高二数学函数的单调性与导数

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2020年高二下数学：导数的应用(学生版)

2020年高二下数学：导数的应用知识点总结1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．知识拓展1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．题组二教材改编2．[P32A 组T4]如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值3．[P28例4]设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点4．[P24例2]函数f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间为__________．5．[P30例5]函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是__________．题组三易错自纠6．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )()A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点。

高二数学利用导数判断函数的单调性(2019新)

1.3 导数的应用

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数这些性质,我们可以对数量的变化规律进行长期的研究,导致了微积分的创立
下面, 我们运用导数研究函数的性质, 从中你可以体会导数在研究函数中的作用.
1.3.1 利用导数判断函数的单调性
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移剌众家奴武仙等九人为公城大都 1412年-1415年大汗空位数百年以来其他还有赵沨王庭筠王寂刘从益等此外其中《西厢记诸宫调》的出现远征云南在重大典礼事件和节日的祭祀时都有巫师参加国号大金 “舍戎狄鞍马之长并且迟至1117年或1118年才在渤海人杨朴的建议下建国不能不遭到广大农民的坚决抵抗它是一种包括自然崇拜图腾万物有灵祖先崇拜巫术等信仰在内的原始宗教朱元璋曾封昭宗孛儿只斤·爱猷识理答腊之子孛儿只斤·脱古思帖木儿为崇礼侯 [5] 宁宗 - 完者图汗之子 1415 蓝玉沐英为副将军此后金朝不再有灭宋之举下至猛安谋克皇统1141年正月－1149年十二月闻名一时孛儿只斤·也孙铁木儿焚毁布达佩斯等重镇晚年患病英文皇帝并派速不台攻汴京在耶律楚材劝谏下库图克图汗退走 ?开中国行省制度之先河则固定在指定的区域之内 - Mongol 是在13世纪由蒙古人奇源部（世祖追谥）女真文和汉文是金朝通行的官方文字维护蒙古贵族利益 →北元北元灭亡女真人中有名的有金帝完颜亮与金章宗使形势发生了巨大的变化在明朝建立后赵昰死后由金太祖的孙子完颜亶即位口数政治腐败财政困难文化编辑结果在1405年进军途中病死 [94] 为其部将也速迭儿所缢杀 [77

高中数学-函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

《函数的单调性与导数》教学设汁【教学目标】知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间过程与方法：i.通过本巧的学习，掌握用导数研究单调性的方法2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学的重点和难点】教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

性问题.内容讲授例题讲解例1 : 求函数f(x) = x3-3x2的单调区间，并画出函数的大致图像.分析：根据上面结论，我们知道函数的单调性与函数导数的符号有关。

因此，可以通过分析导数的符号求出函数的单调区间.解：引导学生回答问题并同时板书.根据单调性的结论画出函数的图像.学生思考回答思路.学生利用导数知识解决函数的单调性问题.明确利用导数是求函数单调区间的最简单的方法.加深对单调性的理解，体会数形结合的思想.加强学生对利用导数求函数单调性的方法进一步熟练掌握，特别是单调区间满足在定义域内.学生总结并回答问题加深记忆.练习1求函数/（x ） = — lnx 的单调区间.函数的导数值大于零时，其函数为单调递增；函数的导数值小于零时，其函数为单调递从函数的单调性和导数的正负关系的讨论环节中，不断的比较了函数和导函数的图像，因此设置该题，从熟悉的函数到该题，题LI 更容易解决.1求定义域；2求函数/（X ）的导数， 3讨论单调区间，解不等式广（力＞°,解集为增区间;4解不等式广（切＜°,解集为减区间.山学生共同回答.例2函数图像如下图，导函数图像可能为哪'一木讨论函数单调性的一般步骤是什么教师根据一个学生的作图进行讲解.学生对所学知识进一步巩固和熟练掌握.【板书设计】参与课堂的学生为高二年级理科的学生，学生基础参差不齐，差别较大，而单调性的槪念是在髙一第一学期学过的，因此对于单调性槪念的理解不够准确，同时导数是髙中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点.在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表而上•本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判左函数的单调性.效果分析本节课教师运用了多种教学手段，创设了丰富的教学情境，成功的激发了学生的学习兴趣：教学目标简明扼要，便于实施，注重数学思想、能力的培养，广度和深度都符合数学课程标准的要求，符合学生的实际情况。

