平面向量的综合应用64页PPT
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沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件
沪教版数学高二上册-平面向量的应用 PPT全 文课件 【完美 课件】
1. a b a b 0 线 线 垂 直
cos a b 求 角 大 小 或 证 明 角 相 等判 断 角 形 状
ab
2.
a
2
x2
2
y2
边长、距离
a a
3. b/ / a(a 0) b a 线线平行、点共线
F
O
BO // BD, B,O, D三点共线
B
A
E
BO为ABC的角平分线四边形ABCD为菱形.
BA AD 2
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由 1 BA 1 BC 3 BD 即BO 3 BD,
BA
BC
BD
BD
2
2
两
边
平
方
得：BA
2 BA • BC
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课本第8章平面向量的坐标表示一页中有这样 一段话： ……当向量与其坐标建立起对应关系后，向量可以
表示成有序的实数对，这是一种数学的抽象。 这种抽象的好处是，使向量可以在更大的范围内
加以利用，并由此建立起向量与代数、几何、三角的 紧密联系。
小 ？ 并 求 此 时OB与OA xOB的 夹 角 。
方法一：利用
a
2
2
a
向量的数量积可以计算长度和角。
方法二：建立坐标系，可以降低问题的难度。我们要有运
用坐标的意识，将几何问题中形的问题转化为数的运算。
方法三：向量的几何背景也是解决几何问题的有效工具
1.长度、距离、夹角几何问题可以运用向量的数量积（代数角度）. 2.建立坐标系是几何问题代数化的重要工具（代数角度）. 3. 向量的几何背景是解决几何问题的有效工具（几何角度）。 4.我们应从问题条件入手，多角度思考问题。 5.在探究的过程中我们运用了函数思想、数形结合思想。 沪教版数学高二上册-平面向量的应用PPT全文课件【完美课件】
第二十七讲 平面向量的应用课件.ppt
答案 －14
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
评析 本题考查平面向量加减法的几何运算、平面向量的 数量积运算，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思 想等数学思想方法．
3．将 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移，则 平移后所得图像的解析式为( )
A．y＝2cosx3＋π4－2 B．y＝2cosx3－π4＋2 C．y＝2cosx3－1π2－2 D．y＝2cosx3＋1π2＋2
解析 函数 y＝2cosx3＋π6的图像按向量 a＝－π4，－2平移后所得图像解析式为 y＝2cos13x＋π4＋π6－2＝2cos13x＋π4－2，所以选 A.
答案 A
4．若直线 2x－y＋c＝0 按向量 a＝(1，－1)平移后与圆 x2
＋y2＝5 相切，则 c 的值为( )
A．8 或－2
B．6 或－4
②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等 问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
【典例 1】 如图，正方形 OABC 两边 AB，BC 的中点分 别为 D 和 E，求∠DOE 的余弦值．
[分析] 把∠DOE 转化为向量夹角．
[解] 解法一：O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋12A→B，
O→E＝O→C＋C→E＝O→C＋12C→B，
2．向量应用的分类概述 (1)应用平面向量解决函数与不等式的问题，是以函数和 不等式为背景的一种向量描述，它需要掌握向量的概念及基 本运算，并能根据题设条件构造合适的向量，利用向量的 “数”、“形”两重性解决问题． (2)平面向量与三角函数的整合，仍然是以三角题型为背 景的一种向量描述，它需要根据向量的运算性质将向量问题 转化为三角函数的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．
＝0 且 2(a·b)＝|a|·|b|，则由向量 a·b，c 构成的三角形的三个内
高中数学平面向量应用举例课件新人教A版必修.pptx
• [解析] (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F 与位移s方向相同，所以拉力对木块所做 的功为：
• WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)． • 支持力FN与位移方向垂直，不做功，所以 • WN＝FN·s＝0. • 重力G对物体所做的功为：
• WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)
• 同一平面上，作用于同一点的两个力f1、f2 或三个力f1、f2、f3处于平衡状态(如下图所 示)，可分别用等式来表示：
f1＋f2＝0，f1＋f2＋f3＝0. 力O→F在O→S上的分力O→F′＝|O→F|cosθ·|OO→ →SS|，是与O→S共线
的向量，不要和投影|O→F |cosθ 相混淆．
• [分析] 设物体在力F作用下的位移为s， 则所做的功为W＝F·s.
