海淀区高三文科数学第一学期期末试题及答案

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海淀区高三文科数学第一学期期末试题及答案

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 复数(1i)(1i)+-=

A.2

B.1

C. 1-

D.2- 2. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且满足

4

32

0a a a -=，则4a 的值为 A.2 B.4

C.8

D.16 3. 如图

, 正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+， 则λμ+的值为 A.

12 B. 1

2

- C. 1 D.1-

4 . 如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积. 若每次在正方形内每次随机产生10000个点, 并记录落在区域A 内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个 数平均值为6600个，则区域A 的面积约为

A.5

B.6

C. 7

D.8

5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的a 值为1，则输出的a 值为

A.1

B.2

C.3

D.5

6. 若点(2,3)-不在．．

不等式组0,

20,10x y x y ax y -≥⎧⎪

+-≤⎨⎪--≤⎩

表示的平面区域内，则实数a 的取值 范围是

A.(,0)-∞

B. (1,)-+∞

C. (0,)+∞

D.(,1)-∞-

7. 已知函数, 1,()π

sin , 1,2

x x f x x x ≤⎧⎪

=⎨>⎪⎩ 则下列结论正确的是 A ．000,()()x f x f x ∃∈-≠-R B ．,()()x f x f x ∀∈-≠R C ．函数()f x 在ππ

[,]22

-

上单调递增 D ．函数()f x 的值域是[1,1]- 8. 已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为

E

A B

C

D

输出

输入

开始

结束

是否

A.2

B. C. 3 D.4 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9. 若lg lg 1a b +=，则___.ab =

10. 已知双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一条渐近线通过点(1,2), 则___,b =

其离心率为__.

11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为___.

12. 直线l 经过点(,0)A t ，且与曲线2y x =相切，若直线l 的倾斜角为45，则

___.t =

13. 已知圆2

2

()4x a y -+=截直线4y x =-

所得的弦的长度为为__.a = 14. 已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足

111

cos cos cos 1sin sin sin A B C

A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形.

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的

条件的序号）

①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C ===； ③75,75,30A B C ===.

(ii) 若ABC ∆存在“友好”三角形，且70A =，则另外两个角的度数分别为

___.

俯视图

左视图

主视图

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分13分）

等差数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且3547a a a +=+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式32n n S a <-的n 的值.

16.（本小题满分13分）

已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ

[, ]612

--上的最大值与最小值的和.

17.（本小题满分13分）

为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t 满足：27c 30c t ≤≤）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：c ）的记录如下：

(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.

(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的

方差分别为12,D D ，估计12,D D 的大小？（直接写出结论即可）.

(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都．

在 [27，30]之间的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，四边形ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，PD BE ，22AD PD BE ===,

60DAB ∠=，点F 为PA 的中点.

（Ⅰ）求证：EF

平面ABCD ；

（Ⅱ）求证：平面PAE ⊥平面PAD ；

F

E B

A

P

D

C

温

度