四年级奥数《数学整数与数列课件》
四年级奥数之整数与数列(一)
整数与数列（一）
本讲主线 1. 等差数列及常用求和公式. 2. 图形、数列中的公差
例如， 例 ，2、5、8、11、14、17 17、 14、 11、 8、 5、 2 和＝(首＋末)×项数÷2 2. 求和： 和
和＝中间项×项数
项数＝ 项数 (末项－首项 末项 首项)÷公差＋1
3. 关于求和：
⑴ 1＋2＋3＋…＋n＝(1＋n)×n÷2
⑵ 1＋3＋5＋7＋9…＝项数×项数 ⑶ 2＋4＋6＋8＋ …＋2n＝
【课前小练习】(★★) 1. 1、3、5、7、9、…97、99，这个数列一共有____项. 2. 4、7、10、13、16、19…这个数列的第25项是____. 3. 3 4 5 6 76 77 78=____
【超常大挑战】(★★★★★) 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 已知一串分数 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 11 求: 是这串分数的第几个分数？ 100
【今 讲题】例2，例3，例4，超常 【今日讲题】例 ，超常大挑战 挑战 【讲题心得】 ____________________________________________________________________. 【家长评价】 __________________________________________________________________. 2
【例5】(★★★) ⑴ 在1~100这一百个自然数中，所有能被3整除的数的和是多少？ ⑵ 在1~100这一百个自然数中，所有不能被 这 个自然数中 有 能被9整除的数的和是多少？ 整除的数的和是多少
四年级奥数难题第一讲 整数与数列
第一讲整数与数列1.计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+…+(502-12)=502×49-(492+482+472+ (12)=2500×49-49×50×99÷6=820752.计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。
每个乘积的2个数分别提取个2，2×2＝4，相等于提取4。
2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + … + 14×15）括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。
＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + … + 142+14）＝4×[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝44803.我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？1111155555＝1111100000 + 55555＝11111×100000+11111×5＝11111×（100000+5）＝11111×100005（因100005比11111大，想办法变小）＝11111×20001×5（先考虑是5的倍数）＝11111×6667×5×3（再看到20001是3个倍数）＝33333×33335找规律，方法如下：1个1，1个5，15＝3×52个1，2个5，1155＝33×353个1，3个5，111555＝333×335……n个1，n个5，11…155…55＝33…3×33…35(都是n位数)所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×333354. 47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。
整数与数列
等差数列⑴通项公式：末项=首项+(项数-1)⨯公差注：此公式常考变形：项数=(末项-首项)÷公差+1⑵求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2⑶中项定理：一个等差数列若有奇数项，则必有一个中间项这个中间项就是这串数的平均数；这个数列的和＝中间项×项数⑴3+4+5+6+…+76+77+78的和是( )⑵1、3、5、7…97、99中一共有( )项⑶4、7、10、13、16、19…这个数列中的第25项是( )⑷15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是( )⑸24个连续偶数的和是1992，其中最大的一个偶数是( )1. ( 10 分)2+3+…+100的和是多少？试题讲解：2+3+…+100=（2+100）×99÷2=50492. ( 10 分 )2，4，6，…100中一共有多少项？试题讲解：（100-2）÷2+1=50( 10 分 )3，8，13，18，…这个数列中第50项是多少？3.试题讲解： 3+（50-1）×5=2484. ( 10 分 )9个连续偶数的和是900，其中最大的偶数是试题讲解：中间项（第5项）等于：900÷9=100所以最大的偶数是：100+（9-5）×2=1085. ( 10 分 )10个连续奇数的和是1000，其中最大的一个奇数是试题讲解：首项与末项之和为：1000÷（10÷2）=200首项与末项之差为：2×9=18，所以其中最大的一个奇数是：（200+18）÷2=109一、等差数列及衍生1. (试题讲解：右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。
如果最大的三角形共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…。
