2016数学中考总复习第五章 图形的认识与三角形
中考总复习解直角三角形
解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●理解三角函数的定义和正弦、余弦、正切的概念，并能运用；●掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；●掌握互为余角和同角三角函数间关系；●掌握直角三角形的边角关系和解直角三角形的概念，并能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数解直角三角形；●了解实际问题中的概念，并会用解直角三角形的有关知识解决实际问题．复习策略：●复习本专题应从四方面入手：（1）直角三角形在角方面的关系；（2）直角三角形在边方面的关系；（3）直角三角形的边角之间的关系；（4）怎样运用直角三角形的边角关系求直角三角形的未知元素．同时，解答这类题目时，应注重借助图形来解题，它能使已知条件、所求结论直观化，以便启迪思维，快捷解题．二、学习与应用知识点一：锐角三角函数“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx4#248924知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。
（一）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C是直角，如图（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（二）同角三角函数关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A= ；（2）商数关系：tanA= ．（三）互余两角的三角函数关系sinA=cos（），cosA=sin（）．（四）特殊角的三角函数值（五）锐角三角函数的增减性（1）角度在0°～90°之间变化时，正弦值（正切值）随角度的增大（或减小）而（或）．（2）角度在0°～90°之间变化时，余弦值随角度的增大（或减小）而（或）．要点诠释：∠A在0°～90°之间变化时，＜sinA＜，＜cosA＜，tanA＞知识点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形．（一）三边之间的关系：a2+b2= （勾股定理）（二）锐角之间的关系：∠A+∠B= °（三）边角之间的关系：sinA= ，cosA= ，tanA=要点诠释：解直角三角形时，只要知道其中的个元素（至少有一个），就可以求出其余未知元素．知识点三：解直角三角形的实际应用（一）仰角和俯角：在视线与所成的角中，视线在上方的是仰角；视线在下方的是俯角．（二）坡角和坡度：坡面与的夹角叫做坡角．坡面的和的比叫做坡面的坡度（即坡角的值）常用i表示．（三）株距：相邻两树间的．（四）方位角与方向角：从某点的方向沿时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角．从方向或方向到目标方向所形成的小于°的角叫做方向角．经典例题-自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。
2014届浙江中考数学总复习《图形的认识与三角形》自我测评(ppt版)(13年中考试题为例)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．(2013· 武汉)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A ＝36° ， BD 是 AC 边上的高， 则∠DBC 的度数是( A )
A．18° B．24° C．30° D．36°
6．如图，在直角△ABC 中，∠BAC＝90° ，AB＝ 8，AC＝6，DE 是 AB 边的垂直平分线，垂足为 D， 交边 BC 于点 E， 连结 AE， 则△ACE 的周长为( A )
10． (2013· 西宁)如图， 已知 OP 平分∠AOB， ∠AOB ＝60° ，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E.如果点 M 是 OP 的中点， 则 DM 的长是( )
A．2
B. 2
C. 3
D．2 3
解析： ∵∠AOB＝60° ， OP 平分∠AOB， CP∥OA， ∴∠AOP ＝ ∠BOP ＝ ∠CPO ＝ 30° .∵CP ＝ 2 ， ∴OC ＝ 2.∵PE⊥OB，∴∠PEC＝90° .又∵∠PCE＝60° ，∴CE OE 1 ＝ CP＝1， ∴OE＝3.在 Rt△POE 中， cos∠POE＝ OP， 2 3 3 即 cos 30° ＝OP， ∴OP＝ ＝2 3.在 Rt△POD 中， cos 30° 1 ∵M 是 OP 的中点，∴DM＝ OP＝ 3.故选 C. 2 答案：C
9．如图，在四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AD＝BC， ∠PEF＝30° ，则∠PFE 的度数是( )
A．15° B．20°
C．25°ຫໍສະໝຸດ D．30°解析：∵在四边形 ABCD 中， P 是对角线 BD 的 中点，E，F 分别是 AB，CD 的中点，∴ FP，PE 分别 1 是△ CDB 与△ DAB 的中位线，∴ PF＝ BC， PE＝ 2 1 AD. ∵ AD＝ BC，∴ PF＝PE，故△ EPF 是等腰三角 2 形．∵∠ PEF＝ 30° ，∴∠ PFE＝∠PEF＝ 30° .故选 D. 答案： D
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形-第二节 同角三角函数基本关系及诱导公式
故选C.
≠ .
（2）已知方程sin2 + 2sin cos − 2sin − 4cos = 0,则cos 2 − sin cos =
() B
4 3
3 4
A.− B. C.− D.
