概率论期末考试模拟题1
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论模拟卷1~6及答案
一、（15分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。
已知任取一箱，箱中0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。
二、（12分）设随机变量X的分布列为 .求：（1）参数；（2）；（3）的分布列。
三、（10分）设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，（1）求的联合概率密度（2）求关于、的边缘概率密度（3）判断与的独立性。
四、（12分）设,，且与相互独立，试求和的相关系数（其中a、b是不全为零的常数）。
五、（12分）设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。
六、（12分）设总体的概率密度为是取自总体的简单随机样本。
求：（1）的矩估计量；（2）的方差。
七、（12分）设服从，是来自总体的样本，＋。
试求常数，使得服从分布。
八、（15分）从一批木材中抽取100根，测量其小头直径，得到样本平均数为，已知这批木材小头直径的标准差，问该批木材的平均小头直径能否认为是在以上？（取显著性水平＝0.05）附表一：,,,,一、(14分)已知50只铆钉中有3只是次品，将这50只铆钉随机地用在10个部件上。
若每个部件用3只铆钉，问3只次品铆钉恰好用在同一部件上的概率是多少？二、(14分)已知随机变量X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<=其他,010,2x Ax x f ，求：（1）参数A ；（2）}35.0{<<X P ；（3）}{x X P <。
三、（14分）设随机变量X 和Y 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量Y X U +=的方差。
四、(12分）已知),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其它,010,10,),(y x y x y x f ． （1）求X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）试判断X 与Y 的独立性。
概率论模拟试题一
模拟试题一一、 是非题（共7分，每题1分） 1．设A ,B ,C 为随机事件，则A 与C B A ⋃⋃是互不相容的. （ ）2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-. （ ）3．若随机变量X 与Y 独立，它们取1与1-的概率均为5.0，则Y X =. （ ）4．等边三角形域上二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布. （ ） 5. 样本均值的平方2X 不是总体期望平方2μ的无偏估计. （ ）6．在给定的置信度α-1下，被估参数的置信区间不一定惟一. （ ） 7．在参数的假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的. （ ）二、选择题（15分，每题3分）（1）设A B⊂，则下面正确的等式是。
（ａ）)(1)(A P AB P -=； （ｂ）)()()(A P B P A B P -=-；（ｃ）)()|(B P A B P =； （ｄ）)()|(A P B A P =（2）离散型随机变量X 的概率分布为k A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是。
（ａ）1)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ；（ｃ）11-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.（3）设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D.（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10.（4）设),,,(21nX X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则有 。
（ａ）)1,0(~N X ； （ｂ）)1,0(~N X n ；（ｃ）)1(~/-n t S X ； （ｄ）)1,1(~/)1(2221--∑=n F X X n ni i .（5）设),,,(21nX X X 为总体),(2σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 。
概率论期末考试和答案
概率论期末考试和答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从二项分布B(3,0.5)，则P(X=2)为（）。
A. 0.375B. 0.5C. 0.25D. 0.125答案：A2. 已知随机变量X服从标准正态分布，P(X<0)=0.5，则P(X>1)为（）。
A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：A3. 若随机变量X服从泊松分布，其参数λ=2，则E(X)为（）。
A. 2B. 4C. 0D. 1答案：A4. 已知随机变量X和Y相互独立，且P(X=1)=0.5，P(Y=1)=0.3，则P(X=1且Y=1)为（）。
A. 0.15B. 0.5C. 0.3D. 0.75答案：A5. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X<0)为（）。
A. 0.0228B. 0.9772C. 0.5D. 0.1587答案：A6. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X>1)=0.7，P(Y<2)=0.4，则P(X>1且Y<2)为（）。
A. 0.28B. 0.56C. 0.7D. 0.4答案：A7. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,4)，则E(X)为（）。
A. 2C. 0D. 1答案：A8. 若随机变量X服从指数分布，其参数λ=0.5，则P(X>3)为（）。
A. 0.125B. 0.25C. 0.5D. 0.75答案：A9. 已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(-1<X<1)为（）。
A. 0.6827B. 0.8413C. 0.9772答案：A10. 若随机变量X和Y相互独立，且P(X=0)=0.4，P(Y=1)=0.6，则P(X=0且Y=1)为（）。
A. 0.24B. 0.4C. 0.6D. 0.16答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.4)，则P(X=3)=_________。
概率论期末模拟题
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件，其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”，其概率为3p ，故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度，则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知，)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数，且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ，所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续，且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π，则=Y （ ）)1,0(~N(A) 23+X (B) 23+X (C) 23-X (D) 23-X解 X 的数学期望3-=EX ，方差2=DX ，令23+=X Y ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关，则下列等式中不成立的是（ ）(A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)( (C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ，故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ，DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(，但无论如何，都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ，又S X ,分别为样本均值及样本标准差，则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n (C))(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~n N X ，),0(~n N X n ，)1(~-⋅n t SXn ，只有C 选项成立.本题应选C.7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ，则下列估计量中，（ ）不是总体期望μ的无偏估计量 (A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知，∑=ni iX1不是无偏估计量，本题应选A.8、在假设检验中，记0H 为待检假设，则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立，经检验接受0H(B) 0H 成立，经检验拒绝0H(C) 0H 不成立，经检验接受0H (D) 0H 不成立，经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误，本题应选B. 二.填空题（每空2分，共14分）1、同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是________，恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布，且31,3==DX EX ，则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ，则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a ， 4=b ， 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布， Y 服从参数为4的指数分布，则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式，有≤≥+}6||{Y X P ________. 解 根据切比雪夫不等式，12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ，则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =，其中)1,0(~N Y ，)(~2n Z χ，且)1(~22χY ，从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本，对总体方差DX 进行估计时，常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11.三.(本题６分)设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率，(2) 若任取一个零件是废品，它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1，2，2，3，从袋中任取一球后，不放回再取一球，分别以Y X ,记第一次，第二次取得球上标有的数字，求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ，21)2(==X P ，41)3(==X P .41)1(==Y P ，21)2(==Y P ，41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ，故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ，试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ，从而41=A ;(2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时，0)(=y F Y ;当0≤y 时，)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=，所以，两边关于y 求导可得，.e 4121e 4121e 41)(y yyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i )，X 表示购买该种商品的人数，则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品，依题意，由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DXEX X P n X P 997.0)240600(=-Φ≈n . 查正态分布表得75.2240600=-n ，解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球，黑球数与白球数之比为R . (1) 从罐内任取一球，取得黑球的个数X 为总体，即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其中有m 个白球，求比数R 的最大似然估计值. 解（1） X 1 0 PR R +1 R+11即RR R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=，两边取对数，)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=，两边再关于R 求导，并令其为0，得011=+-∑Rnx i ， 从而∑∑-=iixn xRˆ，又由样本值知，m n x i-=∑，故估计值为1ˆ-=mn R . 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽6件，测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140，0.138，0.143，0.141，0.144，0.137；B 批:0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141. 