大学数学微积分(下) 第三版 李辉来 习题详解
微积分各章习题及详细答案(供参考)
微积分各章习题及详细答案(供参考)第一章函数极限与连续一、填空题1、已知 f (sin x) 1cos x ，则 f (cos x)。
2(4 3x)22、 lim2)。
xx(1 x3、 x 0 时， tan x sin x 是 x 的阶无量小。
4、 lim xksin10 建立的 k 为。
xx5、 lim e x arctan xx6、 f ( x)ex1, xb,7、 limln( 3x1)x 06x。
x 0在 x 0处连续，则 b 。
x 0。
8、设 f (x) 的定义域是 [ 0,1] ，则 f (ln x) 的定义域是 __________ 。
9、函数 y 1 ln( x 2) 的反函数为 _________。
10、设 a 是非零常数，则 lim (xa) x ________ 。
xx a111、已知当 x 0时， (1 ax 2 ) 3 1与 cosx 1 是等价无量小，则常数 a ________。
12、函数 f ( x)arcsin3x的定义域是 __________ 。
1 x13、 lim ( x 22x 2 2)____________ 。
x14、设 lim (x2a ) x 8 ，则 a________。
xx a15、 lim ( n n 1)( n 2n) =____________ 。
n二、选择题1、设 f ( x), g(x) 是 [ l , l ] 上的偶函数， h( x) 是 [ l , l ] 上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。
（Ａ） f ( x) g( x) ；（Ｂ） f ( x) h( x) ；（ C ） f (x)[ g(x) h( x)] ；（ D ） f ( x) g( x) h(x) 。
2、1 x3x( x)，( x)1x ，则当时有。
1 x1（Ａ） 是比 高阶的无量小； （Ｂ） 是比 低阶的无量小；（ C ）与 是同阶无量小；（ D ）~。
3、函数 f (x)1 x 1 ,x 0( x1) 在 x0处连续，则 k3 1 x 1 。
微积分习题解答
教材习题参考答案习题一答案(A)1. 求下列函数的定义域： (1) 22-+=x x y ; (2) )sin(x y =;(3) 2)1lg(--=x x y ; (4)22114xx y -+-=; (5) xxx y -++-=11lg21)1arcsin(; (6) ⎩⎨⎧><+=)0(ln )0(12x xx x y . 【解】(1) 022≥-+x x21-≤≥x x 或∴定义域为),1[]2,(+∞--∞ .(2) ⎩⎨⎧≥≥00)sin(x xπππ+≤≤k x k 22∴定义域为{},1,0,)12(42222=+≤≤k k x k x ππ.(3) ⎩⎨⎧≠->-0201x x21≠>x x 且∴定义域为),2()2,1(+∞ .(4) ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-010422x x⎩⎨⎧±≠≤≤-122x x ∴定义域为]2,1()1,1()1,2[ ---.(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->-+≤-≤-01011111x x x x ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-≤≤11120x x x ∴定义域为)1,0[. (6) 定义域为),0()0,(+∞-∞ . 2．已知23)(2-+=x x x f ,求)1(,1),(),1(),1(),0(+⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f x f f f f .【解】 2200)0(2-=-+=f2231)1(2=-+=f 423)1()1(2-=---=-f232)(3)()(22--=--+-=-x x x x x f231)1(2-+=xx x f 252)1(3)1()1(22++=-+++=+x x x x x f3．已知⎩⎨⎧≥<+=1ln 113)(x x x x x f ,求)2(),1(),0(f f f .【解】 1103)0(=+⨯=f01ln )1(==f 2ln )2(=f4. 讨论下列函数的单调性（指出其单调增加区间和单调减少区间） (1) x x y ln +=; (2) xe y =; (3)24x x -.【解】（1）定义域为),0(+∞，任取),0(,21+∞∈x x ，不妨设210x x <<，0)ln (ln ln ln 1212112212>-+-=--+=-x x x x x x x x y y故函数在定义域内为单调增函数，单调增加区间为),0(+∞. (2) 定义域为实数R, 任取R x x ∈21,，当021<<x x 时，21x x >，021>-x x ee ，函数为单调减函数；当210x x <<时，21x x <，021<-x x ee ，函数为单调增函数.故单调减少区间为)0,(-∞,单调增加区间为),0(+∞. (3) 定义域为[]4,0，4)2(422+--=-=x x x y当20≤≤x 时，2)2(--x 为增函数，4)2(2+--x 也为增函数，当42≤≤x 时，2)2(--x 为减函数，4)2(2+--x 也为减函数.故单调增加区间为]2,0[,单调减少区间为]4,2[.5. 判别下列函数中哪些是奇函数,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数.（1）2x e y -=; (2）x x y sin 2=; （3）242x x y -=; （4）2x x y -=;（5）x x y cos sin -=; （6）x xy +-=11lg; （7）)1ln(2x x y -+=; （8）x xxy cos sin +=;（9）xx xx e e e e y ---+=; （10）⎩⎨⎧≥+<-=0101x x x x y . 【解】（1）定义域为实数R,)()(22)(x y e e x y x x ===----，故函数为偶函数.(2）定义域为实数R,)(sin )sin()()(22x y x x x x x y -=-=--=-，故为奇函数.（3）定义域为实数R,)(2)(2)()(2424x y x x x x x y =-=---=-，故函数为偶函数.（4）定义域为实数R,函数2x x y -=为非奇非偶函数. （5）非奇非偶函数 （6）定义域为011>+-xx，0)1)(1(>+-x x ，即11<<-x ， 01lg 11lg 11lg )()(==+-+-+=+-xxx x x y x y ，即)()(y x y x -=-，故函数为奇函数. （7）定义域为实数R,01ln )1ln()1ln()()(22==-+++=+-x x x x x y x y ，)()(y x y x -=-，故函数为奇函数.（8）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)(cos sin )cos()sin()(x y x xxx x x x y =+=-+--=-，故函数为偶函数.（9）定义域为),0()0,(+∞-∞ ，)()(x y ee e e e e e e x y xx xx x x x x -=-+-=-+=-----，故函数为奇函数. （10）)(01010101)(x y x xx xx x x x x y =⎩⎨⎧>+≤-=⎩⎨⎧≥--<-+=-，故函数为偶函数.6. 设)(x f 在),(+∞-∞内有定义,证明：)()(x f x f -+为偶函数,而)()(x f x f --为奇函数.【证明】 令)()()(x f x f x g -+=，)()()(x f x f x h --=，)()()()(x g x f x f x g =+-=-，)(x g 为偶函数， )()()()(x h x f x f x h -=--=-，)(x h 为奇函数.7. 判断下列函数是否为周期函数,如果是周期函数,求其周期： （1）x x y cos sin +=; （2）x x y cos =; （3）)32sin(+=x y ; （4）x y 2sin =; （5）x y 2sin 1+=; （6）xy 1cos=. 【解】（1）)cos 22sin 22(2x x y +=)4sin(2π+=x 故函数周期为π2.（2）无周期 （3）周期为ππ==22T（4）22cos 1sin 2xx y -==，周期为ππ==22T（5）周期为2/π=T .（6）无周期8. 讨论下列函数是否有界：（1）221xx y +=; （2）2x e y -=; （3）x y 1sin=; （4）x y -=11; （5）xx y 1cos =.【解】（1）1122≤+=x x y ，故函数有界.（2）02≥x ,02≤-x ,102≤<-x e ,故函数有界.（3）11sin≤x，函数有界. （4）xy -=11无界. （5）xx y 1cos =无界.9. 设21)(x x x f -=,求)(cos x f .【解】x x x x x f cos sin cos 1cos )(cos 2=-=10. 已知⎩⎨⎧>-≤+=012)(2x x x x x f ,求)1(+x f 及)()(x f x f -+.【解】⎩⎨⎧->-≤++=⎩⎨⎧>+-+≤+++=+1132011)1(012)1()1(22x xx x x x x x x x f⎩⎨⎧<--≥+=-0102)(2x x x x x f ⎩⎨⎧>-≤+=0102)(2x x x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+-=-+01041)()(22x x x x x x x x f x f 11．已知x x x f -=3)(,x x 2sin )(=ϕ,求)]([x f ϕ,)]([x f ϕ. 【解】 x x x f 2sin )2(sin )]([3-=ϕ，)(2sin )]([3x x x f -=ϕ 12．(1) 已知 2211xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,求)(x f . (2)已知2ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ,求)(x ϕ.【解】(1) 2)1(12-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+xx x x f ,2)(2-=∴x x f (2)令12-=x t ，11ln)(-+=t t t f ，xx x x f ln 1)(1)(ln ))((=-+=ϕϕϕ，x x x x =-+=-+1)(211)(1)(ϕϕϕ11112)(-+=+-=x x x x ϕ13. 在下列各题中,求由给定函数复合而成的复合函数,并确定定义域： （1）21,x u u y +==； （2）2,ln ,4xv v u u y ===；（3）x v v u u y 21,sin ,3+===;（4）222,tan ,arctan x a v v u u y +===. 【解】（1）21x y +=，),(+∞-∞∈x （2）2ln4x y =,由02>x，),0(+∞∈x（3）)21(sin 3x y +=，),(+∞-∞∈x（4）)](arctan[tan 222x a y +=，由2/)(22ππ+≠+k x a ，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-+≠∈Z R k a k x x x ,2,22ππ14. 