• [点评] 物理上力做功的实质是力在物体前 进方向上的分力与物体位移距离的乘积， 它的实质是向量的数量积．
• 两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j，作用于同一 质点，使该质点从A(20,15)移动到B(7,0)， 其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量 ．则：
• (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关 系；
• (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
• 3．向量的物理背景
• (1)向量是既有大小又有方向的量，物理中 有许多量，比如力、速度、加速度、位移 等都是向量．
• (2)物理学中相关知识与向量的联系
• ①力、速度、加速度、位移的合成与分解 就是向量的加减法，运动的叠加亦用到向 量的合成；
• [例7] 质量为2kg的木块，在平行于斜面 向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ ＝30°的光滑斜面向上滑行2m的距离(如 图)
第六章 第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例 课件(共64张PPT)
法二：如图，以点 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x
轴，垂直 BC 且过点 B 的直线为 y 轴，建立平面直角坐
标系，则 B(0，0)易知 E(－2，0)，A(－3， 3 )，又 BD
＝ 25＋12－2×5×2 3×cos 30° ＝ 7 ，所以 D(2，
3 )，于是B→D ＝(2， 3 )，A→E ＝(1，－ 3 )，所以
＝|b|＝|c|＝1.若 a·b＝12 ，则(a－b)·(2b－c)的值可能为( ) A．3－ 3 B．－2 C．0 D．－ 2 (2)(一题多解)(2019·天津卷)在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝2 3 ，
AD＝5，∠A＝30°，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE＝BE，则B→D ·A→E ＝________．
所以(a－b)·(2b－c)的值可能为－2，0，－ 2 .故选 BCD.
(2)法一：△AEB 为等腰三角形，易得BE ＝2，所以A→E ＝A→B ＋B→E ＝
→ AB
－25
→ AD
，则B→D
·A→E
＝(A→D
－A→B
)·A→B－25A→D
＝－25
→ AD
2－A→B
2＋75
→ AD
·A→B
＝－10－12＋21＝－1.
与 b 的夹角 θ 为( )
A．π6
B.
π 3
C．23π
D．56π
D
[cos θ＝aa·bb
＝－2×6 63
＝－
3 2
，又 0≤θ≤π，则 θ＝5π 6
.]
4．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析： a＝(1，0)，b＝(－1，m)，则 ma－b＝(m＋1，－m). 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，m＝－1. 答案： －1
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量的综合应用PPT教学课件
2
∴ a b a 2a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3 a
∴ cos a (a b)
2
a ab
a21 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a 2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b 与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
MⅡ
精细胞
变形
精子
精细胞变形总结：
1.细胞核
精子的头部
2.高尔基体
精子头部的顶体
3.中心体
精子的尾部
4.线粒体
线粒体鞘
5.细胞内其他物质 原生质滴
(球状,最后脱落)
胎
卵原细胞
儿
有丝分裂
卵
时
多个卵原细胞
子 发 生 过
初 情 期
期 完 成
染色体复制
初级卵母细胞
MⅠ
程至
次级卵母细胞 第一极体
生
MⅡ
殖
衰 卵子 第二极体
f (ma nb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2) mf (a) (mx1, 2my1 mx1) nf (b) (nx2, 2ny2 nx2 )
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
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则有 3＋p2＝4，解得 p＝2，所以抛物线 M 的方程为 y2＝4x，F(1,0). 设 Ay420，y0，则O→A＝y420，y0，A→F＝1－y420，－y0，所以O→A·A→F＝y4201－y420
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
－y20＝－4，解得 y0＝±2.所以点 A 的坐标为(1,2)或(1，－2).
题型一 向量在平面几何中的应用
师生共研
典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点. 若 A→C·B→E＝1，则AB＝____12____.
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F， 则 又∵ B→EA→＝CF＝→DA→，D∴＋BA→→EB＝，F→D＝A→D－21A→B， ∴A→C·B→E＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋21|A→D||A→B|cos 60°－12|A→B|2
定是菱形.( √ )
(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为
2π 3
，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1
＋F2的大小为 19 .( √ ) (5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 O→P·O→A ＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y
－4＝0.( √ )
(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)， 若动点P满足：O→P＝O→A＋t(A→B＋A→C)，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1
∴△ABC 为直角三角形.
3.[P103定义]已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的 大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝___3_0_0___ J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
平面向量的综合运用 人教课标版精品公开PPT课件
即
r2 ka
(t3
r2 3t)b
(t
kt 2
r 3k)a
r b
0
，
∴ k
r a
2
(t3
3t)
r b
2
0，
将
r a
2,
r b
1 代入上式，得 4k
t3
3t
0 ，∴k
1 (t3
3t)
，
4
∴ k t2 1 (t2 4t 3) 1 (t 2)2 7 ，
t4
4
4
故k
t t22 t
时1 (，t2 4
变式：试用向量 b ， c 表示 a .