已知元件电阻服从正态分布，设05.0=α，问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ，15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H . 检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）， 由05.0=α，查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α，15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ，由于2/2/1ααF F F <<-，故不能拒绝10H ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H .统计量62221SS Y X T +-=)10(~t （在0H 成立时），查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得148.160000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ，因为2/||αt T <，故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分，共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件，则C B A 表示（ ） (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ，187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +，)2,1(~--N Y X ，故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量，且6.0,1,4===XY DY DX ρ，则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ，6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则2X 的数学期望是（ ）(A) λ (B)λ1(C) 2λ (D) λλ+2解 222)(λλ+=+=EX DX EX ，本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本，X 为样本方差，记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ，)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ，再由t 分布的定义知，本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本，X 为样本方差，则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-ni i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时，若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分，共14分）1.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件中有1件是不合格品，则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品，B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布，则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且6.0}40{=<<X P ，则}0{<X P =________. 解 2=μ，即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布，其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0，1，0，1，1，0，1，1，则样本均值是________，样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布，现从X 中随机抽取10个样本，根据测得的结果计算知27101=∑=i ix，那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ. 6.设总体) ,(~2σμN X ，且2σ未知，用样本检验假设00μμ=：H 时，采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子，Ⅰ号盒中装有14个黑球，6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球，25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球，42个白球.现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取球，B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342;(2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f ， 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π地次数，求2Y 的数学期望.解 21d 2c o s 21)3(3==>⎰πππx x X P ，)21 ,4(~B Y ，从而5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ， 所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ，92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm ，均方差为0.05，规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格，试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度，10,,2,1 =i ，X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ，0025.0=i DX ，且∑==101i iXX ，20=EX ，025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知，产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数，求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，当0,,,21>n x x x 时，似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ，两边取对数，∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ，关于θ求导，并令其为0，得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ，从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试，得样本含锌平均数及样本方差如下: 东支:230.01=x ，1337.021=n s ， )9(1=n西支:269.02=x ，1736.022=n s ， )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布，问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ，90.4)8 ,7(025.0=F ，) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差，又没有说明方差是否相等的情况下，要求检验两总体均值是否相等的问题，故首先必须检验方差是否相等，在相等的条件下，检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=， 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，接受0H ，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x ， 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分，共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 . 解 设A 表示一次射击中击中目标，依题意，四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ，解得31)(=A P ，从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ，B 独立，且p A P =)(，q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布，已知==)1(X P )2(=X P ，则λ= . 解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ，从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ，Y 具有同一分布律，且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 .解 Z 的可能取值为0，1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P . 43411)1(=-==Z P . 5.设随机变量X ，Y 的方差分别为25=DX ，36=DY ，相关系数4.0=XY ρ，则),(Y X Cov = . 解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在，总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ，则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ，μ未知，检验2020σσ=H ：，应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分，共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放，则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立，则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P(B) =)|(A B P )(A P(C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知，==)()|(A P B A P )(1A P -，故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且6.1=EX ，28.1=DX ，则n ，p 的值为（ ） (A) n =8，p =2.0 (B) n =4，p =4.0 (C) n =5，p =32.0(D) n =6，p =3.0解 由6.1=np ，28.1)1(=-p np ，解得n =8，p =2.0，本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ，其概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -，),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F ， ),(∞+-∞∈x解 2=EX ，故其密度函数关于2=x 对称，故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=，则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=，可得0),cov(=Y X ，从而可知X 与Y 不相关，故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，令=Y 212)(σ∑=-ni iX X，则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本，可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知，2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ，故A 选择正确，同理验算其他选项，B ，C ，D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ，若进行假设检验，当（ ）时，一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知，检验2σ=20σ(B) μ已知，检验2σ=20σ(C) 2σ未知，检验 μ=0μ(D) 2σ已知，检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆，甲车床的产量是乙车床的5.1倍，甲车床的废品率为%2，乙车床的废品率为%1，现随机抽取一根螺杆检查，发现是废品，问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲，乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0，机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障获利润5万元，发生两次故障获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润，其分布律为:X0 5 10P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ，Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 061 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ，Y 的边际分布；(2) 判断X ，Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xyd e d )1(1210211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P . 