诱导公式五、六

第一章 1.3 1.3.2
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命题方向 2
三角恒等式的证明
3 π 2sinθ－ πcosθ＋ －1 tan9π＋θ＋1 2 2 求证： ＝ . 1－2sin2π＋θ tanπ＋θ－1
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[解析]
sinα＝ 2sinβ 由条件得， 3cosα＝ 2cosβ
① ②
①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2③ 又∵sin2α＋cos2α＝1④ 1 2 由③，④得sin α＝ 即sinα＝± ， 2 2
2
π π π π ∵α∈ －2，2 ，∴α＝4或α＝－4.
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3．sin2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( A．1 C ．0
[答案] B
[解析] 原式＝sin2α＋cosα· cosα＋1＝1＋1＝2.
)
B．2 D．2sin2α
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3π 1 1 (1)∵cos(α－ )＝－sinα＝ ，∴sinα＝－ ， 2 5 5 2 6 ∵α为第三象限角，∴cosα＝－ ， 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ 5 . (2)∵－1860° ＝－5×360° －60° ， 1 ∴f(－1860° )＝－cos(－5×360° －60° )＝－ . 2
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利用诱导公式化简下列各式 (1)sin(3π－α)＝________； (2)sin( 5π ＋α)＝________； 2
7π (3)cos( 2 ＋α)＝________； (4)tan(α－11π)＝________.
[小结]诱导公式五和六可用口诀“函数名改变，符号看象 限”记忆，“函数名改变”是指把函数名变为原函数的余名 三角函数，即正弦变余弦，余弦变正弦．“符号看象限”是 把α看成锐角时原三角函数值的符号．
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已知sin25.7° ＝m，则cos64.3° 等于( A．m C．m2 B．－m D. 1－m2
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1 4．已知sin(π＋α)＝－ ，则cosα等于________． 2
3 [答案] ± 2
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[解析]
1 1 由sin(π＋α)＝－ 得sinα＝ ， 2 2
3 ∴α是第一或第二象限角．∴cosα＝± . 2
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cos－α· tan7π＋α 5．化简 等于________． sinπ＋α
[答案] －1
cosαtanπ＋α cosα· tanα [解析] 原式＝ ＝ ＝－1. －sinα －sinα
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探索延拓创新
命题方向 3 存在性、探索性问题
是否存在 －α)＝
π 2cos2－β， π π α∈－2，2，β∈(0，π)，使等式
sin(3π
3cos(－α)＝－ 2cos(π＋β)同时成立？若
π 3 当α＝4时，代入②得cosβ＝ 2 ，又β∈(0，π)，
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π ∴β＝6，代入①可知符合． π 3 当α＝－4时，代入②得cosβ＝ 2 ，又β∈(0，π)， π ∴β＝6，代入①可知不符合． π π 综上所述，存在α＝ ，β＝ 满足条件． 4 6
化简推出右边．
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[证明]
左边
3π tan2π－αcos －αcos6π－α tan－α－sinαcosα 2 ＝ ＝ 3π 3π －cosαsinα sinα＋ cosα＋ 2 2 －tanαsinαcosα ＝ cosαsinα ＝－tanα＝右边， ∴原等式成立．
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sinθ＋cosθ2 ＝ 2 sin θ－cos2θ sinθ＋cosθ ＝ . sinθ－cosθ tan9π＋θ＋1 tanθ＋1 sinθ＋cosθ 右边＝ ＝ ＝ . tanπ＋θ－1 tanθ－1 sinθ－cosθ ∴左边＝右边，故原式得证．
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公式五和公式六可以概括为： π α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函 2 ± 数值，前面加上一个把α看成 锐角 时原函数值的符 号，公式一～六都叫做诱导公式
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自主预习 认真阅读教材P26－27回答下列问题． 诱导公式五、六如下表： 公式五 公式六 π sin(2－α)＝ cosα π sin( ＋α)＝ cosα 2 π cos(2－α)＝ sinα π cos( ＋α)＝ －sinα 2
温故知新 1 ．诱导公式二、三、四的记忆为：函数 名 不变，符号 看 象限 ．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．cos(－420° )的值等于( 3 A. 2 1 C.2
[答案] C
)
3 B．－ 2 1 D．－2
[解析]
1 cos(－420° )＝cos420° ＝cos(360° ＋60° )＝cos60° ＝2.
[解析]
1 1 ∵sin(3π＋θ)＝4，∴sinθ＝－4.
cosπ＋θ cosθ－2π ∴ ＋ cosθ[cosπ＋θ－1] cosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ －cosθ cosθ ＝ ＋ cosθ[－cosθ－1] cosθ－cosθ＋cosθ cosθ cosθ ＝ － cosθcosθ＋1 cosθcosθ－1 －2 1 1 ＝ － ＝ 2 cosθ＋1 cosθ－1 cos θ－1 2 2 ＝sin2θ＝ 1 ＝32. －42
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若
cosπ＋θ 1 sin(3π ＋ θ) ＝ 4 求 ＋ cosθ[cosπ＋θ－1]
cosθ－2π 的值． cosθ＋2πcosθ＋π＋cos－θ
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[分析]
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[证明]
3 －2sin2π－θ· －sinθ－1 左边＝ 1－2sin2θ
π 2sin[π＋ －θ]sinθ－1 2 ＝ 1－2sin2θ π －2sin2－θsinθ－1 ＝ 1－2sin2θ －2cosθsinθ－1 ＝ 2 cos θ＋sin2θ－2sin2θ
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
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课堂典例讲练
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思路方法技巧
命题方向 1 利用诱导公式进行化简、求值
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1． 3 三角函数的诱导公式
第一章 三角函数
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第一章 1.3 1.3.2
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[解析] f(α)＝
3π sin 2 －α sinα· cos－α· 3π cos 2 －α
cosα＋π
－cosα sinα· cosα· －sinα ＝ ＝－cosα. －cosα
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新课引入
第一章
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留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍 峨、水的柔媚在那一刻融合„„如果你的手中拿着一个度数 为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的 这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对 称！ 角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角 函数值有什么关系呢？
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1．3.2 诱导公式五、六
第一章 三角函数
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
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课前自主预习
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第一章
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规律总结：利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于 如何配角、如何去分析角之间的关系．
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3π tan2π－αcos －αcos6π－α 2 求证： ＝－tanα. 3π 3π sinα＋ cosα＋ 2 2 [分析] 解答本题可直接利用诱导公式对等式左边进行
存在，求出 α、 β 的值；若不存在，说明理由．
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[分析]
题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用
平方关系消去 α(或 β)解方程可求出角 α 与 β 的一个三角函数值 和其范围，进一步求出角．
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)
[答案]
A
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已知cos10° ＝a，则sin100° ＝________.
[答案]
a
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[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用 π 口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·± α(k∈Z)的三 2 角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇 数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐 角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇 11π 偶性．如 sin( ＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时， 2 11π ＋ α 是第四象限角，第四象限角的正弦值是负数，所以 2 11π sin( 2 ＋α)＝－cosα.
已知 α 是第三象限角，f(α)＝
3π sinπ－αcos2π－αtan－α＋ 2
cos－α－π (1)若
3π 1 cosα－ 2 ＝5，求
.
f(α)的值；
(2)若 α＝－1860° ，求 f(α)的值． [分析] 若 f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．