电力拖动与运动控制 第七章 7.1 坐标变换

1
i
N2
1
q
Fm
Fm
iq

id
d
i

(a) 静止两相绕组
(b) 旋转的直流绕组
如图(b)，匝数相等且互相垂直的绕组{d , q} 中分别通以直流 id 和
iq ，并且使得包含这两个绕组在内的整个铁心以与旋转磁动势 Fm
同步的转速 1 旋转。当观察者也站到该铁心上和绕组一起旋转时， 在他看来， d 和 q 是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。
j120o
)
j 0o
i e
j 90o
)
式中， I s i 2 i 2 ， i I s cos t , i I s cos( t / 2) 。
注意,在第 5 章 5.2、5.4 节的定义为
Fm (t ) N 3iABC N 3 (i Ae
j 0o
第7章 具有转矩闭环的 交流电动机速度控制系统
7.1 坐标变换 （掌握） 7.2 感应电机的动态数学模型 （介绍） 7.3 感应电机按转子磁链定向的矢量控制系统（介绍）
7.1 节 坐标变换
7.2 节 异步电动机 的动态数学模型 7.3 节 异步电机按转子磁链 定向的矢量控制系统 7.4 节 异步电机的 直接转矩控制系统
2 j 0o
uB e
j120o
uC e
j120o T
) (iAe
j 0o
iB e
j120o
iC e
j120o
)
u AiA u B iB uC iC u T i u i u i 由上式的条件可以求得匝数比 N 3 / N 2 2 / 3
7
C3/ 2
1 1 2 2 3 3 0 2
1 2 的逆矩阵 C 2/3 3 2
1 2 1 3 2 1 2
0 3 2 3 2
iA i 2/3 变换式为 iB C2 / 3 ， i i C 2 0 i i A 3 还可以有， 1 iB 1 i 2 6
课后思考：为何非满秩还有逆矩阵？
8
对于三相四线系统（一般用于配电系统。）
i i i 0 2 3 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 i A iA 3 i i C B ABC / 0 B 2 iC iC 1 2
三个变量线性相关，可以用时间上相差90度电角度的两维正交供电系统
等效。
2
变换原则：
B
1
Fm

1
N 2i
N3iB
Fm
N 3iC
A
N 3iA
N 2i

C
(a) 三相绕组（ N 3 匝）
(b) 两相绕组( 坐标、 N 2 匝）
图 7.1.1 交流电机绕组及相关磁动势
原则： 两个旋转磁动势相等时， 在三相坐标系下的 N 3iABC 和在两相 坐标系下的 N 2 i 是等效的。 这种在三相静止绕组 A、 B、 C 和两相静止绕组 a、 之间的变 换，称为三相静止坐标系和两维静止坐标系间的变换，简称 3/2 变 换。
r1
I1
(c) 旋转直流绕组的 d 轴与转子磁链矢量同轴
r1 I1 L1 L 1 Lm kl Lm L 1 Eg kl Lm Ir0
(d) 它激直流机的绕组
L 1 I0
Es
L' 2
' I2
' I r2
U1 (1 )
Eg
Lm
Er
r s
' 2
U1 (1 )
kl E r
r2' 2 kl s
（7.1-9）
• 这些变换阵也适用于所有三线系统电压、电流、磁链和功率变换。 • 零序分量 的物理意义？
9
7.1.2 两维正交静止坐标--两维正交旋转坐标变换 1、问题的提出：旋转变换：相量等等

N2
i I cos 1t , i I sin 1t , I i 2 i 2 id 2 iq 2
（7.1-21）
13
2、具体变换式的推导（基于直角坐标）

i Fm
1
i
1t
i

(a) {a, } 和 {d , q} 坐标 图 7.1.4 两相静止、旋转坐标系以及磁动势（电流）空间矢量
14

q i i Fm
1
iq

id
d

i

(a) {a, } 和 {d , q} 坐标 图 7.1.4 两相静止、旋转坐标系以及磁动势（电流）空间矢量
iB e
j120o
iC e
j120o
)
与上式的定义相差 2 / 3
4
B

三相总磁动势与二相总磁动势 相等时， 两套绕组瞬时磁动势在 a、 轴上的投影都应相等。
1 1 i N 3 2 i 3 N 2 0 2 1 i A 2 i 3 i B C 2
1
17
有时，旋转坐标变换也写作 cos sin ' ' C 2 r / 2 s C2 s / 2 r cos sin i I sin , i I cos
（7.1-15） （7.1-16）
由于式（7.1-15）的行列式的值为-1，在数学上称为“第二类正 交矩阵” 。被用于电力系统的有功、无功计算或控制。
Ub
。三个时间变量
UC
r
iA
UA
A
u AB , uBC 和 uCA 是相位相差 120o 电角度
的正弦量。此外，
iC
Uc
u AB uBC uCA 0 ， i A i B iC 0
e j 0 e j120 e j120 =0
o o o
C
c
图 7.2.1 三相异步电动机的绕组模型
6
1 1 i 2 2 所以 3 3 i 0 2
1 i A 2 iB 3 iC 2
令 C3/ 2
1 1 2 2 3 3 0 2
1 iA i i 2 C 3/2 B ， 所以 i 3 iC 2
15
i cos i sin

q
i Fm
sin iq iq C2 r / 2 s cos id id
1
i
iq

id
d
cos sin 式中，C2 r / 2 s sin cos 是两维旋转坐标系变换到两 维静止坐标系的变换阵。 可知 该矩阵为正交矩阵。 并且由于 其行列式的值为+1， 数学上被 称为的“第一类正交矩阵” 。
N 3iB
60 60
N 2 i N 3i A
A
N 2 i