问这列数第101个数是多少?例2例12.( 10 分 )按规律排列的一串数：2、5、9、14、20、27、…，这串数的第2008个数是多少？ 试题讲解： 第一项=2 ； 第二项=5=2+3； 第三项=9=2+3+4； 第四项=14=2+3+4+5； 第五项=20=2+3+4+5+6； ……第2008项=2+3+4+…+2009=20190443. ( 10 分 )计算（2+4+6+...+100）-（1+3+5+ (99)试题讲解： 原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+…（100-99）=1+1+1+…+1=504. ( 10 分 )计算：1+3+4+6+7+9+…+96+97+99+100试题讲解： 1+2+3+…+100 =（1+100）×100÷2=5050 （98-2）÷3+1=33 （2+98）×33÷2=1650 5050-1650=34001. ( 10 分 )计算：21×20-20×19+19×18-18×17+…+3×2-2×1 试题讲解： 原式=20×（21-19）+18×（19-17）+16×（17-15）+…+2×（3-1） =20×2+18×2+…+2×2 =（20+18+16+…+2）×2 =（20+2）×10÷2×2 =220计算：2004⨯2003-2003⨯2002+2002⨯2001－2001⨯2000+…+2⨯1＝____。
数列(共84张PPT)
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
学而思讲义四年级数学第一讲：整数与数列.pdf
第一讲 整数与数列一、复习等差数列1、通项公式:什么时候用？——知道首项和公差，求某一项 第n 项=首项+公差×（n-1）2、项数公式：什么时候用？——知道首项、末项及公差，求项数 项数=（末项-首项）÷公差+13、求和公式（高斯公式）：什么时候用？——任何一个等差数列求和和=（首项+末项）×项数÷2辅助记忆：装皮鞋4、中项公式：什么时候用？——对于容易找到中项的等差数列求和 和=中项×项数 注意：高斯公式与中项公式的联系高斯公式：和=（首项+末项）×项数÷2二、常用公式 1、从1开始连续奇数求和=项数2即：1 + 3 + 5 + 7 + … +（2n-1）= n 2图示：2、金字塔数列=中项2 即：1 + 2 + 3 + … +（n-1）+ n +（n-1）+ … + 3 + 2 + 1 = n 2图示：1 3 5 7 9四年级秋季班（七级下） 1.2 三、平方差公式：a 2 - b 2=（a+b）×（a-b）……两数平方差=两数和×两数差几何证明：a 2 -b 2表示的是图中大正方形减去黑色小正方形后的空白部分的面积，沿虚线将空白部分减成两部分再拼接起来，即为一个长方形的面积。
该长方形长为a+b，宽为a-b，面积为（a+b）×（a-b），得证。
特例: 两数相差为1，其平方差就是两数和372-362=（37+36）×（37-36）=37+36四、平方差公式拓展：（逆向思维）既然平方差=和×差，那么两个数相乘能否转化为平方差的形式呢？1、若两数的奇偶性相同，则这两数的乘积可化为平方差的形式。
如：41×3941=a+b，39=a-b ，利用和差公式即可算出a=40，b=1（a 即是41与39的平均数）所以 41×39=（40+1）×（40-1）=402-122、进而，若两数相差不大，且两数和为整十整百时，乘积改写为平方差可简化计算如：68×72=（70-2）×（70+2）=702-22=4900-4=4896五、自然数列的平方和公式12+22+32+…+n 2=n（n+1）（2n+1）÷6图示证明：a b 12 23 3 3 ……n n n …左边的正三角形即为自然数列的平方和，将其翻转两次得到右边的两个三角形数表。
全国通用四年级上册奥数培训精品课件等差数列求和共35张PPT
解：（1）第10项： （2）第98项：
2+3 ×（10-1）=29 2+3 ×（98-1）=293
例2 已知数列2、5、8、11、14、 17，......122,这个数列有多少项。
规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
等差数列的项数= 公差个数 + 1 =（末项-首项）÷公差 + 1
这个数列的项数= （122-2）÷3+1=41
小结：
等差数列项的有关规律
等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1） 等差数列的每1项除以它的公差，余数相同。 等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。 （1）它的第21项是多少? （2）这串数共有多少个？
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例2：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数： （276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
等差数列二
复习
1、计算
（1）7+10+13+16+...+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
【四年级】奥数知识数学整数与数列课件
例题（三）（★ ★ ）
在1∽100这一百个·自然数中，所有能被3整除的和是多少？
（2）
1～100的和：1+2+…+100=（1+100）×100÷2=5050 被9整除的数的和：9+18+27+…+99=594 所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456
