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黄金分割__专题讲解

黄金分割专题讲解一、请你填一填（1）如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.（2）黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）.（3）如果线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a =2 cm,b =4 cm,c =5 cm,则d =_____________cm.（4）已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC =________.（5）若d c b a ==3（b +d ≠0），则d b c a ++=________. 二、认真选一选（1）已知yx 23=,那么下列式子成立的是（） A.3x =2yB.xy =6C.32=y xD.32=x y （2）把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是（）A.b d c a 2=B.b d c a =2C.b d c a =2D.d a b c 2=（3）已知线段x ,y 满足（x +y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶2（4）有以下命题:①如果线段d 是线段a ,b ,c 的第四比例项，则有dc b a= ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1其中正确的判断有（）A.1个B.2 个C.3个D.4个5、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则（）A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2；C 、AB AP PB ⋅=2；D 、222AB BP AP =+4、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（）A 、)15(5-B 、)15(5+C 、)25(10-D 、)53(5-一、选择题 1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点，则AC ∶AB 为（） A ．215- B ．253- C ．215+ D ．215-或253- 2．若=+-1y y x 黄金数，则yx 的值是（） A ．55 B ．21 C ．25 D ．5 3．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A ．53-B ．15-C ．51+D ．53+4．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割。

中考数学专题复习：黄金分割比例

中考数学专题复习：黄金分割比例1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点O，连接BO，并延长交AC于点D，若AB＝2，则CD的长为（）A．﹣1B．3﹣C．+1D．3+2．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC．则下列各式中不正确的是（）A．AC＝AB B．BC＝ABC．AB＝AC D．AB：AC＝AC：BC3．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB 的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较短线段BP的长度为（）A．B．C．D．4．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（）A．B．C．+1D．﹣15．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，那么线段AP的长度等于（）A．B．C．D．6．如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段的比值不可能是黄金比的是（）A．AB：BC B．BC：AC C．BC：AB D．AC：BC7．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（）A．B．C．D．8．古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，则此人身高大约为（）A．160cm B．170cm C．180cm D．190cm9．舞台纵深为8米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（）A．2.5米B．2.9米C．3.0米D．3.1米10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1中画了1条线段，使图中有了2个等腰三角形，请直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）若在图2中画2条线段，图中有个等腰三角形，分别是（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．11．已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是．12．已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是．13．已知点P是线段AB上的点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝2cm，那么BP＝cm．14．已知点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，AB＝4，则AC＝．15．点P是线段AB上的一点，如果AP2＝BP•AB，那么的值是．16．如图，C是靠近点B的黄金分割点，若AB＝10cm，则AC＝cm．（结果保留根号）17．一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为米．18．已知在△ABC中，∠B＝36°，AB＝AC，D是BC上一点，满足AD＝CD，则＝．19．点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝20cm，则BC＝cm．20．在基础数学领域，我们把含有36°角的等腰三角形称为“黄金三角形”，如图，△ABC 是顶角为36°的等腰三角形．BD是∠ABC的平分线，过点D作BC的平行线交AB于点E．（1）写出图中所有“黄金三角形”，并写出你的依据；（2）求出（1）中写出的所有“黄金三角形”的腰与底边的比值；21．如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．22．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，△ABC中，AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图中用尺规作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD（保留作图痕迹）；（2）请问△BDC是不是黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．23．我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠B＝36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．24．我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果＝，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为．（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为cm；（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕C，G．试说明：G是AB的黄金分割点．25．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB 的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b ≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．26．如图，以矩形ABCD的宽为边作正方形AEFD，若矩形EBCF的宽与长的比值等于矩形ABCD的宽与长的比值，则将矩形ABCD称为“黄金矩形”．若AD＝2，求BE的长．参考答案1．解：∵∠A＝36°，AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，由题意得：BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，∴AD＝BD＝BC，△BCD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴点D是AC的黄金分割点，AD＞CD，∴AD＝AC＝﹣1，∴CD＝AC﹣AD＝3﹣，故选：B．2．解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，AB：AC＝AC：BC，∴AB＝AC，BC＝AB﹣AC＝AB，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意；故选：A．3．解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，∴AP＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，∴BP＝AB﹣AP＝10﹣（5﹣5）＝（15﹣5）cm，故选：D．4．解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k，∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC，∴k＝，故选：B．5．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，∴AP＝AB＝﹣1，故选：B．6．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴若AC为较长线段，则AC：AB＝BC：AC＝；若BC为较长线段，则BC：AB＝AC：BC＝；故选：A．7．解：∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故选：C．8．解：设此人身高为xcm，∵某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为105cm，∴≈0.618，解得：x≈170，即此人身高大约为170cm，故选：B．9．解：∵主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点P处，∴离舞台前沿较近的距离为：×8＝12﹣4≈3.1（米），故选：D．10．解：（1）如图1所示：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴当AE＝BE，则∠A＝∠ABE＝36°，则∠AEB＝108°，则∠EBC＝36°∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度．故答案为：108，36（2）如图所示：（3）根据（2）可知：如图所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中n个黄金等腰三角形．故答案为2n，n11．解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，MP＞NP，∴MP＝MN＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．12．解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．13．解：∵点P在线段AB上，BP2＝AP•AB，∴点P为线段AB的黄金分割点，AB＝2cm，∴BP＝2×＝（﹣1）cm．故答案为：（﹣1）．14．解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝4，∴AC＝AB＝×4＝2﹣2，故答案为：2﹣2．15．解：∵点P是线段AB上的一点，AP2＝BP•AB，∴＝，∴点P是线段AB的黄金分割点，∴AP＝AB，∴＝，故答案为：．16．解：∵C是靠近点B的黄金分割点，AB＝10cm，∴AC＞BC，AC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．17．解：由黄金分割的定义得：当主持人站在黄金分割点处时，舞台的长度为8米，主持人到较近的一侧应为×8＝（12﹣4）米，故答案为：（12﹣4）．18．解：∵∠B＝36°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠BAC＝180°﹣2×36°＝108°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，△ABC∽△DCA，∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，＝，∴AB＝BD，∴＝，∴D是线段BC的黄金分割点，∴＝＝，故答案为：．19．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝20cm，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）cm，故答案为：（10﹣10）．20．解：（1）图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个，理由如下：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠BDE＝36°，∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠ACB，∴∠A＝∠ABD，∠BDE＝∠ABD＝72°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AD＝BD，BE＝ED，AE＝AD，∴△ABD，△BDE，△AED是等腰三角形；∵∠BDC＝2∠A＝72°，∴∠BDC＝∠BCD，∴△BCD是等腰三角形，∴图中黄金三角形有：△ABC，△ABD，△BDE，△AED，△BCD共5个；（2）设BC＝a，CD＝b，则BD＝AD＝AE＝a，ED＝EB＝b，∵∠ABC＝∠C，∠A＝∠CBD，∴△ABC∽△BCD，∴AB：BC＝BC：CD，即（a+b）：a＝a：b，解得：，（舍去），∴，，∴黄金三角形△ABC，△AED，△BCD的腰与底边的比值为，∴黄金三角形△ABD，△BDE的腰与底边的比值为，21．解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，∴AB＝×AC＝﹣1，∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．22．解：（1）作边AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，如图所示：（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．23．解：①在线段BC上截取BD＝BA，连接AD，如图1所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵BD＝BA，∠B＝36°，∴△ABD为黄金三角形；②在∠BAC的内部作∠CAD＝∠C，交BC于点D，如图2所示：则△ABD即为所求，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝36°，∴∠CAD＝∠C＝36°，∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∴∠ADB＝∠C+∠CAD＝72°，∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝72°，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，又∵∠B＝36°，∴△ABD是黄金三角形．24．（1）解：∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．故答案为：（10﹣10）；（2）证明：延长EA，CG交于点M，如图所示：∵四边形ABCD为正方形，∴DM∥BC，CD＝20cm，∴∠EMC＝∠BCG，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，∴∠EMC＝∠ECM，∴EM＝EC，由折叠的性质得：DE＝10cm，∴EC＝＝＝10（cm），∴EM＝10（cm），∴DM＝（10+10）cm，＝，∵AB＝BC，∴＝，∴G是AB的黄金分割点．25．解：（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a＝，b＝﹣2．∴y＝x2﹣2x+8＝（x﹣2）2+6，∵＞0，∴y有最小值为6．答：y的最小值为6．（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（+3，0），B（x0，0），∴x0＝﹣1﹣．∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2．OA2＝（3+）2＝14+6．OB•AB＝（1+）（4+2）＝14+6．∴OA2＝OB•AB．答：原点是线段AB的黄金分割点．26．解：∵四边形AEFD是正方形，∴AE＝AD＝2，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AD＝AB，即2＝AB，解得：AB＝+1，∴BE＝AB﹣AE＝+1﹣2＝﹣1．。