指出下列各函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）x y alog =; （2）x e y -=arctan ;（3）x y 2sin ln =; （4）⎪⎭⎫⎝⎛-=2212arcsin x x y . 【解】（1）x y a log =，x u = （2）u y arctan =，v e u =，x v -=（3）u y ln =，2v u =，x v sin = （4）2u y =，v u arcsin =，212x xv -=15. 求下列反函数及反函数的定义域： （1）)31ln(x y -=,)0,(-∞=f D ； （2）29x y -=,]3,0[=f D ;（3）22-+=x x y ,),2()2,(+∞-∞= f D ; （4）2xx e e y --=,),(+∞-∞=f D ;（5）⎩⎨⎧≤<--≤<-=21)2(210122x x x x y . 【解】（1）由)31ln(x y -=解得3/)1(ye x -=,故反函数为)1(31x e y -=,),0(1+∞=-f D （2）由29x y -=解得29y x -=，故反函数为29x y -=,]3,0[1=-f D（3）由22-+=x x y 解得1)1(2-+=y y x ,故反函数1)1(2-+=x x y ,),1()1,(1+∞-∞=- f D （4）由2x x e e y --=同乘解得x e 解得12++=y y e x ,故反函数为)1ln(2++=x x y ,),(1+∞-∞=-f D（5）可解得⎩⎨⎧≤<--≤<-+=2122112/)1(y yy y x故反函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<-+=212211)1(21x x x x y ,]2,1(1-=-f D16. 某玩具厂每天生产60个玩具的成本为300元,每天生产80个玩具的成本为340元,求其线性成本函数,并求每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本.【解】 设玩具的线性成本函数为bx a x C +=)(，则有⎩⎨⎧+=+=b a b a 8034060300 解得⎩⎨⎧==2180b a ，所以x x C 2180)(+= 故固定成本为180(元/每天),可变成本为2(元/每个).17. 某公司全年需购某商品2000台,每台购进价为5000元,分若干批进货.每批进货台数相同,一批商品售完后马上进下一批.每进货一次需消耗费用1000元,商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半）,该商品每年每台库存费为进货价格的%4.试将公司全年在该商品上的投资总额表示为批量的函数.【解】 设批量为x ，投资总额为y ，则x xy 1001021067+⨯+= 18. 某饲料厂日产量最多为m 吨,已知固定成本为a 元,每多生产1吨饲料,成本增加k 元.若每吨化肥的售价为p 元,试写出利润与产量x 的函数关系式.【解】 设利润为)(x L ，则a x k p x L --=)()( (元) ,],0[m x ∈ 19. 生产某种产品,固定成本为3万元,每多生产1百台,成本增加1万元,已知需求函数为p Q 210-=（其中p 表示产品的价格,Q 表示需求量）,假设产销平衡,试写出：（1）成本函数；（2）收入函数；（3）利润函数.【解】 (1) 3)(+=Q Q C (万元)(2) 2215)10(21)(Q Q Q Q P Q Q R -=⋅--=⋅= (万元) (3) 3421)()()(2-+-=-=Q Q Q C Q R Q L (万元)20. 某酒店现有高级客房60套,目前租金每天每套200元则基本客满,若提高租金,预计每套租金每提高10元均有一套房间会空出来,试问租金定为多少时,酒店房租收入最大？收入多少元？这时酒店将空出多少套高级客房？【解】 设每套资金为x 元，酒店房租总收入为y 元，则有16000)400(101)1020060(2+--=--=x x x y ，故400=x 元/套,收入最大，为16000元, 这时酒店将空出20套高级客房.（B ）1. 设x x f x x f =-⎪⎭⎫⎝⎛-+)(212212,求)(x f .【解】 令2212-+=x x t ，得2212-+=t t x ，有2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-t t t t f t f ,即2212221221)(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x x f x f 又()x x f x x f =--+21)2212(，可解得())1(3)1(22-++=x x x x f 2. 设下面所考虑的函数都是定义在区间),(l l -上的,证明：（1）两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.【证明】 设)(1x f 和)(2x f 为偶函数，)(1x g 和)(2x g 为奇函数， （1）设)()()(21x f x f x f +=)()()()()()(2121x f x f x f x f x f x f =+=-+-=-故)(x f 为偶函数，得证. 设)()()(21x g x g x g +=)()()()()()(2121x g x g x g x g x g x g -=--=-+-=-故)(x g 为奇函数，得证. （2）设)()()(21x f x f x h ⋅=)()()()()()(2121x h x f x f x f x f x h =⋅=-⋅-=-故)(x h 为偶函数，得证.设)()()(21x g x g x I ⋅=[][])()()()()()(2121x I x g x g x g x g x I =-⋅-=-⋅-=-故)(x I 为偶函数，得证. 设)()()(11x g x f x J ⋅=[])()()()()()(1111x J x g x f x g x f x J -=-⋅=-⋅-=-故)(x J 为奇函数，得证.3. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上单调增加,试证函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.【证明】 设D x x ∈<21,[][][][]0)()()()()()()()(12121122>+-+=+-+x g x g x f x f x g x f x g x f∴函数)()(x g x f +也在D 上单调增加.4. 设函数)(x f 在区间],[b a 和],[c b 上单调增加,试证)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.【证明】 设[]c a x x ,21∈<,若c x x ≤<21，由题意有)()(12x f x f >， 若21x x b <≤，由题意有)()(12x f x f >， 若21x b x <≤，则)()()(12x f b f x f ≥>， 若21x b x ≤<，则)()()(12x f b f x f >≥，综上，)(x f 在区间],[c a 上仍单调增加.5. 设函数)(x f 和)(x g 在D 上有界,试证函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上也有界.【证明】 由题)(x f 和)(x g 在D 上有界，即对D x ∈∀，0,021>>∃M M ，有1)(M x f ≤,2)(M x g ≤,则21)()(M M x g x f +≤+,21)()(M M x g x f ⋅≤⋅即函数)()(x g x f ±和)()(x g x f ⋅在D 上有界. 6. 证明函数x x y sin =在),0(+∞上无界.【证明】 对任意0>M ，都存在02,]x M M π∈+（，使得1sin 0=x ，则M x x x >=000sin ，即函数x x y sin =在),0(+∞上无界.7. 设)(x f 为定义在),(l l -的奇函数,若)(x f 在),0(l 内单调增加,证明)(x f 在)0,(l -内也单调增加.【证明】 设)0,(21l x x -∈<，则),0(12l x x ∈-<-，)()()()()()(211212x f x f x f x f x f x f ---=-+--=- )(x f 在),0(l 内单调增加,∴0)()(12>-x f x f ，∴)(x f 在)0,(l -内也单调增加.8. 已知函数)(x f 满足如下方程：0,)1()(≠=+x xcx bf x af其中c b a ,,为常数,且b a ≠,求)(x f ,并讨论)(x f 的奇偶性.【解】 由已知，xc x bf x af =+)1()(， 令x t 1=，则有ct t bf t af =+)()1(，即cx x bf xaf =+)()1( 可解得)()(22xabx a b c x f --= ， 而)()(x f x f -=-,故)(x f 是奇函数.三 教材习题选解或提示1.观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值： （5）1sinn u nnπ=解：1231111sin ,sin ,222336sin 0,u u u πππ======，数列{}nu 收敛，1sin 0lim lim n n n u n n π→∞→∞== （7）(1)3nn u -=解：123411,3,,3,33u u u u ====，数列{}nu 发散．（8）1cos n u n nπ=解：12341111,,,,234u u u u =-==-=，数列{}nu 收敛，1cos 0lim lim n n n u n n π→∞→∞== 2.利用数列极限的分析定义证明下列极限：（4）17lim n n→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭证明：0ε∀>，不妨设1ε<，取71log 1N ε⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=，则当n N >时，有11077n N n u ε-=<<，所以107lim n n→+∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.求下列数列极限：（5）22211111123lim n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：222132411111111223323lim lim n n n n n nn →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12lim n n n →+∞+= 12= （7）(sinsin limn →+∞-解：(cos 22sinsin 2sinlimlimn n →+∞→+∞-=1cos22sinlimn →+∞=0=(8) ()121234limn n n n →+∞+++解：()112123123441444limlim n n n n nnn n n→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1231144412344412341444lim n n n n n n n n n n n →+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭44e ==（9）()11112231lim n n n →+∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪⋅⋅+⎝⎭ 解：()1111111141122312231lim lim n n n n n n →+∞→+∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥+++=-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭111lim n n →+∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1=7.