重庆大学自动控制原理课程设计

自动控制理论课程设计倒立摆系统的控制器设计

学生姓名：***

指导教师：***

班级：自动化01班

重庆大学自动化学院

二O一三年十二月

目录

目录 (1)

倒立摆系统概述 (2)

1.数学建模 (3)

1.1直线一级倒立摆数学模型概述 (3)

1.2直线一级倒立摆的物理模型 (3)

1.2.1小车受力分析 (4)

1.2.2摆杆受力分析 (5)

1.3系统实际模型 (6)

2 开环响应分析 (6)

3 频率特性法 (7)

3.1 频率响应分析 (7)

3.2 频率响应设计 (9)

3.3 Simulink仿真 (13)

4 根轨迹法设计 (14)

4.1原系统的根轨迹分析 (14)

4.2根轨迹校正 (14)

4.2.1确定期望闭环零极点 (15)

4.2.2设计控制器 (15)

4.3 Simulink仿真 (18)

5.PID控制分析 (19)

6.总结 (20)

参考文献： (20)

倒立摆系统概述

随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，倒立摆系统作为检验新的控制理论及方法有效性的重要实验手段得到广泛研究。倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能客服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发生中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。按照倒立摆的结构类型可以分为：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。本设计是以直线一级倒立摆为被控对象来进行设计的。通过对直线一级倒立摆系统的研究，不仅可以轻松解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。

倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法。

下面几幅图是生活中常见的倒立摆实例：

1.数学建模

1.1直线一级倒立摆数学模型概述

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。系统的建模可分为两种：机理建模和实验建模。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。而实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文采用机理模型对直线一级倒立摆进行建模分析。

1.2直线一级倒立摆的物理模型

若忽略空气阻力和各种摩擦力，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，其受力情况如图1所示。

图1

若将小车和摆杆分别进行受力分析，则可得到两者的受力分析图，如图2和图3所示。根据牛顿力学，建立起小车和摆杆的运动方程，进而得到小车各种传递函数。

图2（小车受力分析）

图3（摆杆受力分析）

工程符号

实际含义 数值 单位 M 小车质量 1.096 kg m 摆杆质量 0.109 kg b 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec

l 摆杆转动轴到质心长度

0.25 m I 摆杆惯量 0.0034 kg.m2 F 小车受到的外力 变量 N x 小车的位置

变量 m φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 变量 rad N 摆杆与小车在水平方向的相互作用力

变量 N θ 摆杆与垂直向下方向的夹角 变量 rad P

摆杆与小车在竖直方向的相互作用力

变量

N

表<一> 倒立摆数学模型符号说明

1.2.1小车受力分析

小车水平方向的合力：

（1-1）

摆杆水平方向的合力 ： （1-2）

摆杆水平方向的运动方程 ：

N x b F x M --= )sin (22

θl x dt

d m N +=θθθθsin cos 2 ml ml x m -+=

（1-3）

1.2.2摆杆受力分析 摆杆力矩平衡方程：

（1-4） （注：因θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，所以等式前面有负号）

摆杆垂直方向的合力：

（1-5）

摆杆垂直方向的运动方程：

（1-6）

水平方向的运动方程：

（1-7）

垂直方向的运动方程：

（1-8）

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后，两个运动方程如下其中：

（1-9）

（1-10）

摆杆角度和小车位移的传递函数：

（1-11）

摆杆角度和小车加速之间的传递函数：

（1-12）

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 sin cos Pl Nl I θθθ--=2

22(cos )sin cos d P mg m l ml ml dt

θθθθθ-==--θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 θθθcos sin )(2x

ml mgl ml I -=++φ

πθ+=x

ml mgl ml I =-+φφ)(2u ml x b x

m M =-++φ )(mgl s ml I mls s X s -+=

Φ222

)()()(22()()()

s ml

A s I ml s mgl Φ=+-s

q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q

ml s U s -+-++=Φ2324

2

)()()()(