）
第24届“国际数学家大会”会标
学习目标
1.掌握基本不等式及其结构特点.
2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
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提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
课前篇 自主预习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
D.y=2-3x-4������≥2-4 3(x>0)
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:从基本不等式成立的条件入手,对每个选项判断.A 选项, 只有当 x>0 时,不等式才成立,A 错误;B 选项,因为 ab>0,所以������������>0,������������>0, 由基本不等式知 B 正确;C 选项,若最小值为 2,需( ������2 + 2)2=1,得 x2=-1,无实数解,不正确;D 选项,y=2- 3x+4������ ≤2-4 3,不正确.
������������.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
基本不等式与最值
已知x,y都是正数. (1)若 x+y=S(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值14S2. (2)若 xy=P(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 ������.
一二
3.做一做
已知x>0,y>0.
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
-1-
首页
课标阐释
思维脉络
1.理解基本不等式 ab ≤ a+2b(a,b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的求最大值
或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式和比较
代数式的大小.
课前篇 自主预习
一二
一、基本不等式 1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立).如果 a>0,b>0,我们用 ������、 ������分别代替不等式中的 a、b,可得到什么形式?
课前篇 自主预习
一二
二、利用基本不等式求最值 1.填写下面的两个表格:
x+y x(x>0) y(y>0)
10 10 10 10 10 10 10 10 10 123456789 987654321
xy
xy x(x>0) y(y>0) x+y
1 1 1 1 11111 1111 12345 5432
-1
1 ������
-1
≥8.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式, 从而达到放缩的目的. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不 等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1” 替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是
;
(2)若x+y=4,则xy的最大值是
.
解析:(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴x+y≥2 ������������=4.
当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴x+y 的最小值为 4.
(2)当 x+y=4 时, ������������ ≤ ������+2������=2,
课前篇 自主预习 一二
(4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点 C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD.
①AB 表示什么?②������+2������表示哪条线段?③ ������������对应哪个线段呢?④ OD 与 CD 的大小关系如何?从中你能发现什么?
于是(ab+cd)(ac+bd)≥2 ������������������������·2 ������������������������=4abcd.
当且仅当 ab=cd,且 ac=bd 时等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)由于
a+b=2,所以1������
+
1 ������
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4������������=4,当且仅当 a=4b, 即 a=2,b=12时取等号.
答案:(1)A (2)4
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最 大值.
答案:B 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
变式训练1下列结论不成立的是( ) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若 x≠0,则 x2+���1���2≥2 C.若������������ + ������������≥2,则必有 a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a 解析:由基本不等式可知,若������������ + ������������≥2 成立,则有������������>0,������������>0,因此 a>0,b>0 或 a<0,b<0,故 C 选项不成立.
=
1 2
������+������ ������
+
������+������ ������
=
1 2
������ ������
+
������ ������
+
2
≥
1 2
2
������ ������
·������������
+
2
=2,
当且仅当������
������=Biblioteka ������������,即
a=b
时等号成立.故1������
1 ������
-1
1 ������
-1
1 ������
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;
又1������-1=1���-���������
一二
课前篇 自主预习
根据以上表格,并结合基本不等式分析:
(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?
(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?
提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
答案:C
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> ������������ + ������������ + ������������.
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
+
1������≥2.
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
探究三利用基本不等式求最值
例3(1)已知x>0,则
9 ������
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
∴xy≤4,当且仅当 x=y=2 时,等号成立, ∴xy 的最大值为 4.
答案:(1)4 (2)4
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探究一
探究二
探究三 随堂演练
基本不等式的理解
例1下列命题正确的是( )
A.若 x≠0,则 x+4������≥4
B.若 a,b∈R,且 ab>0,则������������ + ������������≥2
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
变式训练2(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)已知 a>0,b>0,且 a+b=2,求证:1������ + 1������≥2. 证明(1)因为 a,b,c,d 都是正数,所以
ab+cd≥2 ������������������������,ac+bd≥2 ������������������������,
C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
D.y=2-3x-4������≥2-4 3(x>0)
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
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解析:从基本不等式成立的条件入手,对每个选项判断.A 选项, 只有当 x>0 时,不等式才成立,A 错误;B 选项,因为 ab>0,所以������������>0,������������>0, 由基本不等式知 B 正确;C 选项,若最小值为 2,需( ������2 + 2)2=1,得 x2=-1,无实数解,不正确;D 选项,y=2- 3x+4������ ≤2-4 3,不正确.