知识链接
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数学奥赛起跑线四年级全套课件
练 例2、求首项是3，公差是5的等差数列的前 习 1999项的和。
首项=3， 末项=？？ 不知道，要先求! 总项数=1999， 公差=5 3,8,13,18,23,28，..... 解：第1项=3 第2项=3+(5×1)=8 第3项=3+(5×2)=13 第4项=3+(5×3)=18 第5项=3+(5×4)=23 第6项=3+(5×5)=28 ...... 第1999项=3+(5×1998)=9993
通过观察，我们可以发现上面的每一个数 列中，从第一项开始，后项与前项的差都相 等的，具有这样特征的数列称为等差数列， 这个差称为这个数列的公差。
数列问题
（三）求等差数列项的数量
例 已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多 少项。 分析：第2项比首项多1个公差， 第3项比首项多2个公差， 第4项比首项多3个公差……， 那第n项比首项多（n-1)个公差。 规律：末项比首项多的公差的个数，再加上1，就得到 这个数列的项数。
数列问题
小故事
一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚说完，一位小男孩立即写出了 答案。
1+2+3+4+......+98+99+100=?
老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱， 但当他发现全班唯一正确的答案属于那个男孩时，才大吃一惊。
而更使人吃惊的是男孩的算法......
（组合） （组合） （组合） （组合） （组合）
连续数列，求和公式： =（首项+末项）×（总项数÷2） =（1+10）×（10÷2） = 11×5=55
数列问题
小学四年级奥数竞赛班讲义 第15讲：整数与数列(二)
1
12＋22＋32＋…＋n2＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n ＝1＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋n＋n＋…＋n
【例5】(★★★) 已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 求：152＋162＋172＋…＋212
＝(2n＋1)×(1＋2＋3＋…＋n)÷3 ＝(2n＋1)×n×(n＋1)÷2÷3 ＝n(n＋1)(2n＋1)÷6
重要新闻 答疑交流QQ群： 群 132277927 温馨提示：申请时请提供登录时的 用户名邮箱
2
【例6】(★★★★) 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002
【大海点睛】
一、本讲知识 等差数列 通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差 项数公式：项数＝(末项－首项 末项 首项)÷公差＋1 求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2 拓展 拓展：一个等差数列若有奇数项， 个等差数列若有奇数项， 则这个数列的和＝中间项×项数 常见结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2 1＋2＋3＋…＋n＋…3＋2＋1＝ n2 常见公式 平方差公式：a2－b2＝(a－b)×(a＋b) 平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2 ＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 二、本讲经典例题 整数与数列(一)：例2，例3，例6 整数与数列(二)：例1，例3，例4，例6
【例1】(★★★) (22＋42＋62＋…＋1002)－(12＋32＋52＋…＋992)
整数与一个尽量大的实心方阵，结果还多出5棵树苗； 后来又运来18棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的 方阵最外层每边有________棵树。 棵树
【例3】⑴(★★★) 利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列 各题，让我们来试试 吧。 ⑴98×102 ⑵29×31
【例4】(★★★★) 计算： 20132－2012×2014
4.1.1数列的概念PPT课件(人教版)
【变式练习】
根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
；
.
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为
（2）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为 -1，2，-3，4，-5.
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001, 10 000-1，所以它的一个通项公式为
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴 含着“从特殊到一般”的思想．
6.已知数列{an}的通项公式 an＝(2(n－－11)n)((n2＋n＋1)1).
(1)写出它的第 10 项； (2)判断 2 是不是该数列中的项．
33
【解析】 (1) a10＝(－119)×10×2111＝31919.
