高二数学函数的单调性与导数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的单调性与导数
教学目标
1.了解函数单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间
复习：基本初等函数的导数公式
（1）.常值函数：(C) ′ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn) ′ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1)
2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间.
解： y ' 9x2 6x 3x(3x 2)
令y ' 0得x 2 或x 0 32
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
函数及图象 y
f (x) x
o
x
y
1
f (x) x2
o
x
y
f (x) x2
o
x
单调性
请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
当堂检测
求下列函数的单调区间
1. f x 3x x3 2. f x sin x wenku.baidu.com, x 0, 3. f x ex ex 4. f x x ln x
1.单调递增区间 -1，1 单调递减区间 -，-1，1，+ 2.在0， 上单调递减 3.单调递增区间1，+ 单调递减区间 -，1 4.单调递增区间1，+ 单调递减区间 0，1
（4）.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . x
(2)
(log a
x)
1 x ln
. a
（5）.指数函数的导数:
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
函数及图象
单调性
导数的正负
y
f (x) x
o
x
在-，+上
单调递增
f '(x) 1 0
y
o
f (x) x 在-，+上
x 单调递减
f '(x) 1 0
y
f (x) x2
o
x
在(, 0)上递减 在 0，+ 上
单调递增
f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
类型二 利用导数求函数的单调区间
例2 求函数 y 3x2 3x 的单调区间.
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
a
b
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为?
类型一 利用导数确定函数大致图象
例1 已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
导数的变化
在(,)上 f '(x) 1 0不变 单调递增
在 (0,) 上 单调递增
f '(x) 1 0 2x
随x增大而减小
在(0, )上 单调递增
f '(x) 2x 0 随x增大而增大
在某一范围内|f＇(x)|越大，在这个范围内变化 越快，图象就越“陡峭”；反之，就“平缓”.
例3 水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中，
附近几乎没有升降
画出函数 f ( x) 图象的大致形状 变化,切线平行x轴
yA 解： f ( x)的大致形状如右图： y f (x)
称A,B两点为“临界点”
B
o 2 3x
变式练习
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
教学目标
1.了解函数单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间
复习：基本初等函数的导数公式
（1）.常值函数：(C) ′ 0, (c为常数)；
（2）.幂函数 ： (xn) ′ nxn1
（3）.三角函数 ：
（1）(sin x) cos x （2）(cos x) sin x
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1)
2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间.
解： y ' 9x2 6x 3x(3x 2)
令y ' 0得x 2 或x 0 32
归纳小结
1.“导数法” 求单调区间的步骤：
①求函数定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
2.如果函数具有相同单调性的单调区间不止一个，
如何表示单调区间？
不能用“∪”连接，应用“，”隔开
函数及图象 y
f (x) x
o
x
y
1
f (x) x2
o
x
y
f (x) x2
o
x
单调性
请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.
(1)→B (2)→A (3)→D (4)→C
当堂检测
求下列函数的单调区间
1. f x 3x x3 2. f x sin x wenku.baidu.com, x 0, 3. f x ex ex 4. f x x ln x
1.单调递增区间 -1，1 单调递减区间 -，-1，1，+ 2.在0， 上单调递减 3.单调递增区间1，+ 单调递减区间 -，1 4.单调递增区间1，+ 单调递减区间 0，1
（4）.对数函数的导数:
(1) (ln x) 1 . x
(2)
(log a
x)
1 x ln
. a
（5）.指数函数的导数:
(1) (e x ) e x .
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1).
函数及图象
单调性
导数的正负
y
f (x) x
o
x
在-，+上
单调递增
f '(x) 1 0
y
o
f (x) x 在-，+上
x 单调递减
f '(x) 1 0
y
f (x) x2
o
x
在(, 0)上递减 在 0，+ 上
单调递增
f '(x) 2x 0 f '(x) 2x 0
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增 f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
类型二 利用导数求函数的单调区间
例2 求函数 y 3x2 3x 的单调区间.
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
a
b
如果在某个区间内恒有 f (x) 0 ,则 f (x)为?
类型一 利用导数确定函数大致图象
例1 已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
导数的变化
在(,)上 f '(x) 1 0不变 单调递增
在 (0,) 上 单调递增
f '(x) 1 0 2x
随x增大而减小
在(0, )上 单调递增
f '(x) 2x 0 随x增大而增大
在某一范围内|f＇(x)|越大，在这个范围内变化 越快，图象就越“陡峭”；反之，就“平缓”.
例3 水以匀速注入下面四种底面积相同的容器中，
附近几乎没有升降
画出函数 f ( x) 图象的大致形状 变化,切线平行x轴
yA 解： f ( x)的大致形状如右图： y f (x)
称A,B两点为“临界点”
B
o 2 3x
变式练习
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )