高等数学导数的应用ppt

第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
y
y
o
x0

x0 o (是极值点情形)

x
x
y

x
y

x0
o
x0
o
x
(不是极值点情形)
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定理3.2.4（极值的第二充分条件）设函数f(x)在点 x0处二阶可导，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，则 （1）当f (x0) <0时，函 f(x)在点x0 处取得极大值； （2）当f (x0) >0时，函 f(x)在点x0 处取得极小值． 注： 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点，而第
x f ( x ) f ( x)
(-,-2) +
0
(-2,-4/5) -4/5
(-4/5，1) +
1 0
无极值
(1,+ )
+
0
极大值 0
-
0
极小值 -8.4
所以f(x)在x=0处取得极大值为0，在x=-4/5 处取得极小 值为-8.4．
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第二节 函数的性质
例9 求函数 f ( x ) 2 x 3 6 x 2 18 x 7的极值 解
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第二节 函数的性质
y
y f ( x)
x
a x1 x4
f(x)的极小值点:
o x2
x5
x3
bBiblioteka Baidu
x1 x2 f(x)的极大值点: x4 x5
x3
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
极值的必要条件
定理3.2.2（极值的必要条件）设函数f(x)在点x0处
可导，且在点 x0处取得极值，那么函数 f(x)在点x0处的
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.
解 （1）函数的定义域为(-,+)； 令f (x)=0 ，得 x1=-1,x2=3 ． （3）它们将定义域划分为三个子区间： (-,-1) , (-1,3),(3, +)；
（2） f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，无不可导点
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第二节 函数的性质
例8 求函数 f ( x ) ( x 2)2 ( x 1)3的极值
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
（2） f ( x ) ( x 2)( x 1)2 (5 x 4) ,无不可导点 4 令f (x)=0 ，得 x1 2, x2 , x3 1 5 （3）列表
当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么
只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分 f(x)的定义域，就能保证在各个部分区间上单调。 （单调区间的分界点为驻点和不可导点）
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求函数单调区间的步骤： （1）确定f(x)的定义域； （2）求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点 （除指定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干 个子区间； （4）确定f (x)在各部分区间的符号，据判定定理判 定出f (x)的单调性
（1）函数的定义域为(-,+)；
（2） f ( x ) 6( x 3)( x 1) ,无不可导点
令f (x)=0 ，得 x1 1,
x2 3
2 2 （3） f ( x ) 6( x 1)(5 x 1)
因为 f ( 1) 24 0
f (3) 24 0
x
f ( x ) f ( x)
(-,-1) +
-1 0 驻点
(-1,3) -
3 0 驻点
(3,+ ) +
所以(-,-1]和[3, +)是单调增区间， [-1,3]是单调减区间．
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例5 求函数 f ( x ) ( x 2) x 的单调区间.
解 （1）函数的定义域为(-,+)；
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
第三章
导数的应用
第一节 微分中值定理
第二节 函数的性质
第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
第二节 函数的性质
本节主要内容:
一.函数的单调性
二.函数的极值
三.函数的最值 四.曲线的凹凸性 五.曲线的渐近线
六.函数的分析作图法
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
（1）当x<x0时 f (x)>0 ，当x>x0时f (x)<0 ，则f(x0)为 函数f(x)的极大值；
（2）当x<x0时 f (x)<0 ，当x>x0时f (x)>0 ，则f(x0)为 函数f(x)的极小值； （3）当x<x0与x>x0时f (x)的符号相同，则f(x0)不是函 数f(x)的极值．
当f(x)在某区间内仅在个别点处的导数为0或不存在，
而在其余各点处导数均为正（或负）时，f(x)在该区 间仍是单增（或单减）的。
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第二节 函数的性质
例2 讨论函数f(x)=ex-x-1的单调性.
解
函数的定义域为(-,+)； y =ex-1，
当x>0时， y>0 ,函数在( 0,+ )上单调增加 当x<0时， y<0,函数在(-, 0)上单调减少 当x=0时， y=0； x=0为单调区间的分界点
二充分条件只能对驻点判定；
2、当f (x0) =0时，无法判定 f(x)在点x0处是否有极值
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求极值的方法： （1）确定函数f(x)的考察范围，（除指定范围外，考 察范围一般是指函数定义域）； （2）求出函数f(x)的导数 f (x)；求出函数 f(x)的所有 驻点及不可导点，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的 点； （3）列表，利用第一充分条件或第二充分条件，判 定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点，并求出 相应的极值．
调减少．
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第二节 函数的性质
单调性的应用 利用导数性质来判断函数的性质，它包含两个典 型的问题： （1）求函数单调区间 （2）证明不等式，通常是两项不等式
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例1 讨论函数y=x3的单调性.
解 y= x3的定义域为(-,+)；
y =3x2，当x∈ (- ,0)和 (0 ,+)时， y>0 当x=0时， y=0 由函数图像可知函数在(-,+)上是单调递增的
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不
可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图. 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值. o