5 5
5 5
[解析]因为方程 + − − = ,
角
2π + ∈
π+
−
关于原点对称
______________
π
−
2
关于轴对称
_____________
π
+
2
图示
与角终边的关系
相同
______
角
π −
续表
角
2π + ∈
π+
图示
与角终边的关系
关于轴对称
关于直线 = 对称
−
三、诱导公式
组数
一
二
三
= ,即 = ,即 = .
因为 ∈ , ,所以 = , =
.故 − = −
C
=−
.故选C.
1
5
2或
（2）已知sin − cos = ,则tan =_____.
sin2 +cos2
=
2tan2 + 3tan − 1
=
2
tan + 1
=
sin +cos
［对点训练2］（1）已知
sin −cos
人教版九年级数学中考总复习《三角形的基本概念》 (共30张PPT)
A. 20° C. 10°
B. 30° D. 15°
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握三角形的中线、高线、 角平分线及重心的有关概念和性质 （相关要点详见“知识梳 理”部分）.
考点3 角平分线、线段垂直平分线的性质定理
考点精讲
【例4】（2015茂名）如图1-4-2-9，OC
考点点拨： 本考点的题型一般为选择题或填空题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握角平分线和线段垂直平 分线的性质定理. 注意以下要点： （1）角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上； （2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线 段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.
课堂巩固训练
1. 以下列各组数据为边长，能构成三角形的是 （ A ）
A. 3，4，5
B. 4，4，8
C. 3，10，4
D. 4，5，10
2. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（ C ）
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
3. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的
应用：经常利用两个三角形面积关系求底、高的比例关系或值.
4. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离 相等；反之，角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分 线上. 5. 线段垂直平分线的定义及性质定理 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的 直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”. （2）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等；反之，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平 分线上.
中考总复习北师大版初一初二数学课本知识点汇总
侧面是曲面底面是圆面圆柱，:⎩⎨⎧侧面是正方形或长方形底面是多边形棱体柱体，:侧面是曲面底面是圆面圆锥，:⎩⎨⎧侧面都是三角形底面是多边形棱锥锥体，:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧---)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数中考总复习北师大版初中数学课本知识点汇总北师大版初中数学七年级上册知识点汇总第一章 丰富的图形世界¤1.¤2.¤3. 球体：由球面围成的（球面是曲面）¤4. 几何图形是由点、线、面构成的。
①几何体与外界的接触面或我们能看到的外表就是几何体的表面。
几何的表面有平面和曲面；②面与面相交得到线；③线与线相交得到点。
※5. 棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱．。
※6. 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱．．，所有侧棱长都相等。
¤7. 棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。
¤8. 根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形…… ¤9. 长方体和正方体都是四棱柱。
¤10. 圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。
¤11. 圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成。
※12. 设一个多边形的边数为n(n≥3，且n 为整数)，从一个顶点出发的对角线有(n-3)条；可以把n 边形成(n-2)个三角形；这个n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
◎13. 圆上两点之间的部分叫做弧．，弧是一条曲线。
◎14. 扇形，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形。
¤15. 凸多边形和凹多边形都属于多边形。
有弧或不封闭图形都不是多边形。
第二章 有理数及其运算※※数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
中考数学总复习 第五章 基本图形综合测试题(含答案)
基本图形一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列命题中，假命题是(D）A. 平行四边形是中心对称图形B. 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C. 对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D. 若x2＝y2，则x＝y2．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(B）A. ∠BAC＝∠BADB. AC＝AD或BC＝BDC. AC＝AD且BC＝BDD. 以上都不正确(第2题图) (第3题图)3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若CD＝5 cm，则EF＝(A）A. 5 cmB. 10 cmC. 15 cmD. 20 cm4．将一把直尺与一块三角尺按如图的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(D）A. 125°B. 120°C. 140°D. 130°(第4题图) (第5题图)5．如图，在坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且AB＝BC＝5.若点A的坐标为(－3，1)，B，C两点在直线y＝－3上，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为(C）A. 2B. 3C. 4D. 56．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为5.25 cm2，则此方格纸的面积为(B）A. 11 cm2B. 12 cm2C. 13 cm2D. 14 cm2(第6题图) (第7题图)7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC，BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(A）A. －4B. 10π－4C. 10π－8D. －88．