求下列函数的极限： （7）(lim x x →∞解：((2limlim x x xx x x →∞→∞⎛- =1limx →∞=0=（10）lim x →+∞解：当01a <<时，1lim x →+∞=-=当1a >时，limlimxx→+∞→+∞==8.求下列函数的极限：（2）11lim1--→nmx xx解：()()()()1111111111lim limmmn nx xx x xxx x x x--→→-+++-=--+++mn=（3）11lim31--→xxx解：))111x x→→=23=（10）211limnxx x x nx→+++--解：211limnxx x x nx→+++--()()()()()21 111111111lim limnn x xx x xx x xx-→→-++++-⎡⎤==+++++++⎣⎦-()1122n nn+=+++=9.求下列各题中的常数a 和b ：（2）2151lim x x bx ax →++=-解：()()221111lim lim x x x bx ax bx a x x →→++++=--()211101lim lim x x x bx ax x →→++=-=-10a b ∴++=，即 1b a =--又 ()2211111lim lim x x x a x a x bx ax x →→-++++=--()()()2111111lim lim x x x x a x bx ax x x →→--++=-=--15a =-=故 6,7a b == 10.求下列函数极限： （7）x →解：30limx x →()3tan 1cos 2lim x x x x →-= 2301122lim x x x x →⋅= 14= 12.求下列函数极限：（1）612sin sin 6limx xx ππ→-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解： 令 ,,066t x x t ππ=-→→原式=012sin 6sin limt t t π→⎛⎫-+ ⎪⎝⎭000cos 1221cos lim lim lim t t t t t t t t →→→⎤-+⎥-⎛⎣⎦==+ ⎝= （B ） 3.设数列{}n u1,2,,n u -+证明：lim n nu →+∞存在，并求此极限值． 证明：首先证{}n u 单调增加．21u u =>=；设1n n u u ->，则1n n u u +=>=，由数学归纳法可知，{}nu 单调增加． 其次，证{}n u 有界．由 n u =<可得，2n u <，1n ≥．即{}n u 有上界．因此，由极限存在性定理可知，lim n n u →+∞存在，设lim n n u θ→+∞=，由n u =，两边求极限，得2a θθ=+，故 2θ=或者1θ=-．由于0θ>，所以2lim n n u θ→+∞==．4.讨论函数()21lim nx nx n x x e f x e→+∞+=+的连续性，若有间断点，判别其类型．解：0x >时，()22211lim lim nn x x n n xx n n x x e x e x f x x ee --→+∞→+∞++===++ 0x <时，()21lim nxn x n x x e f x x e→+∞+==+ 综上：()2,,00x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩<>5.设()()1ln lim t t t f x e x t →+∞=+ ()0x > ，讨论()f x 的连续性解：当0x e <<时，()11ln 1ln 1lim lim limt t t t tt t t x x e t t t e x t tt⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+++=当x e >时，()11ln ln 1ln ln lim lim limt t t t t t t t e e x t x x x e x x t tt⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦==+++=当x e =时，()11ln 2ln lim lim t t tt t e e x t t →+∞→+∞=+= 综上：()1,0ln ,x ef x x x e ⎧=⎨⎩<≤> ，()f x 在(),-∞+∞上连续．9.设()f x 在上连续，12a x x b <<<，且1k 与2k 是任意正常数，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()112212k f x k f x f k k ξ+=+证明：令()()112212()()k f x k f x F x f x k k +=-+()F x 在(),a b 上连续，()()211212()k F x f x f x k k ⎡⎤-⎣⎦=+ ()()122112()k F x f x f x k k ⎡⎤-⎣⎦=+ 若()()12f x f x = ，则12()()F x F x =0=，即1x 和2x 为所求．若()12()f x f x ≠ ，则12()()0F x F x ⋅<，由零值定理可知，至少存在一点12,()(,)x x a b ξ∈⊂，使得()F ξ0=，即()()112212()k f x k f x f k k ξ+=+．(三)教材习题选解或提示（A ）2.设函数()x f 在0x 处可导，求下列极限：()4 ()()x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆0005lim.解：()()xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆0005lim()()()()x x x f x f x f x x f x ∆∆+-+-∆+=→∆000005lim()()x x f x x f x ∆-∆+=→∆0005lim+()()x x x f x f x ∆∆+-→∆000lim()()x x f x x f x ∆-∆+=→∆55lim5000()()xx f x x f x ∆-∆+-→∆000lim ()04x f '=.3. 求曲线3x y =在点()1,1出的切线方程和法线方程.解：函数3x y =的导数为23x y ='，所以()31='y ，则切线方程为 ()131-=-x y法线方程为311--=-x y . 6. 若函数()x f y =是可导函数，试证：()1 ()x f y =为奇函数，则()x f '为偶函数；()2 ()x f y =为偶函数，则()x f '为奇函数，且()00='f .证：（1）()x f y =为奇函数，则()()x f x f -=-，将此式两边同时对x 求导，得()()x f x f '-=-'-，即 ()()x f x f '=-' 则()x f '为偶函数.（2）()x f y =为偶函数，则()()x f x f =-，()00=f ，将此式两边同时对x 求导，得()()x f x f '=-'-，即 ()()x f x f '-=-' 则()x f '为奇函数.函数()x f y =是可导函数，则()0f '存在，且()='-0f ()0+'f =()0f '()='-0f ()()xf x f x 0lim 0--→=()x x f x -→0lim()='+0f ()()xf x f x 0lim 0-+→=()x x f x +→0lim =()x x f x ---→0lim =()x x f x -→-0lim =()0-'-f ，于是可得 ()00='f .9. 利用对数求导法求下列函数的导数：()1 xx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=1解：先在两边取对数，得()[]x x x y +-=1ln ln ln等式两边分别对x 求导得()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='x x x x x y y 1111ln ln 1 从而得()y x x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='1111ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-='x x x x x y 1111ln ln xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.11. 求由下列方程确定的隐函数()x y y =的导数：()4y xe y -=1解：方程两边对x 求导，得y xe e y y y '--='，从中可求得yyxee y -='1. 13. 求下列函数的n 阶导数：()3x y 2sin =解：x x x y 2sin cos sin 2=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''22sin 2πx y⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+='''222sin 4πx y()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22sin 21πn x y n n15. 求由下列方程确定的隐函数()x y y =的微分：()1 xy y =sin解：把隐函数xy y =sin 两边同时取微分，得ydx xdy ydy +=cos ，可解得 dx xy ydy -=cos .（B ）1. 设函数()()().x a x x f φ-=如果()x φ在a x =处连续，那么a x =处是否可导？如果()x φ在a x =处有定义，但不连续，又有怎样的结果？ 解：()()()x a f x a f a f x ∆-∆+='→∆0lim()xx a x x ∆∆+∆=→∆φ0lim ()x a x ∆+=→∆φ0lim 所以当a x =点为()x φ的连续点或者可去间断点时，()x f 可导，否则不可导.2. 讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sinx x xx x f α在0=x 点处的连续性和可导性.解：当0≥α时，xx x 1sinlim 0α→0=，所以函数连续，当0<α时，xx x 1sin lim 0α→不存在，所以函数不连续，讨论()0f 'x x x x 1sinlim0α→∆=x x x 1sin lim 10-→=α，因此 当1≥α时，xx x 1sin lim 10-→α0=，所以函数在0=x 处可导，当1<α时，xx x 1sin lim 0α→不存在，所以函数在0=x 处不可导.3．求曲线e xy e y=+在点()1,0处的切线方程.解：把方程e xy e y=+的两端同时对x 求导，得0='++'y x y e y y于是得yex y y +-='，得()e y 10-=' 切线方程为x e y 11-=-4．证明曲线1=xy 上任意一点的切线与两个坐标轴围成的三角形面积恒等于2.