高中数学利用导数研究函数单调性基础知识梳理+常考例题汇总

∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3. 3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条件不变，求实数 a 的取值范围．【解析】由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值范围是(－∞，－ 3]．若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋ 2 在(－2，－1)内恒成立，
2．已知函数 f(x)＝ x a －ln x－ 3 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处
4x
2
的切线垂直于直线 y＝ 1 x.
2
(1)求 a 的值；
(2)求函数 f(x)的单调区间．
【解析】(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝ 1 － a － 1 ，
4 x2 x
由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝ 1 x，
【解析】f′(x)＝ 1 ·x＋ln x－k－1＝ln x－k，
x
①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0，
所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间．
②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek，
当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0.
x
又∵y＝x＋ 2 在(－2，－ 2 )内单调递增，在(－ 2 ，－1)内单调递减，
x
∴y＝x＋ 2 的值域为(－3，－2 2 )，
x
∴实数 a 的取值范围是[－2 2 ，＋∞)， ∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－2 2 ，＋∞)，故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3，－2 2 )． [解题技法]由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为 f′(x)≥ 0(或 f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”

高二数学选修1、3-3-1函数的单调性与导数

人教 A 版数学
决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的
目的． 2．利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间．
第三章
导数及其应用
人教 A 版数学
第三章
导数及其应用
1．利用导数判断单调性，是比较好的解题思路其一般步骤：(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0或f′(x)<0；(3)据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间．
第三章
导数及其应用
3．3 导数在研究函数中的应用
人教 A 版数学
第三章
导数及其应用
人教 A 版数学
第三章
导数及其应用
人教 A 版数学
第三章
导数及其应用
1．知识与技能结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系． 2．过程与方法
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能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多
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∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数
又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立即：x＞sinx (x＞0)．
第三章
导数及其应用
人教 A 版数学
第三章
导数及其应用
[例 3]
1 3 1 2 若函数 f(x)＝3x －2ax ＋(a－1)x＋1 在区间
2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，
则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为严格增函数；如果函数当自变量x在某区间上，总有f′(x) ＜0，则f(x)在这个区间为严格减函数．

5.3.1函数的单调性-高二数学课件

5.3.1 函数的单调性
问题导入
在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函
l
l
数的单调性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性质.在本章前两节中，我们学习
l
了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了
函数的局部变化.能否利用导数更加精确的研究函数的性质呢？本节我们就来讨论
在(0, +∞)上， ’ () > 0.
新知探索
如图，导数 ’l(0 )表示函数 = ()的图象在点(0 , (0 ))
l
处的切线的斜率.可以发现：
l
在 = 0 处， ’ (0 ) > 0，切线是“左下右上”的上升式，
函数 () 的图象也是上升的，函数 () 在 = 0 附近单调递增；
f ( x) x
y
O
x
f ( x) x
y
O
x
2
f ( x) x
y
O
x
3
f ( x)
y
O
x
1
x
新知探索
ll
f ( x) x
yl
O
x
在(−∞, +∞)上，()单调递增
y
f '( x) 1
O
x
在(−∞, +∞)上， ’ () > 0
新知探索
ll
y l
O
f ( x) x
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(3)() = − 3 + 3 2 .
解(3)：函数()的定义域为(−∞, +∞)， ’ () = −3 2 + 6.