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P.有下列结论：(第8题图)①图形中全等的三角形只有两对；②正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；③BE ＋BF＝2OA；④AE2＋CF2＝2OP·OB.其中正确的结论有(C）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9．如图，在正方形ABCD中，AB＝3 cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1 cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒3 cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是(B）(第9题图)10．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2015的值为(C ）(第10题图) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222012 B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫222013C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122012D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫122013二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知直线l 1，l 2，l 3互相平行，直线l 1与l 2的距离是4 cm ，直线l 2与l 3的距离是6 cm ，那么直线l 1与l 3的距离是10_cm 或2_cm ．12．如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，连结其对边中点，得到四个矩形，顺次连结矩形AEFG 各边中点，得到菱形I 1；连结矩形FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连结矩形FNPQ 各边中点，得到菱形I 2……如此操作下去，得到菱形I n ，则I n 的面积是⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1ab ．(第12题图)13．如图，若将边长为2 cm 的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿AC 移动．若重叠部分△A ′PC 的面积是1 cm 2，则移动的距离AA ′等于22－2_cm ．(第13题图) (第14题图)14．如图，点P 是矩形ABCD 内的任意一点，连结PA ，PB ，PC ，PD ，得到△PDA ，△PAB ，△PBC ，△PCD ，设它们的面积分别是S 1，S 2，S 3，S 4，给出如下结论：①S 1＋S 2＝S 3＋S 4；②S 2＋S 4＝S 1＋S 3；③若S 3＝2S 1，则S 4＝2S 2；④若S 1＝S 2，则点P 在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__(把所有正确结论的序号都填在横线上)．15．如图，矩形OABC 在第一象限，OA ，OC 分别与x 轴，y 轴重合，面积为6.矩形与双曲线y ＝k x(x ＞0)交BC 于点M ，交BA 于点N ，连结OB ，MN .若2OB ＝3MN ，则k ＝__2__．(第15题图)16．如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1，A 2，A 3，…，A n －1为OA 的n 等分点，B 1，B 2，B 3，…B n －1为CB 的n 等分点，连结A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n －1B n －1，分别交y ＝1n x 2(x ≥0)于点C 1，C 2，C 3，…，C n －1，当B 25C 25＝8C 25A 25时，则n ＝53．(第16题图)三、解答题(本题有8小题，共66分)17．(本题6分)已知：∠MON ＝40°，OE 平分∠MON ，点A ，B ，C 分别是射线OM ，OE ，ON 上的动点(A ，B ，C 不与点O 重合)，连结AC 交射线OE 于点D .设∠OAC ＝x °.(1)如图①，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是__20°__；②当∠BAD ＝∠ABD 时，x ＝__120__；当∠BAD ＝∠BDA 时，x ＝__60__．(2)如图②，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．(第17题图)解：(1)①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°.∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°.②∵∠BAD＝∠ABD，∴∠BAD＝20°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝120°.∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，∴∠BAD＝80°.∵∠AOB＋∠ABO＋∠OAB＝180°，∴∠OAC＝60°.(2)①当点D在线段OB上时，若∠BAD＝∠ABD，则x＝20；若∠BAD＝∠BDA，则x＝35；若∠ADB＝∠ABD，则x＝50.②当点D在射线BE上时，∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125.综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20，35，50，125. 18．(本题6分)如图：已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，求证：AB∥CD.(第18题图)证明：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．19．(本题6分)如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，BP的垂直平分线分别交CD，AB于E，F两点，垂足为Q，过点E作EH⊥AB于点H.(第19题图)(1)求证：HF＝AP.(2)若正方形ABCD的边长为12，AP＝4，求线段EQ的长解：(1)证明：∵EQ ⊥BO ，EH ⊥AB ，∴∠EQN ＝∠BHM ＝90°.∵∠EMQ ＝∠BMH ，∴△EMQ ∽△BMH ，∴∠QEM ＝∠HBM .∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝90°＝∠ABC ，AB ＝BC .又∵EH ⊥AB ，∴EH ＝BC .∴AB ＝BC .在△APB 与△HFE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABP ＝∠HEF ，∠PAB ＝∠FHE ，AB ＝EH ，∴△APB ≌△HFE ，∴HF ＝AP .(2)由勾股定理，得BP ＝AP 2＋AB 2＝42＋122＝410.