证：任取曲线上一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001,x x ，该点切线斜率为()()2001x x y -=' 该点切线方程为()()020011x x x x y --=-切线与x 轴交点坐标为()0,20x ，与y 轴交点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02,0x，所以 曲线1=xy 上任意一点的切线与两个坐标轴围成的三角形面积恒等于2.5．讨论()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00011x x e x x f x 的()0'-f 及()0'+f 及()0f '的存在性.解：()xexf xx 101lim 0+='-→-1=()xexf xx 101lim 0+='+→+0=所以()0f '不存在.6．火车以h km 100的速度向东行驶，汽车以h km 80的速度向北行驶，初始汽车在火车正北km 50，求一小时后两车的相离速度. 解：两车距离函数为()()228050100t t S ++=()()2280501006400400010000t t t t dt dS ++++=，于是可知26920401==t dtdS.7．计算以方程yxe y -=1确定的隐函数()x y y =的二阶导数.解：把方程两边对x 求导，得y xe e y yy'--='，yy xee y +-='1，把y xe e y yy '--='两边对x 求导得 ()y xe y xe y e y e y y y y y ''-'-'-'-=''2，整理可得()()3322112y yy yxe xe xe e y +-+=''.8．求函数211x y -=的n 阶导数.解：⎪⎭⎫⎝⎛++-=x x y 111121()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--='22111121x x y()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=''33121221x x y ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=++111!11!21n nn n x n x n y . 9.设曲线()nx x f =在点()1,1处的切线与x 轴的交点为()0,n x ，计算()n n x f ∞→lim .解：曲线在在点()1,1处的切线斜率为()n f ='1，因此，切线方程为()11-=-x n y ，曲线与x 轴的交点为⎪⎭⎫⎝⎛-0,11n ，因此()n n x f ∞→lim =e n nn 111lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→. 10.已知()2arctan ,2323x x f x x f y ='⎪⎭⎫⎝⎛+-=，计算=x dx dy .解：=dx dy ()2223122323arctan +⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x 所以0=x dxdy π43=.(三)教材习题选解或提示（A ）2.不用求出函数()()()()321---=x x x x x f 的导数，说明()x f '有几个根及所在区间.解：()()()()321---=x x x x x f 的导数为三次多项式，则()0='x f 最多有三个解，因为()()()()3210f f f f ===，根据罗尔定理，可知存在()1,01∈ξ使得()01='ξf ；存在()2,12∈ξ使得()02='ξf ；存在()3,23∈ξ使得()03='ξf .3. 证明方程0535=+++x x x 有且仅有一个实根. 证：设函数()535+++=x x x x f ，则()x f 在R 上连续.由于()372-=-f ，()50=f ，所以存在一点1x ()0,2-∈，使得()01=x f .假设0535=+++x x x 除1x 外还有一根2x 0≠.不妨假设21x x <，则()()21x f x f =.()x f 在闭区间[]21,x x 上连续，在开区间()21,x x 内可导.因此，有()()21,,0x x f ∈='ξξ而()113524≥++='x x x f ，矛盾,得证.4. 设1,0>>>n b a ，证明：()()b a na b a b a nbn n n n -<-<---11.证：设函数()nx x f =，在区间[]b a ,上应用拉格朗日定理，得1-=--n nn n ab a b ξ ()b a ,∈ξ因为()b a ,∈ξ，所以111---<<n n n nb n naξ，所以11--<--<n n n n nb ab a b na，得()()b a na b a b a nb n n n n -<-<---11.6.设函数()x f 在[]a ,0上连续，在()a ,0内可导，且()0=a f ，证明：至少存在一点()a ,0∈ξ，使得()()0='+ξξξf f .证：设函数()()x xf x F =，因为()()00==a F F ，可知()x F 在区间[]a ,0满足罗尔定理，则有()0='ξF ()a ，0∈ξ，即()()0='+ξξξf f()a ，0∈ξ.7.若方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =，证明：方程()0112110=++-+---n n n a x n a nxa 必有一个小于0x 的正根.证：设函数()x a x a x a x F n n n 1110--+++= ，()00=F ，则可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，可知()x F 在区间[]0,0x 满足罗尔定理，则有()0='ξF ()00x ，∈ξ，即()0112110=++-+---n n n a n a n a ξξ，()00x ，∈ξ，方程()0112110=++-+---n n n a x n a nx a 必有一个小于0x 的正根.8.设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，并且有()()b f a f =0=.试证：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f . 证：设函数()()xex f x F -=， ()()0==b F a F ，可知()x F 在区间[]b a ,满足罗尔定理，则有()0='ξF ()b a ,∈ξ，即()()[]0=-'-ξξξe f f ，可得，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()()0=-'ξξf f . 9.求下列极限：()1 ()x x x +→1ln lim 0； ()2 x e e x x x sin lim 0-→-；()3 301cos lim x x x x +-→； ()4 x b a xx x -→0lim ()0,>b a ；()5 x arc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→； ()6 2120lim x x e x →；()7 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1； ()8 ()xx x sin 0tan lim +→；()9 xx xx x sin sin lim +-∞→； ()10 x x x x x e e e e --+∞→+-lim ；()11 x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim ； ()12 xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→.解：()1 ()x x x +→1ln lim 0=1111lim 0=+→x x ；()2 x e e x x x sin lim 0-→-= 2cos lim0=+-→xe e xx x ； ()3 301cos lim xx x x +-→=23121sin lim xxx x +--→∞=；()4 x b a x x x -→0lim =ba bb aa x x x ln 1ln ln lim0=-→； ()5 x arc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=1111111lim22=+-⎪⎭⎫⎝⎛-++∞→x x x x ； ()6 2120limx x e x → ==→2101lim 2x e xx ∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-→33101212lim 2x x e x x ；()7 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x x ln 11lim 1=()x x x x x x ln 11ln lim1-+-→=xx x x 1-1ln ln lim 1+→=∞=-→211x 11limxx x ；()8()xx x sin 0tan lim +→=()xx x esin tan ln 0lim +→=xx x etan ln sin lim 0+→=x x x esin 1tan ln lim0+→=x x x e1tan ln lim0+→=2201sec tan 1limxx x x e -+→=10=e ；()9 x x x x x sin sin lim +-∞→=1sin 1sin 1lim=+-∞→xx x xx ； ()10 x x x x x e e e e --+∞→+-lim = 111lim22=+---+∞→xxx e e ； ()11 xx x a ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim =xx a x e ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1ln lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→x a x x e1ln lim =xx a x e 11ln lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→=22111limxx a x ax e-⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→=ae ；()12 xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→= xx x etan 1ln 0lim ⎪⎭⎫⎝⎛→+=xx x etan 11lnlim 0+→=xx x e11lnlim0+→=101lim220==--+→e ex x x x .10．确定下列函数单调区间：()1 29323+--=x x x y ； ()4 x e x y -=.解：()1 29323+--=x x x y ，令09632=--='x x y ， 得3,121=-=x x ，列表讨论](1,-∞-和[)+∞,3为函数()x f 的单调增加区间，[]3,1-为函数()x f 的单调减少区间；()4 x e x y -=，令01=-='xe y ，得0=x ，当0<x 时，0>'y ；当0>x 时，0<'y ，因此(]0,∞-为单调增加区间，[)+∞,0单调减少区间.11.证明下列不等式:()1 当0>x 时，x x +>+121解：设函数()=x f x x+-+121，()x x f +-='12121，当0>x 时，函数单调增加，有()()00=>f x f ，即x x+>+121. 