解:（1）视察知，这个数列的前4项都是序号的 2倍加1，所以它的一个通项公式为
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23， 所以它的一个通项公式为
三、典例解析 例 1 根据下列数列 { an }的通项公式，写出数列的前 5 项， 并画出它们的图象．
1 an
n2 2
n；2 anຫໍສະໝຸດ ncos1 ．
3,4,5,6,7,8,9.
①
（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出
增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要根
据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发
展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值
（亿元）依次排列如下：
78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，
小学四年级奥数教程数列共15页
根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第 （n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有 （a＋b）种方法。
因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种 方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。 由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可 得出下面一串数列：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。 其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数 之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10 个，即89。
例1： 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或
2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶 可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有 2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去， 或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法 数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方 法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第 n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去， 或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。
到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？
本题和前例稍不同。因为限定了必须经过的点， 可将从A到B分为三段，每段都应重新编号。如右下 图所示，从A到C有3种走法，从C到D有4种走法，从 D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的 ，所以应该用乘法原理，不同 的路线共有
3×4×6＝72（条）。
Thank you
6.右上图是八间房子的示意图，相邻两间房子 都有门相通。从A点穿过房间到达B处，如果只能从 小号码房间走向大号码房间，那么共有多少种不同 的走法？
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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整数与数列
四年级 第11课
知识链接
一、等差数列 ⑴通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差 ⑵项数＝ (末项－首项) ÷公差＋1 ⑶求和公式：和 ＝(首项＋末项)×项数÷2 拓展：一个等差数列若有奇数项，则这个数列的和 ＝中间项×项数
⑷常见结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
1+2+3+…+n+…3+2+1=n2
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例题一（★★）
下面的这个题 ， 你有什么好办法呢？(1＋3＋5＋…＋1997＋1999)－(2＋4 ＋6＋…＋1996＋1998)
方法二： 原式=1+（3-2）+（5-4）+…+（1999）-1998）
=1+1+1+…+1=1000
1000个1
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（1）等差列高频考点：求和计算 （2）多想少算——观察训练
计算：12－22＋32－42 ＋ 52－62 ＋ 72－82 ＋ 92－102 ＋ 112
原式= 12+（32＋22)+(52 – 42)+(72 – 62)+…(102 - 112） =1+(3+2)×（3-2）+（5-4）+…+（11+10）×（11-10） =1+2+3+4+…+9+10+11 =66
求100以内除以3余2的所有数的和。
2+5+8+11+…+98=1650
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位值原理 ——方位计算
例题（四）（★ ★ ★ ）
47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？
由于1+3+5+…+（2n-1）=n2 442=1936,452=2025，
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（1）最值思想——极端化思想 （2）常见平方数牢记：1～20 12和21,33和99 44和45
例题（二）（★ ★ ★ ）
30名同学按照身高由低到高排成一队，相邻两个同学的身高差都相同， 前10名同学的 身高和是1450厘米，前20名同学的身高和是3030厘米，那么这30名同学的身高和是
厘米。
将30名同学分成3组，11——10为第一组，11——20为第二 组，21——30为第三组的身高之和也是等列。第一组的值是 1450（厘米）第二组是值是3030-1450=1580（厘米） 则前30名同学身高的和为1580×3=4740（厘米）
例题（三）（★ ★ ）
在1∽100这一百个·自然数中，所有能被3整除的和是多少？
（2）
1～100的和：1+2+…+100=（1+100）×100÷2=5050 被9整除的数的和：9+18+27+…+99=594 所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456
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减法含义应用——拿走
例题（三）（★ ★ ★ ）
知识链接
同级算——调换顺序
以下赠品教育通用模板
前言
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例题（六）（★ ★ ★ ★ ）
计算：20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1
原式=202-192+182+172+…+22-12 =（20+19）×（20-19）+（18+17）×（18-17）
+…（2+1）×（2-1） =20+19+18+17+…+2+1 =210
例题六（★ ★ ★ ）