离散数学题库

离散数学试题1
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.下列句子为命题的是( ) A.走，看电影去
B.x+y>0
C.空集是任意集合的真子集
D.你明天能来吗?
2.下列式子不是．．谓词合式公式的是( ) A.(∀x)(P(x)→(∃x)(Q(x) ∧A(x ，y))) B.(∀x)∧(∃y)∨P(x ，y) C.(∀x)P(x)→R(y)
D.(∃x)P(x)∧Q(y ，z)
3.下列式子为重言式的是( ) A.P →P ∨Q B.(﹁P ∧Q)∧(P ∨﹁Q) C.﹁ (P Q)
D.(P ∨Q) (P →Q) 4.设个体域为实数集，特定元素a=0，函数f(x ，y)=x-y ，特定谓词F(x ，y)为x<y ，下列公式真值为真的是( )
A.(∀x)(∀y)F(x ，f(f(x ，y)，y))
B.(∀x)(∀y)(﹁F(f(x ，y)，x))
C.(∀x)(∀y)(∀z)(F(x ，y)→F(f(x ，z)，f(y ，z)))
D.(∀x)F(f(a ，x)，a)
5.对于公式(∀x)(∀y)P(x ，y)∨Q(x ，z)∧(∃x)P(x ，y)，下列说法正确的是( ) A.x 是自由变元
B.x 是约束变元
C.( ∀x)的辖域是P(x ，y)∨Q(x ，z)
D.(∀x)的辖域是P(x ，y)
6.设论域为{1，2}，与公式(∀x)﹁A(X)等价的是( ) A. ﹁A(1) ∨﹁A(2) B. ﹁A(1)→﹁(A2) C. ﹁A(1) ∧﹁A(2)
D. A(1) →A(2)
7.设Z +是正整数集，f ：Z +×Z +→Z +，f(n ，m)=n m ，则f( ) A.仅是单射 B.仅是满射 C.是双射
D.不是函数
8.下列哪个关系矩阵所对应的关系具有自反性( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001111101 B.⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110001 C.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D.⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101
10.在整数集上，下面哪个运算不是
．．二元运算( )
A.加法
B.减法
C.乘法
D.除法
11.设A是奇数集合，×为乘法运算，则<A，×>是( )
A.半群
B.群
C.循环群
D.交换群
12.下面不满足
．．．结合律的运算是( )
A.a*b=min(a，b)
B.a*b=max(a，b)
C.a*b=2(a+b)
D.a*b=2ab
13.右图的最小入度是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
14.下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是( )
15.一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的都是1度，那么它的边数是( )
A.17
B.18
C.19
D.20
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16.设命题变元为P，Q，R，则小项m100=________，大项M010=________。

18.一个公式，如果量词均在全式的________，其作用域延伸到整个公式的________，则该公式称为前束范
式。

19.请用联结词﹁，∧表示联结词∨和联结词：________，________。

20.设A={l，2，3，4}，A上的二元关系R={<1，2>，<3，4>，<4，3>}，S={<l，3>，<3，4>，<4，1>}，则R⋂～S=________，(R⋃S)-1=________。

21.代数系统<A，*， >是整环，则<A，*>是________，<A， >是________，且无零因子。

22.在实数集R上定义运算a b=a+b+ab，则幺元为________，元素2的逆元为________。

23.若回路中，除________外________各不相同，则此回路称为圈(或初级回路)。

24.偶图记为K n,m那么当________时，K n,m是平面图，当________时，K n,m是非平面图。

25.若图中存在________，它经过图中所有的边恰好________次，则称该图为欧拉图。

三、计算题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
26.用等值演算求(P→Q)→R的主合取范式。

27.列出(P→(Q∨R)) (P→Q)的真值表。

28．设A={a,b,c,d}，R={<a，b>，<a，d>，<b，c>，<c，a>，<d，a>}，求R的传递闭包。

29.设A={2，3，6，12，24，36}，请画出A上整除关系的哈斯图，并给出子集{6，12，24，36}的下界、
下确界、极大元、最大元。

31.用矩阵的方法求右图中结点u2，u5之间长为2的路径的数目。

四、证明题(本大题共3小题，第32小题8分，第33、34小题各6分，共20分)
32.用推理方法证明：P∨Q，P→R，Q→S├R∨S。

33.设A={<a，b>|a，b∈Z+，Z+为整数集}，A上的关系R={<<a，b>,<c，d>>|ad=bc}，证明R是等价关系。

五、综合应用题（本大题共2小题，第35小题6分，第36小题9分，共15分）
35．符号化下面命题，并构造推理证明：人是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。

