固体物理第二章第四节 倒格子

二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子
或对G v布h•拉R vn维格2子m,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子 v
(re将cipR v rn o can l1 a lv a1 t tin c2 ea v )2 . G n h 3 称a v 3 为代倒入格G 矢vh•R vn2m,
G v hh 1 b v 1h 2b v 2 对h 3 b v 3
应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子
h1,h2,h3为整数
v vvv
显然,如果令 G h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3h1,h2,h3为整数
当 b v i• a v j 2i j;i 1 ,2 ,3 ;j 1 ,2 ,3 满足时，
则下式自然成立：
n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m
第四节 倒格子
本节主要内容: 一、 概念的引入 二、 倒格子是倒易空间的布拉维格子 三、 倒格矢与晶面 四、 倒格子的点群对称性
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§2.4 倒格子
一、概念的引入 晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的 布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内 容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本 粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动 量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率 的波,波也是物质存在的一种基本形式.
或： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3
由于 a为v1,基av2,矢av3，互不共面，则由
描bvi •述av倒j 格2可子G v 知h 。ij h 1 b v 1 亦h 2 bb v v应12 , bv该2h ,3 b b不v v3 3 共面，从而可以用
v vvv
由于 G h h 1 b 1 h 2 为b 2倒 h 格3 b 3 矢，如果把倒格矢所在
的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal
space),则由于
不共面，bv1,自bv2然,bv3可以成为倒易
空间的基矢。
和 R v n n 1 a v 1 n 2 对a v 2比 n ,3 表a v 3明
波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结 构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如 果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与 位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均 应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质 量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是
A (g v ) 0 o r e ig v • R v n 1
F(rv) A(gv)eigv•rv0 不合要求，应舍去
gv
所以 eigv•Rvn 1
也就是说,一定存在某些 gv使得当 eigv•成Rvn 立1时
F(rv)F(rvR vn)成立
由于 g与v
格子,自然
存也Rv n 在可上以gv 述描对述应同关样系的,布可拉以Rv维n 描格述子布,且拉维与
倒格子(reciprocal lattice)
v G h 称为倒格矢
利用倒格矢，满足 F(rv)F 的(傅rv 里R 叶vn)展
开为:
F(rv)
v
v A(Gh
v
)eiGh
•rv
Gh
v 1
A(Gh)
F(rv)eiGvh•rvdrv
意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转
变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。
如此。F(rv 不)失 一F 般(性rv， 上R v 述n函)数布可拉统维一格写矢为：
1. 周期函数的傅里叶展开
由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将
其展开成傅里叶级数：
F(rv) A(gv)eigv•rv gv
展开系数
展开系数
A(gv)1 F(rv)eigv•rvdrv
因为：F (r v)F (r vR v n)
2. 定义
或对G v布h•拉R vn维格2子m,中(所m为有整格数矢)的Rv n 全，部满G足v h 端eiGv点h•Rv的n 集1
合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子
(reciprocal lattice)
v
与倒格子的定义对应，由格矢 的R n 端点所描述
的由布拉Gv端维h 点格的子集，合称所为描正述格的子布(d拉ire维ct格lat子tic，e)称为
得： n 1 G v h • a v 1 n 2 G v h • a v 2 n 3 G v h • a v 3 2 m
欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意
整数，则要求： G v h • a v 1 2 h 1 ; G v h • a v 2 2 h 2 ; G v h • a v 3 2 h 3
第一gv 章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因
而,凡是波矢 和布拉gv 维格矢满足
eigv•Rvn 的1
波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子
的由来. c o s ( g v • R v n ) 1 g v • R v n 2 m ; w h e r e m i s i n t e g e r
原胞体积
所以：A(g v) 1F(rvR vn)eig v•rvdrv
令 rvrvRvn 则：r v r v R v n d r v d r v
则 A (g v ) 1F ( r v ) e ig v • (r v R v n )d r v 1F ( r v ) e ig v • r v e ig v • R v n d r v
A (g v ) 1 F (r v )e ig v • r v e ig v • R v n d r v 1 F (r v )e ig v • r v d r v e ig v • R v n
A ( gv)
A ( g v ) A ( g v ) e i g v • R v n A ( g v ) [ 1 e i g v • R v n ] 0