∵EF 是BP 的垂直平分线，∴BQ ＝12BP ＝210， ∴QF ＝BQ ·tan ∠FBQ ＝BQ ·tan ∠ABP ＝210×412＝2103. 由(1)知，△APB ≌△HFE ，∴EF ＝BP ＝410，∴EQ ＝EF －QF ＝410－2103＝10103. 20．(本题8分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图①，在边长为a (a ＞2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝1，当∠AFQ ＝∠BGM ＝∠CHN ＝∠DEP ＝45°时，求正方形MNPQ 的面积．(第20题图)小明发现：分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于点R ，S ，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH ，△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙，不重叠)，则这个新的正方形的边长为__a __． (2)求正方形MNPQ 的面积． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图③，在等边△ABC 各边上分别截取AD ＝BE ＝CF ，再分别过点D ，E ，F 作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△RPQ .若S △RPQ ＝33，则AD 的长为__23__． 解：(1)a .(2)∵四个等腰直角三角形面积的和为a 2，正方形ABCD 的面积也为a 2.∴S 正方形MNPQ ＝S △ARE ＋S △BSF ＋S △GCT ＋S △HDW ＝4S △ARE ＝4×12×12＝2. (3)23. 21．(本题8分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图①，若PA ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．(1)应用：如图②，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．(第21题图)(2)探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究PA 的长．解：(1)若PB ＝PC ，连结PB ，则∠PCB ＝∠PBC .∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°.∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°.∴PD ＝33DB ＝36AB . 这与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC . 若PA ＝PC ，连结PA ，同理可得PA ≠PC .若PA ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ， ∴∠DPB ＝45°.故∠APB ＝90°.(第21题图解)(2)∵BC ＝5，AB ＝3，∴AC ＝BC 2－AB 2＝4.①若PB ＝PC ，设PA ＝x ，则x 2＋32＝(4－x )2，x ＝78，即PA ＝78. ②若PA ＝PC ，则PA ＝2.③若PA ＝PB ，由图知，在Rt △PAB 中，不可能，故PA ＝2或78. 22．(本题10分)如图①，把边长为4的正三角形各边四等分，连结各分点得到16个小正三角形．(1)如图②，连结小正三角形的顶点得到的正六边形ABCDEF 的周长＝__6__．(2)请你判断：命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是真命题还是假命题？如果是真命题，请你把它改写成“如果…，那么…”的形式；如果是假命题，请在图①中画图说明．(第22题图)解：(1)∵正六边形的各边长都等于1，∴周长＝6×1＝6.(2)命题“六个内角相等的六边形是正六边形”是假命题，反例如解图①②等．(第22题图解)23．(本题10分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝5，对角线BD 平分∠ABC ，cos C ＝45. (1)求边BC 的长；(2)过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，求tan ∠DAE 的值．(第23题图) (第23题图解)解：(1)过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H .在Rt △CDH 中，由∠CHD ＝90°，CD ＝5，cos C ＝45， 得CH ＝CD ·cos C ＝5×45＝4. ∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD .∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD .∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AD ＝AB ＝5.于是，由等腰梯形ABCD ，可知BC ＝AD ＋2CH ＝13.(2)∵AE ⊥BD ，DH ⊥BC ，∴∠BHD ＝∠AED ＝90°.∵∠ADB ＝∠DBC ，∴∠DAE ＝∠BDH .在Rt △CDH 中，DH ＝CD 2－CH 2＝52－42＝3.在Rt △BDH 中，BH ＝BC －CH ＝13－4＝9.∴tan ∠BDH ＝BH DH ＝93＝3. ∴tan ∠DAE ＝tan ∠BDH ＝3.24．(本题12分)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝10，sin A ＝45，点E 在AB 上，AE ＝4，过点E 作EF ∥AD ，交CD 于点F .(第24题图)(1)菱形ABCD 的面积为__80__．(2)若点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿着线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点E 出发也以1个单位长度/秒的速度沿着线段EF 向终点F 运动，设运动时间为t (s)． ①当t ＝5时，求PQ 的长；②以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 是否能与直线AD 相切？如果能，求此时t 的值；如果不能，说明理由．解：(1)过点B 作BN ⊥AD 于点N ，如解图①.∴BN ＝AB ·sin A ＝10×45＝8， ∴S 菱形ABCD ＝AD ·BN ＝10×8＝80.(第24题图解)(2)①过点P 作PM ⊥EF 于M ，如解图②.由题意可知AE ＝4，AP ＝EQ ＝5，EP ＝AP －AE ＝1.∵EF ∥AD ，∴∠BEF ＝∠A ，∴sin ∠BEF ＝PM EP ＝sin A ＝45，解得PM ＝45.在Rt △PME 中，EM ＝EP 2－PM 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，则有MQ ＝5－35＝225.在Rt △PQM 中，PQ ＝PM 2＋MQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2252＝25，即PQ 的长为2 5.②能．过点P 作PH ⊥AD 于H ，交EF 于G 点，如解图③，(第24题图解)则PH ＝45t ，PE ＝t －4，PG ＝45(t －4)，EG ＝35(t －4)，∴GQ ＝EQ －EG ＝t －35(t －4)＝25t ＋125，∴PQ 2＝PG 2＋GQ 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252.若以点P 为圆心，PQ 长为半径的⊙P 与直线AD 相切，则PH ＝PQ ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45t －1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25t ＋1252，整理，得t 2－20t ＋100＝0，解得t 1＝t 2＝10.此时t 的值为10.。
