高等数学导数的应用ppt

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高等数学精品课件2-2导数的计算法则

高等数学精品课件2-2导数的计算法则

3(x sin2 x)2 (1 sin 2x)
12
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
例2 求 y 1 x 的导数. 1 x

y
2
1 1 x
1 1
x x
'
2
1 1
x
1 x 1 1 x2
x
1
1
x 1
x2
1 x
1 x
13
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
如果 y f u 在点 u 处可导,u g x 在点 x 处可导,则复合函数
y f g x 在点 x 处可导,且有
dy dy du(即yx f u gx)
dx du dx
由 u 在g 点x 处连续x (可导⇒连续)知,
当 x 时,0
u g x x g x 0, 故 lim ,li因m 此,0
x0
u0
dy dx
lim y x0 x
lim
x0
f
u
u x
u x
f u gx

dy dx
dy du du dx
7
一、复合函数的求导法则
第二章 一元函数微分学及其应用
复合函数的求导法则也称为链式法则,它可推广到有限个函数复合的情形.
比如,若 y f u,u g v 和 v h x 可导,则 y f {g[h(x)]}
例如, y sin2 x 由 u sin x 和 y u2 复合而成,
y
ln
x2 x2
1 1

u
x2 x2
1 1
和 y ln u复合而成.
2
课前导读

高等数学(理工科)课件第3章导数的应用

高等数学(理工科)课件第3章导数的应用

0
0

f (x) ↗ 大

极大值 f (1) 10,





极小值 f (3) 22.
高等数学应用教程 3.2.1 函数的极值及其求法
解法2 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) f (x) 6x 6 6(x 1)
令 f ( x) 0, 得驻点 x1 1, x2 3. 由于 f (1) 12 0, 则 f (1) 10为极大值 由于 f (3) 12 0, 则 f (3) 22为极小值
1、求出函数 f(x)所有的临界点(驻点和不可导点);
2、计算各临界点的函数值和区间端点的函数值;
3、比较各函数值的大小,其中最大的就是函数 f(x)在区 间[a, b]上的最大值,最小的就是函数 f(x)在区间[a, b] 的最小值.
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值 例3
高等数学应用教程 3.2.2 函数的最大值与最小值
2
arctan
1 n
n
( n 为正整数)?
高等数学应用教程
二、 型未定式
定理3.3.2 如果函数 f (x)和g (x)满足:
2)
f
( x)、g ( x)
,在
o
U(x0 )
内可导,且
f (x)
3) lim
A
xx0 g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xx0 g(x) xx0 g(x)
高等数学应用教程
3.1 函数的单调性与凹凸性
3.1 函数的单调性与凹凸性
上面图形的形状可以通过导数的知识加以 研究解决,为此先介绍拉格朗日中值定理

导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)

导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)

图 ( 1 ) 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”, 在区间 ( 0 , 1 ) 上各点处 的切线斜率始终大于 1 ; 图 ( 2 ) 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”, 在区间 ( 0 , 1 ) 的右半段的切线斜率小于 1 ; 图 ( 3 ) 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”, 在区间 ( 0 , 1 ) 的左半段的切线斜率小于 1 ; 图 ( 4 ) 中的曲线越来越 “ 平缓 ”, 在区间 ( 0 , 1 ) 上各点处 的切线斜率始终小于 1. 因此 , 只有图 5-3-1 ( 1 ) 中的图像有可能表示函数 y = f( 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 .
例4.确定函数(f x)=x2的单调区间 .
解函数在x 0处没有定义 .当x 0时,f (x)=-2x3,
方程f′( x )=0 无解 , 所以函数 f( x )没有驻点 . 但当 x >0 时 ,f′( x ) <0 ,f( x ) 单调递减 ; 当 x <0 时 ,f′( x) >0 , f( x ) 单调递增 . 可 见 , 函数 f ( x ) 的严格递增区间为 (-∞,0), 严格 递减区间为(0,+∞)
课本练习 宋老师数学精品工作室
1. 利用导数研究下列函数的单调性 , 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 :
宋老师数学精品工作室 2. 确定下列函数的单调区间 :
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y=x2cos 2x的导数为( )
A.y′=2xcos 2x-x2sin 2x
B.y′=2xcos 2x-2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 . 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 : 导数f′( x 0 ) 是函数 f( x ) 在点 x 0 的切线的斜率 , 所以它描述了曲线 y=f( x ) 在点 x0 附近相 对于x轴的倾斜程度 : 当f′( x 0 ) >0 时 ,f′( x0 ) 越大 , 曲线 y = f ( x ) 在点 x 0 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ,f( x ) 递增得 越快 ; 而当f′( x 0 ) <0 时 ,f′( x 0 ) 越小 , 曲线y = f ( x ) 在点 x0 附近相对于x轴倾斜得越厉害 , f ( x ) 递减得越快 . 综合这 两个方面 , 导数的绝对值越大 , 函数图像就越 “ 陡峭 ”, 也就是 函数值变化速度越快 .