初中黄金分割试题及答案

初中黄金分割试题及答案黄金分割是指将一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值约为0.618。

这个比例在自然界和艺术设计中非常常见，被认为是一种美学上的比例。

以下是关于黄金分割的几道初中试题及答案：1. 已知线段AB的长度为10厘米，按照黄金分割点C将线段分割，求AC的长度。

答案：根据黄金分割的定义，AC的长度为10 × (√5 - 1) / 2 ≈ 6.18厘米。

2. 如果一个矩形的长宽比符合黄金分割，且长为20厘米，求宽的长度。

答案：设矩形的宽为x厘米，根据黄金分割的定义，有20 / x = (x + 20) / 20。

解这个方程，我们可以得到x = 20 × (√5 - 1) / 2 ≈ 12.36厘米。

3. 在一个正方形中，按照黄金分割点将正方形的一边分割，求分割后较小部分的长度。

答案：设正方形的边长为a厘米，按照黄金分割点分割后，较小部分的长度为a × (√5 - 1) / 2 厘米。

4. 一个等腰三角形的顶角为36°，底角为72°，求这个三角形的高与底边的比例。

答案：根据黄金分割的定义，这个等腰三角形的高与底边的比例为(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618。

5. 已知一个五边形的边长都相等，且每个内角都为108°，求这个五边形的对角线与边长的比例。

答案：这个五边形的对角线与边长的比例符合黄金分割，即对角线长度与边长的比例为(√5 + 1) / 2 ≈ 1.618。

这些题目涵盖了黄金分割在不同几何图形中的应用，通过计算和理解黄金分割的定义，可以解决这些问题。

2024年九年级中考数学复习——黄金分割及其应用含参考答案

2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。

北京版九年级初三数学上册黄金分割共16页文档

拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。— —达雷尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护。—— 威·厄尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

2017苏科版数学九年级下册12黄金分割及其发觉史word校

黄金分割及其发觉史黄金分割又称黄金律，是指事物各部份间必然的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部份与较小部份之比等于整体与较大部份之比，其比值为1∶或∶1，即长段为全段的．被公以为最具有审好心义的比例数字．上述比例是最能引发人的美感的比例，因此被称为黄金分割．黄金分割发觉关于黄金分割比例的起源大多以为来自毕达哥拉斯，听说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在通过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音超级好听，于是驻足倾听．他发觉铁匠打铁节拍很有规律，那个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很多领域．后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”．在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在，只是不知那个谜底．黄金分割的历史来源由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断那时毕达哥拉斯学派已经触及乃至掌握了黄金分割．公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并成立起比例理论．公元前300年前后欧几里得撰写《几何本来》时吸收了欧多克索斯的研究功效，进一步系统论述了黄金分割，成为最先的有关黄金分割的论著．中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说．德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割．到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行．黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很普遍．最著名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是由美国数学家基弗于1953年第一提出的，70年代在中国推行．欧洲部份2000连年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯第一提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部份，使其中一部份（长的一部份）对于全数之比，等于另一部份（短的一部份）对于该部份之比．而计算黄金分割最简单的方式，是计算斐波契数列1，1，2，3，5，8，13，21，……后二数之比2/3，3/5，5/8，8/13，13/21，……近似值的．黄金分割在文艺振兴前后，通过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一名数学家，乃至称它为“各类算法中最可宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是咱们此刻常说的比例方式．亚洲部分其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而通过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．。

黄金分割中考题精选

黄金分割中考题精选
黄金分割在中考中是一个常见的考点，以下是一些相关题目：
1. 设点 P 是线段 MN 上一点，NP > MP，若 NP^2 = MP MN，则称点P 是线段 MN 的黄金分割点。

在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，BD > AD，若点 D 是线段 AB 的黄金分割点，给出下列说法：①AC = BD；②S△CBD = S△ADC S△ABC；③sinB = 5 - 12；
④tanA = 2。

其中正确的有（）
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①②③④
2. 舞台主持人的位置是舞台的黄金分割点，此时观众看起来最舒服。

若舞台长为20米，则主持人从舞台一侧进入，至少走多少米时，才能恰好站在舞台的黄金分割点上？
以上题目主要考查了黄金分割点的定义和性质，以及如何根据实际情况应用这些性质来解决问题。

这些题目都是一些典型的例题，可以帮助你理解和学习黄金分割的相关知识。

专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练

专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点其中正确的是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为（填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ．求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项．【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误；故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可．【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确，故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可．【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。

与黄金分割有关的中考题-2019年精选文档

与黄金分割有关的中考题黄金分割是美的象征,更是数学智慧的体现.与黄金分割有关的题频频出现在中考中.现以中考题为例,说明这类题的解法.一、黄金分割与设计例1(2009年孝感市中考题)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感.如图1,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm解:设高跟鞋的高度为h cm.该女士下半身长x=165×0.60=99cm,根据已知得≈0.618,解得h≈8cm. 选C.例2为了弘扬雷锋精神,某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像,向全体师生征集设计方案,小兵同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中,图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m)是( ). (参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)A. 0.62mB. 0.76mC. 1.24mD. 1.62m解:根据题目中的参考数据,可以用2×≈1.24m,亦可以直接用2×0.618≈1.24m,选C.例3如图3,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金分割比来设计,这样的扇子外形较美观.若取黄金比为0.6,则x为( ).A. 216B. 135C. 120D. 108解:圆周角等于360°,则y= 360-x.由题意得=0.6,∴ x=135. 选B.二、黄金矩形例4 (2009年恩施土家族苗族自治州中考题)宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形.黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感.如图4,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.解:留下的矩形CDFE是黄金矩形.证明:∵四边形ABEF是正方形,∴ AB=DC=AF.又∵ =,∴ =.即点F是线段AD的黄金分割点.∴ ==,即=.∴矩形CDFE是黄金矩形.三、黄金三角形顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”. 它底角的平方线与对边的交点,正好是对边的黄金分割点.例5如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么,在下列三角形中,与△ABC相似的三角形有?摇?摇?摇?摇?摇?摇.A. △DBEB. △ADEC. △ABDD. △BDC解:由所给条件可知,△ABC、△ADE、△BDC都是有一个顶角为36°的等腰三角形,它们都是黄金三角形,所有的黄金三角形都相似.所以△ABC∽△ADE∽△BDC. 填B、D.例6如图6,已知等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则的值等于( ).A. B.C . 1 D.解:△ABC是黄金三角形,BD为∠ABC的平分线,由黄金三角形的性质可知D 为AC的黄金分割点,所以=.选B.。

