高三数学综合测试五
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)5
高三数学试题（文 ）一、选择题1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为 （ ）A ．（1，2）B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 （ ）A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．21,2 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，若==84,1S S 则 （ ）A ．17B ．171 C ．5 D ．51 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，则点),(n m P 在直线4=+y x 上的概率是（ ）A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为１，等腰三 角形的腰长为5，则该几何体的体积为（ ）A ．32πB ．34π C ．π2D ．π46．已知复数z 满足i izi z 431+=-+⋅（i 是虚数单位）， 则=z （ ） A ．i +3 B ．i -3 C ．i 32-D ．i 34-7．已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA 2=⋅AC AB ，且,60︒=∠BAC 则OBC ∆的面积为（ ）A ．21 B ．33 C ．23 D ．32 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于（ ）A ．39B ．20C ．19D ．10 9．设函数='=≠+=003),(3)3(),0(31)(x x f f a bx ax x f 则若 （ ）A ．1±B ．2C ．3±D ．21 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … … …10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20102009，则判断框内应填入的条件是 （ ） A ．?2008=i B ．?2009>i C ．?2010>iD ．?2012=i11．过抛物线x y 22=的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条12．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围是（ ）A ．]10,2[-B ．]16,2[-C ．]10,4[D ． [4，16] 二、填空题13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为 。
2023届高三综合测试数学答案(正式稿)
2023届高三综合测试数学参考答案一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符0分。
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．10x y −−= （写成1y x =−亦可） 14．421516．3(1)2n n −−四、 解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）()1cos o 62c s 2sin 2πf x x x x x x ωωωωω⎫⎛⎫=−=−=−⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， …1分 因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以12T π=，则2πT =，所以22ππT ω==，解得1ω=， 所以()n 62si πf x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭．……3分 由22262k x k πππππ−+≤−≤+，k Z ∈，解得22233k x k ππππ−+≤≤+，k Z ∈ 因此()f x 的单调增区间是22,233k k ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. ……5分 （2）由()2sin 6πf x x ω⎛⎫=− ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以26πππk ω−=，Z k ∈，所以123k ω=+，Z k ∈， ……7分 由,30πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则,6636ππππx ωω⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦， 又函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以2036πππωω⎧−≤⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤， ……9分 由10223k <+≤解得0k =，此时13ω=.……10分18.解：（1）当1n =时，1124S <<.……1分 又因为n a Z ∈，所以11a =.依题意，2(1)(1)n n n n d n <+−<+，……3分 得2(1)20(1)10d n d d n dn −+−<⎧⎨−−−<⎩恒成立 ……4分 解得1d =， ……5分 所以，n a n =.……6分（2）2n n nb =12323411232222112322222n n n n n T n T +=++++=++++①②①-②，得1231111111212222222n n n n n n T +++=++++−=−……9分 即2222n n n T +=−<……10分1,22n n n =<+时，[]0n T =;12(1)2,21122n n n n n n C C n n +≥≥++=++≥+时，[]1n T =，所以2019M =.……12分19.解：（1）70%地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的70%分位数. ……1分 由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，由70%5035⨯=，日需求量在24箱以下的天数为10101535++=，可知，日需求量的样本数据的第35项数据为24，第36项数据为25， 因此，可以估计日需求量的第70%分位数为242524.52+=， ……3分 所以能70%地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为24.5箱.……4分 （2）由（1）知2424.5<25t ≤=，即024n = 设每天的进货量为24箱的利润为X ，由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为35，当天卖不完剩余1箱的概率15，当天卖不完剩余2箱的概率15，若当天卖完24(10050)1200X =⨯−=元，若当天卖不完剩余1箱23(10050)1301120X =⨯−−⨯=元，若当天卖不完剩余2箱22(10050)2301040X =⨯−−⨯=元， ……6分所以31()1200(11201040)115255E X =⨯+⨯+=元.……7分 设每天的进货量为25箱的利润为Y ，由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为310，当天卖不完剩余1箱的概率310，当天卖不完剩余2箱的概率15，当天卖不完剩余3箱的概率15，若当天卖完25(10050)1250Y =⨯−=元，当天卖不完剩余1箱24(10050)1301170Y =⨯−−⨯=元， 当天卖不完剩余2箱23(10050)2301090Y =⨯−−⨯=元，当天卖不完剩余3箱22(10050)3301010Y =⨯−−⨯=元， ……9分所以31()(12501170)(10901010)1146105E Y =⨯++⨯+=元， ……10分由于()()E Y E X <，显然每天的进货量25箱的期望利润小于每天的进货量为24箱的期望利润， 所以店老板应当购进24箱. ……12分20.（1）证明：连接,BD 在正方形ABCD 中BD AC ⊥, 又PA ⊥平面ABCD ，故PA BD ⊥ 而,PA AC 是平面PAC 上的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC ……2分 在PBD △中，EF 为中位线，故//EF BD ……3分 所以EF ⊥平面PAC . 又EF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PAC ……5分 （2）以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz −， 则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0,1,0,1,0,1,1A B C P D E F ，()()1,0,1,0,1,1AE AF ==， ……7分设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =−， ……8分设1(01)2PG PC λλλ=<<≠，， 则()()()0,0,22,2,22,2,22AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+−=−则3sin cos ,1m AG θ===， 整理得212810λλ−+=，解得16λ=或12λ=（舍去）， ……10分 故16PG PC =,故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==,故126EBG S BE h =⋅=△因为(1,0,1)(0,1,00AE BC ⋅=⋅=）,所以AE BC ⊥ 又(1,0,1)(2,0,20AE BP ⋅=⋅−=）,所以AE BP ⊥， 又BPBC P =，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG的距离为EA =三棱锥E ABG −体积为1113369E ABG A EBG EBG V V S EA −−==⋅=⨯=△. ……12分 21.解：（1）因为12PF F ∆的周长等于22a c +为定值,所以内切圆半径最大时，即12PF F ∆的面积最大，此时点P 为椭圆的上（下）顶点……1分可得1(22)2a c bc ⋅+=； ……2分 又因为23c e a ==，222c a b =+，解得3,2,a c b ===……3分 所以椭圆E 的方程为22195x y +=；……4分（2）（法一）设点由条件可知直线l 的斜率0k ≠， 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，由22(1)195y k x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(59)189450k x k x k +−+−=所以2212122218945,5959k k x x x x k k−+==++（*） ……5分由（*）可得21212122925(2)(2)2()459k x x x x x x k −−−=−++=+① ……6分12211221270(2)(2)(1)(2)+(1)(2)59ky x y x k x x k x x k−−+−=−−−−=+② ……7分 22121212240[()1]59k y y k x x x x k−=−++=+ ③ ……8分由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ， 则1212tan ,tan ,tan 22y ym x x αβγ===−−又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=−可得出12121212221122y y m mx x y y m mx x −−−−=++−− ……9分化简得2121212121212()2(1)()=0222222y y y y y ym m x x x x x x ++−−+−−−−−−即[]2122112121221[(2)(2)]2(2)(2)[(2)(2)]0y x y x m x x y y m y x y x −+−+−−−−−+−= 将①②③式代入上式得：2235(4925)350km k m k −+−+=……10分 则(75)(57)0km m k +−+=，解得57,()75km m k =−=舍去 ……11分故直线2F M 方程为5(2)7y x k =−−，令9x =得点5(9,)M k−则5'9k k =−，故5'9kk =−为定值.