解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ，)0(0)e (lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++，从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度，即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ，求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ，从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为5.66分，标准差为15分，问在显著水平05.0下，是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ，选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t ， (0H 为真时)在05.0=α下，查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t .另一方面，计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ，从而接受原假设，即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元，样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元，假设年存款余额服从正态分布，试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=，由于t 检验必须在方差相等的条件下进行，因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ，统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ，经检验，接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=，统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验，拒绝0H ，即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布，λ为未知参数，⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x X P x T TX T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ，所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分，共20分)1.设)(A P =0.4，)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布，即)1.0,5(~B X ，则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中，若至少有一次击中的概率为6437，则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知，10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论，有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2，则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π，这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值，则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ，Y 是二维随机向量，DX ，DY 都不为零，若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ，这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2,S X 分别为样本均值和方差，则SnX )(μ-服从分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立.从X ，Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本，样本均值分别为Y X ,，则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为____________.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分，共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在，由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( ) (A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件，且A B ⊂，则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ，则( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A解 令1d )(10=+⎰x B Ax ，127d )(10=+⎰x x B Ax ，解得5.0,1==B A ，故本题应选D.4.若随机变量X 与Y 不相关，则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ，且αα=>)},({21n n F F P ，则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次，记事件:=1A {掷第一次出现正面}，=2A {掷第二次出现正面}，=3A {正、反面各出现一次}，=4A {正面出现两次}，则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立，本题应选C.三.计算题(每小题８分，共48分)1.某厂由甲，乙，丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3:2:1，各车间产品的不合格率依次为8%，9%，12%.现从该厂产品中任意抽取一件，求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品，求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式， 0.09;(2) 运用贝叶斯公式， 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件，第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ，以X表示三个零件中合格品的个数，求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX ， (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ，故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ，2σ为未知参数，n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值，求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ，两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ，关于2σ求导，并令其为零，得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n ， 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ，Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 与Y 之间是否相互独立，判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =，故X 与Y 相互独立，因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.3415.某人乘车或步行上班，他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布，如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次，以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P . 6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时，0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时，))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时，1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度，⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y 四.应用题(第1题7分、第2题8分，共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹，已知每一发炮弹的命中率等于0.2，用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i )，则∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数，且80=EX ，64=DX ，故由中心极限定理知，)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝，生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算:5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H . 采用统计量2221S n σχ-=，在0H 成立时，)9(~22χχ.由1.0=α，查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα， 919.16)9(205.022/==χχα，由样本值算得03.10165.1602≈=χ，由于22/222/1ααχχχ<<-，所以不拒绝0H ，即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ，对任意的R x ∈，满足:)()(x f x f -=，)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ，有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aax x f x x f x x f a F 0d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
概率论 模拟题(一)及答案
上 海 金 融 学 院_概率论与数理统计（理工）模拟题一课程代码：13330075_考试形式：闭卷 时间: 120 分钟考试时 只能使用简单计算器(无存储功能)试 题 纸 一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）1． 设当事件A 与B 同时发生时C 也发生, 则 ( ). (A) B A 是C 的子事件; (B)AB C =;(C) AB 是C 的子事件; (D) C 是AB 的子事件.2. 设事件=A {甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A 的对立事件为 ( ).(A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;(C) 甲、乙两种产品均畅销;(D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.3. 设X 为随机变量，且2()0.7,()0.2,E X D X ==则 式一定成立：A ．13{}0.222P X -<<≥ B．{0.6P X ≥C．{00.6P X <<≥ D．{00.6P X <<≤ 4. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体(0,1)N 的一个样本，,X S 分别为样本均值和标准差，则 成立。
A. (0,1)X NB. (0,)nX N nC. 221(1)ni i X n χ=-∑ D.(1)Xt n S- 5. 设12,,,(1)n X X X n > 是来自总体2(,)N μσ的一个样本，期望值μ已知，则下列估计量中，唯有 是2σ的无偏估计。
A. 211()n i i X X n =-∑ B. 211()1n i i X n μ=--∑ C. 211()1n i i X X n =--∑ D. 211()1n i i X n μ=-+∑二、填空题（共15个空，每空2分，共计30分）1.已知,5.0)(=A P ()0.2P AB =， 4.0)(=B P , 则(1) )(AB P = ; (2) )(B A P -= ;(3) )(B A P ⋃= ; (4) )(B A P = . 2.若(0,1),()X N x x ϕΦ ，()分别表示它的概率密度函数、分布函数，则ϕ（0）= ；(0)Φ= ；{0}P X == ；{0}P X <= ；{0}P X >= 。
概率论期末模拟题
所以不独立;
(2) ;
(3) ，
.
六.（本题12分）
设二维随机变量的概率密度为
求:(1) 的边缘密度函数； (2) ； (3) . 解 (1) (2) ; (3) .
七.（本题6分） 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独 立，且服从同一均匀分布，其数学期望为2mm，均方差为0.05，规定总 长度为mm时产品合格，试求产品合格的概率.
1.设表示3个事件，则表示（ ）
(A) 中有一个发生 (C) 都不发生 解 本题应选C.
(B) 中不多于一个发生 (D) 中恰有两个发生
2.已知=（ ）.
(A)
(B)
(C)
(D)
解，
.
故本题应选A.
3.设两个相互独立的随机变量与分别服从正态分布和，则（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
解 ，，故本题应选B.
（4）.
六.(本题12分)
设随机变量X的密度函数为 ，
试求: (1) 的值； (2) ； (3) 的密度函数. 解 (1) 因，从而; (2) ;
(3) 当时，;当时， ，
所以，两边关于y求导可得， 故Y的密度函数为
七.(本题6分) 某商店负责供应某地区1000人商品，某种产品在一段时间内每人需 用一件的概率为0.6.假定在这段时间，各人购买与否彼此无关，问商店 应预备多少件这种商品，才能以的概率保证不会脱销？（假定该商品在 某一段时间内每人最多买一件）.