6.2 黄金分割(苏科版九年级)

∙ AC
那么称线段 AC 被点 B 黄金分割(golden section), 点 B 叫做线段 AC 的黄金分割点,
AB 与 AC 的比(或BC与AB的比)叫做黄金比. √5 – 1 : 1 ≈ 0.618 : 1 BC AB = = 2 AB AC
分享你搜索到的黄金分割的例子：
Hale Waihona Puke 观察欣赏世界艺术珍品——维纳斯女神，她是西元前一百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，她的上半身和下半身的比值接近 0.618.
观察
欣赏
探索身边的“黄金分割”
你知道芭蕾舞演员跳芭蕾舞舞时为什么要掂起脚尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
实际应用
1.写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（） 2 1 1 3 （A）（B）（C）（D） 3 3 2 4
我国的国歌歌词是散文式的自由体新诗，歌曲高潮部分在结构上几乎正好是全曲的黄金分割的位置，音乐富有动力，让人感到无比振奋。
成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。经研究发现，其战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在五排制阵型中，重骑兵和轻骑兵为2∶ 3，人盔马甲的重骑兵为2，快捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。
根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？ A C B
根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2, 那么BD、AD、AC、BC分别等于什么？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例(三)

2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：黄金分割比例（三）1．阅读理解：如图1，点C将线段AB分成两部分，若＝，则点C为线段AB的黄金分割点．某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．问题解决：如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．2．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE 的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）3．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．4．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，请直接写出的值．5．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF 和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．7．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果，那么点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；（2）请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线．8．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．9．“黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”．下面我们就用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇：假设纸扇张开到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比值等于黄金比，请你来求一求纸扇张开的角度．（黄金比取0.6）10．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．参考答案1．解：（1）直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下： ∵点D 是AB 的黄金分割点，∴＝，∵＝，＝，∴＝，∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线；（2）∵三角形的中线把AB 分成相等的两条线段，即AD ＝BD ， ∴＝，＝＝1，∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；（3）∵DF ∥CE ，∴S △FDE ＝S △FDC ，S △DEC ＝S △FEC ，∴S △AEF ＝S △ADC ，S 四边形BEFC ＝S △BDC ，∵＝，∴＝，∴直线EF 是△ABC 的黄金分割线．2．证明：如图，连接GF ，设正方形ABCD 的边长为1，则DF ＝．在Rt △BCF 中，BF ＝＝，则A ′F ＝BF ﹣BA ′＝﹣1．设AG ＝A ′G ＝x ，则GD ＝1﹣x ，在Rt △A ′GF 和Rt △DGF 中，有A 'F 2+A 'G 2＝DF 2+DG 2，即，解得x＝，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．3．解：（1）如图：以A为圆心，在AB上截取AE＝AD，以D为圆心，在DC上截取DF＝DA，连接EF，所以四边形AEFD为所求作的正方形；（2）答：四边形EBCF是黄金矩形．证明：∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．设CD＝a，AD＝b，则有，∴，∴矩形EBCF是黄金矩形．4．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠ABD＝∠DBC＝36°．又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC＝x，AC＝y，由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2＝0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE＝AC，连接AE．∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝72°，∴∠ACE＝180°﹣72°＝108°，∴∠ACE＝∠B1A1C1．∵A1B1＝AB，∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE＝B1C1．由（3）知，∴，，∴．5．证明：在AB上截取AE＝BC，DF＝BC，连接EF．∵AE＝BC，DF＝BC，∴AE＝DF＝BC＝AD，又∵∠ADF＝90°，∴四边形AEFD是正方形．BE＝，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．6．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．7．解：∵，，又∵D是AB的黄金分割点，∴，，∴CD是△ABC的黄金分割线；（2）不是．∵CD是△ABC的中线，∴AD＝DB，∴＝，而＝1，∴≠，∴中线不是黄金分割线．8．解：（1）（3分）（2）CM＝AB（4分）9．解：设扇形的半径为R，圆心角为n，则剩余扇形的圆心角为（360°﹣n），由题意得，：＝0.6，即n：（360°﹣n）＝0.6，解得：n＝135，答：纸扇张开的角度为135°．10．解：（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，∴＝，而BC＝2，∴AC＝﹣1，∴CD＝CA＝﹣1，∴BD＝CD＝﹣1，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．。