解：⑵∵ a mb nc ，m, n R ，
∴ (3,2) m(1,2) n(4,1)
(m 4n,2m n)
∴
m 4n 2m n
2
3
，
，
解之得
m
5 9
n
8 9
.
一、平面向量的基本运用
例 2 平面内给定三个向量： a (3,2) ， b (1,2) ， c (4,1) .⑶若 (a kc) ∥ (2b a) ，求实数 k；
2
解：⑴∵ f (x) a (a b) a a a b
sin2 x cos2 x sin xcosx cos2 x
1 1 sin 2x 1 (cos2x 1) 3 2 sin(2x ) ，
2
2
22
4
∴ f (x) 的最大值为 3 2 ，最小正周期是 2 ；
22
的转化，从而将问题转化为三角问题，再利用三 角函数的知识来解决的.
巩固练习
设向量 a (sin x,cos x) ， b (cos x,cos x) ， x R ，函
平面向量的数量积及平面向量的应用pptxppt正式完整版
解析 由题意,得a·b=|a|·|b|cos<a,b>=2×4×cos =4,所以|3a-2b|=
3
(3=a =2b)=22 .9 故a2选1 B2.ab4b2 9 4 1 2 44 1 6 1 3
例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC= 9
0°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|
P+A3
|的P B 最小值为
.
解题导引
根据题意,建立适当的
平面直角坐标系 设出相应点的坐标,
求得 P A +3 P 的B 坐标 表示出|
+3P A |
利P 用B 函数思想得最小值
=- ×1解×1析×cos 6建0°立+ 平×1面2= 直,故角选B坐. 标系如图所示,则A(2,0),
(2)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 . 若(2)两若个A(非x1零,y向1),量B(ax=2(,xy12,)y,则1),|b =|(=x 2,y2),则 ,这就是平面内 三例角4 函(数20法21:江可西以七把校所联求考两,向13量)已的知夹向角量放a到=(三1, 角)形,b中=(,3利,m用),正且、b在余a弦的定方向 理例和5 三(角20形21的天面津积,7公,5分式)等已内知容△进AB行C求是解边.长为1的等边三角形,点D,E分别 特是别边地 AB,a,B·aC=的⑨中点|a,|连2 接.DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 · 的值为 用(4)向 量· 法=解 决· 平=面 几· 何⇔问P题为的△方AB法C的垂心. 两(5)向|a量·b|的≤|a夹|·角|b|分. 别是锐角与钝角的充要条件 (若3)两 个+ 非+零 向=0量⇔a=G(为x1△,y1A)B,bC=的(x重2,y心2).,则 · =( + )· = · (又2)|a∥|=b ⇔=2,∴ax·b1=y2|a-|x|2by|c1o=s0<a,b. >=-6, =则-B ×,1C× 1,A× co,所s 6以0°=+( 1,×0).12= ,故选B. 若例不3 把(向20量21放重到庆坐,7标,5分系)中已研知究非,零则向求量此a类,b问满题足的|b通|=法4|a是|,且利a用⊥向(2量a+的b运),则a与
3
(3=a =2b)=22 .9 故a2选1 B2.ab4b2 9 4 1 2 44 1 6 1 3
例2 (2018河南安阳调研,15)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC= 9
0°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|
P+A3
|的P B 最小值为
.