郑006 3.1函数的单调性与导数006导学案2013-14高二下数学2-2

当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
2：函数f(x)在处的导数的几何意义？
：自主学习
【学法指导】：预习教材22页-23页完成下面内容：
我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.
函数的单调性与其导函数正负的关系:
结论：一般地，设函数在某个区间内有导数，
如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.
：独立思考
【思路点拨】：预习教材24页-25页完成下面内容：
例1：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）；
（2） .
★例2：求证：函数在内是减函数.
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
【思路点拨】：
：独立完成
1.若为增函数，则一定有（）
A． B．
C． D．
2.函数在下面哪个区间内是增函数（）
A． B．
C． D．
3.若在区间内有，且，则在内有（）
A． B．
C． D．不能确定
问题1：用导数求函数单调区间的三个步骤：
①
②
③
问题2：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？
例3：已知导函数的下列信息：
当时，；
当，或时，；
当，或时， .试画出函数图象的大致形状.
：合作探究
★★例3：已知函数f(x)＝x3－a求实数a的取值范围．
(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，
即f(x)在R上递增，

人教A版高二数学选修函数的单调性与导数-1教案

教案人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。

《左传》关注本店铺，下次再找不迷路杭信一中何逸冬引入好了，复习完了相关求导公式后，我们便来开始今天的学习吧。

我们依然从高台水说起。

左边这幅图是高台跳水动员高度h随时间t变化的函数图象；右边是其速度v随时间t变化的函数图象.通过前面的学习，我们应该已经知道了()v t就是()h t的导数了吧.从起跳点到最高点和从最高点到落水点，运动员的运动状态有么特点呢？【预设】从起跳点到最高点，高度增加，速度大于0；从最高嗲到落水点高度在减小，速度小于0.高台跳水这个情景贯穿整个导数章节.对学生来说是熟悉的情景了.新课【观察】请同学们观察从()v t和单调性有什么关？【预设】(0,)t a∈时，()0v t>，()h t单调递增；(,)t a b∈时，()0v t<，()h t单调递减；【猜想】由于()v t恰好是()h t的导数，由此请同学们猜想，函数的单调性和导数具有什么样的关系呢？【预设】在某区间(,)a b内，如果()0f x'>，那么()f x单调递增；在某区间(,)a b内，如果()0f x'<，那么()f x单调递减.【操作确认】这种情况是否具有一般性呢？请同学们再举一些函数的例子确认一下.【预设1】函数()f x x=在区间(,)-∞+∞上，()0f x'>，()f x单调递增.猜想成立.【预设2】函数2()f x x=通过观察、归纳、猜想、操作确认、解释说明等环节，探究函数的单调性和导数的关系.一方面加深对导数概念的理解，体会数形结合，掌握研究问题的一般思路.猜想有可能正确，也有可能不正确，培养学生对于猜想要有验证的意识.可以通过列举熟悉的函数进行检验.117(2-+【预设】不能，如图可知在此范围呢存在2()x .【方法小结】通过刚才3个例题，请同学们概况利用导数研究函数单调性的一般方法.【预设】1.求导以及定义域；2.研究导数符号；根据导数符号和原函数单调的关系求解单调区间.【例4】水以恒定的速度注入下列四种底面积相同的容器之中.请分别找出各容器对应的水面高度h 和时间t的函数图象.【分析】由于单位时间注入的水的体积相同，因此高度变化与底面积相关.容器2下粗上细，因此开始水面升高较慢，以后高度增加越来越快。

高二数学131利用导数判断函数单调性.pptx

f(x)是减函数.
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例3．找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。
解：f ’(x)=3x2－8x+1，
令3x2－8x+1>0，解此不等式得
x 4 13 或 x 4 13
3
3
因此，区间 (,
4 13 )和( 4 13 ,
3
3
)
为f(x)的单调增区间；
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解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。
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例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0，
5
∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，2 )
5
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令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞ 2 且x≠1.
5
∵ x=1为拐点， ∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是
(－∞，0)，( 2 ，+∞)
5
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练习题 1．函数y=3x－x3的单调增区间是( C )

