圆切线的性质及判定
圆的切线的三种判定方法
圆的切线的三种判定方法
三种判定方法如下：1、圆心到直线的距离为半径，就是切线。
2、可以判定直线和圆的交点与圆心的连线和直线垂直也可以证明是切线。
3、也可以是判定直线和圆只有一个交点，也就是切线。
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切。
这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
切线定理是指一直线若与一圆有交点，且只有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。
圆的切线有哪些性质(九年级上)
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圆的切线有哪些性质
答：圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的性质主要有五个：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．。
圆的切线知识点总结
圆的切线知识点总结一、切线的定义在欧式几何中，对圆的切线有以下几种定义：1. 如果一条直线与圆相交于两点，那么这条直线就被称为圆的切线。
2. 一条直线与圆相交于圆上的一点，那么这条直线就是圆的切线。
3. 一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的切线。
这三种定义表达了切线与圆的位置关系，指出了切线与圆的相交情况以及位置特征。
二、切线的性质1. 切线与半径垂直圆的半径与切线的交点处相互垂直。
2. 切线定理若直线l与圆相切于点P，直线l与直径所夹的角为直角。
3. 切线长度相等过圆外一点作一切线与圆相交于A、B两点，连接线A、B，若CA=CB，则线段CA与线段CB构成圆的切线。
4. 切线的判定若直线l经过圆外一点，分别与圆上两点A、B相连，若线段AB的中点恰好是圆心O，那么直线l即为圆的切线。
5. 切线的唯一性圆外一点到圆的切线唯一。
以上是切线的主要性质，这些性质在解题时常常起到重要的作用，特别是在证明几何问题时，能够帮助我们理解和应用切线的知识。
三、切线与圆的位置关系1. 内切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，但直线上的其他点都在圆的内部，那么这条直线就是圆的内切线。
2. 外切线如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的外切线。
3. 相切线如果一条直线与圆相切于圆上的一点，且直线上的其他点都在圆的外部，那么这条直线就是圆的相切线。
切线与圆的位置关系在解题时十分重要，通过分析切线和圆的位置关系，可以帮助我们求解许多几何问题。
四、切线的判定方法1. 切线与圆的位置关系我们可以通过切线与圆的位置关系来判断一条直线是否为圆的切线，如切线的定义所述，可以分析直线与圆的相交情况以及位置特征来判定切线。
2. 对于圆外一点到圆的切线的判定，我们可以利用中位线作图，利用几何思维判定出直线是否为圆的切线。
3. 切线定理的应用切线定理是判定切线的重要原理之一，通过利用切线定理，可以判定一条直线是否为圆的切线。
圆的切线判定定理及性质定理讲义
O ATO MTA B圆的切线判定定理及性质定理讲义一、基础知识归纳1.切线的判定定理切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个 条件缺一不可。
结论是“直线是圆的切线”。
2．切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
我们分析：这个定理共有三个条件：一条直线满足（1）垂直于切线 （2） 过切点 （3）过圆心 任意知道两个，这可以推出第三个。
即知2推1。
定理：①过圆心，过切点⇒ 垂直于切线 OA 过圆心，OA 过切点A ，则OA ⊥AT②经过圆心，垂直于切线⇒过切点()()12AB M AB M T ⎫⎪⇒⎬⊥⎪⎭过圆心为切点③ 经过切点，垂直于切线⇒过圆心()()12A M M T AM M ⊥⎫⎪⇒⎬⎪⎭过圆心为切点二、典型例题解析【例1】PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA=6cm,OP=10cm,求AC的长.lAOAOB PCM【例2】如图，⊙O 的直径A B =6cm ，点P 是A B 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA 的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大 小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数【例3】如图,若⊙的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D,且⊙O 的半径为2,则CD 的长是多少？【例4】如图，AB 为半圆O 的直径，CB 是半圆O 的切线，B 是切点，AC•交半圆O 于点D ，已知CD=1，AD=3，那么cos ∠CAB=________．BDAC【例5】设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．【例6】在Rt ABC∠=°，D是A B边上一点，以B D为直径的O △中，90ACB⊙与边AC相切于点E，连结D E并延长，与BC的延长线交于点F．（1）求证：B D B F=；（2）若64，，求O==BC AD⊙的面积．。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