第一步假设:=，统计量~， 经检验，接受:=；
第二步假设:， 统计量 经检验，接受，即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见 模拟试题(一)第九大题)
十.（本题5分）
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案在概率论的学习过程中，期末试题是评估学生对该学科知识理解和应用的重要方式。
本文将给出一份概率论的期末试题及答案，以供参考。
试题将按照适当的格式整理，确保排版整洁美观，语句通顺，全文表达流畅，同时符合阅读体验的要求。
试题一：概率基础1. 已知事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.6，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 一桶中装有6个红色球和4个蓝色球，从中随机抽取2个球，求这2个球颜色相同的概率。
3. 掷一颗骰子，点数为1至6的概率各为1/6。
连续投掷两次，求两次投掷结果和为7的概率。
试题二：概率分布1. 某商品的销售量服从正态分布N(150, 25)，计算销售量在120至180之间的概率。
2. 某批产品的质量服从均匀分布U(60, 80)，求产品质量小于75的概率。
3. 甲、乙两个小组分别进行同一项任务，甲组平均完成时间为4小时，标准差为0.5小时；乙组平均完成时间为3.8小时，标准差为0.3小时。
求完成时间小于4.2小时的概率。
试题三：条件概率1. 假设事件A和事件B是相互独立的，已知P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A|B)和P(B|A)。
2. 某城市的天气预报根据历史数据和气象模型给出，根据预报可以推测出降雨的概率。
已知天气预报准确率为80%，预报为有降雨的概率为30%，求实际发生降雨的概率。
3. 从一批产品中随机抽取一件进行检验，已知该批产品中次品率为5%，已检一件产品为次品，求该件产品来自次品批次的概率。
试题四：随机变量1. 设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，已知λ=0.1，求P(X≥2)。
2. 设随机变量X服从均匀分布U(20, 40)，求X的期望值E(X)和方差Var(X)。
3. 设随机变量X服从正态分布N(60, 16)，求P(X>70)和P(50≤X≤80)。
试题五：大数定律和中心极限定理1. 设随机变量X服从参数为p的二项分布B(n,p)，当n=200，p=0.4时，根据大数定律，计算X的期望值E(X)和方差Var(X)。
概率论与数理统计期末考试题及答案
模拟试题一（一）一、 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。
P( A ∪B) = 。
3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A=, 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<=；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y ，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互，则D(2X-3Y)=, COV(2X-3Y, X)=；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k =时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11nii X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、 计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Yy ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） 问X 与Y 是否？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计(II)期末考试样卷1(答案)
命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 页 （共 4页）概率论与数理统计（II ）期末考试样卷1参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：0.9750.930.920.9750.950.950.975(1.71)0.96,(1.14)0.87, 1.96,(8) 1.8,(9) 1.8,(9) 2.262(1)0.84,(15) 1.753,(2,12) 3.89,(12) 2.1788,(2.67)0.996U t t t t F t Φ=Φ=====Φ====Φ=一、填空题( 每小题3分，共24分)1．设某厂生产的灯泡的使用寿命 (单位:小时)2~(1000,)X N σ，抽取一容量为9的样本，得到940,100x s ==,则(940)P x <= 0.07 .2．某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）为351 347 355 344 351 则其经验分布函数5()F x = 1525450 344344347 347351 351355 1 355x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩ . 3. 设16,,X X 为总体~(0,1)X N 的一个样本，且cY 服从2χ分布，这里，()()22123456Y X X X X X X =+++++, 则 c =4．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(16)(10)P x >= 161(0.84)- .5．设1,,n X X 为来自(,1)(0)U θθ>的一个样本，11,nini X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是21X - . 6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，()1211n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则常数c = 12(1)n - .7．已知某种材料的抗压强度2~(,),X N μσ现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得样本均值457.5,x =标准差35.217,s =则μ的95%的置信区间为 [432.31,482.69] .8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，2211111,()n ni i n n i i X X S X X -====-∑∑，其中参数2,μσ未知，要检验假设00:H μμ=应用 t 检验法，检验的统计量是X 二、单项选择题（每小题2分，共8分）1. 设()n F x 是经验分布函数，基于来自总体X 的样本，而()F x 是总体X 的分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x ，()n F x （ A ）。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛硬币正面朝上B. 抛硬币反面朝上C. 抛硬币出现正面或反面D. 抛硬币出现正面和反面2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，以下哪个选项是正确的？A. μ是X的期望值B. σ²是X的方差C. μ是X的中位数D. σ²是X的期望值3. 假设随机变量X和Y相互独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X∩Y) = P(X)P(Y)B. P(X∪Y) = P(X) + P(Y)C. P(X∩Y) = P(X) + P(Y)D. P(X∪Y) = P(X)P(Y)4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. X的期望值是npB. X的方差是np(1-p)C. X的期望值是nD. X的方差是p(1-p)二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) =________，其中λ > 0，k = 0, 1, 2, ...2. 假设随机变量X服从均匀分布U(a, b)，其概率密度函数为f(x) = ________，其中a < x < b。
3. 假设随机变量X和Y相互独立，且X服从正态分布N(μ, σ²)，Y 服从正态分布N(ν, τ²)，则Z = X + Y服从正态分布N(μ+ν,________)。
4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，其期望值E(X) = np，方差Var(X) = ________。
