《统计学》第8讲 参数估计 (1)

注：纵坐标为不同取值的概率值，可由频数 分布表计算得到
0.40 0.35
0.05
50000 51000 52000 53000 54000
0.30
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
13
0.30
p的 分 布
s的 分 布
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.32 0.48 0.64 0.80
P( ˆ )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量
ˆ
31
• 正是因为样本均值与样本方差满足无偏性、
有效性和一致性的性质，因此是统计推断中 常用的估计量。
32
区间估计 (interval estimate)
• 点估计给不出估计的把握程度和准确程度的
高低，这是点估计的固有缺陷。
• 本统计量（ˆ ）的值直接作为对应总 体参数（ ）的估计值。与之对应为区间估计。 理论依据：尽管没有总体的分布状态，但是样本均 值是近似服从正态分布随机变量的一个取值，而且 以总体均值为数学期望。
f (x)

x
样本均值服从以总体均值为数学期望的正态分布
25
点估计说明
• 1 、待估计的总体参数用θ表示，用来估计总体参
1.某军工厂某月份生产了100000发炮弹， 现要求检查这批炮弹的质量水平。 抽样用于破坏性、消耗性试验的情况 2.某市农调队要了解全市玉米产量的准确 数据。 抽样用于不必要进行全面调查的情况 3.环保部门要调查某条河及其支流中鱼的 数量。 抽样用于对无限总体的调查 4.人口普查时要核对数据的准确程度。 抽样用于校验全面调查数据的准确性
这就是中心极限定理(central limit theorem),统计学存在 的基础！没有中心极限定理，统计学几乎不再存在！其重要 性比肩牛顿三大定律。 x
n
当样本容量足够 大时(n 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
一个任意分 布的总体
x
x
x 的分布趋 于正态分布 的过程
中心极限定理
设 任 意 总 体 均 值 为 μ， 总 体 方 差 为 δ， 则有:
2
1 1 E x E xi E xi n i 1 n i 1

n
n
中心极限定理
设 任 意 总 体 均 值 为 μ， 总 体 方 差 为 δ， 则有:
2
1 1 D x D xi 2 n i 1 n
2600
3400
4200
5000
样本均值的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均值 的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布 3. 推断总体均值的理论基础
14
样本均值与总体参数的关系
1. 当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所 有容量为n 的样本的均值 x 也服从正态分布， x 的 数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
无偏性（unbiasedness）
E x E p P
___
E s
2

2 n
2
注意：样本方差的计算公式为n-1
注意E s

2
28
有效性：同一总体参数的两个无偏点估计 量，方差较小的估计量更有效。
P( )
的抽样分布
B A
D 1 D 2
反复多次进行抽样，由此，样本统计量 变为随机变量，研究随机变量分布特征， 进而推断出总体参数的取值。
11
第8讲（续）
12
抽样分布
0.30
0.25
0.20 0.15 0.10
x 的分布
1000 名公司员工总体， 500 个容 量为30的简单随机样本的平均年薪、 大学毕业生比率、年薪标准差的分 布直方图。
25袋食品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 101.0 107.5 123.5 95.4 103.0 95.0 102.0 97.8 102.0 108.8 101.6 108.6 100.5 115.6 102.2 105.0
136.8
102.8
101.5
98.4
93.3
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96（请记 住），教材p299，查表。根据样本数据计算得： x 1 0 5 .3 6 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
的抽样分布
29
有效性（effectiveness）
自正态总体抽样时，总体均值与总体中位数 相同，而中位数的标准差大约比均值的标准 差大25%。因此，样本均值更有效
x的抽样分布
M e的 抽 样 分 布
____
30
__
X
一致性：随着样本容量的增大，估计量 的值越来越接近被估计的总体参数 无偏性不依赖样本量大小，方差却与样 本容量的大小成反比。
x z
2
n
问题与思考：x 已经服从为正态分布了，求出L和D即可 ，为什么还要多此一举，先变为标准正态分布进行区 间估计？ x
•
/2
1–
z
x
L

/2
n
~ N ( 0 ,1)
x
U
x
• 标准正态分布的不同取值概率都是常用的，
可以通过概率分布表快速查表得到，方便计 算 • 否则，根据概率密度函数进行积分运算求解 是复杂的过程
抽样分布的概念
1. 样本统计量作为随机变量的概率分布
在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能 取值形成的相对频数分布。 样本均值， 样本比例，样本方差等
2. 随机变量是样本统计量

3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 样本统计量的整体频数分布明显具有向总体参数集 中的趋势，这是进行统计推断的理论基础
信区间 2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的 总体参数，所以给它取名为置信区间 3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区 间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含 总体参数的真值
• 我们只能是希望这个区间是包含总体参数真值的区间中
的一个，但它也可能不包含参数真值
置信水平
置信区间包含总体参数真值的次数所占的比 率称为置信水平，表示为 (1 -
9
抽样分布的形成过程 (sampling distribution)
确定性
随机性
随机抽样 总 体 样 本 计算
随机性 统计量 （
p
）
可 计 算
理 论 上
确 总体参数 定 性 （ XP ）
样本统计量做为随 机变量，具有特定 的概率分布 把握住他们的分布 规律就找到了推断 总体参数的依据

理解抽样分布的关键
数的统计量成为估计量，用 ˆ 表示
• 2 、一个总体参数往往有多个备选的估计量，如样
本中位数也是总体均值的一个估计量
• 3 、样本均值估计总体均值，样本方差估计总体方
差并非是顺理成章的事情
• 4、点估计估计量优劣标准：无偏、有效、一致
26
无偏性（unbiasedness）
无偏性：估计量的数学期望等于所估计的总体参数
第8讲
参数估计
参数估计——非常非常重要！
• 1、统计学学习的核心内容！！！
统计方法
描述统计 推断统计
参数估计
2
假设检验
• 2、期末考试必考！！！
• 3、考研必考！！！
3
抽样分布
点估计
区间估计
4
抽样分布
抽样分布的含义 样本均值的抽样分布 样本比率的抽样分布
样本方差的抽样分布
5
抽样分布—为什么进行抽样？
33
区间估计 (interval estimate)

在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围， 该区间由样本统计量加减抽样误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数 的接近程度给出一个概率度量

• 比如，全校学生每天上网时间在2.78～3.86小时之间，置
信水平是95%
7
不像其他科学，统计从来不打算使 自己完美无缺，统计意味着你永远 不需要确定无疑。 Gudmund R.Iversen
8
总体参数和样本统计量
总体指标符号 总体容量： N 总体平均数： 总体成数： P 总体方差： 2 总体标准差： 样本指标符号 样本容量： n 样本平均数： x 样本成数： p 样本方差： s 2 样本标准差： s
__ __ P x Z x Z 1 2 2 n n
显著性水平α下， μ在1- α置信水 平下的置信区间
43
σ __ σ __ , x Zα x Zα2 2 n n
教材例题讲解
一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行 监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否 符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测 得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布 ，且总体标准差为 10g 。试估计该批产品平均重量的置信区 间，置信水平为95%
是总体参数未在区间内的比率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
/2
x
1–
/2
x
(1 - ) % 区间包含了
x
% 的区间未包含
置信区间一定为对称形式吗？
/2
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限