36．设H是G的有限子集，则<H， >是群<G， >的子群当且仅当<H， >是群<G， >的子代数。

离散数学试题2
一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均不得分。

1.下列句子为命题的是( )
A.全体起立!
B.x=0
C.我在说谎
D.张三生于1886年的春天
2.下列式子不是
．．谓词合式公式的是( )
A.)
Q
x
z
y
z
x
→
∀
∨
x∃
P
R
(z
(
))
)
(
,
,
(
)(
(
,
)
x
B. )
y
x
Q
x
x
z
P
y
,
∀
∨
∧
x∃
P
∀
)
,
(
)
x
(
(
)(
(y
)
(
,
)
C. ))
P
x
x
x∨
Q
x
⇔
P
∀
→
∀
⌝
))
)(
(
(
)
(
(
)
Q
(x
)
(
x
D. ),()()(z y Q x P x ∧∃
3.下列式子为矛盾式的是( ) A.P P ⌝∧ B.)(Q P P ∧∨
C.P P ⌝∨
D.)(Q P ∨⌝ Q P ⌝∧⌝
4.设给定赋值N 如下：个体域为自然数集；特定元素a =0；特定函数f (x ,y )=x+y,g (x ,y )=xy ；特定谓词F (x ,y )为x =y 。

在赋值N 下，下列公式为真的是( ) A. )),,(()(x a x g F x ∀
B. ))),,(()),,(()()((x a y f F y a x f F y x →∀∀
C. )),,(())()((z y x f F z y x ∀∀∀
D. )),(),,(())((y x g y x f F y x ∀∀
5.对于公式),()()),(),()((z x R z z x Q y x P x ∃∨→∀，下列说法正确的是( ) A.y 是自由变元 B.x 是约束变元
C. )(x ∀的辖域是),()()),(),((z x R z z x Q y x P ∃∨→
D. )(x ∀的辖域是P (x ,y )
6.设论域为{l ，2}，与公式)()(x A x ∃等价的是( ) A.A (1)∨A (2) B. A (1)→A (2) C.A (1)
D. A (2)→A (1)
7.设Z +是正整数集合，f :Z +→Z +，f (n )=2n -2,则f ( ) A.仅是单射 B.仅是满射 C.是双射
D.不是函数
8.下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001110101
B. ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110001
C. ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001100100
D. ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001010101
10.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( ) A.<A ，+> B.<A ，-> C.<A ，×>
D.<A ，÷>
11.设A 是整数集，下列说法正确的是( ) A.<A ，+>有零元 B.<A ，÷>有零元 C.<A ，+>有幺元
D.<A ，÷>有幺元
12.下列说法不正确．．．
的是(
)
A.在实数集上，乘法对加法是可分配的
B.在实数集上，加法对乘法是可分配的
C.在某集合的幂集上，∪对∩是可分配的
D.在某集合的幂集上，∩对∪是可分配的 13.右图的最大入度是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
14.下列可一笔画成的图形是( )
15.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是 ( ) A.13 B.14 C.16
D.17
二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均不得分。

16.请写出表示分配律的两个命题公式等价定理________,________。

17.n 个命题变元的________称为大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须________。

19.请用联结词⌝，∨表示联结词∧和联结词→：________，________。

20.设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。

21.给出A ={l ，2}上的一个等价关系________，并给出其对应的划分________。

22.设A ={l ，2，3，4}，A 上的二元关系R ={<1，2>，<2，3>，<3，2>}，S ={<l ，3>，<2，3>，<4，3>}，则R ∩S =________，(R —S )-1=________。

23.代数系统<A ，+，。

>是域，则________和________都是交换群。

24.若图中存在________，它经过图中所有的________，则称该图为汉密尔顿图。

25.n 点完全图记为K n ，那么当________时，K n 是平面图，当_____时，K n 是非平面图。

三、计算题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 26.列出)(P Q → ))((Q R P →∨的真值表。

27.用等值演算求→P (Q R )的主析取范式。

28.设A ={1,2,3,4}，给定A 上的二元关系R ={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R 的传递闭包。

31.用矩阵的方法求右图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目。

四、证明题(本大题共3小题，第32小题8分，第33、34小题各6分，共20分) 32.用推理方法证明：
)(,,,S P R R Q Q P ∧⌝⌝⌝∨⌝→ S ⌝。

33.设H 是G 的非空子集，则<H ，·>是群<G ，·>的子群当且仅当对任意a ,b ∈H 有a ·b -1∈H 。

34．证明整数集Z 上的大于等于关系“≥”是一个偏序关系。

五、综合应用题(本大题共2小题，第35小题6分，第36小题9分，共15分) 35．将下面命题符号化，并构造推理证明：
所有有理数是实数，有些有理数是整数，所以有些实数是整数。