三、解答题（每题30分，共40分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 < X < 2)。
2. 假设随机变量X服从二项分布B(10, 0.3)，求P(X ≥ 5)。
答案：一、选择题1. C2. A3. A4. A二、填空题1. λ^k * e^(-λ) / k!2. 1/(b-a)3. σ² + τ²4. np(1-p)三、解答题1. 根据标准正态分布表，P(-1 < X < 2) = Φ(2) - Φ(-1) =0.9772 - 0.1587 = 0.8185。
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案第⼀套⼀、判断题（2分?5）1、设A ，B 是两事件，则()A B B A -=U 。
（）2、若随机变量X 的取值个数为⽆限个，则X ⼀定是连续型随机变量。
（）3、 X 与Y 独⽴，则max{,}()()()X Y X Y F z F z F z =。
（）4、若X 与Y 不独⽴，则EY EX XY E ?≠)(。
（）5、若(,)X Y 服从⼆维正态分布，X 与Y 不相关与X 与Y 相互独⽴等价。
（）⼆、选择题（3分?5）1、对于任意两个事件A 和B （）.A 若AB φ=，则,A B ⼀定独⽴ .B 若AB φ≠，则,A B ⼀定独⽴ .C 若AB φ=，则,A B ⼀定不独⽴ .D 若AB φ≠，则,A B 有可能独⽴2、设,X Y 相互独⽴，且(1,2)X N -:，(1,3)Y N :，则2X Y +服从的分布为（）.A (1,8)N .B (1,14)N .C (1,22)N .D (1,40)N3、如果随机变量X 与Y 满⾜()()D X Y D X Y +=-，则下列说法正确的是（）.A X 与Y 相互独⽴ .B X 与Y 不相关.C ()0D Y = .D ()()0D X D Y =《概率与数理统计》⾼教第四版（浙江⼤学、盛骤）期末试卷复习题4、样本12,,,n X X X L 取⾃正态总体(0,1)N ，X ，S 分别为样本均值与样本标准差，则（）.A (0,1)X N : .B 221(1)ni i X n χ=-∑:.C(0,1)N : .D (1)X S t n -:5、在假设检验中，设0H 为原假设，犯第⼀类错误的情况为（）.A 0H 真，拒绝0H .B 0H 不真，接受0H .C 0H 真，接受0H .D 0H 不真，拒绝0H三、填空题（3分?5）1、设,A B 为两个随机事件，已知()13P A B =U ，()19P AB =，则()P B =2、若袋中有5只⽩球和6只⿊球，现从中任取三球，则它们为同⾊的概率是 3、设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为：601(,)0x x y f x y ≤≤≤?=?，则(1)P X Y +≤=4、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()E X =5、在总体X 的数学期望µ的两个⽆偏估计123141214X X X ++和12312131X X X ++中，最有效的是精品⽂档四、计算题 1、（10分）甲箱中有a 个红球，b 个⿊球，⼄箱中有a 个⿊球，b 个红球，先从甲箱中随机地取出⼀球放⼊⼄箱。
概率论期末考试试题
概率论期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么P(X < μ)等于：A. 0.5B. 0.3C. 0.2D. 0.12. 以下哪个不是概率论中的基本概念？A. 随机事件B. 概率C. 期望D. 变量3. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，那么P(A∪B)等于：A. 0.7B. 0.6C. 0.5D. 0.44. 随机变量X的期望E(X)是：A. X的最大值B. X的中位数C. X的平均值D. X的众数5. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量序列的期望趋于稳定B. 随机变量序列的方差趋于稳定C. 随机变量序列的分布趋于正态分布D. 随机变量序列的样本均值趋于总体均值二、填空题（每空2分，共20分）6. 如果随机变量X服从二项分布B(n, p)，那么其期望E(X)等于______。
7. 标准正态分布的均值μ和方差σ^2分别是______和______。
8. 如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B)等于______。
9. 随机变量X的方差Var(X)是其标准差的______倍。
10. 泊松分布的参数λ表示单位时间或单位面积内事件平均发生的次数，其期望和方差都是______。
三、简答题（每题10分，共20分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率公式。
12. 解释什么是中心极限定理，并简述其在统计学中的应用。
四、计算题（每题15分，共30分）13. 假设随机变量X服从均匀分布U(0, 6)，求P(2 < X ≤ 4)。
14. 假设随机变量X和Y相互独立，X服从参数为2的泊松分布，Y服从参数为0.5的指数分布，求P(X + Y ≤ 3)。
五、论述题（10分）15. 论述大数定律和中心极限定理的区别及其在实际问题中的应用场景。
概率期末考试试题及答案
概率期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥事件，如果P(A) = 0.3，那么P(B|A)等于：A. 0B. 1C. 0.7D. 不能确定2. 如果随机变量X服从二项分布B(n, p)，那么E(X)等于：A. npB. nC. pD. 13. 抛一枚均匀硬币两次，出现正面向上的概率是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 14. 随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)为负，这表明：A. X和Y不相关B. X和Y负相关C. X和Y正相关D. 无法确定5. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，那么P(X ≤ μ)等于：A. 0.5C. 0.7D. 16. 一个事件的概率为0.05，这个事件是：A. 必然事件B. 不可能事件C. 随机事件D. 确定事件7. 一个骰子连续投掷两次，出现两次6点的概率是：A. 1/6B. 1/36C. 1/216D. 1/128. 随机变量X服从泊松分布，参数为λ，那么P(X=k)等于：A. λ^k * e^(-λ) / k!B. k * λ^(k-1) * e^(-λ)C. λ^k / (k! * e^(λ))D. e^(-λ) * λ^k9. 两个独立事件A和B同时发生的概率是：A. P(A) + P(B)B. P(A) * P(B)C. P(A) / P(B)D. 1 - P(A) * P(B)10. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，那么E(X)等于：A. (a + b) / 2B. aD. (b - a) / 2二、填空题（每空2分，共20分）11. 如果一个随机变量X服从指数分布，其概率密度函数为f(x) =________，其中λ > 0。
12. 两个事件A和B的互斥关系可以用概率公式表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，当A和B是__________时。
13. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，则P(-1.96 < X < 1.96) ≈ ________。
概率论期末模拟试卷
1.设,,A B C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =，1()3P C =，求(|)P AB C . 【答案】34. 【分析】 本题考查随机事件的运算、互不相容与对立的概念、概率与条件概率的性质与计算.【解析】()()()3(|)()1()1()4P ABC P AB ABC P AB P AB C P C P C P C -====--.2.已知事件,,A B C 满足条件()()()1/4P A P B P C ===, ()0P AB =,()()1/6P AC P BC ==, 求事件,,A B C 全不发生的概率。