初中数学 什么是圆的切线
初中数学什么是圆的切线
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
下面我将详细介绍圆的切线的概念和性质：
1. 圆的切线定义：
圆的切线是指与圆的边界相切且只有一个交点的直线。
这个切点是圆上的点，切线与圆的边界只有这一个交点。
2. 圆的切线的性质：
-圆的切线与半径垂直，即切线与半径的夹角为90°。
-从圆的外部引一条直线与圆相交，如果直线与圆的边界相切，那么这条直线就是圆的切线。
-圆的切线长度等于从切点到圆心的半径长度。
-圆的切线与切点到圆心的连线共线。
-圆的切线是与圆心连线的直线中最短的一条。
3. 圆的切线的应用：
圆的切线在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在光学中，圆的切线可以用于描述光线与曲面的相交关系；在工程学中，圆的切线可以用于定位和布局。
另外，圆的切线的性质也可以用于解决一些几何问题，如构造、证明等。
需要注意的是，圆的切线是一条直线，它与圆的边界相切且只有一个交点。
以上是关于圆的切线的概念和性质的介绍。
希望以上内容能够满足你对圆的切线的了解。
圆的切线的定义和判定定理
圆的切线的定义和判定定理圆的切线可以通过以下两种方式进行定义和判定定理的解释：
定义：
1. 切线的几何定义，对于圆上的任意一点，通过该点且与圆相切的直线称为圆的切线。
2. 切线的代数定义，如果直线的方程和圆的方程联立成方程组有且只有一个解，且该解恰好是圆上的一点，则该直线即为圆的切线。
判定定理：
1. 切线判定定理一，直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
2. 切线判定定理二，直线与圆相切的充分必要条件是直线与圆的切点处的切线的斜率等于圆的半径的斜率的负倒数。
通过这些定义和判定定理，我们可以清晰地理解圆的切线的概念及其性质。
希望这些解释对你有所帮助。
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
九年级数学圆的切线的知识点
九年级数学圆的切线的知识点数学中的圆是一个常见的几何图形，它有许多有趣的性质，其中之一就是切线。
切线是一个与圆相切于一点且与圆没有其它的交点的直线。
在这篇文章中，我们将探讨九年级数学课程中关于圆的切线的知识点。
1. 切线定义及性质切线是一个特殊的直线，它与圆只有一个交点，且与圆在该点的切线相切。
切线的性质有以下几点：(1) 切线与半径垂直：切线与从切点到圆心的半径垂直相交。
(2) 弦切角相等：切线和过切点的弦所夹的角相等。
(3) 切线长度相等：从圆外的任意一点引切线，得到的切线长度都相等。
2. 切线的判定方法在几何中，判断一条直线是否为圆的切线，有以下两种判定方法：(1) 切线判定法一：若直线与圆只有一个交点，并且该交点到圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
(2) 切线判定法二：若直线与圆相交，且与圆的切点处平分被切角，那么该直线也是圆的切线。
3. 切线的性质在解题中的应用切线的性质经常在解题过程中被使用，下面介绍几个常见的应用情况：(1) 切线的长度：我们可以利用切线的性质来求解切线的长度。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以使用勾股定理或者勾股定理的变形来求解切线的长度。
(2) 弦的长度：通过切线和弦的切角相等的性质，我们可以利用已知的切线长度和弦的长度来计算未知的切线或者弦的长度。
(3) 切线的方程：切线与圆的关系可以通过方程来表示。
我们可以利用切线判定法一中的条件，得到切线方程的一般形式。
4. 实际生活中的切线应用切线在实际生活中有许多应用，下面介绍几个例子：(1) 轮胎的设计：车辆的轮胎通常是圆形的，轮胎的切线对于保证行驶的稳定性非常重要。
(2) 光学反射：光线在两种介质之间传播时，若入射角等于反射角，则光线与界面的交点所在的直线即为切线。
(3) 经济决策：在经济学中，曲线图表上的切线可以表示某一点的边际效应，帮助决策者做出合理的判断。
总结起来，九年级数学课程中关于圆的切线的知识点包括切线的定义及性质，切线的判定方法，切线性质的应用，以及实际生活中的切线应用。
3.4.3圆的切线性质定理
练习与巩固：
1、如图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°， 则∠BAC等于（ ） A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
O B A
（1）
A E
C
O B
（3）
B
D
（2）
C
A
2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于 点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度. 3、如图,在△OAB中,OB：AB=3：2 , 0B=6，⊙O与AB相切 于点A, 则⊙O的直径为 。
4、如图,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°, 点C是优弧上的一点,则∠ACB=___.