������������.
一二
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2.填空
基本不等式与最值
已知x,y都是正数. (1)若 x+y=S(和为定值),则当 x=y 时,积 xy 取得最大值14S2. (2)若 xy=P(积为定值),则当 x=y 时,和 x+y 取得最小值 2 ������.
一二
3.做一做
已知x>0,y>0.
一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
-1-
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思维脉络
1.理解基本不等式 ab ≤ a+2b(a,b≥0). 2.能用基本不等式解决简单的求最大值
或最小值的问题.
3.能运用基本不等式证明不等式和比较
代数式的大小.
课前篇 自主预习
一二
一、基本不等式 1.(1)在上节课中,我们学习了一个重要不等式:若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,等号成立).如果 a>0,b>0,我们用 ������、 ������分别代替不等式中的 a、b,可得到什么形式?
课前篇 自主预习
一二
二、利用基本不等式求最值 1.填写下面的两个表格:
x+y x(x>0) y(y>0)
10 10 10 10 10 10 10 10 10 123456789 987654321
xy
xy x(x>0) y(y>0) x+y
1 1 1 1 11111 1111 12345 5432
-1
1 ������
-1
≥8.
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探究一
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反思感悟 利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式, 从而达到放缩的目的. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不 等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1的代换”,即把常数“1” 替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明.
(1)若xy=4,则x+y的最小值是
;
(2)若x+y=4,则xy的最大值是
.
解析:(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴x+y≥2 ������������=4.
当且仅当 x=y=2 时,等号成立,
∴x+y 的最小值为 4.
(2)当 x+y=4 时, ������������ ≤ ������+2������=2,
课前篇 自主预习 一二
(4)如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b.过点 C作垂直于AB的弦DD',连接AD、BD.
①AB 表示什么?②������+2������表示哪条线段?③ ������������对应哪个线段呢?④ OD 与 CD 的大小关系如何?从中你能发现什么?
于是(ab+cd)(ac+bd)≥2 ������������������������·2 ������������������������=4abcd.
当且仅当 ab=cd,且 ac=bd 时等号成立.
故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.
(2)由于
a+b=2,所以1������
+
1 ������
立,此时取得最小值 6.
(2)因为 a>0,b>0,且 ab=1,所以 a+4b≥2 4������������=4,当且仅当 a=4b, 即 a=2,b=12时取等号.
答案:(1)A (2)4
探究一
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延伸探究 例题第(2)问,改为“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最 大值.
答案:B 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
探究一
探究二
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变式训练1下列结论不成立的是( ) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若 x≠0,则 x2+���1���2≥2 C.若������������ + ������������≥2,则必有 a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a 解析:由基本不等式可知,若������������ + ������������≥2 成立,则有������������>0,������������>0,因此 a>0,b>0 或 a<0,b<0,故 C 选项不成立.
=
1 2
������+������ ������
+
������+������ ������
=
1 2
������ ������
+
������ ������
+
2
≥
1 2
2
������ ������
·������������
+
2
=2,
当且仅当������
������=Biblioteka ������������,即
a=b
时等号成立.故1������
1 ������
-1
1 ������
-1
1 ������
-1
≥8.
分析:(1)不等式的左边是和式,右边是带根号的积式之和,用基本
不等式,将和变积,并证得不等式.(2)不等式右边的数字为8,使我们
联想到对左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘;
又1������-1=1���-���������
一二
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根据以上表格,并结合基本不等式分析:
(1)当x+y是定值时,xy有最大值还是最小值?最值等于什么?
(2)当xy是定值时,x+y有最大值还是最小值?最值等于什么?
提示:填表略,(1)当x+y是定值时,xy有最大值,且最大值等于
������+������ 2
2
;(2)当 xy 是定值时,x+y 有最小值,且最小值等于 2
答案:C
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探究二利用基本不等式证明不等式
例 2(1)已知 a,b,c 为不全相等的正实数,
求证:a+b+c> ������������ + ������������ + ������������.
(2)已知 a,b,c 为正实数,且 a+b+c=1,
求证:
+
1������≥2.
探究一
探究二
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探究三利用基本不等式求最值
例3(1)已知x>0,则
9 ������