湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题

长郡中学2021届高三月考试卷（一）
数学
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}
lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ）
A. {}
2x
x ≥-∣ B. {}
12x
x <<∣ C. {}
12x
x <≤∣ D. {}
2x
x ≥∣ 2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 222a b c <<
B. 22ab cb <
C. ac bc <
D. ab ac <
4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.
15
36AC AB - B. 1536
AC AB -
+ C. 1136
AC AB -
+ D.
1136AC AB - 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知实数a ，b ，c 满足1
lg 10b
a c
==
，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>
D. c b a >>
7. 已知3sin cos 72sin 3cos αα
αα
+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）
A. -5
B. -3
C.
D. -1
8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫
⊆+∞⎪⎢⎣⎭
，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，
的
(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 9221,4ln +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 9221,10ln +⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 9221,10ln +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.
9. 下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >
B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <
C. ()0,x ∀∈+∞，13
1log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
10. 已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）
A. 数列{}n a 为等比数列
B. 1p =时，415
16
S =
C. 当12
p =
时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D. 3856a a a a +=+
11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()
1f x x
B. 4
()f x x =
C. 1()2
f x x =
+ D. ()ln(21)f x x =-
12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）
A. 函数12y f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称
B. 函数()
f x 图象关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的所有实根之和为83π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量a 、b 满足2a =
，2b =，若()
a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为______.
14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.
15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .
16. 已知数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC
的面积为；③2
6AB AB BC +⋅=-.
在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A
为钝角，sin A =（1）求边a 的长； （2）求sin 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值. 18. 已知()x
x
m
f x e e -=+
是偶函数. （1）求实数
m 的值；
的
（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；
（3）记{}
()ln (3)()1ln 32x g x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a
的取值范围.
19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且1a ，21a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S .11
2
b =
，122n n n S S b +=+.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1
1
n n n n c b a a +=+
，求数列{}n c 前n 项和n T 的取值范围.
20.
已知函数2
())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫
=++-><<
⎪⎝⎭
为奇函数，且相邻同对称轴间
的距离为
2
π
. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()g x 的值域.
21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为3
2/mg m ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为3
1.94/mg m ．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为
0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数
量n r ，可由函数模型0.5001()5(,*)n p n r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过3
0.08/mg m ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取20.3)lg =
的
22. 已知点,1x e P x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.
（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 取值范围.
的。