A
C
C
O B
P
A
O
B
P
（4）
（5）
5、如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线 PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A.
5 3 3
B.
5 3 6
C. 10
九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识
3.4 直线和圆的位置关系(3) 切线的性质定理
切线的作法：
(1)连接半径；
(2)过半径的外端点作半径的垂线。 切线的判定：
1、直线与圆交点的个数：只有一个交点。 2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。
3、经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
D. 5
辅助线的作法：作过切点的半径
6、在△ABC中，AB=2，以A为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则BD的长为 。
变式一：在△ABC中，AB=2，AC= 半径的圆与边BC相切 ，则BC的长为 ，以A为圆心，1为 。
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
24.2.2.3圆的切线及切线长定理
切线长定理的拓展
A
D
OHຫໍສະໝຸດ CPB（1）写出图中所有的垂直关系 （2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
o．
．
o．
三角形外接圆
C
三角形内切圆
C
． o
A B B
． o
A
外接圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到三 角形任意一个定点的距离。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。 内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
例2 已知：如图, △ABC的内切圆⊙O与 BC 、CA、 AB 分别相交于点D 、 E 、 F ，且AB＝9厘米，BC ＝14厘米,CA ＝ 13厘米,求AF、BD、CE的长。
A E F B D O C
小结：
（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 线~ 根据你的直观判断，猜想图中PA是否等于PB？∠1与∠2又 又OA=OB，OP=OP， 有什么关系？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠1=∠2
⌒
P
A
O
P
B
• 切线长定理：
•
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
复习：
切线的判定：
切线的性质：
问题：
过平面内的一点作圆的切 线，可以作出几条切线？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
A
O
P
人教版九年级初中数学上册第二十四章圆切线的性质定理
判定定理的表述
圆切线的判定定理：过圆外一点有且只有一条直线与圆切于一点。
证明方法：利用反证法，假设过圆外一点有两条直线与圆切于一点，则这两条直线重合，这 与已知条件矛盾，因此假设不成立，故原命题成立。
应用：在解题过程中，可以利用圆切线的判定定理来判断某一直线是否为圆的切线。
注意事项：在应用圆切线的判定定理时，需要注意前提条件是“过圆外一点”，否则结论可 能不成立。
性质定理的证明
定义：圆切线的定义是过半径的外端且垂直于这条半径的直线 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 证明方法：利用相似三角形的性质进行证明 定理的应用：在解题中，可以利用这个定理来证明一些与圆有关的题目
求解与圆切线相关的问题
圆切线的定义和性质 圆切线的判定方法 圆切线的应用举例 圆切线与其他几何图形的联系
判定定理的应用
判定圆内接四边形的对角是否互补 判定一个四边形是否为圆外切四边形 判定一个四边形是否为圆内接四边形 判定一个四边形是否为圆外切四边形
性质定理的表述
圆切线的定义：过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 性质定理的证明：利用勾股定理和切线的定义进行证明。 性质定理的应用：在解题中利用此定理进行证明和计算。
注意事项：注意题 目中的隐含条件， 避免出现错误
拓展：通过练习和 巩固，提高解题能 力和思维水平
与圆切线相关的其他知识点
圆切线的定义和性质
圆切线的判定定理
圆切线的应用
圆切线与其他几何图形的联系
拓展知识的应用领域
几何学：圆切线在几 何学中有着广泛的应 用，如圆内接四边形、 圆与圆的位置关系等
物理学：圆切线在 物理学中也有着重 要的应用，如圆周 运动、弹性力学等
圆的切线定律
圆的切线
圆切线具有如下性质：
(1)切线与圆只有一个公共点；
(2)切线与圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
从上述5条性质知道：性质(1)是切线的定义；性质(2)是切线判定方法的逆定理；性质(3)、(4)、(5)是切线性质定理及其推论，其中性质(2)、(3)应用较多．
在应用切线性质定理时，如果只有切线，没有半径，要添加辅助线——就是连接过切点的半径，则此半径必垂直于切线．
应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．
(1)利用切线性质计算线段的长度
例1：如图，已知：AB是⊙O的直径，P为延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半径为3．求：OD的长．
例2：如图，已知：AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE 的延长线交于F，且AF=BF．求：∠A的度数．
例4：如图，已知：AB是⊙O直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求证：CD=CE．
例5：如图，已知：△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求证：DE⊥AC．。
圆切线证明的方法