中考专题黄金分割

越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是题问割的黄金分.中考中0.60，一、黄金分割点为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）BCAC，则在上，且有1例（湖北十堰）如图1，已知线段，点?CABAB ACABAC 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，；若的数值为______AB A4cmB6cmC8cmD10cm AB．．．_____位置最好．．那么节目主持人应站在固定在A2005?（太原）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点、B 2.二、黄金三角形的比例中BC是B乐器板面上，支撑点C是靠近点的黄金分割点（即ACAB 与例1.（2010?本溪）如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为是靠近点项），支撑点DA的黄金分割点，则AC= cm，DC=都是黄金三角形，的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC．cm ．_________ DE= 已知AB=4，则在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与3.浙江）（2009?），则它的宽约为（长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm7.64cmC13.6cmBA12.36cm32.36cmD．．．．FACABEABC、＝中，，点20102．（四川内江）如图，在△AEBFDAEBFACABCEDCF∶则若分别在和上，与相交于点，＝，为的中点，0.618孝感）2009?（．4美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近AF .的值为时，中，36°的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36°的△ABC3.顶角为有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数.．AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交ACBC= cm，若AC=4cm，则于D说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直°的4．（2007·太原）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36角三角形.等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小三、黄金矩形(1)..为此，请你解答问题等腰三角形例1 （扬州市）若一个矩形的短边与长边的于点交AC ，∠已知：如图(1)，在△ABC中，AB=ACA=36°，直线BD平分∠ABC5?1（黄金分割数）比值为，我们把这样的矩形2都是等腰三角形D.求证：△ABD与△DBC叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图2所示的黄金矩形中，以短边为)AB?ADABCD(AD图(1)一边作正方形；AEFD本题综合考查等腰三角形的性质与判别，还可这样反思：条归纳提升：（2）探究：在（1）中的四边形EBCF.件改为“在△ABC中各内角的度数，求△AD=BD=BCAB=ACABC中，，”是不是黄金矩形？若是，请予以证也(3)、在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图(2)(2)明；若不是，请说明理由；中分别画出一条直线，把它们分成两个小(3)(2)具有这种特性请你在图、图（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；5?1的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人1．宽与长的比是直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性， (3)接着，小颖又发现：2赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠请你画出两个具.直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形如：））的值是（ b）黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）：：（a+b3a=4b1、若，则（a﹣；第一步：作一个任意正方形ABCD7、﹣ D7 C、﹣、 A B、；的中点，连接第二步：分别取MNNBC，MAD，等上一点，且，则太原）已知，P是线段AB2002?2、（的长为半径画弧，交第三步：以为圆心，NBCND）于（；延长线于E、D、 A、 B、 C，的延长线于交作第四步：过BFADAD?EF）请你根据以上作法，证明矩形（可取为黄金矩形，DCEF2?AB﹣1）cm，则NP，且MP=（MN、已知点3P是线段MN的黄金分割点，＞MP等于（）上一点，为都垂直于线段BNAB，点EAM，如图，射线2.（2010 嵊州市）AM，BNBEACA过点作BE的垂线分别交，于点F、C A、2cm B、4cm C、6cm D、无法计算，CDD，垂足为，若＝作过点CAM的垂线CFCD4、如图所示，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接AE .则?AD PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在为边的正方形的＞是它的黄金分割点，AB3. 已知线段，点PAPBP，设以APAD 上，则AM的长为（））的关系是（与S，则SAB，，以PBS面积为为边的矩形面积为S 2211A、﹣1B、C、3﹣D、6﹣2≥S、B ＞SS、A D=SS、C S＜、SS21211221二、填空题一、选择题．＞是线段5、若点CAB的黄金分割点且ACBC，，则= 6、在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB= ，AB：PB= ．7、若点C是线段AB的黄金分割点，则等于．8.（2008?枣庄）将边长分别为2、3、5的三个正方形按图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为．。