y=|x|
x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
极值的充分条件 定理3.2.3（极值的第一充分条件）设函数f(x)在点 x0某个空心邻域内可导（ f (x0)可以不存在），x为该 邻域内任意一点，
2 3
第二节 函数的性质
（2） f ( x )
5x 4
33x 令f (x)=0 ，得,x2=4/5 ． （3）将定义域分为三个区间 (-,0),(0,4/5),(4/5, +)；
,不可导点为x1=0.
x
f ( x ) f ( x)
(-,0) +
0
不存在
不可导点
(0,4/5) -
4/5 0 驻点
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例7 证明：1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
( x 0).
证明 令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
则 f '( x ) ln( x 1 x 2 ) 0 ( x 0) 所以：当x>0时， y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加
所以f(x)在x=-1处取得极大值为17，在x=3 处取得 极小值为-47．
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第二节 函数的性质
三、函数的最值
定义3.2.2 设函数f(x)在区间I上有定义，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，则称f(x1)为函数 f(x)的最大值， x1为函数f(x)的最大值点； （2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，则称f(x2)为函数 f(x)的最小值，x2为函数f(x)的最小值点． 函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函 数取得最值的点称为最值点．
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我 们引入极值与极值点的概念.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有 定义， x N ( x0 , ) ，都有
（1）f(x)<f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极大值； （2）f(x)>f(x0)成立，则称f(x0)为函数f(x)的极小值． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取 得极值的点称为极值点． 注： 1、极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2、函数的极值概念具有局部性；在小范围内比较， 该点的函数值较大或较小，而不是在整个定义域上最 大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大； 3、函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端 点。
又因为： f(0)=0，
所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0)，即不等式成立.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
二、函数的极值
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图: y M y= ƒ(x) a
o m
1
2
b x
在1处的函数值f(1) 比它附近各点的函数值都要小; 而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;
导数为零，即 f (x0) =0．
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
说明： 1、可导函数的极值点必是它的驻点. 从而有几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是 与 x 轴平行的 (罗尔定理) . 2、对可导函数来说, 驻点不一定是极值点. 即曲线上有水平切线的地方, 函数不一定有极值. 如 y 3 2 f ( x ) x , f '( x ) 3 x , f (0) 0 y x3 则x =0 为 f (x) = x3 的驻点. 如图：x =0 不是f (x) = x3 的极值点. o x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
y
y
y
o a
b x
o a
b x
o
a
b x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
说明： 1. 最值是一个整体概念，在某一范围内，最值若存在， 只能是唯一的； 2. 最值点可以是 I 内部的点，也可以是端点； 3. 如果最值点不是I 的端点，那么它必定是极值点；极 值点不一定是最值点 4. 当函数存在唯一的极值点时，函数的极大（小）值 就是函数的最大（小）值.
一、函数的单调性
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定理3.2.1（函数单调性的判定法）设y=f(x)在[a,b]
上连续，在开区间(a,b)内可导，则
（1)如果在(a,b)内f (x)>0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单
调增加；
（2)如果在(a,b)内f (x)<0 ，那么函数y=f(x)在[a,b]上单
(4/5,+ ) +
所以(-,0]和[4/5, +)是单调增区间, [0,4/5]是单调减区间．
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
利用单调性证明不等式 例6 证明：当x>0时，ex>1+x ． 证明 令f(x)=ex-1-x ，则f(x)在[0,+ )上连续、可导,且 f (x)= ex-1 当x>0时， y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加 所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0)=0，即ex-1-x>0 所以当x>0时， ex>1+x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求最值的方法（一）： （1）确定函数f(x)的考察范围（除指定范围外，考察范 围一般是指函数定义域）； （2）求出函数 f (x)在内的所有可能极值点：驻点及不 可导点，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的点； （3）计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点a，b处 的函数值； （4）比较这些函数值，其中最大者的即为函数的最 大值，最小者的即为函数的最小值．
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
2 3
2 1 2 3 解 函数的定义域为(-,+)； y x 3 33 x 当x>0时， y>0 ,函数在( 0,+ )上单调增加
当x<0时， y<0,函数在(-, 0)上单调减少
当x=0时， y不存在. x=0为单调区间的分界点
例3 讨论函数 f x x 的单调性.