切线证明法切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD ＝OB ，点C 在圆上,∠CAB ＝30º．求证：DC 是⊙O 的切线．思路：要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º． ∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ． ∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端"和“垂直于这条半径"这两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ，弦AD ∥OC ．求证:CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理,又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线,只要证明∠ODC ＝90º即可．证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．图1图2∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4． 又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质-—与圆的切线垂直于过切点的半径．证明:连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ． ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时,辅助线常常是连接圆心与切点,得到半径，那么半径垂直切线．【例4】 如图1，B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：AC 是⊙O 的切线． 理由：连接OC ， ∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B ．∵∠COD 是△BOC 的外角， ∴∠COD =∠OCB +∠B =2∠B ． ∵∠ACD =2∠B ， ∴∠ACD =∠COD ． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠DCO +∠COD =90°． ∴∠DCO +∠ACD =90°． 即OC ⊥AC ．∵C 为 ⊙O 上的点，∴AC 是⊙O 的切线．【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC 的外接圆,AB 是⊙Ｏ的直径,D 是AB 的延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ,且AC 平分∠EAB ．求证：DE 是⊙O 的切线．图3O ABCD2 31证明：连接OC，则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO,∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，∴AE∥CO，又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明:连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC,OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO,所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图，在△ABC中,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC 于E，B为切点的切线交OD延长线于F。
圆的切线和切点的性质
圆的切线和切点的性质切线是一个非常重要的概念，特别是在几何学中研究圆形时。
当我们将直线恰好与圆相交于圆上一点时，这条直线就成为圆的切线。
切线与圆相切于切点，这个切点位于切线上与圆相接的位置。
在本文中，我们将讨论圆的切线和切点的性质。
1. 切线与半径垂直当一条直线与圆相切时，该直线与半径的交角为90度。
也就是说，切线与半径垂直。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
以圆心O为中心，以半径OA为半径作圆，并将BC延长至圆上交于点D。
由于OD是BC的延长线，而OC是半径OA的延长线，且OC与OD相等（都是圆的半径），因此三角形OCD是等腰三角形。
所以∠OCB=∠ODC。
而由于OC与OD相等，所以∠ODC=∠OCD，即∠OCB=∠OCD。
因此，∠OCB+∠OCD=（∠OCB+∠OCD）/2 = 90度。
所以，切线与圆上的半径垂直。
2. 切线的切点位于半径延长线上当一条直线与圆相切于某一点时，该切点与圆心以及该直线上的长为半径的延长线上的点共线。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
以点O为中心，用半径OA作圆，在圆上取一点D，使得CD与BC平行。
由于BC是切线，所以OC与CD垂直，并且OC与CD重合（共线），所以OC 必然是半径OA的延长线。
因此，切点C位于半径OA的延长线上。
3. 切线的切点到圆心的距离等于半径的长度切点到圆心的距离等于半径的长度。
证明：设圆的半径为OA，切线为BC，切点为C。
由于OC是半径OA的延长线，所以OC与OA相等。
又因为BC是切线，所以OC与BC垂直，并且它们相交于切点C。
所以OC与BC相互垂直，并且相等。
因此，切点C到圆心O的距离等于半径OA的长度。
通过上述性质的证明，我们可以看出切线与切点的重要性质。
这些性质在解决几何问题时非常有用，并且经常被应用于实际问题的解决中。
因此，熟练掌握切线和切点的性质对于几何学的学习非常重要。
切线的判定和性质
设圆的半径为r， 的距离为d， 设圆的半径为 ，圆心到直线 l 的距离为 ，则： 直线 l 和⊙O相交 相交 直线 l 和⊙O相切 相切 直线 l 和⊙O相离 相离
⇔ ⇔ ⇔
d<r d=r d>r
O
d
r
l
相切
直线
叫做⊙ 的 l 叫做⊙O的切线 个公共点， 直线 l 和⊙O有1个公共点，这个点叫切点 有 个公共点 这个点叫切点
O P
∴ AP = OP 2 − OA2 = 10 2 − 6 2 = 8cm
例4：如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C， 连接BC，若∠A=40°，求∠C的度数。 解: 连接OB 连接OB ∵AB是⊙O的切线，B是切点 AB是 的切线， ∴ OB⊥AB OB⊥
