时间序列分析实验报告

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

实验报告

课程名称：时间序列分析

设计题目：非平稳时间序列建模

院系：电信学院

班级：

设计者：

学号：

指导教师：冀振元

设计时间： 2010-05-07

一、绪论

稳序列的直观含义就是序列中不存在任何趋势性和周期性,其统计意义就是一阶矩为常数，二阶矩存在且为时间间隔t 的函数。但是在实际问题中，我们常遇到的序列，特别是反映社会、经济现象的序列，大多数并不平稳，而是呈现出明显的趋势性或周期性。这时，我们就不能认为它是均值不变的平稳过程，需要用如下更一般的模型——t t t X Y μ=+来描述。其中,t μ表示t X 中随时间变化的均值,它往往可以用多项式、指数函数、正弦函数等描述，而t Y 是t X 中剔除趋势性或周期性t μ后余下的部分，往往可以认为是零均值的平稳过程，因而可以用ARMA 模型来描述。具体的处理方法可分为两大类：一类是通过某些数学方法剔除掉t X 中所包含的趋势性或周期性（即t μ），余下的t Y 可按平稳过程进行分析与建模，最后再经反运算由t Y 的结果得出t X 的有关结果。另一类方法是具体求出t μ的拟

合形式，求出t μ

ˆ，然后对残差序列{t t X μˆ-}进行分析，该残差序列可以认为是平稳的。利用前述方法可以求出t

Y ˆ，最后综合可得t t t Y X μˆˆˆ+=。如果我们对t μ的形式并不敢兴趣，则可以采取第一类方法，否则可以用第二类方法。需要再强调的一点是，时间序列非平稳性的表现是多种多样的，这里我们所能分析处理的仅是一些较为特殊的非平稳性。

二、建模原理

2.1平稳化方法

2.1.1差分

一般而言，若某序列具有线性的趋势，则可以通过对其进行一次差分而将线性趋势剔除掉，然后对差分后的序列拟合ARMA 模型进行分析与预测，最后再通过差分的反运算得到t X 的有关结果。做一次差分可记为t X ∇，则

1--=∇t t t X X X

(1) 如果对一阶差分结果再进行差分，则称为高阶差分，差分的次数称为差分的阶，d 阶差分记为t d X ∇。

2.2.2 季节差分

反映经济现象的序列，不少都具有周期性，例如，刚收获的小麦，由于供应充足，价格一般是较低的，然后随着供应量的减少，价格会逐渐上涨，直至下一个收获季节又重新开始这一周期。设t X 为一含有周期S 的周期性波动序列，则,2_,,s t s t t X X X ++…为各相应周期点的数值，它们则表现出非常相近或呈现某一趋

势的特征，如果把每一观察值同下一周期相应时刻的观察值相减，这就叫季节差分，它可以消除周期性的影响。季节差分常用s ∇表示,s t t t s X X X --=∇其中S 为周期。

2.2.3对数变换与差分运算的结合运用

如果序列t X 含有指数趋势，则可以通过取对数将指数趋势转化为线性趋势，然后再进行差分以消除线性趋势。

2.2齐次非平稳

在除去局部水平或趋势以外，某些非平稳时间序列显示出一定的同质性，即序列的某一部分与任何其他部分极其相似。这样的序列往往经过若干次差分后可转化为平稳序列，这种非平稳性称为齐次非平稳性，差分的次数称为齐次性的阶。实际中较为常见的是一阶和二阶的齐次非平稳性，表现为两种情形：第一种是序列呈现出水平非平稳性，除了局部水平不同，序列是同质的，也就是说序列的一部分和其他部分非常相似，只是在垂直方向上位置不同。这样的序列经过一次差分后可转化为平稳序列。第二种是序列呈现出水平和斜率的非平稳性，序列既没有固定的水平，也没有固定斜率，除此之外，序列是同质的，这样的序列经过两次差分后可转化为平稳序列。

2.3 ARIMA 模型

对于d 阶齐次非平稳序列t X 而言，t d X ∇是一个平稳序列，设其适合ARMRA （p,q ）模型，即

t t d a B X B )())((Θ=∇φ （2） 也可写作：

t t d a B X B B )()1)((Θ=-φ （3） 其中：

p p B B B B ϕϕϕφ----=....1)(221 （4） q q B B B B θθθ----=Θ...1)(221 （5）

称此模型为求和自回归滑动平均模型（Integreated Autoregressive Moving Average Model ），简记为ARIMA （p,d,q ），其中p,d,q 分别表示自回归阶数、差分阶数和移动平均阶数。之所以称之为求和自回归滑动平均模型,是因为差分的反运算即位求和运算。

常见的ARIMA 模型有以下几种： 1.ARIMA （0,1,1）

t t a B X B )1()1(1θ-=- （6） 也可写作：

111---=-t t t t a a X X θ （7）

这就是说，t X 是1阶齐次非平稳序列，一次差分后适合MA （1）模型，值得

注意的是，不能认为t X 是平稳ARMA （1,1）序列，因为其特征根r=1，不在单位圆内。

2.ARIMA （0,2,2）

t t a B B X B )1()1(2212θθ--=- （8） 即序列t X 两次差分后适合MA(2)模型。

3.ARIMA （1,1,1）

t t a B X B B )1(])1)[(1(11θϕ-=-- （9） 即t X 经一次差分适合ARMA （1,1）模型。

三、仿真试验

如图3-1所示,为某市1985年-1993年各月工业生产总值(数据见附录1)。可以看出X t 具有明显的周期性，做一次差分Y t =X t -X t-12，剔除掉周期性。这样就可以按照平稳序列线性模型的知识来进行模式识别，参数估计等。

1.求出差分后的数据的均值，并使序列零均值化，也就是将Y t -μ,11N

j j N Y μ==∑得到的序列为零均值的平稳随机序列t W ,如图3-2所示。

2.求W t 的样本自相关函数k ρˆ和样本偏相关函数kk

φˆ，本例中选取的k=0，1，2，…，24,以保证k 相对于n 不能取太大。

1122...ˆ;k 0,1,2,,24k k n k n k WW W W W W r n ++-+++==⋯ （10）

0ˆˆˆ/;k 0,1,2,,24k k r r ρ==⋯ （11） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛---k k k kk k k ρρ

ρ

ρρρ

ρρρρ

ρρρ

ρ

φφφˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ1ˆˆˆ211

121

1221112121

（12）

图3-1:某市1985年-1993年各月工业生产总值X t