电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分

电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分

中国劳动社会保障出版社
2.1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
中国劳动社会保障出版社
2.1 导数的概念 例题解析
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2.1 导数的概念
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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
导数的概念 导数的运算法则 函数的微分及其应用
教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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2.3 函数的微分及其应用
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《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)

《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第六节
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6)绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
目录 上页 下页 返回 结束
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)

(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(

《高等数学导数》课件

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值:
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$,极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$,极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$,极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$,极值点为 $x=1$,极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率,表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率,即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h,其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值:
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数:
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用,例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的,通过这些法则,可以方 便地求出复杂函数的导数。

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量,定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上,曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质,这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量,与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上,导数表示曲线在某一点的 切线斜率,而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此,导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中,曲率的应用非常广泛,如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质,如圆的曲率处处相等 且为常数,而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中,曲率的应用也非常重要,如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率,表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量,对于二维平面上的曲 线,曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义,即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用,如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。

高等数学 导数应用

高等数学  导数应用
函数在可导点取得极值时,则在该点的切线平行于 x轴。 E y
D A B
C
x
究竟如何判断函数的极值?
◆极值存在的第一充分条件
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某个空心邻域内可导 y
(1) x x0 , x0
f ( x) 0 f ( x) 0
y
x x0 , x0
(2 ) x x0 , x0
则 y f ( x) 在点 x0 处取得极大值;
x0 x0 x0
x
f ( x) 0 f ( x) 0
x x0 , x0
则 y f ( x) 在点 x0 处取得极小值;
x0 x0 x0
例4 求函数
注:x 0
1 x (0, ) 2
y 0;
1 x ( ,) 2
y 0
1 1 ( , ) 所以,函数在 (0, ) 内单调减,在 内单调增。 2 2
确定函数的单调区间还应注意函数本身的定义域
小结: 求函数的单调区间的一般方法:
(1)求函数的一阶导数;
(2)找出所有的驻点及一阶导数不存在的点;
x
判断函数单调性和极值的步骤:
1、求函数的一阶导数
2、找出函数的驻点或一阶不可导点
3、观察这些点左右两侧一阶导数符号的变化从 而判定
例1 求函数 y 2 x3 6 x2 18x 7的单调区间及极值
解 因为 令 列表讨论
y 6x2 12x 18 6 x 3 x 1
f ( ) 0
f ( x1 ) f ( x2 )
例1 判别函数
y arctan x
的单调性。

《高等数学》导数PPT课件

《高等数学》导数PPT课件
察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由 变到 t0t时,物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ,以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ,均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度,即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应) 的时 函, 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0),比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤:
(1)求函数的增量 yf(x x)f(x);
(2)算比值
yf(xx)f(x);
x
x
lim (3)取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解:(1)求函数的增量
yc,不x取 论什么 y的 值 值 , 总 c,
y0;
(2)算比值
y 0; x

lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y, f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下,导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y, f求 (x)的

高等数学》课件4.微分中值定理与导数的应用

高等数学》课件4.微分中值定理与导数的应用

思考题
1. 将拉格朗日中值定理中的条件 f (x) “在 闭区间[a,b]上连续”换为“在开区(a,b) 内连续” 后,定理是否还成立?试举例(只需画图)说明.
2. 罗尔(Rolle)中值定理是微分中值定理中一 个最基本的定理.仔细阅读下面给出的罗尔中值定理 的条件与结论,并回答所列问题.
罗尔(Rolle)中值定理 若 f (x)满足如下 3 条: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; (3) 在 区 间 [a,b] 端 点 出 的 函 数 值 相 等 , 即
例1

