专升本试题及解答

)2⨯2=e2。

与直线⎨y=t的夹角为（A）

⎪z=-2t+3

（A）

π

。

解析：由参数方程⎨y=t得对称式方程：

⎪z=-2t+3

4、设I=

⎰x3f(x2)dx(a>0)，则（D）

xf(x)dx（B）I=⎰a xf(x)dx（C）I=⎰xf(x)dx（D）I=1⎰a xf(x)dx

解析：I=⎰

2015年四川理工学院专升本《高等数学》考试题（理工类）

一、选择题（每题3分，共15分）

1、极限lim(

x→∞x+3

x+1

)x+1=（D）

（A）1（B）e（C）∞（D）e2【知识点】第二个重要极限。

解析：lim(

x→∞x+3

x+1

)x+1=lim(1+

x→∞

2x+1

x+1

2、函数f(x)=x在x=0处（D）

（A）f'(0)=1（B）f'(0)=-1（C）f'(0)=±1（D）f'(0)不存在【知识点】导数的定义。

解析：f'(0)=lim

∆x→0∆x

∆x

⎧1,∆x>0

=⎨

⎩-1,∆x<0

，即f'(0)不存在。

3、直线

⎧x=t+6

x-1y-5z+8⎪

==

1-21

⎩

πππ（B）（C）（D）

3462【知识点】直线间的夹角公式（方向向量的夹角）

⎧x=t+6⎪

⎩x-6y z-3

==

11-2；

于是，cosθ=

1-2-2

1+4+1⋅1+1+4

=

1π

，即θ=。

23

a

0（A）I=⎰a

2

1

a2 02020

【知识点】凑微分法。

a 0x3f(x2)dx=

1⎰a x2f(x2)dx2=1⎰a tf(t)d t

。

2020

⎰dy⎰

⎰dx⎰

⎰dx⎰f(x,y)dy（D）⎰dx⎰

⎰dx⎰

⎧-1≤2x≤1⎪-≤x≤

解析：定义域为：⎨2。

⎩

⎪⎩0

【

8、判定级数∑

解析：lim u

n+1=lim

【

5、设f(x,y)连续，交换二次积分1

00

1-y f(x,y)dx的次序是（C）

（A）11-x

0f(x,y)dy（B）⎰

1-y dx⎰1f(x,y)dy

（C）11-x211+x2f(x,y)dy 0000

【知识点】交换二次积分次序。

解析：新积分区域D:0≤x≤1;0≤y≤1-x2，所以，I=二、填空题：（每题3分，共15分）11-x2

f(x,y)dy。

6、函数z=

arcsin2x

ln(1-x2-y2)的定义域是。【D={(x,y)0

11

≤x≤}】

22

【知识点】二元函数的定义域。

⎧11

0<1-x2-y2≠1

7、⎰e x+1dx=。2(x+1-1)e x+1+c】

【知识点】换元法、分部积分法。

解析：令x+1=t，dx=2tdt。

于是，⎰e x+1dx=

⎰2te t d t=2(t-1)e t+c=2(x+1-1)e x+1+c。

∞n=1

1

n+n!收敛还是发散，答：；【收敛】

【知识点】比值审敛法。

n+n!n(1+(n-1)!)

=lim=0<1。

n→∞u n→∞(n+1)+(n+1)n!n→∞(n+1)(1+n!)

n

9、微分方程xydx+(x2+1)dy=0的通解。【y=

c

x2+1

【知识点】可分离变量微分方程。

】

解析：⎰dy=-⎰

y

x1

dx⇒ln y=-ln(x2+1)+c⇒y=

x2+12

c

x2+1

。

10、曲面x2+2y2+3z2=36在点(1,2,3)处的切平面。(x-1)+4(y-2)+9(z-3)=0】

sin 2 x + 1 - 1

12、已知函数 y = f ( x ) 由方程 ⎨ 确定，求 ⎩ y = a sin 3 t

x →0

【知识点】曲面的切平面方程。

解析：令 F ( x , y , z) = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 - 36 ， F ' = 2 x ， F ' = 4 y ， F ' = 6 z ；

x

y z

r

过点 (1,2,3) 的切平面方程的法向量 n = {2,8,18}，

故，切平面方程为： 2( x - 1) + 8( y - 2) + 18( z - 3) = 0 ，即 x + 4 y + 9 z = 36 。

三、解答题（每小题 8 分，共 56 分）

11、求极限 lim x →0

sin 2 x + 1 - 1

x

。

【知识点】等价替换。

1

sin 2 x

解析： lim = lim 2 = 1 。

x →0 x x

⎧ x = a cos 3 t d 2 y

dx 2

【知识点】参数方程的二阶导数。

。

解析： dy dx = - tan t ， d 2 y - sec 2 t 1

= = dx 2 -3a cos 2 t sin t 3a cos 4 t sin t

。

13、由元素法的思想写出：由 X 型区域 0 ≤ a ≤ x ≤ b ， 0 ≤ y ≤ f ( x ) 绕 y 轴旋转的旋转体

的体积公式，然后计算由 y = sin x ， 0 ≤ x ≤ π 与 x 轴所围成图形绕 y 轴旋转的体积。

【知识点】元素法（微元法）。

解析：在区间[a, b ] 任取小区间 [ x , x + dx] ，面积元素 d A = f ( x )dx ，

而 dA 绕 y 轴旋转而成圆环（周长 2π x ），其体积元素 dV = 2π xf ( x )dx ；（展开为长方体）

于是，平面图形绕 y 轴旋转而成立体的体积为：V = ⎰

b 2π xf ( x )dx = 2π ⎰ b xf ( x )dx 。

a

a

由此公式得：V = 2π

y

⎰ π x sin xdx = 2π [- x cos x + sin x]π = 2π

2 。

∂ 2z

14、设 z = f ( x , xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 。

∂x ∂y

【知识点】二阶偏导数（抽象函数）。