36．某城市拟在六个区之间架设有线电话网，其网点间的距离如下列有权矩阵给出，请绘出有权图，给出架设线路的最优方案，并计算线路的总长度。

⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡00
6105000
708967
03
2100304058040
1092010
离散数学试题3
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列句子不是．．命题的是（ ） A ．中华人民共和国的首都是北京 B ．张三是学生 C ．雪是黑色的
D ．太好了！
2．下列式子不是．．谓词合式公式的是（ ） A ．（∀x ）P (x )→R (y )
B ．(∀x ) ┐P （x ）⇒(∀x )(P (x )→Q (x ))
C ．(∀x )(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x )
D ．(∀x )(P (x ,y )→Q (x ,z ))∨(∃z )R (x ,z ) 3．下列式子为重言式的是（ ） A ．(┐P ∧R )→Q B ．P ∨Q ∧R →┐R C ．P ∨(P ∧Q )
D ．(┐P ∨Q )⇔(P →Q )
4．在指定的解释下，下列公式为真的是（ ） A ．(∀x )(P (x )∨Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域:{1,2} B ．(∃x )(P (x )∧Q (x )),P (x ):x =1,Q (x ):x =2,论域: {1,2} C ．(∃x )(P (x ) →Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4} D ．(∀x )(P (x )→Q (x )),P (x ):x >2,Q (x ):x =0,论域:{3,4}
5．对于公式(∀x ) (∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )，下列说法正确的是（ ） A ．y 是自由变元 B ．y 是约束变元
C ．(∃x )的辖域是R(x , y )
D ．(∀x )的辖域是(∃y )(P (x )∧Q (y ))→(∃x )R (x ,y )
6．设论域为{1,2}，与公式(∀x )A (x )等价的是（ ） A ．A (1)∨A (2) B ．A (1)→A (2) C ．A (1)∧A (2)
D ．A (2)→A (1)
7．设Z +是正整数集，R 是实数集，f :Z +→R , f (n )=log 2n ,则f （ ） A ．仅是单射 B ．仅是满射 C ．是双射
D ．不是函数
8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（ ） A ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001110101
B ．⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡101110001
C ．⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001100100
D ．⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡001010101
10．下列运算不满足．．．交换律的是（ ） A ．a *b =a+2b B ．a *b =min(a ,b ) C ．a *b =|a -b |
D ．a *b =2ab
11．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（ ） A ．<A ,+>是群 B ．<A ,×>是群
C ．<A ,÷>是群
D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群
12．设*是集合A 上的二元运算，下列说法正确的是（ ） A ．在A 中有关于运算*的左幺元一定有右幺元 B ．在A 中有关于运算*的左右幺元一定有幺元
C．在A中有关于运算*的左右幺元，它们不一定相同
D．在A中有关于运算*的幺元不一定有左右幺元
13．题13图的最大出度是（）
A．0 B．1
C．2 D．3
14．下列图是欧拉图的是（）
15．一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（）
A．13 B．14
C．15 D．16
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16．请写出表示德摩根律的两个命题公式等价定理___________，___________。

17．n个命题变元的___________称为小项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须___________。

19．自由变元代入规则是指对某___________出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中所有个体变元不同的个体变元去代入，且___________。

20．设A=∅,B={2,4}，则((A)=___________，A×B___________。

21．设A={1,2,3,4}, A上的二元关系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，则R2︒S=___________，(R-1)2=___________。

22．设代数系统<A,·,*>是环，则<A,·>是___________，<A,*>是___________。

23．在<Z7-{0},⊗7>中，元素2的阶为___________，它生成的子群为___________，其中⊗7为模7乘法。

三、计算题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
26．给定论域D={1,2}，f(1)=2, f(2)=1, S(1)=F, S(2)=T, G(1,2)=T, G(2,1)=T,在该赋值下，求式子∃x(S( f(x))∧G(x, f(x)))的真值。

27．请通过等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。

28．设A={1,2,3,4}，给定A上二元关系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的传递闭包。

30．用矩阵的方法求题30图中结点u i，u5之间长度为2的路径的数目。

31．求题31图的最小生成树。

四、证明题（本大题共3小题，第32小题8分，第33、34小题各6分，共20分）
32．用推理方法证明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。

33．证明：设<G,·>是一个群，则对于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。

34．设图G有n个结点，n+1条边，证明：G中至少有一个结点度数≥3。

五、应用题（本大题共2小题，第35小题9分，第36小题6分，共15分）
35．符合化下列命题，并构造推理证明：三角函数都是周期函数，有些三角函数是连续函数，所以有些周期函数是连续函数。