专题07-黄金分割-同步学与练-(含解析)数学苏科版九年级下册

专题07黄金分割（2个知识点2种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）知识点2.黄金矩形（拓展）【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算题型2.黄金分割的实际应用【方法三】仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比、黄金分割点、黄金矩形的定义．2.会一条线段的黄金分割点．3.了解黄金分割在生活中的应用，会运用黄金比解决实际问题．【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （如图AC BC >），如果AC BC AB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB =≈，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P 是线段AB 的黄金分割点时，需加注 AP PB >或AP ＜ BP ，否则在已知AB 的长度求AP （或BP ）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论．【例1】1．已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB AP AP AB=，求线段AP 的长．【变式1】2．（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，1AB =，求AP 的值．【变式2】3．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求线段AM 、DM 的长；(2)求证：2AM AD DM =⋅；(3)请指出图中的黄金分割点．知识点2.黄金矩形（拓展）【例2】4的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【变式】．（绵阳）5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB =（）．A ．)1a -B ．()2aC ．)1aD ．()2a 【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算（芦溪县期中）6．已知线段AB 的长度为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（）A B C 1或3D 2（瑞安市期末）7．已知P 为线段AB 的黄金分割点，4AB =，AP BP >，则AP 的长为（）A ．2B ．4C ．1D ．6-题型2.黄金分割的实际应用（安庆期中）8．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AP 的长度为10cm ，那么AB 的长度是（）A ．5B ．15-C ．5D ．15+（沈河区期末）9．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高6cm ，则玩偶嘴巴到脚的距离是（）A ．3)cmB C D ．(9-（天长市期中）10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B 为AC 的黄金分割点（AB BC >），若100AC =cm ，则BC 约为（）A ．42cmB ．38cmC ．62cmD ．70cm（酒泉期中）11．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82【方法三】仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算（黄石）12．关于x 的一元二次方程210x mx +-=，当1m =时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a ，b 满足：221,24a ma b mb +=-=，且2b a ≠-，求ab 的值；(3)已知两个不相等的实数p ，q 满足：2211p np q q nq p +-=+-=,，求pq n -的值．【方法四】成果评定法一．选择题（共8小题）（杨浦区期末）13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP =B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =（开化县模拟）14．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高 165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm（会同县期末）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（）cm ．A ．4-B ．4C ．4+D ．4-（八步区期中）16．若线段MN 的长为1cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，则较长的线段MP 的长为（）A ．1)cmB ．(3CD （鄞州区期中）17．点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，则PQ 长度是（）A ．1B ．C ．4-D （福鼎市期中）18．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF BE =，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若记正方形AFGH 的面积为1S ，矩形BCIH 的面积为2S ，则1S 与2S 的比值是（）A B C D ．1（盐湖区校级期中）19．如图，正五边形ABCDE 的几条对角线的交点分别为,,,,M N P Q R ，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若2AB =，则MN 的长为（）A ．3B ．3C 1D 1（和平区期末）20．如果一个等腰三角形的顶角为36︒，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 看作第一个黄金三角形；作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于点D ，BCD △看作第二个黄金三角形；作BCD ∠的平分线CE ，交BD 于点E ，CDE 看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（）A ．2023B ．2024C ．2023D ．2024二．填空题（共8小题）（沈北新区校级月考）21．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，2cm =AC ，AC BC >，那么AB 的长为．（平川区校级期末）22．若点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP <，10BP =，则AP = ．（吉安期中）23．如图，线段10cm AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，设以AC 为边的正方形的面积为1S ，以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为21S S ， 2S （填：“>”、“=”或“<”）．（高港区期中）24．我们把宽与长的比是1):2的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为20cm ，那么贺卡的宽为 cm ．（结果保留根号）．（朝阳一模）25．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB 的长为20米，主持人站在点C 处自然得体，已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，则此时主持人与点A 的距离为米．（徐汇区期末）26．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，如果2AB =，那么BP 的长是．（达州）27．如图，乐器上的一根弦80cm AB =，两个端点,A B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，,C D 之间的距离为．（天府新区期中）28．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB = ．三．解答题（共5小题）（市南区校级期中）29．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，计算线段AB 的黄金比AC AB 的值．（瑞安市期中）30．（1）已知 4.5a =，2b =，c 是a ，b 的比例中项，求c ；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，求AC 的长．（金安区校级期中）31．已知顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，已知36A ∠=︒，1AB =，求DE 的长度．（上城区校级期中）32．如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？