中国高校在校学生人数发展趋势的ARIMAX模型

中国高校在校学生人数发展趋势的ARIMAX模型
摘要：基于1985～2010年中国普通高校与普通高中在校学生数据，建立了中国普通高校在校学生人数的发展趋势的arimax模型。

利用该模型对未来中国高校在校学生人数进行了预测，结果显示：2011年之后，中国高校在校学生人数呈下降态势，于2017年达到最低点，之后缓慢回升；至2017年，与2010年相比，高校在校学生人数减少约19.6%.
关键词：普通高校在校学生；时间序列；arimax模型；arima模型
中图分类号：g642.0 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2013）26-0133-02
随着中国人口自然增长率的下降，中国学龄人口已呈现下降趋势，这一点在历年中国普通高中在校学生人数上已有表现。

高中在校学生人数的缩减必将导致高校学生人数的减少，高校的生存与发展将会因此受到影响。

同时，随之而来的高校毕业生人数的减少，也会使大学生就业状况呈现新的格局。

作为高校教育的改革与发展策略的参考，建立高校在校学生人数发展趋势的数学模型，科学地探寻其发展规律、预测其发展趋势是十分必要的。

本文对1985～2010年我国高中在校学生与高校在校学生数据进行了研究，建立了两者之间的arimax模型。

使用eg两步法，以sas软件为辅助对模型进行了检验，并对高校在校学生人数的发展趋势进行了拟合。

结果表明，模型简捷，拟合情况良好。

之后，利用该模型对2012～2019
年中国高校在校学生发展趋势进行了预测。

一、arimax模型简介
1976年，cox与jenkins采用带输入变量的arima模型为平稳多元序列建模。

模型的结构为：
y1=μ+■■blixit+εtεt=■at （1）
模型（1）被称为动态回归模型，简记为arimax模型[1]。

式中，φi（b），θi（b）分别为残差序列自回归系数多项式和移动平均系数多项式；{at}为零均值白噪声序列。

为避免虚假回归的问题，模型（1）中要求输入变量{x1t}，{x2t}，…{xkt}与响应变量{yt}之间具有协整关系。

使用engle-granger两步法对序列进行协整检验[1]（简称eg检验）的一般步骤为：步骤1，建立响应序列与输入序列之间的回归模型。

步骤2，对回归残差序列进行{εt}平稳性检验。

二、arimax模型的建立
选取了1985年～2010年的中国普通高校在校学生人数为响应序列{yt}，对应年份的高中在校学生人数为输入变量序列{xt}，使用eg两步法对序列进行协整检验。

首先建立两者的回归模型。

利用sas软件，采用极大似然估计得到回归模型为：
yt=-488.1299+0.9395xt+εt （2）
对模型的残差序列进行平稳性的单位根（adf）检验，检验结果如表1所示。

根据类型1延迟1阶和2阶的检验结果，类型2延迟1阶的检验
结果，可以以95%以上的把握断定残差序列平稳，即可以以95%以上的把握认为高中在校学生人数序列对高校在校学生人数序列有协整关系，可以建立两者的arimax模型。

根据sas软件输出的输入序列{xt}与响应序列{yt}的协相关图，考虑对这两个序列进行同期建模。

此时得到的回归模型即模型（2）。

进一步考虑模型（2）残差序列的自相关性，经试验，确定使用arma（2，1）模型对其进行拟合。

结合模型（2），输入序列与响应序列的arimax模型可构建为：
y1=β0+β1x1+εtεt=■at （3）
使用sas软件对模型（3）的残差序列{at}作白噪声检验结果如表2所示。

各延迟阶数下检验统计量的显著性p值都大于0.05，所以该模型是显著有效的。

进一步用极大似然法估计模型参数并对每个参数的显著性进行检验，根据表3的结果可以看出，模型的每个参数在0.05的水平下都是显著的，根据输出的估计值可得模型为：
yt=-425.0046+0.9041xt+εtεt=■at （4）
此即最终模型。

该模型表明，高校在校学生人数随着高中在校学生人数的变化有一个长期固定的线性趋势，高中在校学生人数每增加1万人，高校在校学生人数平均增加0.9万人。

同时它还受到诸多随机因素的影响，随机波动序列具有短期的自相关性。

三、序列预测
为预测未来高校在校学生人数，需要获得输入序列{xt}的新值。

为此，对{xt}拟合arima（1，2，0）模型：（1-b）2xt=■εt（5），将{xt}的预测新值输入模型（4），可以得到序列{yt}未来10期的预测值与模型的拟合效果图。

由图1可以看出，模型（4）对高校在校学生人数序列的拟合效果是比较理想的；而由预测结果显示，高校在校学生人数在未来5～7年有下降趋势，但在2018年后又将缓慢回升。

根据arimax模型（4）的拟合图（图1）与预测结果（表4），对中国高校在校学生人数的发展趋势可作出如下推断：高校在校生人数在2011年已达到顶峰，之后开始下降，到2017年降至最低，之后有回升趋势；2012～2017年，高校在校学生人数以平均每年76.2万人的速度减少；2017年与2010年相比，学生人数约减少19.6%；2017～2020年，高校在校学生人数以平均每年84.4万人的速度增加，但在短期内难以达到如同2011年的顶峰值。

参考文献：
[1]王燕.应用时间序列分析[m].北京：中国人民大学出版社，2008：211-231.
[2]汪远征，徐雅静.多元平稳时间序列arimax模型的应用[j].统计与决策，2007，（9）：132-135.
[3]国家统计局.中国统计年鉴2011[m].北京：中国统计出版社，2011.
[4]汪嘉冈.sasv8基础教程[m].北京：中国统计出版社，2001：
396-423.
作者简介：彭娟（1980-），女，湖北嘉鱼人，硕士生，讲师，研究方向为统计学。