最新版初中七年级数学题库 第五章三角形期末总复习题1
A B CDE F第五章《三角形》复习之一 （总复习 07）姓名————————学号——————班别————————一． 知识点： 1．三角形的分类三角形按边分类可分为_______和______(等边三角形是等腰三角形的特殊情况)；按角分类可分为______、_______和_______，例1：如果三角形三个内角之比为1：2：3，那么这个三角形是————————三角形。
2．三角形的三边关系：三角形的第三边小于两边之—————，大于两边之——————。
用式子表示为：——————＜AC ＜———————— 例2：已知一个三角形的三条边长为2、5、x ，则x 的取值范围是 。
3．三角形内角和等于——————度。
4．直角三角形两锐角——————例3、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中两个锐角的度数分别是————，——————。
5．如图-2：已知：AD 是△ABC 的中线，BD=4，则CD=————，BC=————6．已知：如图-3AD 是△ABC 的角平分线，则 ----------=———————— 7．已知：如图3AD 是△ABC 的高，则，则 ----------=————————巩固练习一，填空题1、在△ABC 中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C 的度数是 。
2、在Rt △ABC 中，一个锐角为30°，则另一个锐角为 度。
3．、如图-4左：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=——————度。
4、已知一个三角形的三条边长为2、7、x ，则x 的取值范围是 。
5、（1）等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是 。
（2）等腰三角形一边的长是5，另一边的长是8，则它的周长是 。
6、已知三角形的两边长分别是2cm 和5cm,第三边长是奇数，则第三边的长是 。
7、如图-5，ΔABC ≌ΔDEF ，∠A=50°，∠B=70°，CD=3cm ，则∠EFD=____°,AF=_____cm 。
中考数学总复习 基础知识梳理 第5单元 三角形 5.1 几何初步及相交线、平行线课件
2021/12/9
第六页，共十九页。
5.1.2 角
要点 梳理 (yàodiǎn)
（1）角的定义
①有公共端点的两条射线组成的图形(túxíng)叫做角.这个公共端点叫做角
的顶点，这两条射线叫做角的边.
②一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形
2021/12/9
第九页，共十九页。
5.1.4 对顶角
要点 梳理 (yàodiǎn)
（1）邻补角：有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具
有这种关系的两个角互为邻补角. （2）一个角的两边(liǎngbiān)分别是另一个角的两边(liǎngbiān)的反向延长线， 这两个
角则叫做对顶角. （3）对顶角的性质：对顶角相等.
叫做角.
（2）角的分类：角按照大小可以分为周角、平角、钝角、直角、
锐角. （3）角的比较方法：①叠合法.②度量法.
2021/12/9
第七页，共十九页。
要点 梳理 (yàodiǎn)
（4）角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线
叫做这个角的平分线. 性质：角平分线上的点到这个角两边(liǎngbiān)的距离相等. 总结：有公共端点的n条射线（两条射线的最大夹角小于平角），
【答案】D
2021/12/9
第十六页，共十九页。
【例3】下列各图中，∠1与∠2互为余角的是
经典 考题 (jīngdiǎn)
（）
A
B
C
D
【解析】根据余角的概念，如果(rúguǒ)两个角之和为90°，则这两个角互为余
角，由B选项可知∠1+∠2=90°，故选择B选项.
数学中考专题复习 图形的认识之三角形
年备战中考复习系列《图形的认识》第二课时 三角形初三（ ）班 学号： 姓名： 2006年4月 日 一、中考知识要点 1、三角形基本概念 （1）三边关系：三角形任意两边之和 第三边，三角形任意两边之差 第三边。
（2）三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于 。
（3）外角性质：三角形的一个外角等于和它 的两内角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它 的内角。
（填“不相邻”或“相邻”） （4）角平分线：OC 是的角平分线AOB ∠，则∠ =∠ =21∠ 角平分线定理：角平分线上的点到 的两边的距离 。
OC 是的角平分线AOB ∠，P 是OC 上一点，PE OB PD OA ⊥⊥,，则 =（5）线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 是CD 上一点， O 是垂足，则 = ， =（6）三角形的三条角平分线相交于一点（ 心）； 三条边的垂直平分线相交于一点（ 心）。
（7）中位线：三角形的中位线 第三边，并且等于 。
2、特殊的三角形 等腰三角形（1）等腰三角形的两个底角 ，简写成：等边对 。
PEDCB OA（2）等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的高。
（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等，简写成：等角对。
如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的也相等，简写成：等边对。
（4）三个角相等的三角形是三角形。
（5）有一个角等于60°的等腰三角形是三角形。
直角三角形（1）直角三角形两锐角。
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的。
（3）勾股定理：在Rt∆ABC中，,90︒=∠C AB=a, BC=b, AC=c，则a，b，c满足关系：a= ，b= ，c=在Rt∆ABC中，,90︒=∠C AB=5，BC=4，则AC= .在Rt∆ABC中，,90︒=∠B AB=4，BC=3，则AC= .在Rt∆ABC中，,90︒=∠B AB=1，AC=2，则BC= .（4）勾股定理逆定理：如果三角形三边为a，b，c，满足，那么这个三角形为直角三角形。
九年级数学专题复习----图形的认识及三角形
初三数学专题复习----图形的认识及三角形知识要点：1. 生活中的平面、立体图形，以及立体图形的展开、切截、视图、投影，平面图形的平移、折叠、旋转等可以归结为对点、线、面等基本几何图形的认识。
如何以实物抽象出几何图形，立体与平面图形之间的转化，以及从各方位去认识和把握图形的结构特征，其重点为：视图与展开图，注重模型与抽象思维的训练，注重观察和操作，及图形结构，排放规律的探索等。
2. 三角形是常见的几何图形之一，是学习四边形、圆的基础，是组成较复杂图形的基本“细胞”。
其重点为：三角形中角度的计算，三边关系的确定与利用，利用三角形的全等证明角、线段相等，特殊三角形(等腰三角形，直角三角形，等边三角形)的性质及应用，注重分类，方程思想的理解和渗透。