解题导引
根据题意,建立适当的
平面直角坐标系 设出相应点的坐标,
求得 P A +3 P 的B 坐标 表示出|
+3P A |
利P 用B 函数思想得最小值
=- ×1解×1析×cos 6建0°立+ 平×1面2= 直,故角选B坐. 标系如图所示,则A(2,0),
(2)a∥b⇔ x1y2-x2y1=0 . 若(2)两若个A(非x1零,y向1),量B(ax=2(,xy12,)y,则1),|b =|(=x 2,y2),则 ,这就是平面内 三例角4 函(数20法21:江可西以七把校所联求考两,向13量)已的知夹向角量放a到=(三1, 角)形,b中=(,3利,m用),正且、b在余a弦的定方向 理例和5 三(角20形21的天面津积,7公,5分式)等已内知容△进AB行C求是解边.长为1的等边三角形,点D,E分别 特是别边地 AB,a,B·aC=的⑨中点|a,|连2 接.DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 · 的值为 用(4)向 量· 法=解 决· 平=面 几· 何⇔问P题为的△方AB法C的垂心. 两(5)向|a量·b|的≤|a夹|·角|b|分. 别是锐角与钝角的充要条件 (若3)两 个+ 非+零 向=0量⇔a=G(为x1△,y1A)B,bC=的(x重2,y心2).,则 · =( + )· = · (又2)|a∥|=b ⇔=2,∴ax·b1=y2|a-|x|2by|c1o=s0<a,b. >=-6, =则-B ×,1C× 1,A× co,所s 6以0°=+( 1,×0).12= ,故选B. 若例不3 把(向20量21放重到庆坐,7标,5分系)中已研知究非,零则向求量此a类,b问满题足的|b通|=法4|a是|,且利a用⊥向(2量a+的b运),则a与
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AQ
4 3
13
9
9 第26页/共63页
例4：已知点M(-1,0),N(1,0)，且点P使 MP MN, PM PN, NM PN成公差小于零的等差数列。
（1）求点P的横坐标所满足的方程。 （2）若 为 PM与 PN的夹角，求 的取值范围。
MP MN x 1, y 2,0 2x 2 PM PN x 1,y1 x,y x2 y2 1 NM NP 2,0 x 1, y 2x 2
a
B
③几何图形：用有箭头的线段来表示； A
3.向量的模：向量的大小叫作向量的模，记作
|
a |或
AB
4.零向量：规定模为零的向量叫作零向量；记作 0
零向量的方向是不确定的！
第1页/共63页
5.向量相等：
如果向量 a和
相等的向量，
记b 的作模a 相 b等 且方向相同，那a么这两个向量叫作
规定：零向量都是相等的。
AB 4,8, AC 6,4
直线AB的方程：y=2(x-1)
1
点P（4，6） Qx, y
cosBAC
65
直线AC的方程：y=-2/3(x-1)
SABC
1 2
AB
AC sinBAC
32
Q x, 2 x 1
3
SAPQ
x
1 2
SABC
12
16
4 x
1
AP
2
12
16
AQ 13
s
inBAC x 5,3
则平行四边形的对角线所表示的向量 OC c
就叫做向量 a 和 b 的和，记作 c a b
求向量和的运算，叫做向量的加法.
第4页/共63页
人教A版(2019)数学必修(第二册)：6.4 平面向量的应用 课件(共132张PPT)
(2)设物体在力 F 作用下的位移为 s，则所做的功为 W＝F·s. 因为A→B＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)． 所以 W1＝F1·A→B＝(3，4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
已知两边及一角解三角形
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cosC2＝ 55，BC＝1， AC＝5，则 AB＝( )
A．4 2
B． 30
C． 29
D．2 5
(2)已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝ 5，
c＝2，cos A＝23，则 b＝( A． 2
) B． 3
3．设 P，Q 分别是梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的中点，AB ∥DC，试用向量证明：PQ∥AB.
证明：设D→C＝λA→B(λ＞0 且 λ≠1)，因为P→Q＝A→Q－A→P＝A→B＋B→Q －A→P＝A→B＋12(B→D－A→C) ＝A→B＋12[(A→D－A→B)－(A→D＋D→C)] ＝A→B＋12(C→D－A→B) ＝12(C→D＋A→B)＝12(－λ＋1)A→B， 所以P→Q∥A→B，又 P，Q，A，B 四点不共线，所以 PQ∥AB.
若A→B＝3e，D→C＝5e，且|A→D|＝|B→C|，则四边形 ABCD 的形状为 ________． 解析：由A→B＝3e，D→C＝5e，得A→B∥D→C，A→B≠D→C，又因为 ABCD 为四边形，所以 AB∥DC，AB≠DC. 又|A→D|＝|B→C|，得 AD＝BC， 所以四边形 ABCD 为等腰梯形． 答案：等腰梯形
【解】 (1)如图，设A→B表示水流的速度，A→D表示 渡船的速度，A→C表示渡船实际垂直过江的速度． 因为A→B＋A→D＝A→C，所以四边形 ABCD 为平行四边 形． 在 Rt△ACD 中，∠ACD＝90°，|D→C|＝|A→B|＝12.5. |A→D|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其 航向应为北偏西 30°.
平面向量的综合应用共66页
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
平面向量的综合应用
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
人教A版必修四 2.5平面向量应用举例 课件(36张)
因为 tan α＝10303＝ 33(α 为 ν 和 ν2 的夹角，α为锐
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
角)， 所以 α＝30°. 所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3
km/h.