……12分【法二】设线由条件可知直线l 的斜率0k ≠，设直线2PF 的斜率为1k ，直线2QF 的斜率为2k ，直线2F M 的斜率为m ， 直线:(2)1l x ny −−+=，其中1k n=由22195x y +=得225[(2)2]945x y −++= 即()[][]22295220(2)(2)25(2)0y x x x ny x ny +−+−−−+−−−+=整理得222(925)70(2)40(2)0n y n x y x −+−−−=……6分即22(925)7040022y y n n x x ⎛⎫−+−= ⎪−−⎝⎭令2yk x =−,则22(925)70400n k nk −+−=，其中12k k ，为方程的根所以12270259nk k n +=−，12240259k k n =− ……8分 由对称性，不妨令点M 位于第四象限，设直线2PF 的倾斜角为α，直线2QF 的倾斜角为β，直线2F M 的倾斜角为γ，则1212tan ,tan ,tan 22y y m x x αβγ===−− 又2F M 在2PF Q ∠的角平分线所在的直线上，则tan()tan()tan()γαπγββγ−=−+=− 由121211m k k m mk mk −−=++得2121212()(22)()0k k m k k m k k ++−−+= ……9分 代入整理得2235(2549)350nm n m n +−−=， ……10分则(57)(75)0nm m n −+=故75m n =（舍去）或者57n m =− ……11分所以直线2F M 的方程为5(2)7ny x =−−，令9x =得点(9,5)M n −故5'9n k =−，则5'9k k =−为定值.……12分 22.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．……1分21(1)1(1)(1)'()(1)ax a x ax x f x ax a x x x−++−−=+−+==． ……2分 ① 0a =时，1'()xf x x−=，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故()(1)10f x f ≤=−<，无零点． ……3分 ② 0a <时，10ax −<，当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增；当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减，故max ()(1)12af x f ==−−，且0,x x +→→+∞时，均有()f x →−∞．若102a−−>即2a <−时，()f x 有两个零点；若102a−−=即2a =−时，()f x 有一个零点；若102a−−<即20a −<<时，()f x 无零点． ……4分③ 0a >时，若01a <<，则01x <<或1x a>时，'()0,()f x f x >均单调递增；11x a <<时，'()0,()f x f x <单调递减．而(1)10,2af x =−−<→+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点． 若1a =，则'()0f x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且0x +→时，()f x →−∞，x →+∞时，()f x →+∞，故()f x 有一个零点．若1a >，同理可得，()f x 在1(0,),(1,)a +∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减，111()ln 102f a a a =−−<，此时()f x 有一个零点． ……6分 综上得：当20a −<≤时，()f x 无零点；当2a =−或0a >时，()f x 有一个零点；当2a <−时，()f x 有两个零点．……7分 （2）当1a >时，由（1），任取,i j x x ()i j x x <，设1jix t x =>， 先证ln ln 2j ij ij ix x x x x x −>−+． 上述不等式即为2(1)ln 01t t t −−>+，设2(1)()ln 1t g t t t −=−+， 则22214(1)'()0(1)(1)t g t t t t t −=−=>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增， ()(1)0g t g >=，即ln ln 2j i j i j ix x x x x x −>−+成立．……9分由()()i j f x f x =得：22311ln (1)ln (1)22i i i j j x ax a x x ax a x +−+=+−+， 所以ln ln ()(1)02i ji j i jx x ax x a x x −++−+=−， 所以2()(1)02i j i j ax x a x x ++−+<+， 即2()(1)()202i j i j ax x a x x +−+++<， 即[()1][()2]02i j i j ax x x x +−+−<，所以22i j x x a <+<，……11分即1213232222,2,2x x x x x x a a a<+<<+<<+<， 三式相加即得12333x x x a<++<．……12分。
高三理科数学综合测试卷5
高三理科数学综合测试卷（五）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义},|{B x A x x B A ∉∈=-且若)}6lg(|{2x x y N x M -=∈=，MN N -=是},6,3,2{等于（ ）A ．{1，2，3，4，5}B ．{2，3}C ．{1，4，5}D ．{6}2．复数11)2(2--+=ii z （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”的否命题为“若x ＜2且y ＜3，则x +y ＜5”；③四个实数a 、b 、c 、d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc ；④在△ABC 中，“︒>45A ”是“22sin >A ”的充分不必要条件．其中不正确的命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，则BD 到平面11D GB 的距离是（ ）A ．36 B ．362 C ．332 D ．32 5．在对两个变量x,y 进行线性回归分析时，有下列步骤： ①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据;,,2,1),,(n i y x i i =③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x,y 具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是 （ ）A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①6．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx =的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的 n 的最大值为（ ）A ．11B ．19C ． 20D ．218．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 （ ）A ．80B ． 800C ．90D ．900 9．已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量、满足||||-=+，则实数a 的值 （ ）A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－210．某企业打算在四个候选城市投资四个不同的项目，规定在同一个城市投资的项目不超过两个，则该外商不同的投资方案有 （ ）A ．24B ．96C ．240D ．38411．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个 角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆孤， 某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个 点的可能性都一样，它击中阴影部分的概率是（ ） A ．1-4π B ．4π C ．1-8πD ．与a 的取值有关 12．已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，若421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值（ ） A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负37376894231010313题图第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．13．如右图所示，这是计算111124620++++ 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ．14．如果2(2nx 整数n 的最小值为__________.15．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤-2230302||y x y x 所表示的平面区域为S ，若A 、B 为S 内的两个点，则|AB|的最大值为 . 16．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③函数)23sin(x y +=π是偶函数；④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；⑥若),2(ππβα∈、，且βαcot tan<，则23πβα<+．其中正确命题的序号是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin sin((3)()2f x x x x x R ππ=⋅++∈． （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标．18．（本小题满分12分）一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为12,x x ，记2212(3)(3)x x ξ=-+-．（1）分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； （2）求ξ的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，N M ,分别为BC AF ,的中点．（1）求证：//MN 平面CDEF ；（2）求多面体CDEF A -的体积； （3）求证：AF CE ⊥．NMFE DCBA 直观图俯视图正视图侧视图22222220．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的各项均为正数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且3242-+=n n n a a S ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）n n n n n b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值.21．（本小题满分12分）已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42=的一条切线．（1）求椭圆的方程；（2）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在， 请说明理由．)0(1:2222>>=+b a by a x C22．已知函数R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.（1）求d c a ,,的值；（2）若;0)()(',41243)(2<+-+-=x h x f b bx x x h 解不等式（3）是否存在实数m ，使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值－5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.,0)0(),,(4131)(23=∈++-=f R d c a d cx x ax x f 满足。
高三数学综合测试
０ ｌ ０ ２ ｏ ３ ｏ ４ 口 ５
６若双曲 ２ 牛 ＝１ 焦点到渐近线的 ． 线 一 的 距
离为 ２ ， 则实数 ｋ的值是— — ．
ｒ — Ｙ ＋ １ ≥ ０，
第 ９题 图
鸵 １． ０ 已知三数 ＋ｌｇ ２ ＋ｌｇ２ ＋ｌｇ ｏ２ ， ｏ９ ， ｏ３ 砬 ７ ２成
证明 ， 得直观 、 懂． 显 易
＝
（ ）（导， 一１ １ ） ×，
总之 ， 向量作 为沟通数 与形 的重要 工具 ， 具有“ 几何形式 ”和“ 代数 形式”的双重 身份 ，
是 代 数 和 几 何 的 一 个 交 汇 点 ， 联 系 中 学 数 是
‘ ． ．
Ｐｌ —— ＝ （ｔ一１ — Ｐ２ —Ｐ —— — — １ ＂ ）Ｐ１ ｝ ，
３ 已知 （ ． 。＋ｉ ＝２ ， ） ｉ其中 ｉ 是虚数单位 ， 那么
实数 。＝一
４ 知 向量 口与 ｂ的夹 角 为 ６ 。 且 ｌａｌ １ ． ０， ＝ ， Ｉ Ｉ＝２ 那么（ ｂ ， ａ＋ｂ 的值 为— — ． ） ５ 底 面边长 为 ２ 高为 １ ． ｍ， ｍ的正三棱锥 的全 面
则 ｎ Ｂ ＝— — ．
２ 函 数 Ｙ＝ ｓ ｘ＋ＣＳ ｘ 最 小 正 周 期 是 ． ｉ２ ｎ Ｏ 的 ２
●
＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ — —
其 中正确命 题的序号为一
９ 图中是一个算 法流程 图， 输 出的 ｎ ＝ ． 则
题：
） 给 出三个命 ，
ａ２ ３
０ ３
５
４
５
０ ５
５
ａ３ ３
① 若 ， 一２ ２ ， （ ）＝ ） 则 ） 为偶 函数 ；