例题分析：1. 如图是一多面体的展开图，每个面内都标注字母，请根据要求回答问题：(1)如果面A在多面体的底部，那么哪一个面会在上面？(2)如果F在前面，从左面看是B，那么哪一个面会在上面？(3)从右面看是面C，而D在后面，那么哪一个面会在上面？分析与解答：这是一个长方体的表面展开图，共有6个面，其中面A与面F相对，面B与面D相对，而C与E相对，本题考查展开图与立体图的关系，可用操作亦可通过空间想象及简单推理得出结论。
(1)面F，(2)面C，(3)面A.2. 结合两块相同的正三角形纸片，如图(1)，(2)要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示，并作简要说明。
分析与解答：由平面图形拼成立体图形，属逆向思维，需从所要得出的立体图形的平面展开图的特点入手，本题关键是确定底和侧面。
合：如图(3)，(4)图(3)沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥；图(4)在正三角形的三个角上剪出三个相同的四边形其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底面而下底面为正三角形的直三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个三棱柱的上底面。
初三中考数学总复习知识点汇总第五章几何图形基本概念
初三中考数学总复习知识点汇总:第五章几何图形基本概念一、三种基本图形——直线、射线、线段1、直线公理：经过两点，有且只有条直线．2、线段公理：两点之间，线段最．3、两点间的距离：连结两点间的线段的，叫做两点间的距离．二、角的定义1、定义1：具有公共端点的两条组成的图形叫做角．2、定义2：一条____________________绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3、角的分类：角按照大小可以分为周角、平角、-----、------、------。
4、角的度量及单位换算：1度=60分，1分=60秒三、互为余角、互为补角1、互为余角定义与性质：如果两个角的和等于，则这两个角互余．同角(或等角)的余角．2、互为补角定义与性质：如果两个角的和等于，则这两个角互补．同角(或等角)的补角．四、相交线1、对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角两边的，这两个角叫对顶角。
2、对顶角的性质：对顶角。
3、垂直性质1：在同一平面内，过一点有且只有条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，最短．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的____________________的长度，叫做点到直线的距离．五、角的平分线与线段的垂直平分线1、角平分线：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角平分线性质和判定：角的平分线上的点到角两边的距离．角的内部到角的两边距离相等的点在 _上．3、线段的垂直平分线性质和判定：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．六、平行线1、平行线的概念：在同一平面内，的两条直线叫做平行线．2、平行公理：经过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行．3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也．4、平行线的判定：同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行．5、平行线的性质：两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补．七、命题命题的概念：判断一件事情的句子叫做命题．命题的分类：命题分为命题和命题．命题的组成：命题由和两个部分组成．。
中考数学总复习 第五章 基本图形 第25课 等腰三角形课件
【例 1】 (2015·福州)如图，C，D 分别是线段 AB，AC 的中点，分别以 点 C，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点 M，测量∠AMB 的度数， 结果为( )
A. 80°
B. 90°
(例 2 题图) C. 100°
9．已知实数 x，y 满足|x－8|＋ y2－10y＋25＝0，则以 x，y 的值为两边长 的等腰三角形的周长是___1__8_或_21 ．
(第 10 题图) 10．如图，△ABC 是等边三角形，高 AD，BE 相交于点 H，BC＝4 3， 在 BE 上截取 BG＝2，以 GE 为边作等边三角形 GEF，则△ABH 与△GEF 重
(3)等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形； ②有 两角 相等的三角形是等腰三角形．
2．等边三角形的性质与判定 (1)性质 ①等边三角形的内角都__相__等_ ，且等于__6_0_°_ ； ②等边三角形是___轴__对__称 图形，等边三角形每条边上的中线、高线和 所对角的平分线都三线合一，___它__们__所__在__的__直__线_ 都是等边三角形的对称 轴．
(2)判定 ①三个角___相__等 的三角形是等边三角形； ②有一个角是___6_0_° 的等腰三角形是等边三角形．
3．线段的中垂线 (1)概念 ____垂__直__且__平__分 一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，也叫中 垂线．
(2)性质 线段中垂线上的点到这条线段____两__个__端__点__的__距__离__相__等_______． (3)判定 到一条线段的两个端点距离___相__等 的点在这条线段的中垂线上，线段 的中垂线可以看做是到线段两端点距离相等的点的集合．
P，使得△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有( C )
中考数学总复习 基础知识梳理 第5单元 三角形 5.2 三角形的有关概念课件
第五 单元 三角形 (dì wǔ) 第20课时 三角形的有关(yǒuguān)概念
第一页，共十三页。
考纲考点(kǎo diǎn)
考情分析(fēnxī)
（1）理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等有关概念，会画任
意三角形的平分线、中线和高，了解三角形的稳定性；（2）掌握三角形中位线 定理，三角形内角和定理及推论，了解三角形重心的概念，知道三角形的内心、 外心(wàixīn).
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
（1）三角形的中位线是一条线段，它的两个(liǎnɡ ɡè)端点分别是三角形两边的 中点；
（2）一个三角形有三条中位线.
2021/12/9
第七页，共十三页。
5.2.5 三角形三边(sān biān)的关系
要点 梳理 (yàodiǎn)
(1)三角形任意两边的和大于第三(dì sān)边. (2)三角形任意两边的差小于第三边. 运用“三角形中任意两边的和大于第三边”可以判断三条线段能否组 成三角形，也可以检查较小的两边的和是否大于第三边.
（1）三角形的三条中线的交点在三角形的内部；
（2）三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部；
（3）锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条 高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形 的外部.
2021/12/9
