沪科版-数学-八年级上册-《等腰三角形》要点全析

等腰三角形 要点全析

1．等腰三角形（isosceles triangle ）

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC 中，AB ＝AC ，则△ABC 是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC 叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC ，底边和腰的夹角∠ABC 和∠ACB 叫底角．

如图14-3-2中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，那么，AC 、BC 为腰，AB 边为底，∠A 、∠B 为底角，∠C 为顶角．

【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：

（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB 为底，∠C 为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．

（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小

于第三边）．若图14-3-1中，AB ＝AC ＝m ，BC ＝a ，则2m ＞a ，即m ＞2a

时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5． 例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？

①a ＝2，b ＝3，c ＝5；②a ＝4，b ＝3，c ＝2；

③a ＝1，b ＝2，c ＝2；④a ＝2 005，b ＝2 004，c ＝2 008．

（2）已知等腰三角形的两边为6 cm ，7 cm ，求其周长．

（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm ，7 cm ，求其周长．

解：（1）①由于2＋3＝5，即a ＋b ＝c ，而不满足a ＋b ＞c ，

∴ 不能组成三角形．

②由于2＋3＝5＞4，即b ＋c ＞a ，所以a 、b 、c 可以组成三角形．

③由于1＋2＞2，即a ＋b ＞c ，所以a 、b 、c 可以组成三角形．

④由于a ＋b ＞c ，因此a 、b 、c 可以组成三角形．

（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm 、7 cm

当腰长为6 cm 时，周长为6＋6＋7＝19（cm ）

当腰长为7 cm 时，周长为6＋7＋7＝20（cm ）．

∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．

（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．

2．等腰三角形的性质

1

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C

证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．

∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．

又∵AD为△ABC的对称轴，

∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．

∴∠B＝∠C

证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，

在△ABD和△ACD中

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∠

∠

AD

AD

CAD

BAD

AC

AB

＝

＝

＝

∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C

【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．

证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，

在△ABD和△ACE中，

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

︒

∠

∠

∠

∠

，

＝

＝

（公共角），

＝

，

＝

90

AEC

ADB

A

A

AC

AB

∴△ABD≌△ACE（AAS）．

∴BD＝CE

在Rt△BCD和Rt△CBE中，⎩

⎨

⎧

CE

BD

CB

BC

＝

＝

∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．∴∠B＝∠C．

证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE．

∵AB＝AC，AD＝DC＝2

1

AC，AE＝BE＝2

1

AB，

∴AD＝BE＝AE＝DC

在△ABD和△ACE中，

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

∠

∠

，

＝

，

＝

，

＝

AE

AD

A

A

AC

AB

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD＝CE．

在△BCE和△CBD中

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

，

＝

，

＝

，

＝

CD

BE

BD

CE

CB

BC

∴△BCE≌△CBD（SSS）．

∴∠ABC＝∠ACB．

【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．

3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．