2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
河南省天一大联考2023—2024学年高中毕业班阶段性测试(五)数学(含答案)
焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数 学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2A x x x =∈≤N ，{}30B x x x =-=，则（ ） A ．A B ÜB ．B A ÜC ．A B =D ．AB =∅2．已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（ ） A ．5B ．5-C ．5iD ．5i -3．若圆22:(2)2a C x y a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭与x 轴相切，则a =（ ）A ．1BC ．2D ．44．“5c o s 25s i n 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知ABC △所在平面内一点D 满足12DA DB DC ++=0，则ABC △的面积是ABD △的面积的（ ） A ．5倍B ．4倍C ．3倍D ．2倍6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ） A ．48B ．32C ．24D ．167．已知函数()2()e 1xf x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（ ） A ．ln 212-B ．21ln 2-C ．1ln 2-D ．11ln 2-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于B ，D 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()2sin 36x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A ．12π-为()f x 的一个周期 B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称 C ．()f x π+为偶函数D ．()f x 在[2,3]ππ上单调递增10．已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为ABC △的面积为12AA =，棱11B C 的中点为M ，则（ ）A ．该三棱台的侧面积为30BC ．AM ⊥平面11BCC BD ．二面角1A AB C --的余弦值为1311．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A ，B ，C 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A ，B ，C 的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A ，B ，C 时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（ ） A ．该项目达标的概率为0.68B ．若甲不负责工序C ，则该项目达标的概率为0.54C ．若该项目达标，则甲负责工序A 的概率为1534D ．若该项目未达标，则甲负责工序A 的概率为5812．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线1:2l x =-，直线:(0)l y kx m k '=+≠与抛物线C 交于M ，N 两点，P 为线段MN 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．若2km =-，则以MN 为直径的圆与l 相交 B ．若2m k =-，则(OM ON O ⊥为坐标原点）C ．过点M ，N 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，若1l ，2l 交于点A ，则AP l ⊥D ．若||1MN =，则点P 到直线l 的距离大于等于58三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆锥的底面半径为1_________． 14．已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为_________． 15．已知正实数m ，n 满足(1)()(1)(1)m m n n n -+=+-，则m n +的最大值为_________．16．若函数1e()(2)e x f x x x xλ-=+-在(0,)+∞上没有零点，则实数λ的取值范围为_________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=． （I ）证明：2222a b c +=；（II ）若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．18．（12分）如图所示，在三棱锥S ABC -中，22ABSA SC ===，AC BC ==SB =（I ）求证：平面SAC ⊥平面ABC ； （II ）若15DS BS =，求直线CD 与平面SAB 所成角的正弦值． 19．（12分）已知数列{}n a 中，12a =，1232n n n a a +=+⋅． （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）若()22(1)(31)n n a n b n n n-=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．（12分）为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了(2)n n ≥次试验，假设小王每次试验成功的概率为(01)p p <<，且每次试验相互独立． （I ）若小王某天进行了4次试验，且13p =，求小王这一天试验成功次数X 的分布列以及期望；（II ）若恰好成功2次后停止试验，12p =，以Y 表示停止试验时试验的总次数，求2()ni P Y i ==∑．（结果用含有n 的式子表示） 21．（12分） （I ）求函数1()ex f x x -=-的极值；（II ）若(0,1]a ∈，证明：当0x >时，(1)e 1ln x ax x a --+≥+．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆2240:5x y +=相切．（I ）求C 的方程．（II ）过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：（i ）直线AM ，AN 的斜率之积为定值； （ii ）120x x +=．焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．答案A命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．解析依题意，{}01{0,1}A x x =∈≤≤=N ，{}30{1,0,1}B x x x =-==-，所以A B Þ． 2．答案B命题意图本题考查复数的基本运算． 解析56i65i iz +==-，虚部为5-． 3．答案D命题意图本题考查圆的方程与性质．解析因为圆C 与x 轴相切，所以24a a =且0a >，解得4a =． 4．答案B命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．解析225cos25sin 2103cos2sin 5sin cos 0αααααα++=⇔-+=，显然cos 0α≠，则22tan 5tan 30αα--=，解得1tan 2α=-或tan 3α=．5．答案A命题意图本题考查平面向量的线性运算．解析设AB 的中点为M ，因为2()CD DA DB =+，所以4CD DM =，所以点D 是线段CM 的五等分点，所以ABC △的面积是ABD △的面积的5倍． 6．答案C命题意图本题考查排列组合．解析1与4相邻，共有22A 2=种排法，两个2之间插入1个数，共有12A 2=种排法，再把组合好的数全排列，共有33A 6=种排法，则总共有22624⨯⨯=种密码． 7．答案D命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．解析依题意，()e 2xf x x λ'=-，则e 20,e 20,p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩即2e 2,e 4,p p p p λλ⎧=⎨=⎩显然λ，0p ≠，故e 2p =，则l n2p =，代入e 2pp λ=中，解得1ln 2λ=，则1(0)1ln 2f =-． 8．答案C命题意图本题考查双曲线的方程与性质．解析易知C 的渐近线方程为b y x a =±，不妨设直线:()b BD y x c a =-，联立方程得(),,b y xc ab y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2c x =，2bc y a =-，则,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．而FB BD =，故3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x y a b -=中，得2222911616c c a a -=，则222221c b a a==+，故所求C 的渐近线方程为y x =±． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．答案AB命题意图本题考查三角函数的图象与性质． 解析依题意，()f x 的最小正周期2613T ππ==，则12π-为()f x 的一个周期，故A 正确；(2)2f π=，故B正确；()2sin 36x f x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，不是偶函数，故C 错误；()f x 在[2,3]ππ上单调递减，故D 错误． 10．答案BCD命题意图本题考查三棱台的结构特征．解析对于A ，根据条件可得114A B =，6AB =，所以等腰梯形11ABB A==3=A 错误；对于B ，设ABC △的中心为O ，111A B C △的中心为1O ，可知11OAAO是直角梯形，OA =11O A =1OO ==B 正确； 对于C ，分别延长棱1AA ，1BB ，1CC 交于点P ，易知PBC △为等边三角形，四面体PABC 为正四面体，M 恰好为PBC △的中心，所以AM ⊥平面11BCC B ，故C 正确；对于D ，二面角1A AB C --即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为13，故D 正确． 11．答案ACD命题意图本题考查条件概率、全概率公式．解析记甲负责工序A 为事件1M ，B 为事件2M ，甲负责工序C 为事件3M ，该项目达标为事件N ．对于A ，该项目达标的概率为()()()()()()112233()P N P M P N M P M P N M P M P N M =++0.50.60.30.80.20.70.68=⨯+⨯+⨯=，故A 正确；对于B ，()()()()()()()()112212120.50.60.30.8270.50.340P M P N M P M P N M P N M M P M P M +⨯+⨯+===++，故B 错误；对于C ，()()()1110.50.615()0.6834P M P N M P M N P N ⨯===，故C 正确； 对于D ，()()()1110.5(10.6)5()10.688P M P N M P M N P N ⨯-===-，故D 正确．12．答案BCD命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题． 解析由题可得抛物线2:2C y x =，设()11,M x y ，()22,N x y ．对于A ，直线1:2l y k x ⎛⎫'=-⎪⎝⎭过C 的焦点，则以MN 为直径的圆与l 相切，故A 错误； 对于B ，直线:2l y kx k '=-，将22y x =代入，得2240ky y k --=，则124y y =-，故221212124y y OM ON x x y y ⋅=+=+120y y =，故B 正确；对于C ，抛物线C 在点M 处的切线方程为11y y x x =+，抛物线C 在点N 处的切线方程为22y y x x =+，联立两式，解得122A P y y y y +==，故AP l ⊥，故C 正确； 对于D ，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当MN x ⊥轴时，点P 到直线l 的距离最小，此时18M N x x ==，点P 到直线l 的距离为58，故D 正确． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案23π命题意图本题考查空间几何体的结构特征．解析设圆锥（如图所示）的高为h ．因为2113h π⋅⋅⋅=，所以h =母线3SA ==．将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为2π，则扇形的圆心角为23π．14．答案6-命题意图本题考查数列的周期性、分组求和． 解析依题意1n a ≠-，故111n n a a +=-+，所以212a =-，32a =-，41a =，…，故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭． 