【解】已知()0P AB =, 由0)()(0=≤≤AB P ABC P , 得0)(=ABC P .再由三个事件的加法公式得)()()()(C P B P A P C B A P ++=⋃⋃12/5)()()()(=+---ABC P CA P BC P AB P ,最后, 由德摩根公式与对立事件的概率公式得=)(C B A P 12/7)(1)(=⋃⋃-=⋃⋃C B A P C B A P .3.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：（1）顾客买下该箱的概率p ；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率q . 【解】(1) 全概率公式.令1A ,2A 和3A 分别表示所选取的一箱中有2,1,0只残次品. 令B 表示顾客购买该箱玻璃杯. 于是,8.0)(1=A P ,1.0)()(32==A P A P ,1)|(1=A B P ,54)|(4204192==C C A B P ,1912)|(4204183==C C A B P . 用全概率公式, 得943.0)|()()|()()|()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P .(2) 贝叶斯公式.用贝叶斯公式, 得848.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P .4.设随机变量X 服从参数为(2,)p 的二项分布，随机变量Y 服从参数为(3,)p 的二项分布. 若{1}5/9P X ≥=，求{1}P Y ≥. 【解】二项分布. 计算概率.由已知, 有{1}P X ≥=9/512=-p . 于是, 3/2=p . 所求为{1}P Y ≥=27/1913=-p .5.若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=, 求{0}P X <.【解】3.05.0)2()0()2(}220{}42{=-Φ=Φ-Φ=<-<=<<σσσσX P X P ，所以，8.0)2(=Φσ，故 {0}P X <=2.08.01)2(1)2(}22{=-=Φ-=-Φ=-<-σσσσX P .6.设随机变量X 的概率密度为,0,()=0,0,x X e x f x x -⎧≥⎨<⎩, 求随机变量XY e =的概率密度()Y f y .【答案】 ()Y f y 21,1,0, 1.y y y ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩.【分析】 本题考查连续型随机变量函数的概率密度. 【解析】 公式法：函数xy e =在区间0x >时是单调递增函数，确定y 的取值范围(1,)+∞，其反函数ln x y =，于是由公式得随机变量X Y e =的概率密度()Y f y (ln )|(ln )|,10,X f y y y '>⎧=⎨⎩其他.21,1,0, 1.y yy ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩7.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=-其它,01,1,2),(13y x e x y x f y, 求边缘密度)(x f X 与)(y f Y , 并判断随机变量X 与Y 是否相互独立.【答案】 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x x x f X ，⎩⎨⎧<≥=-1,01,)(1y y e y f y Y .X 与Y 相互独立.【分析】 本题考查二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和独立性的概念.【解析】 由联合概率密度求边缘概率密度.首先由联合概率密度分段计算)(x f X . 当时1<x ，0)(=x f X . 当1≥x 时，)(x f X ⎰+∞-=1132dy e xy32x =. 再计算)(y f Y . 当时1<y ，0)(=y f Y . 当1≥y 时，)(y f Y ⎰+∞-=1132dx e xy y e -=1. 于是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,2)(3x x xx f X ，⎩⎨⎧<≥=-1,01,)(1y y e y f y Y . 最后讨论独立性. 当1<x ，或时1<y , =),(y x f )(x f X 0)(=y f Y . 当1≥x ，且1≥y 时, =),(y x f )(x f X )(y f Y ye x-=132. 因此, 随机变量Y X ,相互独立.8.设01~1233X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,101~111333-Y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且P X Y 22()1==,求(1) 求()X ,Y 的概率分布；（2）Z=XY 的概率分布.（2）Z XY 101~111333-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 【分析】 本题考查二维离散型随机变量求概率分布及函数的分布. 【解析】 （1）P X Y P X Y 2222()1()0==⇒≠=P X Y P X Y P X Y {0,1}{0,1}{1,0}0==-+==+===（2）随机变量Z XY =取值1,0,1-. 计算函数的概率分布, 得P Z P X Y 1{1}{1,1}3=-===-=P Z P X Y P X Y {0}{0,1}{0,0}====-+==P X Y P X Y 1{0,1}{1,0}3+==+===P Z P X Y 1{1}{1,1}3=====即Z XY 101~111333-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.9.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为x y x y f x y 2,01,01,(,)0,.--<<<<⎧=⎨⎩其他 求Z X Y =+的概率密度Z f z ()，【解析】和的概率密度公式为⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(.根据概率密度非零的区域, 只须考虑固定区间10<<x ,可变区间10<-<x z . 即z x z <<-1. 由1,0;1,01==-z z 得关键点2,1,0，于是,⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ),()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-=⎰⎰-其他,021,)2(10,)2(11z z z dx z z dx z .即 222,01()(2),120,2Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩.10.随机变量,,X Y Z 相互独立，其中X 在[0,6]上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布, Z 服从参数为3的泊松分布.记23U X Y Z =-+,求，EU DU . 【答案】 10,34..【分析】 考查常见分布的数学期望、方差.【解析】 由题设 ~[0,6]X U ，~(1)Y E ，~(3)Z P ， 所以 3,1,3EX EY EZ ===，3,1,3DX DY DZ ===由,,X Y Z 相互独立和数字特征的性质EZ EY EX EU 32+-= 1033123=⋅+⋅-= DZ DY DX DU 94++=3439141236=⋅+⋅+=.11.设随机变量X 服从标准正态分布~(0,1)X N ，求2(e )XE X .【答案】 22e .【分析】 本题考查正态分布及其数字特征的计算. 【解析】 由函数的数学期望公式22(2)22222(e )e d e d x x X xE X x x x -+∞+∞---∞-∞==⎰⎰.而2(2)2d x x -+∞--∞⎰是服从正态分布(2,1)N 的数学期望，所以 22(e)2e XE X =.12.设随机变量X 和Y 的分布在以点(1,0),(0,1),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求随机变量Z X Y =+的方差. 【答案】 118DZ =. 【分析】 本题考查二维随机变量函数的数字特征的计算.【解析】 方法一：利用二维随机变量函数的数字期望的公式计算，三角形区域{(,)|01,01,1}D x y x y x y =≤≤≤≤+≥ (,)X Y 的概率密度为2,(,),(,)0,(,)x y D f x y x y D ∈⎧=⎨∉⎩若若；；22()()DZ E Z EZ =-. 其中()()(,)d d DEZ E X Y x y f x y x y =+=+⎰⎰;11142()3xdx x y dy -=+=⎰⎰，222()[()]()(,)d d DE Z E X Y x y f x y x y =+=+⎰⎰.11201112()6xdx x y dy -=+=⎰⎰， 所以 221()()18DZ E Z EZ =-=. 13.设12,,,n X X X L 为来自正态总体2(,)(0)N μσσ>的简单随机样本，统计量211n i i T X n ==∑，求ET .【答案】 22μσ+.【分析】 本题考查统计量的数字特征.