不等式选讲专题练习(含解析)【最新】

不等式选讲专题练习
1．已知()2f x x a =-.
（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；
（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++
<-有实数解，求实数m 的取值范围.
2．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.
3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦. （1）求a 的值；
（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.
4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<
（1）求实数,a b 的值；
（2.
5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.
（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.
6．已知函数()|21|f x x =+．
（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；
（2）求证：()222(1)232f x a
f x x a x a a +--++++-„．
7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．
（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；
（2）若函数2
()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围．
8．设函数()211f x x x =++-．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．
9．已知函数()2f x x a x =-+-.
（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .
10．已知函数()12f x x x =--+.
（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.
11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.
（Ⅰ）求t 的取值范围；
（Ⅱ）求证：
1113221t t t ++>-+.
12．已知函数()f x =R .
（1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求
222111123a b c +++++的最小值.
13．已知函数()221f x x x =-+-．
（1）求不等式()3f x ≥的解集；
（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且
12
a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值．
14．已知函数()31f x x x =-+-.
（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；
（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.
不等式选讲专题练习
1．已知()2f x x a =-.
（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；
（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++
<-有实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞
【详解】
（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，
①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-，
所以不等式()21f x x >+的解集为空集，
②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <
， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.
（2）因为()221f x x x a a ++
=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，
故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +
<-在()1,+∞上有解，
又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞.
2．已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.
【答案】（1）{|13}x x -≤≤；（2）[2,)+∞．
试题解析： （1）当2a =时，()|22|2f x x =-+.
解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤.
因此，()6f x ≤的解集为.
（2）当x ∈R 时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+，
当12
x =
时等号成立， 所以当x ∈R 时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥. ①
当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解.
当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥.
所以a 的取值范围是[2,)+∞.
3．已知函数()1f x ax =+，若不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-
⎢⎥⎣
⎦. （1）求a 的值；
（2）若存在x ∈R ，使得不等式()f x a x a k <++成立，求k 的取值范围.
【答案】（1）2a =（2）3k >-
【详解】解：（1）∵()1f x ax =+， ∴()f x a ≤，即01a ax a >⎧⎨+≤⎩，解得11a a x a a ---≤≤， 又∵不等式()f x a ≤的解集为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，∴2a =. （2）依题意，()21f x x =+，
故不等式()f x a x a k <++可化为2122x x k +<++， 要使不等式存在解，即1122k x x +<++存在解，即1122
k x x +--<存在解， 令()1,0211112,022231,22x g x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=+--=->≥-⎨⎪⎪-<-⎪⎩
， ∴()g x 的最小值为32-，依题意得322k >-， ∴3k >-.
4．已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}
24x x <<
（1）求实数,a b 的值；
（2
.
【答案】（1）3,1a b =-=；（2）4
【详解】（1）由x a b +<，得b a x b a --<<- 则2,{4,
b a b a --=-=解得3a =-,1b = （2
=≤4==
=，即1t =时等号成立，
故
max 4=．
5．已知函数()|||2|f x x a x =++-.
（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；
（2）若()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[]0,2，求a 的取值范围.
【答案】（1）(,3][4,)-∞-+∞U ；（2）[22]-，
. 【详解】
当1a =时，21,1()3,1221,2x x f x x x x -+-⎧⎪=-<<⎨⎪-⎩
„…，
当1x ≤-时，由()7f x ≥得217x -+≥，解得3x ≤-；
当12x -<<时，()7f x ≥无解；
当2x ≥时，由()7f x ≥得217x -≥，解得4x ≥，
所以()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞U
（2）()|4||2|f x x x a -++„的解集包含[0]2，
等价于|||2||4||2|x a x a x x +-+---„在[0]2，上恒成立，
当[02]x ∈，
时，|||2||4||2|2x a x a x x +-+---=„等价于max |(2|||)2x a a x ++-„恒成立， 而|||2||()(2)|||x a x a x a x a a +-++-+=„，∴2a ≤，
故满足条件的a 的取值范围是[22]-，
6．已知函数()|21|f x x =+．
（1）解不等式：()(2)6f x f x +-„；
（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-„．
【答案】（1）{|12}x x -剟
； （2）见解析. 【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，
于是原不等式化为|21||23|6x x ++-„， 若21x <-
，则21(23)6x x ----„，解得112
x -<-„； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-„，解得1322
x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-„，解得322
x <„． 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，
对于x ∀∈R ，可得
()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+„． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…， 由于2
2183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…
． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…
， 于是2232322a a a -++…．
所以()222(1)232f x a
f x x a x a a +--++++-„．
7．已知函数()|22||1|f x x x =+--．
（1）在如图所示的坐标系中作出()f x 的图象，并结合图象写出不等式()3f x ≥的解集；
（2）若函数2
()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析，2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
（2）21m -<<- 【详解】
（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩
结合图象可知，当1x ≤-时，33x --≥，6x ≤-；
当11x -<<时，313x +≥，解得2,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；
当1x ≥时，33x +≥成立．
综上，不等式()3f x ≥的解集为2(,6],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
．
（2）若函数2
()()3g x f x m m =--的图象恒在x 轴的上方，则()0>g x 恒成立， 即2()3f x m m >+恒成立，只需2min ()3f x m m >+． 由（1）中图象可知min ()(1)2f x f =-=-．
所以232m m +<-，解得21m -<<-．
8．设函数()211f x x x =++-．
（1）画出()y f x =的图像；
（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．
详解：（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[
)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．
9．已知函数()2f x x a x =-+-.
