学而思初三数学秋季班第1讲.圆中三大基本定理.尖子班.教师版

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初三秋季·第1讲·尖子班·教师版

π是什么？

满分晋级阶梯

漫画释义

圆5级

圆中三大切线定理

圆4级

圆中三大基本定理 圆3级 正多边形 和圆与圆中的计算 1

圆中三大基本定理

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中考内容

中考要求

A

B

C

圆的有关概念 理解圆及其有关概念

会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题

圆的性质

知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题

能运用圆的性质解决有关问题 圆周角

了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角

会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题

能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 垂径定理 会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论 能用垂径定理解决有关问题

点与圆的位置关系

了解点与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念

能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题

能解决与切线有关的问题

圆与圆的位置关系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题

弧长 会计算弧长 能利用弧长解决有关问题 扇形

会计算扇形面积

能利用扇形面积解决有关问题

圆锥的侧面积和全面积

会求圆锥的侧面积和全面积 能解决与圆锥有关的简单实际问题

圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考中考考点分析

中考内容与要求

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查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新题型。

要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。

年份 2011年 2012年 2013年 题号 20，25 8，20，25 8，20，25 分值

13分 17分 17分 考点

圆的有关证明，计算（圆周角定理、切线、等腰三角形、相似、解直角三角形）；直线与圆的位置关系

圆的基本性质，圆的切线证明，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系

圆中的动点函数图像，圆的基本性质(垂径定理、圆周角定理)，圆同相似和三角函数的结合；直线与圆的位置关系

垂径定理反映的是经过圆心的直线和圆中弦的关系，“要求弦长，先求弦长的一半”，注意对由半径、半弦长和弦心距构成的直角三角形模型的理解和应用. 暑期知识点回顾：

定 理

示例剖析

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题型一：垂径定理

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1. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

2. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是弦

E D

C

B

A

O

1. 若AB CD ⊥于E ，则CE DE =； AC AD =；BC BD =．

2. 若CE DE =，则AB CD ⊥； AC AD =；BC BD =．

【例1】 ⑴ 如图，BD 是⊙O 的弦，点C 在BD 上，以BC 为边作等边三角形

△ABC ，点A 在圆内，且AC 恰好经过点O ，其中BC =12，OA =8， 则BD 的长为（ ）

A ．20

B ．19

C ．18

D ．16

（2012通州一模）

⑵ 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，以点C 为 圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 ．

（2013黄石）

【解析】

⑴A; ⑵5

18

.

【例2】 ⑴ 如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=︒，

2AB =．设AE x =，22CE DE y +=．下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的是（ ）

A B C D

32

12y 21O

12x x

21

O

12y y 21O

1

2x

2121

O

x

y

（2012海淀期中）

⑵ 如图，圆心在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点()1 0，A ，过点()7 0-，P 的直线l 与

典题精练

B

A

O C D

B

A

C

D E

B

D

A

O

C

x y

l P

D

C

B

O

A

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⊙B 相交于C 、D 两点．则弦CD 长的所有可能的整

数值有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

（2013乐山）

【解析】⑴A;

⑵∵()1 0，A ，圆的半径为5，∴()4 0-，B ，又∵()7 0-，P ，∴3=BP ，

① 当CD 垂直圆的直径AE 时，CD 的值最小， 连接BC ，在Rt △BCP 中，422=-=BP BC CP ， 故82==CP CD ，

② 当CD 经过圆心时，CD 的值最大，此时10==AE CD ； 综上可得：弦CD 长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个． 故选C ．

【备选1】如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的

两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为

12h h ，，则12h h - 等于__________．

【解析】 解法一：设AB MN 、相交于P ，过O 点作OH MN ⊥于H ，连结NO ．

由垂径定理114522

NH MN NO AB ====，，∴3OH =， ∵AE MN BF MN OH MN ⊥⊥⊥，，，∴AE OH BF ∥∥， ∴AE AP BF BP OH OP OH OP ==，，即1233h AP h BP OP OP

==，， ∴123h h AP BP

OP

--=

当P 点在O 点左侧时，AP BP <，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=--+=

当P 点在O 点右侧时，AP BP >，()()2AP BP AO OP BO OP OP -=+--= ∴126h h -=． 解法二：极端假设法

⑴当N 点运动到与A 点重合时，10AE h ==，2BF h BM ==， 此时ABM △是直角三角形，226BM AB MN -=，∴126h h -=．

x

y l E

P

D

C

B O A A E F M

N O

h 1h 2

H P A E F M N O h 1h 2