（兰山区期中）33．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计多高？参考答案：1．AP=【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可．=，【详解】解：点P在线段AB上，PB APAP AB∴点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，PB AP∴==AP AB线段AB的长度为l，AP∴．【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值．2．（1）(9BP=-厘米；（2）2AP=或1AP=-．【分析】（1）根据条件建立等式AP AB=，求解即可；（2然后建立等式求解．【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且AP BP>，可知AP AB=，此时(BP AB69===-厘米；（2故2AP ABAP=．==或1【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．3．(1)1DM=AM=-，3(2)见解析(3)见解析【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1,3AM AF DM AD AM ===-=（2）根据（1）所求分别求出2AM AD DM ⋅，的值即可证明结论；（3）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）解：在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，∴3DM AD AM =-=（2）证明：由（1）得)(2216236AM AD DM ==-⋅=⨯=-∴2AM AD DM =⋅；（3）解：∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．4．是；见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案．【详解】解：是，证明如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，∴AF CD =，又∵AB AD =∴AF AD =，即点F 是AD 的黄金分割点，∴AF AD =，∴DF AD AF AD =-=，∴DF AF =，即DFDC=∴矩形CDEF 是黄金矩形．5．D【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握A BB F =计算即可．【详解】解：设AB x =，四边形ABCD 是正方形，AB BC x ∴==，矩形ABFG 是黄金矩形，A B B F \=4x x a \=+解得：(2x a =+，经检验：(2x a =+是原方程的根，(2A B a \=+，故选：D ．6．C【分析】分AC ＜BC 、AC ＞BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】解：当AC ＜BC 时，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴1BC AB ==，同理当AC ＞BC 时，1AC AB ==，∴)213BC AB AC =-=-=故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线）叫做黄金比．7．A【分析】本题考查了黄金分割的概念．黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值【详解】解：点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且4AB =，AP BP >，42AP ∴==．故选：A ．8．A【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：AP AB =，由此可求得AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，∴AP AB =，即105)cm AB ==+，故选：A ．9．A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：()63cm =故选：A ．10．B【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：0.618ABAC≈，100AC =cm ，∴61.8cm AB ≈，∴38cm BC AC AB =-≈；故选B ．11．A【分析】设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，确定BC 的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【详解】如图，设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，AC =1.58米,∴BC =1.58÷0.618=2.56米，故车长为1.58+2.56=4.14米，故选:A ．【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．12．(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将1m =代入然后解一元二次方程210x x +-=即可得解；（2）依据题意，将224b m b -=变形为21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以看作a ，2b -是一元二次方程210x mx +-=的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq ，进而可以得解．【详解】（1）依据题意，将1m =代入210x mx +-=得210x x +-=，解得x =，∵黄金分割数大于0，∴（2）∵224b m b -=，∴2240b m b --=，则21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又∵2b a ≠-，∴a ，2b-是一元二次方程210x mx +-=的两个根，则12b a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴2ab =．（3）∵21p np q +-=，21q nq p +-=；∴()()2211p np q nq q p +-++-=+；即()()222p q n p q p q +++-=+；∴()()222p q pq n p q p q +-++-=+．又∵()()2211p np q nq q p +--+-=-；∴()()()22p q n p q p q -+-=--；即()()10p q p q n -+++=．∵p ，q 为两个不相等的实数，∴0p q -≠，则10p q n +++=，∴1p q n +=--．又∵()()222p q pq n p q p q +-++-=+，∴()()212121n pq n n n ---+---=--，即0pq n -=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．13．A【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，故有AP 2=BP×AB ，那么AB APAP BP=.【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即AB APAP BP=，故A正确，B、C错误；BP APAP AB==D错误；故答案为A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．14．C【分析】本题考查了黄金分割的应用．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可．【详解】根据已知条件得下半身长是1650.6099⨯=，设需要穿的高跟鞋是y，根据黄金分割的定义得：990.618 165yy+=+，解得：8y≈．故选：C．15．B【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB，∵AB的长度为8cm，∴AP×8=4（cm）．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．16．C【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解：点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，1cm MN =，)cm MP ∴==，故选：C ．17．C【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．根据黄金分割的定义，得到AQ BP AB AB ==【详解】如图，点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，∴AQ BP AB AB ==∴1AQ BP ==，∴1124PQ AQ BP AB =+-=---=，故选：C ．18．D【分析】根据H 是AB 的黄金分割点求出2AH BH AB =⋅，求出21S AH =，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，再得出答案即可．