第六页，共ห้องสมุดไป่ตู้三页。
5.2.4 三角形的中位线
要点 梳理 (yàodiǎn)
【答案】B
2021/12/9
第十一页，共十三页。
【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=90°，
AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，
中考数学 3.三角形及其有关概念
中考数学3、三角形及其有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（2）三角形的内角之和等于180°（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（5）三角形具有稳定性。
4. 补充性质：在中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则。
三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。
三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。
实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。
因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（）A. B.C. D.分析：因为为锐角三角形，所以又∠C＝2∠B，又∵∠A为锐角，为锐角，即，故选择C。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形的形状是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160°∴另两个外角的和等于200°设这两个外角的度数为2x，3x解得：与80°相邻的内角为100°∴这个三角形为钝角三角形应选C例3. 如图，已知：在中，，求证：。
中考数学总复习教案第5章图形的认识与三角形
第五章图形的认识与三角形课时18．几何初步及平行线、相交线【考点链接】1. 两点确定一条直线，两点之间最短，即过两点有且只有一条直线。
2. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4._________________________________ __叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点有___________条直线与已知直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.9．线段的垂直平分线：性质：线段垂直平分线上的到这条线段的的距离相等；判定：到线段的点在线段的垂直平分线上。
10.角的平分线：性质：角平分线上的点到角相等；判定：到角的点在这个角的平分线上。
中考题选：1．如图6，直线a b∥，直线c与a b，相交．若170∠=，则2_____∠=．12 ba 图c课时19．三角形的有关概念【考点链接】一、三角形的分类：1．三角形按角分为______________，______________，_____________．2．三角形按边分为_______________,__________________.二、三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．三、三角形中的主要线段：1．_______________________________ ____叫三角形的中位线．2．中位线的性质：__________________________________ __________．3．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 图形的认识与三角形 课时18．几何初步及平行线、相交线【考点链接】1. 两点确定一条直线，两点之间 最短，即过两点有且只有一条直线。
2. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 9．线段的垂直平分线：性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等； 判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。
10.角的平分线：性质：角平分线上的点到角 相等； 判定：到角 的点在这个角的平分线上。
【河北三年中考试题】1．（2008年，3分）如图6，直线a b ∥，直线c 与a b ， 相交．若170∠=， 则2_____∠=．2．（2011）如图1，∠1＋∠2等于（ ） A ．60° B ．90° C ．110° D ．180°8．（2013）如图1，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东70°方向的M 处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到12 ba 图6c达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为 A ．40海里 B ．60海里 C ．70海里D ．80海里4、如图，平面上直线a ，b 分别过线段OK 两端点（数据如图），则a ，b 相交所成的锐角上（ ） A 、20° B 、30 ° C 、70° D 、80°8. （2015）如图5，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC=50°，则∠ACD=( )A.120°B.130°C.140°D.150°9. （2015）已知：岛P 位于岛Q 的正西方，由岛P ，Q 分别测得船R 位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是( )图5课时19．三角形的有关概念【考点链接】一、三角形的分类：1．三角形按角分为______________，______________，_____________．2．三角形按边分为_______________,__________________.二、三角形的性质：1．三角形中任意两边之和____第三边，两边之差_____第三边2．三角形的内角和为_______，外角与内角的关系：__________________．三、三角形中的主要线段：1．___________________________________叫三角形的中位线．2．中位线的性质：____________________________________________．3．三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。
4．角平分线：三角形的角平分线交于一点，这点叫三角形的内心，它到三角形三边的距离，内心也是三角形内切圆的圆心。
5．三角形三边的垂直平分线：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，它到三角形三个顶点的距离，外心也是三角形外接圆的圆心。