归纳升华 用向量方法解决物理问题的步骤
1．转化：把物理问题中的相关量用向量表示，转化 为向量问题的模型．
2．运算：通过向量的运算使问题得以解决． 3．还原：把结果还原为物理问题．
|b|＝1，θ＝π3. 所以 a·b＝|a||b|cos θ＝32.
又因为A→C＝a＋b，D→B＝a－b， 所以|A→C|＝ A→C2＝ （a＋b）2＝
a2＋2a·b＋b2＝ 13， |D→B|＝ D→B2＝ （a－b）2＝
a2－2a·b＋b2＝ 7. 所以 AC 的长为 13，DB 的长为 7.
又D→E＝D→A＋A→E＝－a＋b2，A→F＝A→B＋B→F＝b＋a2，
所以A→F·D→E＝b＋a2·－a＋b2＝－12a2－34a·b＋b22＝
－12|a|2＋12|b|2＝0.
→→ 故AF⊥DE，即
AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系如图，设正方形的边长为
→ 2，则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，AF＝(2，
→ 1)，DE＝(1，－2)．
→→ 因为AF·DE＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
→→ 所以AF⊥DE，即
AF⊥DE.
归纳升华 对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条 件，即向量的数量积为 0.而对于这一条件的应用，可以用 向量关系式的形式，也可以用坐标的形式．
[变式训练] 在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，
解析：设合力为 F，则 F1⊥F2，且 F＝F1＋F2， |F|＝ （F1＋F2）2＝ F21＋2F1·F2＋F22＝
平面向量的应用_课件
证明：等腰三角形的两个底角相等 。
如图，正方形ABCD的边长为a,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三 等分点，AF与DE交于点M，求∠EMF的余弦值。
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N.设AB=mAM,AC=nAN，求m+n的值 2
精品 课件
高中数学必修2
第六章 平面向量及其应用
平面向量的应用
新人教版
特级教师优秀课件精选
教学目标
学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题、简单的力学问题及其 他一些实际问题的过程。
体会向量是一种处理几何问题、物理问题的有力工具 。 培养运算能力、分析和解决实际问题的能力 。
教学重点
向量方法在几何问题中的应 用 向量方法在物理中的应 用
几何性质及几何与向量的关系
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为 θ. 用向问量题解类型决常见平面所用几知何识问题的技巧
公式表示
线平行、 点共线等问题
垂直问题
夹角问题
共线向量定理 数量积的 运算性质
数量积的定义
a∥b⇔_a_＝__λ__b_⇔__x_1y__2_－__x_2_y_1_＝__0，其中a＝ (x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
a⊥b⇔a·b＝0⇔x_1_x_2_＋__y__1y__2_＝__0___，其中a ＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零
向量 cos θ＝________(θ为向量a，b的夹角)
，其中a，b为非零向量
长度问题
数量积的定义
向量方法解决平面几何问题的步骤
建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将 平面几何问题转化向为量__问__题____。
平面向量的综合应用-PPT课件
x1 y2 x2 y1 0
4.用向量法处理向量的模： a a
2
2
二、基础应用
例1.已知 a与 b是非零向量， 且 a b a b 求 a 与 a b的夹角。 解： 设 a 与 a b 的夹角为 2 2 2 2 得 b a b a 2a b b 由 b a b ，
3
例3. 已知向量
三、向量在代数中的应用
u ( x, y) 与 v ( x,2 y x)
的对应关系记作 v f (u ) 求证：对于任意向量 a, b及常数 m, n 恒有f (ma nb) mf (a) nf (b)
证明： 设
f (ma nb) (mx1 nx2 ,2my1 2ny2 mx1 nx2 ) mf (a) (mx1, 2my1 mx1 ) nf (b) (nx2 , 2ny2 nx2 ) f (ma nb) mf (a) nf (b)
x
3 HP PM 0, PM MQ, 2
五、小结
1.向量的基本知识点
2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
（2） k a b 与 a 3b 平行？
平行时，它们是同向还是反向？ 1 解： 由题意得： 10(2k+2)+4(k-3)=0. 解得： k 3 1 k 时 k a b 与 a 3b 平行 3 1 此时 k a b (a 3b)
k a b 与 a 3b 反向.
a 3b
ka b a 3b (ka b) (a 3b) 0
10(k-3)-4(2k+2)=0 解得: K=9. 得： K=9 k a b 与 a 3b 垂直。 时
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．