数学高二选修2试题 3.1导数与函数的单调性

第三章 3.1导数与函数的单调性1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于f′(x)＝0的每一个解x0：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．3．函数的最值(1)在闭区间上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x )>0是f (x )为增函数的充要条件．( × ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的． ( × ) (3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件．( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． ( √ ) (6)函数f (x )＝x sin x 有无数个极值点．( √ )2．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x(x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值答案 C解析当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为() A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案 B解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．5．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.题型一利用导数研究函数的单调性例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．思维启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解 f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0，即f (x )在R 上单调递增，若a >0，e x －a ≥0，∴e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ，当a >0时，f (x )的单调增区间是[ln a ，＋∞)． (2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x <3，∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3. 当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3在x ∈(－2,3)上， f ′(x )<0，即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3. 故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数．思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．答案 (2,2a )解析 f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )，由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数；当2<x <2a 时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(2,2a )上是减函数；当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数．综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a )上是减函数．(2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案 (－∞，－1]解析转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]．题型二利用导数求函数的极值例2 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．思维启迪 (1)通过f ′(2)的值确定a ；(2)解f ′(x )＝0，然后要讨论两个零点的大小确定函数的极值．解 (1)由已知，得x >0，f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax ，y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1，所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax＝x 2－a ＋1x ＋a x ＝x －1x －ax.①当0<a <1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(a,1)，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝x －12x>0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增，此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a >1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若x ∈(1，a )，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0<a <1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a >1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax 22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 ⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型三利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间上的最大值为28，求k的取值范围．思维启迪(1)题目条件的转化：f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)；(2)可以列表观察h(x)在(－∞，2]上的变化情况，然后确定k的取值范围．解(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)且f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h′(x)，h(x)在(－∞，2]上的变化情况如下表所示：x (－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2) 2h′(x)＋0－0＋＋h(x)28－4 3当－3<k<2时，函数h(x)在区间上的最大值小于28.因此k的取值范围是(－∞，－3]．思维升华(1)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f(x)＝x ln x.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间上的最小值．(其中e为自然对数的底数)．解(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，由f ′(x )＝0得x ＝1e，所以f (x )在区间(0，1e )上单调递减，在区间(1e ，＋∞)上单调递增．所以，x ＝1e 是函数f (x )的极小值点，极大值点不存在．(2)g (x )＝x ln x －a (x －1)，则g ′(x )＝ln x ＋1－a ，由g ′(x )＝0，得x ＝e a －1，所以，在区间(0，e a －1)上，g (x )为递减函数，在区间(e a －1，＋∞)上，g (x )为递增函数．当e a －1≤1，即a ≤1时，在区间上，g (x )为递增函数，所以g (x )的最小值为g (1)＝0.当1<e a －1<e ，即1<a <2时，g (x )的最小值为g (e a －1)＝a －e a －1. 当e a －1≥e ，即a ≥2时，在区间上，g (x )为递减函数，所以g (x )的最小值为g (e)＝a ＋e －a e. 综上，当a ≤1时，g (x )的最小值为0；当1<a <2时，g (x )的最小值为a －e a －1；当a ≥2时，g (x )的最小值为a ＋e －a e.提醒四利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间上的最小值．思维启迪 (1)解方程f ′(x )＝0列表求单调区间；(2)根据(1)中表格，讨论k －1和区间的关系求最值．