【详解】解：H 是AB 的黄金分割点，2AH BH AB ∴=⋅，21S AH = ，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，12S S ∴=，即121S S =，故选：D ．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．19．A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME 为平行四边形，进而求出BM 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN 的长.黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形∴2AE AB ==，()180521085EAB ABC ︒⨯-∠=∠==︒,∴36AEB ABE ∠=∠=︒同理可得36CBD ∠=︒∴1083672ABD ∠=︒-︒=︒∵10872180EAB ABD ∠+∠=︒+︒=︒∴AE BD同理可证明EC AB ∥∴四边形ABME 为平行四边形∴2EM AB ==,2BM AE ==，同理：2DN =，∵M 、N 为BD 的黄金分割点∴BD =21=+，∴DM BD BM =-=1，∴21)3MN DN DM =-=-＝故选：A ．20．A【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；由黄金三角形的定义得BC AB =，同理求出2CD =，3DE =，可得第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，第2，第3个黄金三角形的腰长是2，第4个黄金三角形的腰长是3，得出规律第n 个黄金三角形的腰长是1n -，即可得出答案．【详解】解：∵ABC 是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，∴BC AB =，BC AB ∴==，∵BCD △是第2个黄金三角形，∴CD BC =第2，2CD ∴==，∵CDE 是第3个黄金三角形，∴DE CD 第3个黄金三角形的腰长是2，3DE ∴==，∴第4个黄金三角形的腰长是3，…∴第n 个黄金三角形的腰长是1n -，∴第2024个黄金三角形的腰长是202412023-=，故选：A ．21．(1cm【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，”结合题意AC BC >，且2cm =AC ，即可列出关于线段AC 长的等式，解出AC 即可．【详解】解：∵点C 是线段AB 的一个黄金分割点，且AC BC >，∴AC AB =，∴2AB∴)1cm AC =+．故答案为：(1cm ．22．5-+5【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设AP x =，则10AB x =+，根据黄金分割的定义得到AP BP BP AB =即101010x x =+，解方程即可得到答案．【详解】解：设AP x =，则10AB AP BP x =+=+，∵点P 为线段AB 的黄金分割点，∴AP BP BP AB =，即101010x x =+，∴2101000x x +-=，解得5x =-+或5x =--（舍去），经检验，5x =-+∴5AP =-+故答案为：5-+23．=【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴AC BC AB AC=，∴2AC AB BC =⋅，∵212,S AC S AB BC ==×，∴12S S =，故答案为：=．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．24．)101【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质，根据黄金比值求解即可．【详解】解∶ 宽与长的比是1):2-，∵贺卡长为20cm∴贺卡宽为)20101=，故答案为：)101.25．()10##(10-+【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得AC AB =，再代入AB 的长计算即可．【详解】解：点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，20AB =米，2010)AC ∴===（米)，故答案为：10)．26．3##3+【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，2BP AB AP AP =-=-，由点P 是线段AB 的黄金分割点，可得=AP BP AB AP ，即22AP AP AP -=，整理得2240AP AP -+=，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，2BP AB AP AP =-=-，∵点P 是线段 AB 的黄金分割点，∴=AP BP AB AP ，即22AP AP AP-=，整理得2240AP AP -+=，解得：1AP =-1AP =-，∴(2213BP AP =-=--=故答案为：327．160)cm-【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分，由此即可求解．【详解】解：弦80cm AB =，点C 是靠近点B 的黄金分割点，设BC x =，则80AC x =-，∴8080x -=120x =-点D 是靠近点A 的黄金分割点，设AD y =，则80BD y =-，∴8080y -=120y =-，∴,C D 之间的距离为8080120120160x y --=-++=，故答案为：160)cm ．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．28．()2a【分析】结合题意可得，DE 和EF 是扇形DEF 的边，则DE EF CE CF ==+，根据正方形性质可得BC CD AB ==，90ECD ∠=︒，因为E 是BC 的中点，则12CE BE BC ==；根据勾股定理可得，直角CDE 中，222CD CE DE +=，即DE =CE CF +=AB 的值．【详解】解：依题得：DE EF =，设2AB x =，则正方形ABCD 中，2BC CD AB x ===，90ECD ∠=︒，E 是BC 的中点，12CE BE BC x ∴===，又4CF a = ，4EF CE CF x a DE ∴=+=+=，在直角CDE 中，222CD CE DE +=，即()()22224x x x a +=+2225816x x ax a =++2224x ax a -=()225x a a -=)11x a ∴=，()21x a =，40CF a => ，即0a >，()210x a ∴=<，2x ∴舍去，)()2212AB x a a ∴===+．故答案为：()2a ．【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到DE EF CE CF ==+和222DE CE CD =+两个等量关系式列一元二次方程．29即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，∴AC AB =，∴线段AB 的黄金比AC AB ．30．（1）c 为3或3-；（2）2AC =【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵c 是,a b 的比例中项，∴2 4.529c ab ==⨯=∴13c =，23c =-∴c 为3或3-；（2）∵C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，∴4 2.AC AB ===31【分析】证明ABC BDC ∽△△，可得2BC AB CD =⨯，从而得到221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，进而得到CD =【详解】解：∵ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，∴,,AB AC BD BC AD DE CD ====，36A CBD CDE ∠=∠=∠=︒，∵C C ∠=∠，∴ABC BDC ∽△△，∴AC BC BC CD=，∴2BC AB CD =⨯，∵1AB =，∴221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，∴1AD CD =-③，代入①整理得，()21CD CD =-，解得：CD =∵1CD <，∴CD =，∵DE CD =，∴DE =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金三角形的定义，解题的关键是理解黄金三角形的定义．32．(1)AM 1，DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD ===，则1,3AM AF DM AD AM ==-=-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．33．1)m【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2)m x -，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则题意得：22x x x -=，整理得：2240x x +-=，解得11x =，21x =-（舍去），答：雕像的下部高为1)m -．。