13.求下列函数的最值:()1 []4,1,3223-∈-=x x x y解：令x x y 662-='=0，得1,021==x x ，()()()()804,11,00,51=-==-=-f f f f ，函数的最大值为()804=f ，函数最小值为()51-=-f .18.设某厂生产某种产品x 个单位时，其销售收入()x x R 3=，成本函数为()1412+=x x C .求使总利润达到最大的产量x . 解：总利润为()14132--=x x x L ，()223x x x L -='，得驻点39=x ，当39=x 时，总利润最大.20.当a 、b 为何值时，点()3,1为曲线23bx ax y +=的拐点？解：()31=f ，即3=+b a ，()0261=+=''b a f ，得29,23=-=b a .（B ）2.已知函数()x f 在[]10，上连续，在()10，内可导，且()()11,00==f f ，()x f 是x 的非线性函数.试证：在()10，内至少存在一点ξ，使得()1>'ξf .证：()x f 是x 的非线性函数，则至少有一点()1,00∈x ，使得()00x x f ≠，不妨设()00x x f >，则在()0,0x 满足拉格朗日中值定理，即()()()ξf x f x f '=--00001>，其中()0,0x ∈ξ()1,0⊂.5.设函数()x f 在闭区间[]A ,0上连续，且()00=f .如果()x f '存在且为增函数()()A x ,0∈.试证：函数()()x f xx F 1=也是增函数. 证：()()()x f xx f x x F 211-'='，当0>x ， ()x f 在区间()x ,0满足拉格朗日中值定理，则有()()()x f xx f ,0,∈'=ξξ, ()()()011>'-'='ξf x x f x x F ,函数()()x f xx F 1=是增函数.9.设()x f 在0=x 处二阶可导，且二阶导数连续，已知()31201lim e x x f x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→，求()()()0,0,0f f f '''及()xx x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→. 解：()()⎪⎭⎫⎝⎛++→→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++201lim 1201lim x x f x xx x e x x f x x 3e =, 则()2lim 20=→x x f x ，()22lim 0='→x x f x ，()22lim 0=''→x f x ， 则()()()10,00,00=''='=f f f ，()xx x x f 101lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→=()2lim 20e e x x f x =⎪⎭⎫⎝⎛→.三、不定积分习题解答（A ）7. 用换元法求下列不定积分：(3)3221x x x++⎰d 解32222222222(1)22()111121111ln(1)2arctan 22d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x x xx x x C ++-+==-+++++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰(8)2d x解2123333315)(5)(5)3d x x d x x C C-=--=-+=⎰（(9)d x 解1d d x x =+⎰（）32213C x =++（）(11)x d解d d d x x x ==⎰2C ==+(16)341d x x x x ++⎰解334244444111114211111d d d d d x x x x x x x x x x x x x x +=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰（）+4211ln(1)arctan 42x x C =+++ (21)sin cos 1sin 2d x xx x -+⎰解222sin cos sin cos sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos (cos sin )d d d x x x x x xx x xx x x x x x x ---==++++⎰⎰⎰211(cos sin )cos sin (cos sin )d x x C x x x x =-+=+++⎰(22)d x x 解22112d d d d()x x x x x x =-=--⎰⎰（ 332211133=()x x C --+ (26)sin cos 25d x x x ⎰解422sin cos sin cos sin (1sin )2522d dsinx dsinx x x x x x x x ==-⎰⎰⎰46357121(sin 2sin sin )sin sin sin sin 3572d x x x x x x x C=-+=-++⎰ (27)4sin d xx⎰解22222344sin cos 1(csc cot csc )cot cot 3sin sin d d d x x x x x x x x x x C x x +==+=--+⎰⎰⎰(28)tan 3d x x ⎰解 221tan (sec 1)tan tan ln cos 23d d x x x x x x x C =-=++⎰⎰(29)11cos d x x +⎰解2211sec tan 1cos 2222cos 2d d d x x xx x C x x ===++⎰⎰⎰ (30)3sin()sin(3)44x x x ππ++⎰d 解31sin()sin(3)cos(2)cos(4)4422d d x x x x x x ππππ⎡⎤++=--+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 111sin(2)sin(4)2224x x C ππ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦(31)24arctan 1d x xx x -+⎰解2224arctan 114arctan arctan (1)211d d d x x x x x x x x -=-+++⎰⎰⎰ 2212(arctan )ln(1)2x x C =-++(32)221sin 2cos d x x x +⎰解22211)2sin 2cos 12cot d x x x C x x x==-+++⎰ (33)2tan(3)cos (3)d x x x ++⎰ 解22tan(3)1tan(3)tan(3)tan (3)2cos (3)d d x x x x x C x +=++=+++⎰⎰ (34)d t t te e -+⎰解 22111d d d()=arctan()t t ttt t t t e t e e C e e e e -==++++⎰⎰⎰（）(35)1d x x e -⎰解 11111d d d x xx x x x x e e e x x e e e ⎛⎫-+==- ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰-- 1(1)ln 11d x x xe x e x C e =--=--+⎰-(36)x 解n(d dl x x =+322n()3l x C ⎡⎤=++⎣⎦8. 用换元法求下列不定积分：(2)xx ⎰解 设 431,(3)22t x t dx t dt ==-=则，438413)2(3)2d d d x x t t t t t t t =-⋅⋅=-⎰⎰⎰（9513139595t t C C =-+=+(4)d x解 设 2,22t x t dx tdt ==+=则，2223121(2)2d dt 2dt t x t t t t +⎛⎫=⋅=+⎪++⎝⎭⎰⎰2()2(arctan22t C C =++=+6)221(1)d x x +⎰解 设 2tan ,sec x t dx t dt ==则()22224111sec cos 1cos 22(1)sec d d d d x t t t t t t x t =⋅==++⎰⎰⎰⎰2111sin 2arctan 2221x t t C x C x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭(8)2x d解 设 sin ,cos x t dx tdt ==则()222sin 1cos sin 1cos 2cos 2d dt d d t x t t t t t t =⋅==-⎰⎰⎰111sin 2arcsin 222t t C x C ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（(9)x解 设222,ln(1),1tt x t dx dt t ==-=-则 222122111d d d t x t t t t ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭⎰⎰112ln 2ln(1)21t t C x C t ⎛-⎫=++=-++ ⎪+⎝⎭9. 用分部积分法求下列不定积分： (2)2ln(3)d x x +⎰解222223ln(3)ln(3)ln(3)2133d d d x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-⋅=+-- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰2ln(3)2x x x C =+-++(4)2sin d x x x ⎰解 2222sin cos cos cos d d d x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰22cos 2cos cos 2sin x x x x dx x x x d x=-+=-+⎰⎰()2cos 2sin sin x x x x x dx =-+-⎰2cos 2sin 2cos x x x x x C =-+++(7)d x ⎰解 设2,,2t x t dx tdt ===则()2222()d d d d t t t t t t x e t t te t te e t te e C =⋅==-=-+⎰⎰⎰⎰2()C =-+(9)32(ln )d x x x ⎰解32244241111(ln )ln )ln 2ln 444d d(d x x x x x x x x x x x==-⋅⋅⎰⎰⎰ 42342411111ln ln ln ln ()42424d d x x x x x x x x x =-=-⎰⎰ 44244211111ln ln (8ln 4ln 1)424432x x x x x x dx x x C x ⎛⎫=--⋅=-++ ⎪⎝⎭⎰ (10)2sin d x x x ⎰解 22111sin (1cos 2)cos 2242d d d x x x x x x x x x x =⋅-=-⎰⎰⎰ 221111sin 2sin 2sin 24444d x x x x x x x dx =-=--⎰⎰（）。
微积分进阶(习题解答)
否则,
存在m
≥
N
+
1满足xm
<
L
−
p+2q p
ε，这样就有
xm+1
≤
pxm + qxm−1 p+q
≤
p(L −
p+2q p
ε)
+
q(L
p+q
+ ε)
=
L−
ε.
x→a
2. 推广例题2.1.