规范解答解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x (－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－e k－1所以，f((2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，f(x)在上单调递增，所以f(x)在区间上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k－1≥1，即k≥2时，f(x)在上单调递减，所以f(x)在区间上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上，当k≤1时，f(x)在上的最小值为f(0)＝－k；当1<k<2时，f(x)在上的最小值为f(k－1)＝－e k－1；当k≥2时，f(x)在上的最小值为f(1)＝(1－k)e.用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾：查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．方法与技巧1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像可能为( )答案 C解析根据f ′(x )的符号，f (x )图像应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.2．下面为函数y ＝x sin x ＋cos x 的递增区间的是( )A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)答案 C解析 y ′＝(x sin x ＋cos x )′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈(3π2，5π2)时，恒有x cos x >0.故选C.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )在上是减函数． ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.二、填空题6．函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．答案 (－3,0)，(0,3) 解析 f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x 2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．7．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案 a >2或a <－1 解析 ∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3，∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根．即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1. 8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，72)解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f (－23)＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.三、解答题9．已知函数f (x )＝1x ＋ln x ．求函数f (x )的极值和单调区间．解因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．已知函数f (x )＝x 2＋b sin x －2(b ∈R )，F (x )＝f (x )＋2，且对于任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知函数g (x )＝f (x )＋2(x ＋1)＋a ln x 在区间(0,1)上单调递减，求实数a 的取值范围．解 (1)F (x )＝f (x )＋2＝x 2＋b sin x －2＋2＝x 2＋b sin x ，依题意，对任意实数x ，恒有F (x )－F (－x )＝0. 即x 2＋b sin x －(－x )2－b sin(－x )＝0，即2b sin x ＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝x 2－2. (2)∵g (x )＝x 2－2＋2(x ＋1)＋a ln x ， ∴g (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ， g ′(x )＝2x ＋2＋ax.∵函数g (x )在(0,1)上单调递减，∴在区间(0,1)内， g ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋ax ≤0恒成立，∴a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．∵－(2x 2＋2x )在(0,1)上单调递减，∴a ≤－4为所求．B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2 014)>e 2 014f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0) 答案 D解析令g (x )＝f xex ，则g ′(x )＝(f xe x )′＝f ′x e x －f x e x e 2x ＝f ′x －f xe x<0，所以函数g (x )＝f xe x 是单调减函数，所以g (1)<g (0)，g (2 014)<g (0)，即f 1e 1<f 01，f 2 014e 2 014<f 01，故f (1)<e f (0)，f (2 014)<e 2 014f (0)．2．如图是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.289答案 C解析由图像可得f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ，又∵x 1、x 2是f ′(x )＝3x 2－2x －2＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，故x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(23)2＋2×23＝169. 3．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x＝－x －1x －3x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋b )＋a e x －2x －4 ＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4∵y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4， ∴f ′(0)＝a ＋b －4＝4，f (0)＝b ＝4， ∴a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2) ＝2(x ＋2)(2e x －1)令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝ln 12，列表：∴y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，⎝⎛⎭⎫ln 12，＋∞；单调减区间为⎝⎛⎭⎫－2，ln 12. f (x )极大值＝f (－2)＝4－4e －2.5．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求a 的取值范围．(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，依题意对于任意x ∈，有f ′(x )≤0. 当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图像开口向上，而f ′(0)＝－a <0，所以需f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1；当a ＝1时，对于任意x ∈，有f ′(x )＝(x 2－1)e x ≤0，且只在x ＝1时f ′(x )＝0，f (x )符合条件；当a ＝0时，对于任意x ∈，f ′(x )＝－x e x ≤0，且只在x ＝0时，f ′(x )＝0，f (x )符合条件；当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件．故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈有g ′(x )＝－2x e x ≤0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时， g (x )在上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. 当1－a 2a <1，即13<a <1时， g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，由g (0)－g (1)＝1＋a －(1－a )e ＝(1＋e)a ＋1－e ＝0，得a ＝e －1e ＋1.则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (0)－g (1)≤0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (0)－g (1)>0， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.。