15．答案2命题意图本题考查基本不等式及其应用．解析依题意得22()1m n m n mn +-++=，则22211()()()()()4m nm n m n m n m n m n =+-+-≥+-+-+=23()()4m n m n +-+，当且仅当m n =时等号成立，则23()4()40m n m n +-+-≤，解得02m n <+≤，则m n +的最大值为2． 16．答案4e e,32⎛⎫- ⎪⎝⎭命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．解析令()0f x =，显然2x ≠，则2e (2)x x x λ=-，令2e ()(2)xg x x x =-，(0,2)(2,)x ∈+∞，则32(1)(4)e ()(2)xx x g x x x --'=-，令()0g x '=，得14x =，21x =，易知函数()g x 在(0,1)和(4,)+∞上单调递增，在(1,2)和(2,4)上单调递减，且极大值为(1)e g =-，极小值为4e (4)32g =．由图象可知，当4e e 32λ-<<时，直线y λ=与曲线()y g x =没有交点，即()f x 在(0,)+∞上没有零点．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换． 解析（I ）由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=， 由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab ++--⋅=，化简得2222a b c +=． （II ）由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故b =，所以a =，故222cos 2b c a A bc +-== 18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角． 解析（I ）因为22216AC BC AB +==，所以BC AC ⊥， 同理可得222BC SC SB +=，故BC SC ⊥，因为SC AC C =，所以BC ⊥平面SAC ，因为BC ⊂平面ABC ，故平面SAC ⊥平面ABC ．（II ）以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，A，B，S，555D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(2,0,SA =，(2,BS =-，45CD ⎛= ⎝⎭． 设(,,)n x y z =为平面SAB 的法向量，则0,0,SA n BS n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x z x y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得(1,1,1)n =．设直线CD 与平面SAB 所成的角为θ，则||22sin |cos ,|||||62CD n CD n CD n θ⋅=〈〉===⋅⨯所以直线CD 与平面SAB ． 19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和． 解析（I ）由1232n n n a a +=+⋅，可得113222n n n n a a ++-=， 故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，32为公差的等差数列， 故3311(1)222n n a n n -=+-⋅=，则1(31)2n n a n -=-⋅． （II ）由（I ）可知()12(31)2(1)(1)222(1)1(31)n n n n n n n n b n n n n n n n+-⋅⋅--⋅===-++-+， 故12231122222222122311n n n n T n n n ++=-+-++-=-++． 20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．解析（I ）依题意，1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4216(0)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3142132(1)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2224218(2)C 3327P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，334218(3)C 3381P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 411(4)381P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故X 的分布列为：故()433E X =⨯=． （II ）方法一：设A =“停止试验时试验总次数不大于n ”，则2()(2)(3)(4)()()ni P Y i P Y P Y P Y P Y n P A ====+=+=++==∑，A =“n 次试验中，成功了0次或1次”，“n 次试验中，成功了0次”的概率111122nnP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭； “n 次试验中，成功了1次”的概率11211C 1222n n nn P -⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 所以12221()12n nni n P Y i P P =--==--=∑． 方法二：事件“Y n =”表示前1n -次试验只成功了1次，且第n 次试验成功， 故1111()C 22n n n n P Y n --==⨯=， 所以23421231()2222nni n P Y i =-==++++∑， 利用错位相减法可得该式的结果为212n nn --．21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质． 解析（I ）依题意，1()e1x f x -'=-，令()0f x '=，解得1x =，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>， 即()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 而(1)0f =，故()f x 的极小值为0，无极大值． （II ）由（I ）可知，当0x >时，1e x x -≥，则1ln x x -≥．令()(1)e ln 1(0)x ah x x x a x -=--+->，则1()ex ah x x x-'=-，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增． 因为(0,1]a ∈，所以1211e 2022a h -⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，1(1)e 10ah -'=-≥，故01,12x ⎛⎤∃∈ ⎥⎝⎦，使得()00h x '=，即0001ex ax x -=①． 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 故[]()()0000min ()1e ln 1x ah x h x x x a -==--+-②．由①可得000201e,x ax a x x -=-=-， 代入②，得()()()()()000000000022200012121113ln 1311x x x x x h x x x x x x x x --+--=--+≥---+=， 而01,12x ⎛⎤∈⎥⎝⎦，故()00h x ≥，故()0h x ≥，即原命题得证． 22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．解析（I ）设椭圆的半焦距为(0)c c >．依题意，离心率c e a ===2a b =，c =①．直线:1x y l a b +=，即0bx ay ab +-==联立①②，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．（II ）（i ）设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠，=()22200005410540x k x y k y --+-=， 记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，为定值． （ii ）由（i ）的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-，联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440k x k y k x x y k x ++-+--=，故()11001021814k k x y x x k -+=+． 直线()020:AN y y k x x -=-，同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+． 故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++ ()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+，则120x x +=．。
高三数学综合测试
：
甲
乙
第 １ ８题 图
１ ．（ ９ 本小 题满 分 １ ）设 定 义在 区 间 ［ ， ６分 ． ］上的函数 Ｙ＝ ）的图象为 ｃ Ｍ 是 ｃ ，
（ ） ＡＡ Ｃ中，Ｂ＝１ Ｃ ＋１且 ２ 在 Ｂ Ａ ）＝ ， ＡＡ Ｃ的面积为 ， ｓ Ｂ 求 ｉ Ａ＋ｓ ｎ ｉ Ｂ的值． ｎ １ ． 本 小题 满分 ｌ ７（ ４分 ）在 平 面直 角 坐标 系 Ｄ， 如图 ， ）中， 已知椭 圆 Ｅ ｘ ＋ ＝１ ｏ＞ ： （ ｂ＞０ ）的左 、 右顶点分别 为 Ａ 、 上 、 Ａ ， 下顶 点分别为 Ｂ 、 设直线 Ａ Ｂ 的倾斜角 的正 。Ｂ ．
第 ７题 图
时 应 写 出 文 字说 明 ， 明过 程 或 演 算 步 骤 ） 证
８ 设等差数列 ｛ 的公差为正数 ， ａ ＋ ： ． ａ｝ 若 ｎ＋
１ ． 本小题满分 １ ） 图， ５（ ４分 如 平面 Ｐ Ｃ上 平 Ａ 面 Ａ Ｃ 点 Ｅ、 、 Ｂ ， Ｆ ０分别为线段 Ｐ Ｐ Ａ 的 Ａ、Ｂ、 Ｃ
命题是— — 命题（ 真” “ ”之－ ． 填“ 、假 一） ４ 把 一个体积 为 ２ ｃ 的正方体木块 表面涂 ． ７ｍ
上红 漆 ， 后 锯 成 体 积 为 １ ｍ 的 ２ 个 小 正 然 ７ ｅ 方 体 ， 从 中 任 取 一 块 ， 这 一 块 至 少 有 一 现 则
ｆ ＋ ） 当 ∈ ｆ ， ］时 （ （ ２ ， ３ ５ ）＝２一
２ 若 ．
． 一 ） １
：ｏ＋６（ ， ｉ。 ｂ∈Ｒ，为虚数单位 ） ｉ ，
．
则ａ ＝ ｂ
３ 命 题 “ 实 数 ａ满 足 ａ≤ ２ 则 ｎ ． 若 ， ＜４ ”的否
１． Ｏ 定义在 Ｒ上的函数 ＿ ）满足 厂 （
2013届高三一轮复习文科数学全能测试五 数列
2013届高三一轮复习文科数学全能测试五 数列本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）； 球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）；锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）； 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、【2012 辽宁文】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)242、n S 是数列{}n a 的前n 项和，则“数列{}n S 为等差数列”是“数列{}n a 为常数列”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、已知{}n a 是等比数列，22=a ,415=a ，则公比q =（ ）A ．21-B ．2-C ．2D ．214、等差数列}{n a 中,若1201210864=++++a a a a a ,则15S 的值为 （ ）A ．180B ．240C ．360D ．7205、等比数列{n a }中，463a a +=，则()53572a a a a ++=（ ） A ．9B ．9±C ．3±D ．36、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．9B ．8C ．7D ．67、【2012全国文】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n8、已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N . 下列命题中真命题是 A. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列 B. 若n ∀∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列 C. 若n ∀∈*N 总有n n⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列]D. 若n ∀∈*N 总有n n⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列9、在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a +b +c 的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．410、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知5ln 520112012201320122log3,2ln 3-=+=S a a S ，则公比q =（ ） （A ）3 （B ）4（C ）5（D ）6非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用1 2 0.5 1 a bcICME －7图甲 O A 1 A 2 A 3 A 4 A 5A 6 A 7 A 8图乙 黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11、已知数列为等比数列，且.,则=________.12、已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则公比q =__________．13、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则=11a14、已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________. 15、.已知数列{}n a 中，1n 1n 211a ,a a ,24n 1+==+-则n a =_____________。