lim
x1
x3 x3 x
3x 2
x
2
. 1

lim
x 1
x3 x3 x
3x 2
x
2
1
=
lim
x 1
3x2 3x2
3 2x
1
= lim 6x = 6 = 3 .
x1 6x 2
4
2
例 2 求lim1 cos x . xπ tan x
解 lim1 cos x = lim sin x = 0.
推 论 2 如 果 对 (a,b) 内 任 意 x , 均 有 f (x) g(x),则在(a,b) 内 f (x)与 g(x)之间只差一个 常数,即 f (x) g(x) C (C 为常数).
证 令F (x) f (x) g(x),则F(x) 0,由推论 1 知 , F(x) 在 (a,b) 内 为 一 常 数 C , 即 f (x) g(x) C, x (a,b),证毕.
f (a) f (b),则在开区间(a,b) 内至少存在一点 ,使 得 f ( ) 0.
需回答的问题: (1) 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与

高数上课件3——导数的应用

高数上课件3——导数的应用

南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
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3 导数的应用III——凹凸函数的性质与判定
边际收益与边际成本
需求弹性
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
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南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
1 导数的应用I——几何应用
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
切线与法线
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
切线与法线
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曲率、曲率半径、曲率圆
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
(A)xyyyx
x
x
(B)
(C)
(D)
南京航空航天大学高等数学竞赛培训——3、导数的应用
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(−∞, −1) −1 (−1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
f '( x) −
0+
0−
0
+
f (x)
2
极小 值点
/
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二充分条件只能对驻点判定;
2、当f (x0) =0时,无法判定 f(x)在点x0处是否有极值
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求极值的方法: (1)确定函数f(x)的考察范围,(除指定范围外,考 察范围一般是指函数定义域); (2)求出函数f(x)的导数 f (x);求出函数 f(x)的所有 驻点及不可导点,即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的 点; (3)列表,利用第一充分条件或第二充分条件,判 定上述驻点或不可导点是否为函数的极值点,并求出 相应的极值.
但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,为此,我 们引入极值与极值点的概念.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定义3.2.1 设函数f(x)在x0的某领域N(x0,)内有 定义, x N ( x0 , ) ,都有
(1)f(x)<f(x0)成立,则称f(x0)为函数f(x)的极大值; (2)f(x)>f(x0)成立,则称f(x0)为函数f(x)的极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取 得极值的点称为极值点. 注: 1、极值是指函数值,而极值点是自变量的值; 2、函数的极值概念具有局部性;在小范围内比较, 该点的函数值较大或较小,而不是在整个定义域上最 大或最小,所以函数的极大值不一定比极小值大; 3、函数极值点必出现在区间内部,而不在区间的端 点。
第三章 导数的应用应用
第一节 微分中值定理
第二节 函数的性质
第三节 洛必达法则
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
第二节 函数的性质
本节主要内容:
一.函数的单调性
二.函数的极值
三.函数的最值 四.曲线的凹凸性 五.曲线的渐近线
六.函数的分析作图法
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
又因为: f(0)=0,
所以x∈ [0,+ ),有f(x)>f(0),即不等式成立.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
二、函数的极值
设函数 y = ƒ(x)在(a ‚ b)内图形如下图: y M y= ƒ(x) a
o m
1
2
b x
在1处的函数值f(1) 比它附近各点的函数值都要小; 而在2处的函数值f(2)比它附近各点的函数值都要大;
当f(x)在定义区间除去有限个点外导数均存在,那么
只要用导数为零的点(驻点)和导数不存在的点来划分 f(x)的定义域,就能保证在各个部分区间上单调。 (单调区间的分界点为驻点和不可导点)
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求函数单调区间的步骤: (1)确定f(x)的定义域; (2)求出函数 在考察范围内的全部驻点和不可导点 (除指定范围外,考察范围一般是指函数定义域); (3)用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干 个子区间; (4)确定f (x)在各部分区间的符号,据判定定理判 定出f (x)的单调性
(1)函数的定义域为(-,+);
(2) f ( x ) 6( x 3)( x 1) ,无不可导点
令f (x)=0 ,得 x1 1,
x2 3
2 2 (3) f ( x ) 6( x 1)(5 x 1)
因为 f ( 1) 24 0
f (3) 24 0
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例4 求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的单调区间.
解 (1)函数的定义域为(-,+); 令f (x)=0 ,得 x1=-1,x2=3 . (3)它们将定义域划分为三个子区间: (-,-1) , (-1,3),(3, +);
(2) f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ,无不可导点
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
y
y
o
x0