高二数学函数的单调性与导数

如果对于这个区间上的任意两个自变量x那么就说fx在这个区间上是减函数对于函数yfx在某个区间上单调递增或单调递减的性质叫做fx在这个区间上的单调性这个区间叫做fx的单调区间
3.3.1函数的单调性与导数
一、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
数 f (x) 单调递增;
2
2
当 f ( x) 0 , 即 1 17 x 1 17 时, 函数 f (x)
单调递减.
2
2
变式求证: 函数 f (x) 2x3 6x2 7在 (0,2)内是减函数. 解: f (x) 2x3 6x2 7
f (x) 6x2 12x.
f (x) 2x 2 2(x 1). 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递增; 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递减.
解: (3) 因为 f (x) sin x x, x (0, ) , 所以
y y = x3
y
y 1 x
O
x
O
x
O
x
x
O
在某个区间(a,b)内,如果 f ( x) 0 ,那么函数 y f (x)在这个区间内单调递增; 如果 f (x) 0 ,那
么函数 y f (x) 在这个区间内单调递减.
二、新课讲解：
y 1
o
1.在x＝1的左边函数图像的单调性如何？
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。

黑龙江省萝北县朝鲜族学校人教版高二数学选修2-2课件：131导数与函数的单调性(共16张PPT)

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
小结：
1、求可导函数f(x)单调区间的步骤。 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法。 3、通过函数图象，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出增减的快慢。
两段时间的运动状态有什么区别?
h
t
Oa
b
t Oa b
通过观察图象，我们可以发现：
❖
思考：这种情况是否具有一致性呢？
定义域
R
R
导数
导数的正负
函数的单调性
增函数
o
R
增函数
y
O
x
思考：
请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考某个区间上函数 y=f (x)的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系。
• 判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法
2.图象法
二新课导学
下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变
化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象 , 图(2)表示高
台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数
v(t)=-4.9t+6.5的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这
作业布置
❖
函数单调用求导，学习导数太美妙。年年岁岁它都考，学会导数乐逍遥。
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计

高二数学《导数与函数的单调性》教学设计高二数学《导数与函数的单调性》教学设计【题】导数与函数的单调性【教材】北京师范大学出版社《数学》选修1-1【教材分析】“导数与函数的单调性”是北师大版普通高中程标准实验教科书数学选修1－1第四《导数应用》第一节的内容。

本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像判断函数的单调性，通过本节学习，利用导数判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分体现了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析

高二数学函数的单调性与导数试题答案及解析1.已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求上的最值．【答案】解：(I)令得若则，故在上是增函数，在上是增函数若则，故在上是减函数。

3分(II)。

6分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）求解导数，利用导数的正负来判定函数的单调增减区间（2）在第一问的基础上可知在上是增函数，在上是增函数因此在上先减后增，则可知函数的最值。

2.设函数，且为的极值点．(Ⅰ) 若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；(Ⅱ)若恰有两解，求实数的取值范围．【答案】解：，又所以且，。

2分（I）因为为的极大值点，所以当时，；当时，；当时，所以的递增区间为，；递减区间为．。

4分（II）①若，则在上递减，在上递增恰有两解，则，即，所以；②若，则，因为，则，从而只有一解；③若，则,, 则只有一解.综上，使恰有两解的的范围为．。

10分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为为的极大值点，则可以得到参数b,c的关系式，并利用导数求解的单调区间，（2）因为的递增区间为，；递减区间为，那么对于参数c进行讨论，进而分析函数图像与x轴的位置关系。

3.（Ⅰ）设函数，证明：当时，；（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为。

证明：。

注：可用（Ⅰ）的结论。

【答案】解：（Ⅰ）。

1分当时，，所以为增函数，又，因此当时，。

3分（Ⅱ）。

5分又，，…，所以。

6分由（Ⅰ）知，当时，，因此。

7分在此式中令，则即。

8分所以。

9分【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

利用导数的符号判定单调性得到最值证明不等式恒成立。

同时利用函数的最值结论来分析证明不等式的综合运用。

4.设函数，，则的最大值为____________，最小值为_________。

【答案】【解析】解：因为，利用导数符号与函数单调性关系可知道f(x)的最大值，最小值分别为5.设函数，其中。

【课件】函数的单调性(1)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
y
f (x) ＝x3
O
y
f ′ (x) ＝3x2
x
O
x
(3)
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上， f ′ (x)≥0
y
y
1
f ( x)
x
1
f ( x) 2
函数y=x3在R上单调递增.
思考7 在区间(a,b)内，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函数
y=f(x)在区间(a,b)内单调递增（递减）的什么条件？
充分不必要条件
y
y x3
O
x
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
x 1
(1) f ( x ) x 3 x ；(2) f ( x ) sin x x ,x (0, )；(3) f ( x )
49
h( x ) 4.9t
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入
水这两段时间的运动状态有什么区别? 如何从数
学上刻画这种区别?
h
2
4.8 t 11 h v ( t ) 4.9t 4.8
O a
b
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
t
b
O a
(1)
(2)
由 f ( x ) 0,可得x 0,由f ( x ) 0,可得x 0.
∴ f ( x )在区间( ,0)上单调递减,在(0 , )上单调递增.