甪直中学高三数学综合测试五
甪直中学高三数学综合测试五一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1.复数2ii-的虚部是 ． 2．已知集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，如果M N ≠∅ ，则a = ．3．已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ． 4．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =___ ___． 5．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的 条件 6．已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 . 7如图，在△ABC 中，B=45°，D 是BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB 的长为 ．（第8题图） 8．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为____ ____． 9．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___． 10.设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则a 8a 2＋a 5的值是 ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是椭圆221259x y +=上的一个动点，点P 在线段OA 的延长线上，且72OA OP ⋅=，则点P 横坐标的最大值为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2﹣（6﹣2m ）x ﹣4my+5m 2﹣6m=0，直线l 经过 点（1，0）．若对任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为 ． 13．记定义在R 上的函数y=f （x ）的导函数为f ′（x ）．如果存在x 0∈[a ，b ]，使得 f （b ）﹣f （a ）=f ′（x 0）（b ﹣a ）成立，则称x 0为函数f （x ）在区间[a ，b ]上的“中值点”．那么函数f （x ）=x 3﹣3x 在区间[﹣2，2]上“中值点”的个数为 ．14．设点P 是曲线y=x 2上的一个动点，曲线y=x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y=x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为 ．二．解答题：（本大题共6小题，计90分）15如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A=AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点．（1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．16在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ccosB+bcosC=3acosB ． （1）求cosB 的值； （2）若=2，求b 的最小值．17已知函数f （x ）=m （x ﹣1）2﹣2x+3+lnx ，m ∈R ．（1）当m=0时，求函数f （x ）的单调增区间；（2）当m ＞0时，若曲线y=f （x ）在点P （1，1）处的切线l 与曲线y=f （x ）有且只有一个公共点，求实数m 的值．18.设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，线段OF 1、OF 2的中点分别为B 1、B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．过Ｂ1作直线l 交椭圆于P 、Q 两点． (1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若22QB PB ，求直线l 的方程；19.已知数列{a n }满足，a n +1+ a n ＝4n －3(n ∈N *) ． （1）若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；20. 如图所示，直立在地面上的两根钢管AB 和CD，AB =，CD =，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m ，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？ （2）如图（2）设两根钢管相距，在AB 上取一点E ，以C 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D 处、B 处和E 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？A ED CBFAED CB F 图1图2。
2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】
2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（ ） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用并集的定义求解即可． 【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（ ）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】 命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”． 故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ． 考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】 【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值． 【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M =故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出． 【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ． 【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（ ）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（ ）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率． 【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=， 所以1MF MN NM =-=， 所以M 为1F N 的中点， 因为O 为12F F 的中点， 所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =， 所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=， 所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ， 在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-， 整理得210e e --=，解得512e =． 故选A ． 【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届云南省昭通市昭阳区第一中学高三下阶段测试(五)数学试题
2024届云南省昭通市昭阳区第一中学高三下阶段测试（五）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =- 2．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m 3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m 3的住户的户数为( )A ．10B ．50C ．60D ．1404．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（ ） A ．73B ．14C ．203D ．75．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =6．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 7．若复数221a ii++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限8．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．625610．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7D ．18(,4)(4,6)7⋃ 11．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b+++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．313⎛ ⎝⎭,B ．(3C ．2313⎛ ⎝⎦,D ．3]12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省汉中市2022届高三数学上学期第五次质量检测试题 理(含解析)
所以 的外接圆半径 .
所以 .
因为点S到平面ABC的距离为 , 平面 ,
所以 .即
在 中： .
所以 .
故填： .
【点睛】本题考查球上的点到三角形中心的距离的求法,属于中档题,解题时要认真审题，注意球的性质和空间思维能力的培养.
三、解答题
17.已知函数 ．
（I）当 时，求 的值域；
（II）已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，求 的面积．
过A和B做AD⊥l，BE⊥l，
由抛物线的定义可知：丨AF丨＝丨AD丨，丨BF丨＝丨BE丨，
|AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|，
则∠ACD ，由丨HF丨＝p＝2，
∴ ，
则丨AF丨＝丨AD丨 ，
设直线AB的方程y （x﹣1），
，整理得：3x2﹣10x+3＝0，
则x1+x2 ，
由抛物线的性质可知：丨AB丨＝x1+x2+p ，
7.已知函数 （ ， ）的最小正周期是 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象过点 ，则函数 （ ）
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 在区间 上单调递减 D. 在区间 上单调递增
【答案】B
【解析】
由题 ，平移后得到的函数是 ，其图象过点 , ，因为 ， ， ,故选B.
点睛：本题考查的是 的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x加减，还是2x加减，另一方面是根据图象过点 确定 的值时，要结合五点及 确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.