【解析】 因为总体2~(,)(0)X N μσσ>，所以2222()()E X EX DX μσ=+=+，于是 221111()()n n i i i i ET E X E X n n ====∑∑222211()n i n ==+=+∑μσμσ.14.设12,,,n X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，求ET . 【答案】 2np .【分析】 本题考查统计量的数字特征.【解析】 因为12,,,n X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本， 所以()E X EX np ==，2()E S DX npq ==， 于是222()()()ET E X S E X E S np npq np =-=-=-=.15.设总体X 的概率密度为22,2(,)30,xx f x θθθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，其中θ为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单样本，若21ni i c x =∑是2θ的无偏估计，求c .【答案】25c n=. 【分析】 本题考查的是点估计与估计量的评选标准. 【解析】因为2222111[]()()()nn niii i i E cXc E X c E X ncE X ======∑∑∑而 32222225()(,)32x E X x f x dx dx θθθθθ+∞-∞===⎰⎰， 所以2215[]2ni i E cX nc ==∑θ，由无偏性2252nc θθ=，因此25c n=.16.设总体X 的概率密度为(1),01,()0,x x f x θθìï+<<ï=íïïî其他. 其中1θ>-是未知参数. 12,,,n X X X …为来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.【答案】 矩估计量11121ˆ11ni i ni i X n X n θ==-=-åå，最大似然估计量1ˆ1ln ni i nX θ==--å.【分析】 本题考查的是连续型总体的点估计问题. 【解析】 矩估计： 总体X 的数学期望为110120()d (1)d 11.22EX x f x x x xx θθθθθθθ+?+-?+==+++=?++蝌令11A μ=，即12X θθ+=+，解得211X X θ-=-.因此θ的矩估计量为11121ˆ11ni i nii X n X n θ==-=-åå.最大似然估计：设12,,,n x x x …是相应于样本12,,,n X X X …的一组观测值，则似然函数为()()()1211(),,,;(1),01,1,2,,0,n nii n ni L L x x x f x x x x i n θθθθ===ìï+?<=ï=íïïî×Õ……其他.…当01(1,2,,)i x i n <<=…时，()0L θ>，且1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++å，令1dln ()ln 0d 1ni i L nx θθθ==+=+å，解得θ的最大似然估计值为1ˆ1ln nii nx θ==--å.于是θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nX θ==--å.。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个事件是必然事件？A. 抛一枚硬币，正面朝上B. 抛一枚硬币，反面朝上C. 抛一枚硬币，正面或反面朝上D. 抛一枚硬币，硬币立起来答案：C2. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则以下哪个选项是正确的？A. μ是X的中位数B. μ是X的众数C. μ是X的期望值D. μ是X的方差答案：C3. 假设随机变量X和Y独立，以下哪个选项是正确的？A. P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)B. P(X=x, Y=y) = P(X=x) + P(Y=y)C. P(X=x, Y=y) = P(X=x) - P(Y=y)D. P(X=x, Y=y) = P(X=x) / P(Y=y)答案：A4. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = npB. E(X) = n/2C. Var(X) = np(1-p)D. Var(X) = np答案：A5. 假设随机变量X服从泊松分布P(λ)，以下哪个选项是正确的？A. E(X) = λB. E(X) = λ^2C. Var(X) = λ^2D. Var(X) = λ答案：A二、填空题（每题5分，共20分）6. 如果随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x∈(a, b)。
答案：1/(b-a)7. 假设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，其标准正态分布的累积分布函数记为Φ(z)，则P(X ≤ x) = Φ((x - μ) / σ)。
答案：Φ((x - μ) / σ)8. 假设随机变量X服从指数分布Exp(λ)，其概率密度函数为：f(x) = ________，其中x≥0。
答案：λe^(-λx)9. 假设随机变量X服从几何分布Geo(p)，其概率质量函数为：P(X = k) = ________，其中k = 1, 2, 3, ...答案：(1-p)^(k-1)p三、计算题（每题15分，共30分）10. 假设随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(-1 ≤ X ≤ 1)。
《概率论》模拟试卷
《概率论》模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共15分）1、把9本书任意放在书架上，则其中指定的4本书放在一起的概率为 ..________11~5.______25.013.002104.____)2(____,123.____3.07.022=>========+==-=）（），则，（、设随机变量）（则，）（，）（，已知，，取值为、设随机变量全部可能）（的指数分布，则服从参数为、设随机变量）（，则）（，）（为随机事件，且、、设X P N X X P X P X P X D X E X AB P B A P A P B A σλ二、选择题（每小题3分，共15分）.0421231302010),(),(313232)(.3.022*******)(121}2{1不独立与）（）（）（）（）（）；（）（）（）（独立；与）（），则必有（），（，已知，、设随机变量）（；）（；）（；）（）（则其它，）的联合密度为：，、设（）（；）（；）；（或）次，则最有可能失败（，每次投中的概率为、某人独立地投篮三次）（；）（；；）（）（点数之和一次，则、掷两颗均匀的骰子各Y X D Y E X E XY E C Y D X D XY D B Y X A Y X Cov Y X D C B A a y x y x a y x f Y X D C B A D C B A P ====⎩⎨⎧<<<<+==≤5、设随机变5、量X ～B (n , p),且E(X) = 0.6, D(X) = 0.48,则n , p 的值为( )(A) n = 2 , p= 0.2 ; (B) n = 6 , p = 0.1 ; (C) n = 3 , p = 0.2 ; (D) n = 2 , p = 0.3 .三、从1，2，…，10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以101的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列事件概率： （1） 7个数字全不相同；（2）不含10与1；（3）10恰好出现两次；（4）至少出现两次10。
概率论期末考试试题和答案