（Ⅰ）若()3f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）()f x x ≤的解集为[]2,m ，求a 和m .
【答案】（Ⅰ）5a ≥或1a ≤-；（Ⅱ），4a =，6m =.
【详解】
（Ⅰ）因为()()222x a x x a x a -+-≥---=-，
当且仅当()()20x a x --≤时取等，
故()f x 最小值为2a -， 235a a ∴-≥⇔≥或1a ≤-.
（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：2x =时，
()22f =，即22a -=，解得：0a =或
4.
0a =时，如图所示：
不合题意舍去.
4a =时，如图所示：
由y x =与26y x =-解得：6x =，即6m =，
综上，4a =，6m =.
10．已知函数()12f x x x =--+.
（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤.
【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析.
试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤，
所以实数m 的最大值4M =.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b
a b ++≥+， 所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).
11．若x R ∃∈，使得不等式221sin 4sin 4t x x -<--成立.
（Ⅰ）求t 的取值范围；
（Ⅱ）求证：1113221t t t
++>-+. 【答案】（Ⅰ）()0,1；（Ⅱ）证明见解析
【详解】
（Ⅰ）设sin x m =，[]1,1m ∈-，故()222sin 4sin 44428y x x m m m =--=--=--， max 1y =，故211t -<，解得01t <<，即()0,1t ∈.
（Ⅱ）()()222111+1111111322122133
t t t t t t t t t -++++⎛⎫++=++≥= ⎪-+-+⎝⎭， 等号成立的条件是
111221t t t ==-+，方程无解，故1113221t t t ++>-+.
12．已知函数(
)f x =R .
（1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求
222111123a b c +++++的最小值.
【答案】（1）4t ≥；（2）
922
【详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立 5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥；
（2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()22222221111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++=
⎪+++⎝⎭
所以222111912322a b c ++≥+++，即222111123
a b c +++++的最小值为922. 当且仅当2193a =，2163b =，2133c =时，等号成立
13．已知函数()221f x x x =-+-．
（1）求不等式()3f x ≥的解集；
（2）记函数f （x ）的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且
12
a b c m ++=，求a 2+b 2+c 2的最小值． 【答案】（1）{x |x ≥2或x ≤0}．（2）最小值为1．
【详解】
（1）3321()2211221332x x f x x x x x x x ⎧⎪-⎪⎪=-+-=+≤≤⎨⎪⎪-+⎪⎩
，＞，，＜． ∵()3f x ≥，∴3332x x -≥⎧⎨⎩＞或13122x x +≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或33312x x -+≥⎧⎪⎨⎪⎩
＜， 解得2x ≥或0x ≤，
∴不等式的解集为{x |x ≥2或x ≤0}．
（2）由（1）知，函数()f x 在1
(,)2-∞上单调递减，在1[,)2
+∞上单调递增， 所以min 13()()2
2f x f ==，则1322
a b c m ++==， 由柯西不等式，有222222211()[()94
11]()22a b c a b c ++≥++=++， ∴2221a b c ++≥，当且仅当2a ＝b ＝c ，即a 13=，b ＝c 23=时取等号， ∴222a b c ++的最小值为1．
14．已知函数()31f x x x =-+-.
（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围； （2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.
【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析
【详解】
（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+-- Q ()g x m ≥恒成立
∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩
其图像如图所示:
故()()min 31g x g ==-，
∴ (],1m ∈-∞-
（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时等号成立，
∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c
++≥,由柯西不等式得: ()2114
16a b c
a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1
14
8a b c ++≥， 当且仅当12a =,1
2b =,1c =时等号成立，
∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.。