解. 一般地, 设
lim
x→0
f (x) x
=
B,
特别, f (0) = 1. 若ank满足
n
(i) |ank| 有界.
k=1
(ii)
lim
n→∞
max
1≤k≤n
|ak |
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0.
n
(iii) lim
n→∞
ank = A.
k=1
则
n
lim
n→∞
f ank = AB.
k=1
其证明完全类似于例题.
|f (x) − A| ≤ M ε,
其中M > 0是一个绝对常数.
2. 试写出数列极限Cauchy准则的否定语句.
解.
lim
n→+∞
an
=
A
的ε − N 语言可以写作:
∃ ε > 0, 使得 ∀ N > 0, ∃ m, n > N , 满足
|am − an| ≥ ε.
3. 试写出f (x)在区间(a, b)上不一致连续的ε—δ语言. 解. f (x)在区间(a, b)上不一致连续的ε—δ语言可以写为 ∃ ε > 0, 使得 ∀ δ > 0, 存在x, y ∈ (a, b), 满足|x − y| < δ, 以及
高等数学XX大学第三版下册课后习题及答案
sz 42 (3)2 (5 5)2 5 .
6.在 z 轴上，求与两点 A（-4，1，7）和 B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为 M（0，0，z），则
解得 z 14 9 14
即所求点为 M（0，0， ）.
9
7.试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.
（1）| (a b) (a b) | a a a b b a b b || 2(a b) |
(2)| (3a b) (a 2b) || 3a a 6a b b a 2b b || 7(b a) |
27.求垂直于向量 3i-4j-k 和 2i-j+k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.
由①及②可得： a b a b 1 (a b)2 1 | a |2 | b |2 2 | a |2| b |2 4
又 a b 1 | b |2 0 ，所以 cos a b 1 ,
2
| a || b | 2
故 arccos 1 π . 23
解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k
在 x 轴上的投影 ax=13,在 y 轴上分向量为 7j.
17.解：设 a {ax , ay , az} 则有
求得
ax
1 2
.
设 a 在 xoy 面上的投影向量为 b 则有 b {ax , ay , 0}
15.求出向量 a=i+j+k,b=2i-3j+5k 和 c=-2i-j+2k 的模，并分别用单位向量 ea , eb , ec 来表达向量 a,b,c.
微积分课后题答案
微 积 分 课 后 习 题 答 案习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ；（6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ；4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax a x δδ+-00 , () 5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xxy +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞- 时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立； 4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+； 6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ； （2）45lg 2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足01>-x 和04>-x 可解得 ⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-. 4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x ,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210,30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
高等数学典型题第三版课后练习题含答案
高等数学典型题第三版课后练习题含答案前言高等数学作为一门重要的学科，在各行各业都扮演着重要的角色。
对于数学这个学科而言，典型题是很好的一个学习工具。
本文提供的高等数学典型题第三版课后习题，也是这样一个很好的学习资源。
课后练习题第一章函数与极限1.已知函数f(x)=x−1，求$$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$答：$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \\lim\\limits_{x \\to 1} \\frac{x-1}{x-1} = 1$2.已知函数$f(x)=\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$，证明f(x)在x=1处连续。
答：由于$f(1)=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此我们只需证明$$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) =f(1)$$由于$\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$在$x \\to 1$时趋于$\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) = 1$。
因此，f(x)在x=1处连续。
……（此处省略部分题目）第二章导数与微分1.求曲线y=x3−3x+2在(1,0)处的切线方程。
答：首先，我们求出该曲线在点(1,0)处的导数：f′(x)=3x2−3代入x=1，有f′(1)=0。
因此，该曲线在点(1,0)处的切线斜率为0。
又因为在点(1,0)处的曲线的切线方程的系数k为0，因此得到该曲线在点(1,0)处的切线方程为y=02.求函数$f(x)=\\frac{1}{1+x}$在x=0处的导数。
答：$$\\begin{aligned} f'(x)&=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0}\\frac{f(x+\\Delta x)-f(0)}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{\\frac{1}{1+\\Delta x}-1}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim\\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{1}{(1+\\Delta x)(1+\\Delta x)}\\\\ &=1 \\end{aligned}$$因此，f(x)在x=0处的导数为1。
高等数学下册习题答案详解
高等数学下册习题答案详解高等数学是大学数学的一门重要课程，它涵盖了微积分、线性代数、概率论等内容。
在学习过程中，习题是检验学生理解和掌握程度的重要方式。
下面将详细解答高等数学下册的一些典型习题，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1.微分方程习题解答微分方程是高等数学下册中的重要内容之一。
下面我们来解答一个经典的微分方程习题：已知微分方程dy/dx = 2x + 3，求其通解。
解答：首先将方程变形为dy = (2x + 3)dx，然后对两边同时积分，得到∫dy = ∫(2x + 3)dx。
对左边进行积分得到y = ∫dy = y + C1，其中C1为常数。
对右边进行积分得到∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C2，其中C2为常数。
将上述结果代入原方程，得到y = x^2 + 3x + C2 - C1，即为微分方程的通解。
2.向量习题解答向量是高等数学下册中的另一个重要内容。
下面我们来解答一个向量习题：已知向量a = (1, 2, -3)和向量b = (4, -1, 2)，求向量a和向量b的数量积和向量积。
解答：向量a和向量b的数量积为a·b = 1×4 + 2×(-1) + (-3)×2 = 4 - 2 - 6 = -4。
向量a和向量b的向量积为a×b = (2×2 - (-3)×(-1), (-3)×4 - 1×2, 1×(-1) - 2×4) = (7, -14, -9)。
3.级数习题解答级数是高等数学下册中的另一个重要内容。
下面我们来解答一个级数习题：已知级数∑(n=1)^(∞) 1/n^2 是收敛的，求级数∑(n=1)^(∞) 1/n^4 的和。
解答：由已知的级数∑(n=1)^(∞) 1/n^2 是收敛的可知，其和为π^2/6。
因为级数∑(n=1)^(∞) 1/n^4 是收敛的，所以存在一个常数S使得∑(n=1)^(∞) 1/n^4 = S。
微积分第三版答案详解
微积分第三版答案详解微积分是数学中的一门重要学科，以及广泛应用于物理学、工程学、经济学和计算机科学等领域的数学工具。
在学习微积分的过程中，往往会遇到各种难题和复杂的问题。
因此，有一本答案详解书籍是非常必要和有益的，可以帮助学习者更好地理解和掌握微积分的概念和方法。
本文将为您提供一份微积分第三版答案详解。
第一章：函数和极限1.1 函数和数学模型题目1：求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点。
解答：要求函数的零点即求函数在什么时候取零值。
即 f(x) = 0。
解方程得到 x^2 - 3x + 2 = 0。
通过因式分解，可得 (x - 1)(x - 2) = 0，因此 x = 1 或 x = 2。
1.2 极限的概念和性质题目2：计算极限 lim(x->0) (3x^2 - 2x + 1)。
解答：要计算此极限，只需要将 x 替换为 0 得到函数的结果即可。
