伯努利试验的推广及应用

伯努利试验的推广及应用

摘要伯努利（Bernoulli）试验作为一类典型的概率模型，可以引申拓展得到多种广泛应用的概率分布模型.文章介绍了由伯努利概型拓展推广得到的两点分布，二项分布，几何分布，多项分布以及帕斯卡分布等重要分布，并介绍了这些重要分布在生产实际中的简单应用.

关键字伯努利试验；两点分布；二项分布；几何分布；多项分布；帕斯卡分布；应用

伯努利（Bernoulli）试验作为史上最早被研究的概率模型之一，它从本质上反映一类试验：具有“二值”属性的随机试验.伯努利试验的应用十分广泛，在企业产品的质量控制管理与检测，金融行业的风险预测与控制，以及生物学上的群体遗传等方面都具有尤为突出的理论地位.

若在一次随机试验中，试验的结果只有两种“成功”或者“失败”，为方便描述记为基本事件和，且，则随机试验称为伯努利试验.

1伯努利试验推广的概率分布

重伯努利试验：伯努利试验在相同条件下独立重复地进行次，即进行随机试验其中试验代表一次伯努利试验，而且任意两次试验的结果相互之间不干扰，在每次子试验中事件发生的概率不变为，则试验称为重伯努利试验.

推广的伯努利试验：在一次随机试验中，试验有种不同的两两互斥的结果，试验结果为的概率为且，则称随机试验为推广的伯努利试验.

广义重伯努利试验：随机试验需要进行次重复的伯努利试验，即随机试验，其中试验指一次伯努利试验，试验的结果由基本事件和组成，在第次伯努利试验中事件发生的概率为不发生的概率为，且，当事件发生的概率与试验序数有关时，则称随机试验为广义重伯努利试验.

由伯努利试验、重伯努利试验以及推广的伯努利试验和广义重伯努利试验不难拓展推广得到以下的概率分布.

1.1两点分布

两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。为方便随机事件发生概率的描述，在一次伯努利试验中引入随机变量，伯努利试验的结果由和组成，定义随机变量：且.只进行一次伯努利试验的随机试验满足的分布称为两点分布，即，其中.两点分布又称为伯努利分布和分布.

1.2二项分布

二项分布来源于重伯努利试验，每次伯努利试验的结果由对立事件和构成，且重伯努利试验中每次试验的进行都互不影响，是重复且独立的关系.事件在每次试验中发生的概率为一常数，随机变量为重伯努利试验中事件发生次数，则重伯努利试验中事件发生次数为的概率为

容易验证：，因此重伯努利试验的概率分布称为二项分布.

谈到二项分布，必然涉及到重伯努利试验，于是也必然联想到广义的重伯努利试验，那么广义重伯努利试验对应的概率分布如何呢？假设随机事件中也发生了次独立的伯努利试验，只是每次伯努利试验中事件发生的概率与试验序数密切相关.记事件发生对应的伯努利试验序号组成的集合为，则集合，若还表示广义重伯努利试验中事件发生的次数，则广义重伯努利试验中随机变量满足的概率分布为：

，其中表示集合中元素的数量，.容易验证广义重伯努利试验对应的概率为多项式中的系数.

1.3几何分布

几何分布也是由重伯努利试验推广而来，它本质上来讲可以视为二项分布的一种特例，相比二项分布特殊在于试验次数不受限制可以取任意正整数，而且几何分布的试验结果是进行次伯努利试验时事件首次发生.

进行独立重复的伯努利试验，每次伯努利试验中事件发生的概率为，记随机变量为事件首次发生时需要进行的伯努利试验次数，于是满足概率分布：，则称服从参数为的几何分布，记为.

1.4多项分布

多项分布来源于推广的伯努利试验，独立重复地进行次推广的伯努利试验，设伯努利试验结果为的概率为，事件发生的次数为，则事件发生次，事件发生次，……，事件发生次的概率为：

其中，，因为恰好是多项式的一般式，即，所以该概率分布称为参数为的多项分布.

多项分布是具有个独立参数的维随机变量的概率分布，因为满足关系：.多项分布与二项分布关系密切，参数为的多项分布，其一维边缘分布是参数为的二项分布.

1.5帕斯卡分布

帕斯卡分布同样来自重伯努利试验的推广.进行独立重复的伯努利试验，设

每次伯努利试验中事件发生的概率为，记随机变量为事件发生次需要进行伯努利试验的次数，则随机变量满足如下的概率分布：

，其中.

分析帕斯卡分布可以知道：若记直到事件发生次需要进行次独立重复伯努利试验为事件，重伯努利试验中事件发生次为事件，第次伯努利试验事件发生为事件，则容易验证.即帕斯卡分布描述的是由一次特殊的重伯努利试验（事件发生次）和一次事件发生的单独伯努利试验组成的积事件.

2 伯努利试验推广的概率分布的实际应用

2.1广义重伯努利试验的应用

由于广义重伯努利试验在每次进行的伯努利试验中，同一事件发生的概率随着试验次数的不同而发生改变，与实际生活中传染病的传播性质十分类似，所以在医学传染病传播的最初研究中得到了应用.在传染病的蔓延过程中，每一个患病者往往会产生新的病菌，进而增大疾病进一步蔓延的机会，类似地每一个不带菌者也会增加其他人群不被传染的机会，针对这一现象法国数学家卜里耶提出了著名的“卜里耶坛子模型”.

例（卜里耶坛子模型）假设坛子中最初含有个黑球和个红球，进行次抽球试验，每次抽球完成之后将球放回，并向坛子中增加个与该次抽球实验结果颜色相同的球，是一个整数，当为负数时意味着从坛中取出个球.问进行3次试验时出现两个黑球和一个红球，但结果为{黑，红，黑}和{红，黑，黑}的概率是否一样呢？推广而言，次抽球试验结果为个黑球，个红球的任意指定颜色序列其概率，是否会随抽球结果颜色序列指定的不同而改变？