【详解】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得 ，设 ， ，令 解得 ，由于 ，可知当 时， 递增， 时， ， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故 ，故 时， 且 ，所以 ，函数单调递减.当 时， ， ，当 时， ，即 单调递增，且 ，即 ， 单调递增，而 ，故当 时， 函数单调递增，故函数在 处取得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为 ，此时 .故选A.
2025届绵阳中学高三12月综合测试数学试题+答案
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数tan y x =值域可以表示为（ ） A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣D. {tan }y x =2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（ ） A. 第四象限角B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角3. 下列命题正确的是（ ） A x ∃∈R ，20x <B. (0,4)x ∀∈，20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞，132x x<D. π0,2x∃∈，4sin cos x x = 4. 函数24()f x x x =−的大致图象是（ ）A. B.CD.5. 已知向量1e ，2e满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e − 的夹角为（ ） A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°6. 已知5πtan210α+=，则4π5tan 5α−=（ ） A.125 B. 125−C.43D. 43−的..7. 已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（ ） A. 8B. 9C. 12D. 168. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知202420241tan tan tan A B C+=，则222a b c +=（ ）A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数sin()()2x f x −=，则（ ） A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ） A. 当0200x <<时，应进甲商场购物 B. 当200300x ≤<时，应进乙商场购物 C. 当400500x ≤<时，应进乙商场购物 D. 当500x >时，应进甲商场购物11. 设0x >，函数())2ln ,f x x g x x x==+，则下列说法正确是（ ） A. 存在0x >，使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数e 1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x =第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______． 13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．的14. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC 布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC 的布洛卡点，且PA =，则BC 的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附：1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ ， ay bx =− ，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++（其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人 的驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，225,3nnS a a n==− （1）求1a ，并证明212n n n a a a +++=（2）若()22nn a b nn =+，求数列{}n b 的前n 项和n T17. 已知平面向量(,)m a b =，(sin ,cos )n x x ωω= ，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ． （1）当24m n =时，求()f x 的最小值； （2）当2m =−时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．19. 已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q =，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==−+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之； （2）如图1，分别以ABC 的边AB ，AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥； （3）如图2，设(3,0)A −，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 函数tan y x =的值域可以表示为（ ） A. {tan }x y x =∣ B. {tan }y y x =∣ C. {(,)tan }x y y x =∣ D. {tan }y x =【答案】B【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣. 故选：B. 2. 若“sin θ=是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角C. 第二象限角D. 第一象限角【答案】B【详解】由题可知，sin 0θ<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角. 故选：B3. 下列命题正确的是（ ） A x ∃∈R ，20x <B. (0,4)x ∀∈，20log 2x <<C. (0,)x ∃∈+∞，132x x<D. π0,2x∃∈，4sin cos x x = 【答案】C【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为(0,+∞)，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误； 对于选项B: 因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈−，故选项B 错误；.对于选项C:令14x =,则311464 = ，121142 =，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2yx x x =，因为π0,2x ∈，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2yx ∈，2>，故不存在π0,2x∈，使得4sin cos x x =,故选项D 错误. 故选：C.4. 函数24()f x x x =−的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】C【详解】函数24y x x =−是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ， 故选：C .5. 已知向量1e ，2e满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e − 的夹角为（ ） A. 45° B. 60°C. 120°D. 135°【答案】A【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅−−⋅，12e e −= ，121e e ==所以()112112112cos ,e e e e e e e e e ⋅−−==−故向量1e 与12e e −的夹角为45°故选:A 6. 已知5πtan210α+=，则4π5tan5α−=（ ） A.125 B. 125−C.43D. 43−【答案】C【详解】由题可知，5π4π52π105αα+−×+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++ ×===− +−− 所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα−++ =−×=−×=故选：C7. 已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（ ） A. 8 B. 9C. 12D. 16【答案】A【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+ 当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立； 故选：A8. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知202420241tan tan tan A B C+=，则222a b c +=（ ）A. 4049B. 4048C. 4047D. 4046【答案】A【详解】在ABC 中，202420241tan tan tan A B C +=，可得cos cos cos 2024()sin sin sin A B CA B C+=， 即sin cos cos sin cos 2024sin sin sin B A B A C A B C +×=，故sin()cos 2024sin sin sin B A CA B C+×=， 即sin cos 2024sin sin sin C C A B C ×=，所以2sin 2024cos sin sin CC A B×=，所以222220242c a b c ab ab+−×=，即22224048c a b c =+−，所以2224049c a b =+故2224049a b c +=. 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知函数sin()()2x f x −=，则（ ） A. ()f x 的值域为1,22B. ()f x 为奇函数C. ()f x 在ππ,22−上单调递增 D. ()f x 的最小正周期为2π【答案】AD【详解】对于选项A:由sin()()2x f x −=，令()sin t x =−，则2t y =，[]1,1t ∈−， 因为2ty =在[]1,1t ∈−上单调递增，所以12,22ty =∈，故选项A 正确； 对于选项B: 由sin()()2x f x −=可知(),x ∞∞∈−+，对任意的(),x ∞∞−∈−+， 因为sin ()2x f x −=，而sin ()2x f x −=，易验证()(),f x f x −≠−故()f x 不是奇函数， 故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =−在ππ,22−单调递减，而2t y =在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得sin()()2x f x −=在ππ,22−单调递减，故选项C 错误； 对于选项D :因为()sin t x =−的最小正周期为2πT =， 所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x −−−==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）A. 当0200x <<时，应进甲商场购物B. 当200300x ≤<时，应进乙商场购物C. 当400500x ≤<时，应进乙商场购物D. 当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场， 所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x −，400.840.1640x x x −−=−，因为200250x ≤<，所以80.16400x −≤−<，400.84x x −<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x −>应进甲商场，所以选项B 错误； 当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x −800.840.1680x x x −−=−，因为400500x ≤<，所以160.16800x −≤−<故800.84x x −<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504×=，在乙商场的费用为600120480−=，所以乙商场费用低，故乙商场购物，故选项D 错误. 故选：AC11. 设0x >，函数()()2ln ,f x x g x x x==+，则下列说法正确的是（ ） A. 存在0x >，使得()1f x x >−B. 函数()1f x +图象与函数1x y =−的图象有且仅有一条公共的切线C. 函数()g x图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数()()f x g x +的极小值点为1x = 【答案】BD【详解】对于A ：设()()()1ln 1(0)h x f x x x x x =−−=−+>，则11()1x h x x x−′=−=， 由()0h x ′>得01x <<，由()0h x ′<得1x >，所以函数()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h ≤=，即()1f x x ≤−恒成立，选项A 错误.对于B ：由()()1ln 1y f x x =+=+得1e y x +=，即e 1y x =−，所以函数()1y f x =+与函数e 1x y =−互为反函数，图象关于直线y x =对称，结合图象可得函数()1y f x =+与e 1x y =−的图象都过原点，直线y x =为函数()1y f x =+与在e 1x y =−唯一的公切线，选项B 正确.对于C ：设点(,)P x y 为函数()g x 图象上任意一点，则OP =≥，当且仅当x =等号成立，选项C 错误. 对于D ：令()()()()2ln 0F x f x x x x x x=+=++>，则()()()2222211221x x x x F x x x x x+−+−=′=+−=， 当(0,1)x ∈时，()0F x ′<，当(1,)x ∈+∞时，()0F x ′>，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故1x =是函数()F x 的极小值点，选项D 正确. 故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()1ln(2)f x x =−+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f −−处的切线方程为______． 【答案】0x y +=【详解】由题可知，()12f x x =−+′，()11f −=， 所以切线斜率()11k f =−=−′， 故切线方程为()110y x x y −=−+⇒+=. 故答案为：0x y +=13. 已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x+为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω+=+=+⋅为偶函数， 所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈， 当xx ∈(0,π)时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点， 所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522ω<≤，所以2ω=. 