6．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线)四、等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合（三线合一）；3. 有两个角相等的三角形是_________．五、等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形．六、直角三角形的性质与判定：1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________．【河北三年中考试题】1. (2008年，3分) 图9-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”2.（2009年，3分）如图8，等边△ABC 的边长为1 cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ' 处，且点A '在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ． 3. （2009年，10分）在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合， 求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由）4. （2010年，2分）如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°， 则∠A 等于（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°10．（2011）已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为A ．2B ．3C ．5D ．13 17．（2011）如图8中图①，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′ABC图9-1 图8图14-1AHC (M )DEBFG (N )G图14-2AHCDBFNM AHCDE 图14-3BFG MN A B C40°120°图1B ′D ′的位置得到图②，则阴影部分的周长为_________14．（2012）图7，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ， 若∠BOD =38°，则∠A 等于 °． 2、（2014）如图，△ABC 中，D,E 分别上边AB ，AC 的中点，若DE=2，则BC= （ ）X k B 1 . c o m A 、2 B 、3 C 、4 D 、512、（2014）如图，已知△ABC （AC<BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）20. （2015）如图10，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2； 再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=ABC D课时20．全等三角形和相似三角形【考点链接】一、全等三角形：1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. 5．证明三角形全等的思路：找夹角 （1）已知两边 找直角 找边为角的对边时，找 （2）已知一边一角 找夹角的另一边 边为角的邻边时， 找夹边的 找边的对角找 （3）已知两角找任意一边 二、相似三角形：1．三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的判定方法⑴若DE ∥BC （A 型和X 型）则______________．⑵射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双直角图形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ____．⑶两个角对应相等的两个三角形__________．⑷两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． ⑸三边对应成比例的两个三角形___________． 3．相似三角形的性质⑴相似三角形的对应边_________，对应角________．⑵相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．⑶相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长图10图15-2 ADO B C 2 1 MN 图15-1AD BM N1 2图15-3 A D O BC 2 1 M N O 之比也等于________比，面积比等于_________．【河北三年中考试题】1.（2010年，10分）在图15-1至图15-3中，直线 MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3，求ACBD的值．9．如图3，在△ABC 中，∠C =90°，BC =6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为A ．12B ．5米C ．6米D ．7米7．（2012）如图3，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了CN ∥OA ，作图痕迹中， FG 是（ ）A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧B ．以点C 为圆心，DM 为半径的弧图3 AOBE G ND F CC ．以点E 为圆心，OD 为半径的弧 D ．以点E 为圆心，DM 为半径的弧23．（2012）（本小题满分9分）如图13-1，点E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．（1）AE 和ED 的数量关系为 ，AE 和ED 的位置关系为 ；（2）在图13-1中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连 接GH ，HD ，分别得到图13-2和图13-3．①在图13-2中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB的相似比是1︰2，H 是EC 的中点．求证：GH =HD ，GH ⊥HD ．②在图13-3中，点F 在BE 的延长线上，△EGF与△EAB 的相似比是k ︰1，若BC =2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH =HD 且GH ⊥HD （用含k 的代数式表示）．26．（2012）（本小题满分12分）如图15-1和图15-2，在△ABC 中，AB =13，BC =14，cos ∠ABC =513探究 如图15-1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ， AC= ，的面积S △ABC = ．拓展 如图15-2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合）， 分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD=x ， AE=m ，CF=n ，（当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD =0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ； （2）求（m +n ）与x 的函数关系式，并求（m +n ）的 最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ， 指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A ，B ，C 三点到这条图13-1E图13-2E图13-3图15-1 CH直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．13、（2014）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3,4,5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似。