概率论期末考试试题和答案### 概率论期末考试试题#### 第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，如果P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)的值是：A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 0.52. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，那么P(X=k)的表达式是：A. \( e^{-\lambda}\lambda^k / k! \)B. \( \lambda^k / e^{\lambda} \)C. \( e^{-k}\lambda^k / k! \)D. \( k! / \lambda^k e^{\lambda} \)3. 以下哪个不是随机变量的期望值的性质？A. 线性B. 非负性C. 可加性D. 可分解性4. 两个事件A和B独立，如果P(A)=0.6，P(B)=0.5，那么P(A∩B)的值是：A. 0.3B. 0.5C. 0.6D. 0.35. 随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)表示的是：A. X和Y的平均值B. X和Y的方差C. X和Y的线性相关性D. X和Y的独立性6. 如果随机变量X服从标准正态分布，那么P(X<0)的值是：A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.257. 以下哪个是大数定律的表述？A. 随机变量的期望值等于其观察值的平均值B. 随机变量的方差随着观察次数的增加而减小C. 随机变量的观察值的平均值随着观察次数的增加而趋于稳定D. 随机变量的观察值的方差随着观察次数的增加而趋于稳定8. 以下哪个是中心极限定理的结论？A. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的分布趋近于正态分布C. 独立同分布的随机变量之积的分布趋近于正态分布D. 独立同分布的随机变量之比的分布趋近于正态分布9. 以下哪个是马尔可夫链的性质？A. 状态转移概率只依赖于当前状态B. 状态转移概率只依赖于初始状态C. 状态转移概率只依赖于最终状态D. 状态转移概率依赖于所有历史状态10. 以下哪个是贝叶斯定理的应用？A. 根据先验概率和似然函数计算后验概率B. 根据后验概率和先验概率计算似然函数C. 根据似然函数和后验概率计算先验概率D. 根据先验概率和后验概率计算似然函数#### 第二部分：简答题（每题10分，共30分）1. 解释什么是条件概率，并给出一个实际的例子。
概率论期末考试题及答案
概率论期末考试题及答案概率论是一门研究随机现象及其规律性的数学分支。
以下是一套概率论期末考试题及答案，供参考。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)等于多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.35D. 0.6答案：B2. 抛一枚均匀的硬币两次，求正面朝上的次数为1的概率。
A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：B3. 随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求P(X=1)。
A. λB. λe^(-λ)C. e^(-λ)D. 1/λ答案：B4. 某工厂有5台机器，每台机器正常工作的概率都是0.9，求至少有3台机器正常工作的概率。
A. 0.999B. 0.99C. 0.95D. 0.9答案：C5. 一个骰子连续抛掷两次，求点数之和为7的概率。
A. 1/6B. 1/3C. 5/36D. 2/9答案：C二、填空题（每题2分，共10分）6. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ²)，其密度函数的峰值出现在X=______。
答案：μ7. 假设事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.5，则P(A∩B)=______。
答案：0.38. 某随机试验中，事件A发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.3，且P(A∪B)=0.4，则P(A∩B)=______。
答案：0.19. 连续型随机变量X的分布函数F(x)=1-e^(-λx)，其中λ>0，当x≥0时，X服从______分布。
答案：指数10. 假设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求其期望E(X)=______。
答案：np三、简答题（每题10分，共30分）11. 简述什么是条件概率，并给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B) 是事件A和B 同时发生的概率，P(B) 是事件B发生的概率。
概率论期末考试题及答案pdf
概率论期末考试题及答案pdf一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 随机变量X服从标准正态分布，则P(X<0)的值为（）。
A. 0.5B. 0.3C. 0.7D. 0.9答案：A2. 已知随机变量X服从二项分布B(n, p)，则E(X)的值为（）。
A. npB. n(1-p)C. pD. 1答案：A3. 两个随机变量X和Y相互独立，则P(X>1, Y>1)等于（）。
A. P(X>1)P(Y>1)B. P(X>1) + P(Y>1)C. P(X>1) - P(Y>1)D. P(X>1) / P(Y>1)答案：A4. 随机变量X服从泊松分布，其参数为λ，则P(X=k)的值为（）。
A. λ^k * e^(-λ) / k!B. λ^k * e^(-λ) * k!C. λ^k * e^(-λ) / (k-1)!D. λ^k * e^(-λ) * (k-1)!答案：A5. 随机变量X服从均匀分布U(a, b)，则其期望E(X)的值为（）。
A. (a+b)/2B. a+bC. 2a-bD. 2b-a答案：A6. 已知随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则其方差Var(X)的值为（）。
A. μB. σ^2C. 1/σ^2D. 1/μ答案：B7. 随机变量X服从指数分布，其参数为λ，则其期望E(X)的值为（）。
A. 1/λB. λC. 1D. 0答案：A8. 随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布，则P(X+Y<0)的值为（）。
A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.9答案：A9. 随机变量X服从二项分布B(n, p)，则其方差Var(X)的值为（）。
A. npB. np(1-p)C. pD. 1-p答案：B10. 随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，若P(X<μ)=0.5，则μ的值为（）。
A. 0B. 1C. μD. σ^2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 随机变量X服从标准正态分布，若P(X<1.96)=0.975，则P(X>1.96)=________。
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概率论与数理统计练习1
一．（20分）单项选择
1、同时抛掷两颗色子，出现点数之和为10的概率为（ ）
A 、112
B 、312
C 、512
D 、712
2、三人独立地破译一密码，每人能译出的概率分别为111,
,543，则他们能将密码译出的概率为（ ）。
A 、56
B 、35
C 、23
D 、4760
3、设随机变量X
的概率密度为2(1)8(),x f x x +-=-∞<<+∞ ，则 X （ ） A 、(1,2)N - B 、(1,4)N - C 、(1,8)N - D 、(1,16)N -
4、若12,X X 都服从区间[0, 2]上的均匀分布，则E 12()X X += （ ）
A 、1
B 、2
C 、 3
D 、 4
5、设随机变量X 的概率密度为1cos ()20
x a x b f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 则区间(,)a b 是（ ）
A 、(0,
)2π B 、(,0)2π- C 、(,)ππ- D 、(,)22
ππ- 二．(20分)填空题
1、 观察四个新生儿的性别，设每一个出生婴儿是男婴还是女婴的概率相等，则恰有两男两
女的概率为
2、 若事件A 、B 独立，且P （A ）＝0.5, P(B) ＝ 0.3 则P （A ＋B ）＝
3、 若B(,)n p X ～，则(0)P X ==
4、 若X 服从0－1分布，且(1)2(0),P X P X === 则X 的概率分布表为
5、设E(X)=-1,D(X)=4,由切比雪夫不等式估计概率≥P(-4<X<2)
三、计算题（24分）
1.设随机变量X 的分布律为1()(),1,2,2k p X k k === ，求随机变量cos(
)2Y X π=
的分布律。
2. 有甲、乙两台机器生产同样的零件，已知甲的产量是乙的两倍 ，它们产品中的废品率分
别为3%, 2%,，从总产品中随机抽取一件产品，求这件产品为合格品的概率。
四、综合题（24分）
1． 1个口袋中有大小形状相同的2红4白6个球，从袋中不放回地取两次球。
设随机变量
01X ⎧=⎨⎩第一次取红球第一次取白球
01Y ⎧=⎨⎩第二次取红球第二次取白球 求(,)X Y 的分布律及(0.5,1)F
2．对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间[,]a b 上，求圆面积的期望值。
五、应用题（12分）
1. 设 X U(a,b)，12,,,n X X X 是容量为n 的样本，求,a b 的矩估计
2.用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克，一箱内装200袋味精，求一箱味精净重大于20500克的概率。