N 3 iC C
图 7.1.2 三相、两维坐标系 与绕组磁动势的空间矢量
5
B N3iB
1
Fm A
N 3iA

1
N 2i
Fm
N3iC

N 2i
C
(a) 三相绕组（ N 3 匝）
(b) 两相绕组( 坐标、 N 2 匝）
基于变换前后总功率不变的原则，按照 6.2 节中求解空间矢 量公式的方法，即， p uABC T i ABC k (u Ae
第 8 章 同步电动机 原理及其调速系统
图 7.0 内容及其相互关系
1
7.1 坐标变换
7.1.1 三相静止坐标系--两维正交静止坐标系变换（3/2变换） 1、问题的提出
直接采用三相静止坐标系表示。该 坐标系如图所示，三个坐标的空间位置 为e
j 0o
B
UB
iB
r
a
Ua
，
b
,e
j120o
和e
j120o
图 6.3.2 异步电动机稳态等效电路和感应电动势
图 6.3.6 异步电动机稳态 T-I 型等效电路
12
2、具体变换式的推导 (基于极坐标)

N2
1
i
Fm
N2 i
q
Fm
d
1t
iq
dq
id

1t
(a) 静止两相绕组
(b) 旋转的直流绕组
以上图为例，由于，
i [i i ]T =Ie j1t，idq [id iq ]T Ie
进一步如图（ c）所示，选择旋转磁动势 Fm 的方向（ 1t ）为 d 坐标的 方向，并将 d 轴更名为 M 轴， q 轴改为 T 轴。则 M 坐标的电流 iM 为，
iM I s i 2 i 2 , 1t arccos( i /
i2 i2)
（7.1-10）
此时 iM 的方向与磁动势 Fm 的方向重合，即等价为，磁动势 Fm 由旋转坐标
两个坐标系之间的夹角为 1t dq 。
j
jdq
（7.1-20）
只要定义正向旋转因子为 e ，则由静止坐标到旋转坐标的变换、 以及由旋转坐标到静止坐标的变换分别为
jdq j i i e Ie dq j ( dq ) j j1t i i e Ie Ie dq
（7.1-8）
1 iA i 2 1 B 3 2 iC 1 2
1 0 2 i i 3 1 i C 0/ ABC i 2 2 i i 0 3 1 0 2 2

q i
1
i Fm d id iP i Fm
1
iq

P iQ

i

Q


18
特例: 从 {a, } 坐标系到到两维旋转坐标系{ {M , T } 坐标系}。

q

i Fm
iq cos
M 上的直流电流 iM 产生， T 轴电流为 iT 0 。这时，绕组 M 相当于励磁 绕组（注意，在忽略铁损时 Fm 的方向与磁链 ψm 的方向一致） 。
11
为什么要旋转变换？
1
q
r
T
1
iT M
T
M r
q
iq
id
1t
d
m
A
ia
iM
F if
d
(b) 两维旋转的直流绕组 d 轴与气隙磁链矢量同轴


i
(a) {a , } 和 {d , q} 坐标 图 7.1.4 两相静止、旋转坐标系以及磁动势（电流）空间矢量
16
i cos i sin
sin iq iq C2 r / 2 s cos id id
10 此时， i [id iq ]T 产生的 Fm 与图(a)中 i [i i ]T 产生的 Fm 相等。

N2
i N2
i
Fm
q
Fm
d
T iT M
T
Fm
M
q
1t

iq
id
dq
1t
1t
iM
A
ia
F if

d
(aHale Waihona Puke Baidu 两维静止绕组
(b) 两维旋转的直流绕组
(c) 旋转直流绕组的 d (d) 它激直流机的 绕组 轴与磁动势同轴
3
2、变换式推导
设三相绕组每相有效匝数为 N 3 、电流矢量为 i ABC 、两相 绕组每相有效匝数为 N 2 、电流矢量为 i ，则
Fm (t ) N 3iABC N 3 2 / 3(i Ae N 2 i N 2 2 / 3(i e
j 0o
iB e
j120o
iC e
（7.1-11）
对式（7.1-11）两边都左乘以变换阵 C2r / 2 s 的逆矩阵，即得 iq cos sin i cos sin i i sin cos i sin cos i (7.1-13) d 则两维静止坐标系变换到两维旋转坐标系的变换阵是 cos sin （7.1-14） C2 s / 2 r sin cos