故答案为：214. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC 的布洛卡点，且PA =，则BC 的长为______．【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ∠=∠−=，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos 22BAC BAC ∠∠ 由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=， ππ11cos cos cos sin 2222BAC BAC BAC θ−∠==−∠=∠=，θ为锐角，则sin θ. 由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=−， 所以ABP BCP ，所以ABAP BP BC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PC θαθααθα===−−−−， 所以()sin sin BP PC θαα−=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα−==， 即()sin sin c a θαα−=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠−==−∠，，解得4tan 7α=，则α为锐角， 由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα==+=解得sin αα=， 在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+−=−×=，所以225,4b a b ==， 在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBACBAC ααα==∠−−∠−，=，解得a BC =.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份 12345违章驾驶人次125 105 100 90 80附：1221ni ii nii x y nx ybxnx==−=−∑∑ ， ay bx =− ，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++（其中n a b c d =+++）()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k2.0722.7063.8415.0246.635（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y 与月份x 之间的关系，求y 关于x 的回归方程y bxa =+ ，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：不礼让行人礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上2624能否据此判断有90%把握认为“礼让行人行为与驾龄有关?【答案】（1） 10.5131.5y x =−+；58 （2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可得1234535x++++=，12510510090801005y++++=，所以12211395150010.55545ni ii ni i x y nx ybx nx==−−===−−−∑∑ ，()100ˆˆ10.53131.5a y bx =−=−−×=， 所以所求的回归直线方程为 10.5131.5y x =−+； 令7x =，则 10.57131.558y =−×+=，即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为58人次. 【小问2详解】的零假设：礼让行人行为与驾龄无关，由表中数据可得()229024241626720.576 2.70640505040125K ××−×===<×××，根据小概率值0.1α=的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.16. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，225,3nnS a a n==− （1）求1a ，并证明212n n n a a a +++=（2）若()22nn a b nn =+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】（1）13a =，证明见解析 （2）()2221n n nT n +=+【解析】 【小问1详解】令1n =，1112323a S a =−=−， ∴13a =，因为23nn S a n=−， 所以23n n S na n −=，① 所以()112133n n S n a n ++−+=+，②②－①得()113n n na n a +−−=，③ 所以()1213n n n a na +++−=，④ ③－④得212n n n na na na +++=， 所以212n n n a a a +++=． 【小问2详解】由（1）知212n n n a a a +++=，则211n n n n a a a a +++−=−， 所以数列{}n a 等差数列，是又13a =，25,a =所以{}n a 的公差212d a a =−=， 所以()31221n a n n =+−×=+，所以()()()()2222222212111111nn a n n bn n n n n n nn++====−++ ++， 所以()()()2222222221111111211223111n n n T n n n n +=−+−++−=−=+++ . 17. 已知平面向量(,)m a b =，(sin ,cos )n x x ωω= ，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=； （2）π[,π]3【解析】 【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω= ，由2m n =，可得2=， 由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=， 因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=+=①②， 结合图象，由① 可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入② 式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=−+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<， 由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由20b a a ==>解得，1a b = = ，故a =1b =，2ω=； 【小问2详解】不妨记12,2x x y y ′′==，则,22x x y y ′′==， 因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ′′=+，即πsin()6y x ′′=+， 又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+. 由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈， 因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤. ()g x 在[0,π]上单调递减区间为π[,π]3.18. 已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ． （1）当24m n =时，求()f x 的最小值； （2）当2m =−时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+． 【答案】（1）0 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【小问1详解】的当24m n =时，22()()e 4xm f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m mx x ′=+++=++++，由()0f x ′>，可得22mx <−−或2m x >−，由()0f x ′<，可得222m m x −−<<−，即()f x 在(,2)2m −∞−−和(,)2m −+∞上单调递增；在(2,)22m m−−−上单调递减，x →−∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =−时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f −=. 【小问2详解】 当2m =−时，()2()2e x f x xx n =−+，函数的定义域为R ，()2(e 2)x x f x n =+−′，当2n ≥时，()0f x ′≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x ′=，可得x ，故当x <x >时，()0f x ′>；即()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增；当x <<()0f x ′<，即()f x 在(上单调递减. 综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x 在(,∞−和)∞+上单调递增,在(上单调递减. 【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >. 因e ()=x g x x ，2(1)e()xx g x x −′=，由()0g x ′<，可得01x <<，由()0g x ′>，可得1x >， 故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增, 则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =； 因3ln 1()x h x x +=，423ln ()x h x x−−′=，由()0h x ′=，可得23x e −=， 由()0h x ′<，可得23x e −>，由()0h x ′>，可得230x e −<<， 故()h x 在23(0,e )−上单调递增，在23(e ,)−+∞上单调递减，则()h x 在23x e −=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e 1e (e )h −−−==+. 因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证. 即0x ∀>，()ln 1f x x >+．19. 已知非零向量(,)a m n =，,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==−+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC 的边AB ，AC 为一边向ABC 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC⊥；（3）如图2，设(3,0)A −，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. （3）5. 【解析】 【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ===（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈）， 则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ−=−=+， cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即cRr a b ==×，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+. 故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(2ab =，则111,122((0,2)c a b ×+= ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a 的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==， 根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ==−※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ− ※，所以1()()()(,)222n q p m AG A AD E λλ−−=+= ， 而(,)BC AC AB p m q n =−=−−，所以1[()()()()]02AG BCp m n q q n p m λλ⋅=−−+−−= ，第16页/共16页故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+， ()ππ13cos ,sin 3,33222u v AC AB u v λ + ==+=※※，所以3(3,0)()22u v OC OA AC +=+=−++ ，所以OC =.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ=≤<，则OC = ， 当πsin 16θ +=，即π3θ=时，max 5OC = .。
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题
2024学年湖南省长沙市长郡湘府中学高三5月份综合模拟检测试题数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） AB ．2CD2．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．314．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．45．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为0.042y x a =+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月6．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．7．已知复数z 满足()()5z i i --=，则z =（ ） A ．6iB ．6i -C ．6-D ．68．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 9．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -11．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a bc-=（ ） A ．32B ．12C ．14D ．1812．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省金华市2024高三冲刺(高考数学)统编版(五四制)测试(综合卷)完整试卷