x0 o (是极值点情形)

x
x
y

x
y

x0
o
x0
o
x
(不是极值点情形)
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定理3.2.4(极值的第二充分条件)设函数f(x)在点 x0处二阶可导,且 f (x0)=0, f (x0) 0 ,则 (1)当f (x0) <0时,函 f(x)在点x0 处取得极大值; (2)当f (x0) >0时,函 f(x)在点x0 处取得极小值. 注: 1、第一充分条件适用于驻点和不可导点,而第
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例7 证明:1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
( x 0).
证明 令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x 2 ) 1 x 2
则 f '( x ) ln( x 1 x 2 ) 0 ( x 0) 所以:当x>0时, y>0 ,函数在[0,+ )上单调增加
x f ( x ) f ( x)
(-,-2) +
0
(-2,-4/5) -4/5
(-4/5,1) +
1 0
无极值
(1,+ )
+
0
极大值 0
-
0
极小值 -8.4
所以f(x)在x=0处取得极大值为0,在x=-4/5 处取得极小 值为-8.4.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例9 求函数 f ( x ) 2 x 3 6 x 2 18 x 7的极值 解
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
2 3
2 1 2 3 解 函数的定义域为(-,+); y x 3 33 x 当x>0时, y>0 ,函数在( 0,+ )上单调增加
当x<0时, y<0,函数在(-, 0)上单调减少
当x=0时, y不存在. x=0为单调区间的分界点
例3 讨论函数 f x x 的单调性.
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
y
y f ( x)
x
a x1 x4
f(x)的极小值点:
o x2
x5
x3
b
x1 x2 f(x)的极大值点: x4 x5
x3
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
极值的必要条件
定理3.2.2(极值的必要条件)设函数f(x)在点x0处
可导,且在点 x0处取得极值,那么函数 f(x)在点x0处的
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
3、对于函数y = |x| , 我们已知 x = 0 是函数的连续不
可导点. 但x = 0是函数的极小值点. 如图. 实际上, 连续不可导点也可能是极值点. 因而函数还可能在连续不可导点处取得极值. o
y=|x|
x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
极值的充分条件 定理3.2.3(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点 x0某个空心邻域内可导( f (x0)可以不存在),x为该 邻域内任意一点,
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
y
y
y
o a
b x
o a
b x
o
a
b x
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
说明: 1. 最值是一个整体概念,在某一范围内,最值若存在, 只能是唯一的; 2. 最值点可以是 I 内部的点,也可以是端点; 3. 如果最值点不是I 的端点,那么它必定是极值点;极 值点不一定是最值点 4. 当函数存在唯一的极值点时,函数的极大(小)值 就是函数的最大(小)值.
x
f ( x ) f ( x)
(-,-1) +
-1 0 驻点
(-1,3) -
3 0 驻点
(3,+ ) +
所以(-,-1]和[3, +)是单调增区间, [-1,3]是单调减区间.
第三章 导数的应用
例5 求函数 f ( x ) ( x 2) x 的单调区间.
解 (1)函数的定义域为(-,+);
2 3
第二节 函数的性质
(2) f ( x )
5x 4
33x 令f (x)=0 ,得,x2=4/5 . (3)将定义域分为三个区间 (-,0),(0,4/5),(4/5, +);
,不可导点为x1=0.
x
f ( x ) f ( x)
(-,0) +
0
不存在
不可导点
(0,4/5) -
4/5 0 驻点
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
求最值的方法(一): (1)确定函数f(x)的考察范围(除指定范围外,考察范 围一般是指函数定义域); (2)求出函数 f (x)在内的所有可能极值点:驻点及不 可导点,即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的点; (3)计算函数f (x)在驻点、不可导点处及端点a,b处 的函数值; (4)比较这些函数值,其中最大者的即为函数的最 大值,最小者的即为函数的最小值.
一、函数的单调性
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
定理3.2.1(函数单调性的判定法)设y=f(x)在[a,b]
上连续,在开区间(a,b)内可导,则
(1)如果在(a,b)内f (x)>0 ,那么函数y=f(x)在[a,b]上单
调增加;
(2)如果在(a,b)内f (x)<0 ,那么函数y=f(x)在[a,b]上单
第三章 导数的应用
第二节 函数的性质
例8 求函数 f ( x ) ( x 2)2 ( x 1)3的极值
解 (1)函数的定义域为(-,+);
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