2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

与黄金分割有关的中考题

与黄金分割有关的中考题作者：刘永中来源：《初中生·考试》2010年第03期黄金分割是美的象征,更是数学智慧的体现. 与黄金分割有关的题频频出现在中考中. 现以中考题为例,说明这类题的解法.一、黄金分割与设计例1 (2009年孝感市中考题)美是一种感觉,当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时,越给人一种美感. 如图1,某女士身高165cm,下半身长x与身高l的比值是0.60,为尽可能达到好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为( ).A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm解:设高跟鞋的高度为h cm.该女士下半身长x=165×0.60=99cm,根据已知得≈0.618,解得h≈8cm. 选C.例2 为了弘扬雷锋精神,某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像,向全体师生征集设计方案,小兵同学查阅了有关资料,了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中,图2是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案,其中雷锋人体雕像下部的设计高度(精确到0.01m)是( ). (参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)A. 0.62mB. 0.76mC. 1.24mD. 1.62m解:根据题目中的参考数据,可以用2×≈1.24m,亦可以直接用2×0.618≈1.24m,选C.例3 如图3,扇子的圆心角为x°,余下扇形的圆心角为y°,x与y的比通常按黄金分割比来设计,这样的扇子外形较美观. 若取黄金比为0.6,则x为( ).A. 216B. 135C. 120D. 108解:圆周角等于360°,则y= 360-x.由题意得=0.6,∴ x=135. 选B.二、黄金矩形例4 (2009年恩施土家族苗族自治州中考题)宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形. 黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感. 如图4,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.解:留下的矩形CDFE是黄金矩形 .证明:∵四边形ABEF是正方形,∴ AB=DC=AF.又∵ =,∴ =.即点F是线段AD的黄金分割点.∴ ==,即=.∴矩形CDFE是黄金矩形 .三、黄金三角形顶角为36°的等腰三角形被称为“黄金三角形”. 它底角的平方线与对边的交点,正好是对边的黄金分割点.例5 如图5,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,DE∥BC,那么,在下列三角形中,与△ABC相似的三角形有?摇?摇?摇?摇?摇?摇.A. △DBEB. △ADEC. △ABDD. △BDC解:由所给条件可知,△ABC、△ADE、△BDC都是有一个顶角为36°的等腰三角形,它们都是黄金三角形,所有的黄金三角形都相似.所以△ABC∽△ADE∽△BDC. 填B、D.例6 如图6,已知等腰△ABC中,顶角∠A=36°,BD为∠ABC的平分线,则的值等于( ).A. B.C . 1 D.解:△ABC是黄金三角形,BD为∠ABC的平分线,由黄金三角形的性质可知D为AC的黄金分割点,所以=. 选B.。