36．两个等价关系的并集不一定是等价关系，试举例说明。

离散数学试题4
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列为两个命题变元P，Q的小项是（）
A．P∧Q∧⎤ P B．⎤ P∨Q
C．⎤ P∧Q D．⎤ P∨P∨Q
2．下列语句中是真命题的是（）
A．我正在说谎B．严禁吸烟
C．如果1+2=3，那么雪是黑的D．如果1+2=5，那么雪是黑的
3．设P：我们划船，Q：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（）
A．⎤ P∧⎤ Q B．⎤ P∨⎤ Q
C．⎤（P↔Q）D．⎤（⎤ P∨⎤ Q）
4．命题公式（P∧（P→Q））→Q是（）
A．矛盾式B．蕴含式
C．重言式D．等价式
5．命题公式⎤（P∧Q）→R的成真指派是（）
A．000，001，110，B．001，011，101，110，111
C．全体指派D．无
6．在公式（x
∀）F（x，y）→（∃y）G（x，y）中变元x是（）
A．自由变元B．约束变元
C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元
7．集合A={1，2，…，10}上的关系R={<x，y>|x+y=10，x∈A，y∈A}，则R的性质是（）
A．自反的B．对称的
C．传递的、对称的D．反自反的、传递的
8．若R和S是集合A上的两个关系，则下述结论正确的是（）
A．若R和S是自反的，则R∩S是自反的
B．若R和S是对称的，则R S是对称的
C．若R和S是反对称的，则R S是反对称的
D．若R和S是传递的，则R∪S是传递的
9．R={<1，4>，<2，3>，<3，1>，<4，3>}，则下列不是
．．t（R）中元素的是（）
A．<1，1> B．<1，2>
C．<1，3> D．<1，4>
10．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（）
A．1∈A B．{1，2，3}⊆A
C．{{4，5}}⊂A D．∅∈A
11．在自然数集N上，下列运算是可结合的是（）
A．a*b=a-2b B．a*b=min{a，b}
C．a*b=-a-b D．a*b=|a-b|
12．在代数系统中，整环和域的关系是（）
A．整环一定是域B．域不一定是整环
C．域一定是整环D．域一定不是整环
14．设G为有n个结点的简单图，则有（）
A．Δ(G)＜n B．Δ(G)≤n
C．Δ(G)＞n D．Δ(G)≥n
15．具有4个结点的非同构的无向树的数目是（）
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16．（∀x）（∀y）（P（x，y）Q（y，z））∧∃x P（x，y）中∀x的辖域为________，∃x的辖域为________。

17．两个重言式的析取是________式，一个重言式与一个矛盾式的析取是________式。

18．设N是自然数集合，f和g是N到N的函数，且f（n）=2n+1，g（n）=n2，那么复合函数（f f）（n）=________（g f）（n）=________。

19．设复合函数g f是从A到C的函数，如果g f是满射，那么________必是满射，如果g f是单射，那么________必是单射。

20．设A={1，2}，B={2，3}，则A-A=________，A-B=________。

21．设S 是非空有限集，代数系统<P （S ），∪>中，其中P （S ）为集合S 的幂集，则P （S ）对∪运算的
单位元是________，零元是________。

22．在<Z 6,○
+>中，2的阶是________。

24．在下图中，结点v 2的度数是________。

25．设图D=<V ，E>，V={v 1，v 2，v 3，v 4}，若D 的邻接矩阵A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001001111011010，则deg -（v 1）=________，从v 2到v 4长度为2的路有________条。

三、计算题（本大题共5小题，第26、27小题各5分，第28、29小题各6分，第30小题8分，共30分）
26．已知A={{∅}，{∅，1}}，B={{∅，1}，{1}}，计算A ∪B ，A ○+B ，A 的幂集P （A ）。

27．构造命题公式（（P ∧Q ）→P ）∨R 的真值表。

28．下图给出了一个有向图。

（1）求出它的邻接矩阵A ；（2）求出A 2，A 3，A 4及可达矩阵P 。

29．求下列公式的主合取范式和主析取范式：P ∨（⎤ P →（Q ∨（⎤ Q →R ）））
30．设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R 为A 上的整除关系，试画<A ，R>的哈斯图，并求A 中的最大
元、最小元、极大元、极小元。

四、证明题（本大题共3小题，第31、32小题各6分，第33小题8分，共20分）
31．在整数集Z 上定义：Z ,,2∈∀-+=b a b a b a ，证明：<Z ， >是一个群。

32．R 是集合A 上自反和传递的关系，试证明：R R=R 。

五、应用题（本大题共2小题，第34小题6分，第35小题9分，共15分）
34．构造下面推理的证明。

如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。

小赵不去看电影或小张去看电影。

小王去看电影。

所以，当小赵去看电影时，小李也去。

35．今有n 个人，已知他们中任何2人的朋友合起来一定包含其余n-2人。

试证明：
（1）当n ≥3时，这n 个人能排成一列，使得中间任何人是其两旁的人的朋友，而两头的人是其左边
（或右边）的人的朋友。

（2）当n ≥4时，这n 个人能排成一圆圈，使得每个人是其两旁的人的朋友。