浙江省金华市2024高三冲刺（高考数学）统编版（五四制）测试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．第(2)题算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．第(3)题“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（）A．1275B．1276C．1270D．1280第(4)题（2015新课标全国Ⅰ文科）已知点，向量，则向量A．B．C．D．第(5)题《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积（弦矢+矢）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，且，半径等于的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（）A．B．C．D．第(6)题如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，），其中为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为，则点N的纵坐标为（）A．B．C．D．第(7)题如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为A．B．C．D．第(8)题已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，其中x和的部分值如下表所示，则下列说法正确的是（）x0A．B．C．D．第(2)题如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A．的最大值为B．的最小值为C．D．点与不重合时，平面平面第(3)题根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则（）A．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为B．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为C．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总㲅同比增速的分位数为D．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为______.第(2)题已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.第(3)题已知，，，则__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)已知函数在处的切线与圆相切，求实数的值.(2)已知时，恒成立，求实数的取值范围.第(2)题如图，某湖有一半径为1百米的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距2百米的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足，．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；OC的长为“最远直接监测距离”设．（1）求“直接监测覆盖区域”的面积的最大值；（2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大．第(3)题记S n为数列的前n项的和，已知，是公差为的等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，记数列的前n项和为Tn，试求除以3的余数．第(4)题如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，．(1)已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．第(5)题某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．(1)求甲获得冠军的概率．(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．。
高三数学期末综合测试(五)
高三数学期末综合测试(五)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A C xy x A R U U 则集合},11|{,-=== （ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{≥<x x x 或C ．}1|{≥x xD ．}0|{<x x2．已知向量n ⋅=+==||),,2(),1,1(若，则n= （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．33．有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“x=1”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题使得R x p ∈∃:012<++x x ，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有4．已知函数]4,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于（ ） A ．32 B ．23C ．2D ．35. 一个正三棱柱的主（正）视图是边长为则它的外接球的表面积等于 A. 8π B.253π C. 9π D.283π 6．设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③ 2>+abb a 。
上述三个式子恒成立的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．各项都是正数的等比数列}{n a 的公比1≠q ，且132,21,a a a 成等差数列，则5443a a a a ++的值 为（ ）A ．251- B ．215+ C ．215- D ．215+或215- 8．设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一个直角坐标系 中，不可能正确的是（ ）9．函数()sin()sin()36f x x a x ππ=++-的一条对称轴方程为：2x π= ，则a =A. 1B.C.2D.310．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有A. 12()()f x f x <B. 12()()f x f x >C. 12()()f x f x =D.不确定11．已知抛物线1)0(222222=->=by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．215+ B ．13+ C ．12+D ．2122+ 12．一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，甲、乙、丙三位同学在研究此函数时分别给出命题：甲：函数)1,1()(-的值域为x f ； 乙：若21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠；丙：若规定*||1)()),(()(),()(11N n x n xx f x f f x f x f x f n n n ∈+===-对任意则恒成立你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．用0.5mm 的中性笔答在答题纸相应的位置内。
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第一学期高三数学综合测试五（理科）（2016-11-20）一．选择题：每题5分，共60分1．已知集合{}80|≤<∈=x N x U ，{}5,4,3,2=A ，{}7,5,3=B ，则下列所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}7B ．{}4,2C ．{}8,6,1 D ．{}7,5,4,3,2 2．若复数()()ai i z -+=11是实数，则实数a 的值是（ ）A ．1± B ．1- C ．0 D ．13．设2.03=a ，1.131-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b ，2log 3=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c << 4．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若12>x ，则1>x ”的否命题为“若12>x ，则1≤x ” B ．“1-=x ”是“0322=--x x ”的必要不充分条件C ．命题“R x ∈∃，使得012<++x x ”的否定是“R x ∈∀，均有012<++x x ” D ．命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为真命题 5．等轴双曲线过点()1,2，则双曲线的焦点坐标为（ ） A ．()0,3± B ．()3,0± C ．()0,6± D ．()6,0±6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 7．若将函数()x x x f 2cos 2sin 3+=的图象上的各个点向左平移()0>n n 个单位长度，得到的图象关于y 轴对称，则n 的最小正数为（ ）A ．65π B ．6π C ．32πD ．3π8．函数()x x x f sin 2+=的部分图象可能是（ ）9．已知抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，圆M 的圆心在抛物线上且经过坐标原点O 和点F ，若圆M 的半径为3，则抛物线方程为（ ）A ．x y 42= B ．x y 62=C ．x y 82= D ．x y 162=10．已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0004x y x y x ，在此可行域中随机选取x ，y ，则22≤+y x 的概率为（ ）A ．41 B ．21 C ．31 D ．4311．已知等比数列{}n a 满足411=a ，()14453-=a a a ，则=2a （ ）A ．2B ．1C ．21D ．8112．已知球O 的半径为3，CD 为球的直径，A ，B 为球面上两点，且AB 长为23，则四面体ABCD 的体积是最大值为（ ）A ．8 B ．26 C ．9 D ．12 二．填空题：每题5分，共20分13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 ． 14．一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．15．ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，且1=AD ，则()AD AC AB ⋅+的值为 ．16．（理）5321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中8x 的系数是 ．（用数字作答） （文）定义运算“⊗”：xyy x y x 22-=⊗()0,,≠∈xy R y x ．当0>x ，0>y 时，()x y y x ⊗+⊗2的最小值为 ． 三．解答题：17~21每题12分，22题10分，共70分 17．设()⎪⎭⎫⎝⎛+-=4cos cos sin 2πx x x x f ． （1）求()x f 的单调区间；（2）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若02=⎪⎭⎫⎝⎛A f ，1=a ，求ABC ∆面积的最大值．18．（理）（15湖南理）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖．每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．（文）某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款（单位：元）[)50,0[)100,50[)150,100[)200,150[)+∞,200顾客人数m2030n10统计结果显示100位顾客中购物不低于100元的顾客共60位，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（1）试确定m ，n 的值，并据上述数据估计该商场每日应准备纪念品的数量；（2）若商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款一次购物款（单位：元）[)50,0[)100,50[)150,100[)200,150返利百分比6%8%10%若用各组购物款的中位数估计该组的购物款，请据上述数据估计该商场日均让利多少元？19．（理）如题图，三棱锥ABC P -中，⊥PC 平面ABC ，3=PC ，2π=∠ACB ，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且2==DE CD ，22==EB CE ．（1）证明：⊥DE 平面PCD ； （2）求二面角C PD A --的余弦值．（文）如图1，在ABCRt∆中，90=∠ABC，D为AC中点，BDAE⊥于E（不同于D），延长AE交BC于F，将ABD∆沿BD折起，得到三棱锥BCDA-1，如图2所示．（1）求证：FABD1⊥；（2）若图1中，2=AB，32=BC，图2中M是FC的中点，求点M到平面EFA1的距离．20．已知圆C：()8122=++yx，定点()0,1A，M为圆上一动点，线段MA的垂直平分线交MC于点N，设点N的轨迹为曲线E．（1）求曲线E方程；（2）若经过F()2,0的直线l交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足FHFG53=，求直线l的方程．21．已知函数()x emxxf=在点()()2,2f处的切线方程为()nxey+-=21．（1）求m，n的值；（2）过点⎪⎭⎫⎝⎛24,0eP作曲线()x fy=的切线，求证：这样的切线有两条．四．选考题：请考生在22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号22．选修4—1：几何证明选讲如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是圆O的割线，已知ABAC=．（1）证明：2ACAEAD=⋅；（2）证明：FG∥AC．23．选修4—4：坐标系与参数方程平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕϕsin2cosyax（ϕ为参数）()0>a．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相等的长度单位建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为：08sin3cos2=-+θρθρ．已知曲线1C与曲线2C的一个交点在x轴上．（1）求a的值及曲线1C的普通方程；（2）已知点A，B是极坐标方程αθ=，2παθ+=的两条射线与曲线1C的交点，求2211OBOA+的值．24．选修4—5：不等式选讲已知函数()2--=xmxf，+∈Rm，且()02≥+xf的解集为[]1,1-．（1）求m的值；（2）若a，b，c均为正数，且mcba=++31211，求证：932≥++cba．高三数学测试五参考答案13．6；14．4；15．2；16．（理）2；（文）2； 17．（1）增区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 4,4，减区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 43,4，Z k ∈；（2）432+； 18．（理）（1）107；（2）⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B X ，53=EX ；（文）（1）20=m ，20=n ，3000件；（2）52000；19．（理）（1）略；（2）63；（文）（1）略；（2）1； 20．（1）1222=+y x ；（2）22+±=x y 21．（1）1=m ，4-=n ；（2）略； 22．（1）略；（2）略23．（1）4=a ，141622=+y x ；（2）165； 24．（1）1=m ；（2）略；。