初中数学 乘法公式(四)

整式运算

配方法的题型： 一、基本题型 1．求最值；

2．求中间项（参数）． 二、进阶方法 1．1/2公式； 2．主元法； 3．拆添项．

（1）已知3224a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则32a b c ++=_________．

（2）已知2220a b c ab bc ca +++++=，则342a b c ++=_________．

【解析】（1）由a b c ab bc ca 222++=++，可得a b c ==，则a b c ===4.a b c 32++=84．

（2）由2220a b c ab bc ca +++++=，可得a b c ===0，则a b c 3+4+2=0．

（1）已知a x 1=+2020，b x 1=+1920，c x 1

=+2120

，求a b c ab bc ca 222++---的值．

（2）已知a b b c 3

-=-=5

，a b c 222++=1，求ab bc ca ++的值．

【解析】（1）∵，，， ∴，，

故 （2）由可知，，

故 ．

12020a x =

+11920b x =+1

2120c x =+1a b -=2b c -=-1c a -=222222

11()()()6322a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-=⨯=⎣

⎦35a b b c -=-=6

5

a c -=222222

1()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣

⎦1993621()225252525

=-⨯++=-模块一

1/2公式

例题1

例题2

设a 、b 、c 是不全相等的任意实数，若x a bc 2=-，y b ca 2=-，z c ab 2=-，求证：x 、y 、z 中至少有一个数的值大于0．

【解析】证明：x 、y 、z 相加得

[()()()]x y z a b c ab bc ca a b b c c a 2222221

++=++---=-+-+-2

a 、

b 、

c 不全相等， x y z ∴++>0，

x ∴、y 、z 中至少有一个数的值大于0．

（1）求6x xy y x 225-+2+2的最小值，并写出取得最小值时x 、y 的取值．

（2）求x xy y x y 22

+6+10+4+10+15的最小值．

【解析】（1）-2，此时x =-2，y =-3．

（2）选主元，把x 当做主元，

则原式()()x y x y y 22=+6+4+10+10+15

()()()()x y x y y y y 2222=+6+4+3+2+10+10+15-3+2

()()()()x y x y y y y 2222=+6+4+3+2+10+10+15-3+2

()()()x y y y y y 22=+3+2+10+10+15-9+12+4 ()x y y y 2=+3+2+-2+11

()()x y y 2=+3+2+-1+10

∴当x =-5，y =1时，原式有最小值10．

（1）已知实数a 、b 满足a b +=6，c ab 2-+9=0，求ab bc ca ++的值．

（2）已知实数a 、b 、c 满足a b c -+=3，a b c ab bc b c 222+2+2+-3-3+6=0，求abc 的值．

（3）已知实数a 、b 、c 满足a b c +2-=5，b ac b c 25+2+4-2+20=0，求a b c ++的值．

例题3

模块二

主元法

例题4

例题5

【解析】（1）由题意知6a b =-，代入后式得22690c b b +-+=，即22(3)0b c -+=，

b ∴=3，

c =0，a b =6-=3，

ab bc ca ∴++=3⨯3+0+0=9．

（2）由题意知a b c =3+-，代入后式整理得b bc c b 224-6+3+6+9=0，

即()c bc b b b 2223-2+++6+9=0，即()()c b b 223-++3=0，

c b b -=0⎧∴⎨+3=0⎩

，解得b =-3，c =-3，a b c =3+-=3， ()()abc ∴=3⨯-3⨯-3=27．

（3）由题知a b c =5-2+，代入式后整得b bc c b c 225-4+2+4+8+20=0，

即[()()]()c b c b b b b 22222-2-4+-2-2-2+5+4+20=0，

即()()c b b b 222-+2+3+8+16=0，即()()c b c b 222-++3+2=0， c b b -+2=0⎧∴⎨+2=0⎩

，解得b =-2，c =-4，a b c =5-2+=5， a b c ∴++=5-2-4=-1．

若()()a b c a b c 222214++=+2+3，求::a b c ．

【解析】∵()()a b c a b c 2222

14++=+2+3，

∴a b c ab bc ac 22213+10+5-4-12-6=0，

即()()()a ab b a ac c b bc c 222222

4-4++9-6++9-12+4， 亦即()()()a b a c b c 222

2-+3-+3-2=0．

∴a b a c b c 2-=0⎧⎪

3-=0⎨⎪3-2=0⎩

，解得b a =2，c a =3，∴::::a b c =123．

（1）已知a 、b 、x 、y 满足3ax by +=，5ay bx -=，求2222

()()a b x y ++．

（2）若a 、b 、c 、d 是整数，且m a b 22=+，n c d 22=+，求证：mn 可表示成两个整数的平方和．

【解析】（1）()()a b x y a x b y a y b x 222222222222++=+++

a x abxy

b y abxy b x 222222=+2+-2+ ()()ax by ay bx 22=++-22=3+5=34．

模块三

拆添项

例题6

例题7