即将 x 替换为 0 后，函数 f(x) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1。
因此，极限 lim(x->0) (3x^2 - 2x + 1) = 1。
第二章：导数和其应用2.1 导数的概念和运算法则题目3：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 的导函数。
解答：使用导数的运算法则，对于 x^n，导函数为 nx^(n-1)。
因此，对于函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x，其导函数为 f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。
2.2 平均值定理和导数的应用题目4：计算函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + x 在闭区间 [0, 3] 上的极大值和极小值。
解答：首先，计算函数在区间内的导数。
f'(x) = 3x^2 - 4x + 1。
然后，求导函数的零点。
将导函数 f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 置零，解方程得到 x = 1 或 x = 1/3。
然后，将极值点带入原函数，计算函数值。
高等数学(下) 第3版习题详解第八章 多元函数微积分
习题全解-第八章 多元函数微积分习题 8-11.在y 轴上求与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点。
解 设y 轴上有点)0,,0(y P 与A 和B 点等距离。
则PA ==PB ==由PA PB =得2=y即在y 轴上与点)7,3,1(-A 和点)5,7,5(-B 等距离的点为)0,2,0( 2.指出下列平面的特点，并画出草图：（1） 230x y -+=； （2） 350x -=； （3） 0x z -=； （4） 20x y +=； （5）0x y z --=； （6） 0z =. 解（1）方程中，0=C 平面平行于z 轴。
（2方程中，0==C B 平面平行于yoz 平面。
（3）方程中，0==D B 平面过y 轴。
（4）方程中，0==D C 平面过z 轴。
（5）方程中，0=D 平面过坐标原点。
（6）方程中，0===D B A 平面重合于xoy 平面。
3．指出下列方程所表示的曲面，并画出草图：（1） 2221x y z ++=； （2） 2240x y x +-=（3） 22194x y +=； （4） 2z y =； （5） 22244936x y z ++=； （6） 22214z x y +-=；（7） z =； （8） z =. 解 （1）表示球心在原点，半径为1的球面（2）表示母线平行于z 轴的圆柱面（3）表示母线平行于z 轴的椭圆柱面（4）表示母线平行于x 轴的抛物柱面（5）表示旋转椭球面（6）表示单叶双曲面（7）表示球心在坐标原点，半径为2的上半个球面（8）表示圆锥面4．写出下列旋转面的方程：（1） zOx 面上的直线2z x =分别绕x 轴、z 轴旋转而成的旋转面； （2） yOz 面上的抛物线23y z =绕z 轴旋转而成的旋转面； （3） yOz 面上的圆224y z +=绕y 轴旋转而成的旋转面； （4） xOy 面上的椭圆2244x y +=绕x 轴旋转而成的旋转面.解 （1）绕x 轴旋转：0)(4222=+-z y x ；绕y 轴旋转：0)(4222=+-y x z（2）0322=-+z y x （3）4222=++z y x（4）44222=++）（z y x 5．画出下列曲面所围立体的图形：（1）旋转抛物面228z x y =--与xOy 平面； （2）旋转抛物面22z x y =+与平面4z =； （3）圆柱面2216x y +=与平面4,0y z z +== （4）曲面22y x z +=与222y x z --=解 （1）（2）（3）（4）习题8-21.已知函数22),(xy y x y x f -=，试求)sin ,cos (y x y x f 解 22)sin (cos sin )cos ()sin ,cos (y x y x y x y x y x y x f -= y x y x y x y x 2222sin cos sin cos ⋅-⋅= )sin (cos sin cos 3y y y y x -= 2.已知函数vu vwu w v u f ++=),,(，试求),,(xy y x y x f -+解 x yx xy y x xy y x y x f 2)(),,(++=-+-3.求下列函数的定义域： （1）)4ln(12222y x y x z --+-+=解 要使函数有意义，须使 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≥-+04012222y x y x解得2214x y ≤+<所以函数的定义域为{}41),(22<+≤y x y x（2）x yy x f arcsin),(=解 要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≤-011x x y解得0>x 时，x y x ≤≤-；0<x 时，x y x -≤≤所以函数的定义域为{}x y x x y x ≤≤->,0),(⋃{}x y x x y x -≤≤<,0),(（3）yx z -=解 要使函数有意义，须使⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-0y y x 解得yx y x ≥≥≥2,0,0所以函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(（4）2229z y x u ---=解 要使函数有意义，须使09222≥---z y x解得9222≤++z y x所以函数的定义域为{}9),(222≤++z y x y x4.下列函数在哪些点间断？（1）2132--+=x y x z解 当2=x 时，函数间断所以函数有一条间断线为{}2),(=x y x（2）44y x e z xy+=解 当,0==y x 时，函数间断所以函数间断点为)0,0(习题8-31.求下列函数的偏导数和全微分 （1）123+-=xy y x z解 223y y x x z -=∂∂ xy x y z23-=∂∂ dy xy x dx y y x dz )2()3(322-+-=（2）)ln(xy x z =解 1)ln()ln(+=+=∂∂xy xyy x xy x z y xxy x x y z ==∂∂ dy y x dx xy dz ++=)1(ln（3）xy yx z +-=1解 22222)1(1)1(1)1()1)(()1()(xy y xy y xy xy xy xy y x xy y x x z ++=++-+=+'+--+'-=∂∂2222)1(1)1()()1()1()1)(()1()(xy x xy x y x xy xy xy y x xy y x y z ++-=+--+-=+'+--+'-=∂∂ dy xy x dx xy y dz 2222)1(1)1(1++-++=（4）22arcsin y x z +=解 2222222212211y x y x x y x x y x x z +--=+⋅--=∂∂ 2222222212211y x y x y y x y y x y z +--=+⋅--=∂∂ dy yx y x y dx y x y x x dz 2222222211+--++--= （5）32sin xz x y u +=解 32cos z x y x u +=∂∂ x y usin =∂∂ 26xz z u =∂∂dz xz xdy dx z x y du 236sin )2cos (+++=（6）zxy u )1(-=解 ðuðx=−yz(1−xy)z−1ðuðy=−xz(1−xy)z−1ðuðz =(1−xy)z ⋅ln(1−xy)()()()dz xy xy dy xy xz dx xy yz du zz z --+----=--1ln 11)1(112.设函数)2(),(sin y x e y x f x +=，求)1,0(x f '和)1,0(y f '解 因为xx x e y x x e f sin sin )2(cos ++=' 所以3)1,0(='x f因为)2(sin +='x e f x y 所以2)1,0(='y f3.设222),,(zx yz xy z y x f ++=，求)1,2,0(x f '，)2,0,1(xzf ''，)0,1,0(-''yzf ，)1,0,2(zzxf '''。
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
《微积分》(第三版)教学课件 (12)[8页]
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yn
A
”
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成立 则称变量y在此变化过程中以A为极限 记作 lim yA
说明 (2)如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
变化过程是x 则定义中 “总存在那么一个时刻” 是指 “总存在一个正数M” “在那个时刻以后” 是指 “当|x|M时” 而 “lim yA” 应为
“ lim f (x) A ” x
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定义26(变量的极限)
对于任意给定的正数 在变量y的变化过程中 总有那么
一个时刻 在那个时刻以后
|yA|
恒成如果变量y是定义于实数集合的函数yf(x) 而研究的
为具体函数 则不能使用通用记号
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例 证明lim cc(c为常数) 证 设yc
对任意给定的 0 恒有|yc||cc|0 所以lim cc
结论 “limcc” 表示
对数列 f(n)c 有 lim f (n) lim c c
n
n
对函数 f(x)c 有 lim f (x) lim c c 及lim f (x) lim c c
定理24 如果在某一变化过程中 变量y有极限 则变量y是有界变
量
这个定理说明变量y在某一变化过程中有极限 则变量y 在某时刻后有界 但变量在某一时刻后有界不一定有极限
例如
f (x)1x
x0 x0
在
x0
大学数学微积分 第三版 李辉来 习题详解
