大学数学微积分(下) 第三版 李辉来 习题详解
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+1
2 , =>
, =
பைடு நூலகம்
+1
, =>
,
=
2
+1 2
−
,
=
2 (1−
)
1+
4. f
2
+
2 ,arctan
=(
2 + 2 )2
,求 f x,y .
2 cos 4
解 ： 令 , =
x = r cos , = sin ,则 f r,θ =
2
sin
=
cos sin
2
=>
cos sin
1. 设函数 f x,y = x2 − 2 (1) f（-2,3） ； （2）f
1
+3 ，
2
2
,求
, +ℎ − ( , ) ℎ
； （3）
.
解： （1）f − 2,3 = ( − 2)2 − 2 − 2 × 3 + 3 × 32 = 43 (2)f (3)
1
，
2
= ( )2 − 2
1
1
2
+3×
2 2
=
x,y
2
≤ 1,
2
≥ 1 <=>
x,y
≤ 1,
≥ 1 ,不是区域
y 1 1 x
(4) x,y x > 0,x > 2y 或 x < 0,x < 2y 不是
y
D=
x,y
2
−2
> 0 <=>
区域
Y=2x x
3. 设 f x + y,
=
2
−
2
求 f x,y . => =
+1
解 ： 设 x = x + y,y =
1
2 2
(
2
−4
+ 12 2 )
, +ℎ − ( , ) ℎ
=− 2 + 6ℎ + 3ℎ
2. 确定下列函数的定义域 D，指出 D 是否为区域，是开区域还是闭区 域，是否有界，并画出 D 的图形。 (1) (2) (3) (4) f x,y = ln [(16 − f x,y =
2
−
2
)(
2
+
2
− 4)];
6−2 −3 ;
2
f x,y = 1 − f x,y =
1
2 −2
+
2
− 1;
.
2 2 2
解：(1)D: 16 − D=
y
2
−
+
2
− 4 > 04 <
2
+
2
< 16,
x,y 4 <
+
2
< 16 ，有界，开区域。
2
4
x
（2）
y 2
D=
x,y 6 − 2x − 3y ≥ 0 ,无界闭区域
3
x
D= （3）
2 , =>
, =
பைடு நூலகம்
+1
, =>
,
=
2
+1 2
−
,
=
2 (1−
)
1+
4. f
2
+
2 ,arctan
=(
2 + 2 )2
,求 f x,y .
2 cos 4
解 ： 令 , =
x = r cos , = sin ,则 f r,θ =
2
sin
=
cos sin
2
=>
cos sin
1. 设函数 f x,y = x2 − 2 (1) f（-2,3） ； （2）f
1
+3 ，
2
2
,求
, +ℎ − ( , ) ℎ
； （3）
.
解： （1）f − 2,3 = ( − 2)2 − 2 − 2 × 3 + 3 × 32 = 43 (2)f (3)
1
，
2
= ( )2 − 2
1
1
2
+3×
2 2
=
x,y
2
≤ 1,
2
≥ 1 <=>
x,y
≤ 1,
≥ 1 ,不是区域
y 1 1 x
(4) x,y x > 0,x > 2y 或 x < 0,x < 2y 不是
y
D=
x,y
2
−2
> 0 <=>
区域
Y=2x x
3. 设 f x + y,
=
2
−
2
求 f x,y . => =
+1
解 ： 设 x = x + y,y =
1
2 2
(
2
−4
+ 12 2 )
, +ℎ − ( , ) ℎ
=− 2 + 6ℎ + 3ℎ
2. 确定下列函数的定义域 D，指出 D 是否为区域，是开区域还是闭区 域，是否有界，并画出 D 的图形。 (1) (2) (3) (4) f x,y = ln [(16 − f x,y =
2
−
2
)(
2
+
2
− 4)];
6−2 −3 ;
2
f x,y = 1 − f x,y =
1
2 −2
+
2
− 1;
.
2 2 2
解：(1)D: 16 − D=
y
2
−
+
2
− 4 > 04 <
2
+
2
< 16,
x,y 4 <
+
2
< 16 ，有界，开区域。
2
4
x
（2）
y 2
D=
x,y 6 − 2x − 3y ≥ 0 ,无界闭区域
3
x
D= （3）