1. 设函数f (x,y )=x 2−2xxxx +3xx 2,求 (1) f （-2,3）；（2）f �1xx ，2yy�；（3）ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ. 解：（1）f (−2,3)=(−2)2−2(−2)×3+3×32=43(2)f �1xx ，2yy �=(1xx )2−2�1xx ��2yy �+3×�2yy �2=1xx 2yy 2(xx 2−4xxxx +12xx 2) (3) ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ=−2xx +6ℎ+3ℎ 2. 确定下列函数的定义域D ，指出D 是否为区域，是开区域还是闭区域，是否有界，并画出D 的图形。
(1) f (x,y )=ln[(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)]; (2) f (x,y )=�6−2xx −3xx ;(3) f (x,y )=√1−xx 2+�xx 2−1; (4) f (x,y )=12.解：(1)D:(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)>0 4<xx 2+xx 2<16,+xx 2<16}，有界，开区域。
（2）D ={(x,y )|6−2x −3y ≥0},无界闭区域（3）D ={(x,y )|xx 2≤1,xx 2≥1}<=>{(x,y )||xx |≤1,|xx |≥1},不是区域（全书详解请关注vx gzh 高校课后习题）(4)D ={(x,y)|xx 2−2xxxx >0}<=>�(x,y )�x >0,x >2y 或x <0,x <2y � 不是区域3. 设f �x +y,yy xx�=xx 2−xx 2求f (x,y ). 解：设x =x +y,y =yy xx =>xx =xx yy+1,xx =xxyy yy+1,=>ff (xx ,xx )=xx 2(yy+1)−xxyy (yy+1)2,=>ff (xx ,xx )=xx 2(1−yy )1+yy 4. f ��xx 2+xx 2,arctan yy xx �=xxyy (xx +yy ),求f (x,y ). 解：令x =r cos θθ,xx =rr sin θθ,则f (r,θ)=rr 2cos θθsin θθrr 4=cos θθsin θθrr 2=>ff (xx ,xx )=cos yy sin yy xx（A）1.求下列函数的极限：（1）lim（x,y）→(1,0)ln (xx+ee yy)22；（2）lim（x,y）→(0,0)�1+xxyy−1xxyy；(3)limxx→+∞yy→−∞(xx2+yy2)ee−(xx+yy)；（4）lim xx→∞yy→∞xx2+yy2xx4+yy4.解：（1）x=1,y=0代入得ln2（2）�−1=xxyy�1+xxyy+1，原式=12（3）0≤(xx2+yy2)ee−(xx+yy)≤(xx+yy)2ee−(xx+yy)，原式=0 （4）0≤xx2+yy2xx+yy≤2(xx2+yy2)(xx+yy)=2xx+yy→0，原式=02.设f(xx,yy)=xx−yy xx+yy（1）验证当（x，y）沿着直线y=kx（k≠−1）趋于（0,0）时，f(x,y)趋于1−kk1+kk；（2）求limyy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)；（3）证明lim(xx,yy)→(0,0)ff(xx,yy)不存在.解：（1）f(x,kx)=xx−kkxx xx+kkxx=1−kk1+kk(kk≠−1)（2）limyy→0lim xx→0ff=lim yy→0−yy yy=−1；lim xx→0lim yy→0ff=lim xx→0xx xx=1；（3）由（1）得，极限不存在（B）1.证明：（1）不存在；（2）lim(xx,yy)→(0,0)�1+xxyy−1xx+yy不存在；（3）lim(xx,yy)→(0,0)�xx 2yy2+1−1xx+yy=0.解：（1）以y=kx（k≠−1）趋于（0,0），原式=limxx→0kkxx1+kk，k=−1时，极限不存在（2）�1+xxyy−1xx+yy=xxyy xx+yy×1�1+xxyy+1，左极限不存在，右极限为12，则极限不存在（3）�xx2yy2+1−1xx+yy=xx2yy2xx+yy×1220≤xx2yy2xx2+yy2≤xxyy2→0，则原式=02.求下列极限：（1）lim(xx,yy)→(0,0)xxyy ln(xx2+yy2)；（2）lim(xx,yy)→(0,0)(xx+yy)ln(xx2+yy2)；（3）lim(xx,yy)→(0,0)(xx2+yy2)xx2yy2.解：（1）xxyy ln(xx2+yy2)≤12[(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)]lim rr→0rr ln rr=0，则原式=0（2）xx2+yy2≤1时，(xx+yy)ln(xx2+yy2)≤|xx ln xx2|+|yy ln yy2|→0（3）(xx2+yy2)xx2yy2=ee(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)→13.设f(xx,yy)=(xx+yy)sin1xx sin1yy，证明：全书详解请关注vx gzh 高校课后习题（1）极限lim(xx,yy)→(0,0)f(xx,yy)=0；（2）二次极限limyy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)不存在.证明：（1）|f(xx,yy)|≤�xx sin1xx�+�yy sin1yy�→0（2）limxx→0ff(xx,yy)=lim xx→0ysin1xx sin1yy，极限不存在，从而lim yy→0lim xx→0ff不存在。
微积分—极值应用问题1
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二、极值应用问题举例
(一)合理下料问题 例2 将边长为a的一块正方形铁皮 四角各截去一个大小相同 的小正方形 然后将四边折起做成一个无盖的方盒 问：截掉的小正方形边长为多大时 所得方盒的容积最大？ 解 设小正方形的边长为x 则方盒的容积为
一点x(xx0)有 f(x0)f(x) (或f(x0)f(x))
2.最值的概念 f(x0)是函数f(x)的最大值(或最小值) 是指x0[a b] 对所有
x[a b]有 f(x0)f(x) (或f(x0) f(x))
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一、最大值与最小值
§4.5 极值应用问题
一、最大值与最小值 二、极值应用问题举例
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在工程技术和生产实践中，常常考虑在一定条件下， 怎样使“用料最少”、 “成本最低”、“产量最多”、 “利润最大”等一系列的优化问题，其中有些优化问题 可以归结为求某个函数(称为目标函数)的最值或最值点 (称为最优解)问题.
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（五）利润最大
例7. 设某厂生产 q 吨产品的成本函数为 C(q) 4q2 12q 100 , 该产品的需求函数为 q 30 0.5 p ,其中 p 为产品的价格. (1) 求该产品的收益函数 R(q) ； (2) 求该产品的利润函数 L(q) ；
若 f (x)在 [a,b] 上单调，则最值必在端点处取得.
2. 仅有一个极值点的函数 若在 [a,b] 上连续的函数 f (x)，在(a,b)内有唯一极值， 则该极值必是 f (x) 在[a,b]上的最值.
人大版微积分第三版课件隐函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx dt dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的
rh
x
体积为 V , 则
13
R2h
13
r2(h
x)
R2
3h2
[
大一微积分下册经典题目及解析汇报
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y y y x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23yx z∂∂∂ 5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
高等数学教材第三版答案
高等数学教材第三版答案为了方便广大高等数学学习者更好地学习，我特意整理了高等数学教材第三版的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
下面是对教材中各章节习题的答案解析。
第一章微分学1.1 函数与极限1.2 导数与微分1.3 微分中值定理与导数的应用第二章积分学2.1 定积分2.2 反常积分2.3 定积分的应用第三章无穷级数3.1 数项级数3.2 幂级数3.3 函数项级数第四章高次方程及其解法4.1 代数方程与代数方程的根4.2 高次代数方程的整数根与有理根4.3高次代数方程的正根与实根4.4高次代数方程的复根第五章傅立叶级数5.1 傅立叶级数的定义与性质5.2 奇延拓与偶延拓5.3 傅立叶级数的收敛性第六章偏微分方程6.1 偏导数与偏微分方程6.2 一阶线性偏微分方程6.3 高阶线性偏微分方程第七章多元函数微分学7.1 多元函数的极限与连续7.2 一阶偏导数与全微分7.3 高阶偏导数与多元函数微分学应用第八章向量代数与空间解析几何8.1 向量代数8.2 空间解析几何8.3 平面与直线的夹角与距离第九章多元函数积分学9.1 二重积分9.2 三重积分9.3 三重积分的应用第十章曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 曲面积分第十一章广义重积分与格林公式11.1 广义重积分11.2 格林公式及其应用11.3 闭曲线上格林公式的应用第十二章级数的一致收敛性12.1 函数项级数的一致收敛性12.2 幂级数的一致收敛性12.3 一致收敛性的应用第十三章线性代数初步13.1 行列式13.2 向量空间与线性方程组13.3 特征值与特征向量第十四章线性代数进阶14.1 线性空间与线性映射14.2 矩阵与线性映射14.3 特征多项式与相似矩阵注意：以上只是教材中各章节的题目答案简要解析，建议在学习过程中，除了参考答案之外，还需要仔细研读教材中的知识点，并通过大量的练习来巩固和加深理解。