即 ∠OBA=90° OBA=90°
几何语言表达： 几何语言表达：
∵
l
是⊙O的切线，A为切点 的切线，来自∴ 半径OA ⊥ 直线l
例3：如图，PA是⊙O的切线，A为切点，OA=6cm,OP=10cm, 求AP的长度。
A
解: ∵PA是⊙O的切线 PA是 且A为切点 ∴ OA⊥AP OA⊥ ∴ ∠OAP=90° OAP=90°
在RT⊿OAP中，OA=6cm，OP=10cm RT⊿OAP中 OA=6cm，
A O
C
B
练习一：如图，A是⊙O外一点，B是⊙O上一点，AO的延 长线交⊙O于点C，连接BC，∠C=20°，∠A=50° 求证：直线AB是⊙O的切线 连接OB 证: 连接OB ∵OC=OB OBC=20° ∴ ∠C= ∠OBC=20° ∴ ∠BOA=40° BOA=40°
提示：连接OB 提示：连接OB ∵ ∠A=50° A=50° ∴∠OBA=90° OB⊥ ∴∠OBA=90° 即OB⊥AB
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理
圆的三大切线定理：
第一个定理，就是切线的性质定理，这个定理是很简单的，而且理解不困难，只要记住：”过圆心“，”过切点“和”互相垂直“这三条谁知二推一就够了。
第二个定理，是切线的判定定理，切线的判定是中考中常经常考的内容，切线判定主要有三种方式：定义法、距离法及定理法。
其中最常用的是定理法，其次是距离法，定义法就很少用到了。
这里面，在进行切线判定时，其实只需要记住："有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，正半径"就可以了。
也就是说，切线的判定主要就这两种题型，即题目中告诉直线与圆有交点和直线与圆无交点。
第三个定理，是切线长定理。
在这个定理中，同一交点所形成的两条切线长时相等的，并且此交点与圆心的连线是两条切线长的夹角的角平分线，所以说是有一对相等的角的。
在做相应的练习时，同学们要条件反射式的看到切线长，就要知道有两组相等，即线相等及角相等。
圆切线的性质及判定
圆切线的性质及判定一. 切线的判定方法：⑴.切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。
⑵.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线⑶.经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二.辅助线规律：(1)直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直简称："有点，连接，证垂直”。
即当条件中已知直线与圆有公共点时，利用“⑶.经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。
(2)当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径简称：“无点，作垂线，证(等于)半径” 。
即当条件没有告诉直线与圆有公共点时，利用“(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。
三.例题讲析：例1.已知：直线AB经过O O上的点C,并且OA=OB CA=CB 求证：直线AB是O O的切线。
A C B例2.如图，已知OA=OB=厘米，AB=8厘米，O O的直径为6厘米求证：AB与O O相切A C B例3.如图，已知AB是O O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB点C在圆上,/ CAB=30 .求证：DC是O O的切线。
例4.如图，AB为O O的直径, C为O O上一点, AD和过C点的切线互相垂直，垂足为 D.求证：AC平分/ DAB例5.已知：AB是O O的直径，BC是O O的切线，切点为B, OC平行于AD 求证：DC是O O的切线。
例6.如图，A是O O外一点，连OA交O O于C,过O O上一点P作OA的垂线交OA于F,交O O于E,连结PA 若/ FPC=Z CPA.求证：PA是O O的切线例7.如图，AB=AC以AB为直径的O O交BC于D, DE L AC于E求证：DE与O O相切例8.如图，已知AB为O 0的直径，BC切O 0于B, AC交O O于P, C E=EB E点在BC上。
求证：PE是O 0的切线。
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圆切线的性质及判定
一．切线的判定方法：
⑴．切线的定义：与圆有唯一公共点的直线叫做圆的切线。
⑵．到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
二．辅助线规律：
（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直
简称：“有点，连接，证垂直”。
即当条件中已知直线与圆有公共点时，利用“⑶．经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”证明。
（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径
简称：“无点，作垂线，证（等于）半径”。
即当条件没有告诉直线与圆有公共点时，利用“（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；”证明。
三．例题讲析：
例1. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB
求证：直线AB是⊙O的切线。
例2. 如图，已知OA=OB=5厘米，AB=8厘米，⊙O的直径为6厘米
求证：AB与⊙O相切
例3. 如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°.
求证：DC是⊙O的切线。
例4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB。
例5. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于AD
求证：DC是⊙O的切线。
例6. 如图，A是⊙O外一点，连OA交⊙O于C，过⊙O上一点P作OA的垂线交OA于F，交⊙O于E，连结PA，若∠FPC=∠CPA.
求证：PA是⊙O的切线
例7. 如图，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E
求证：DE与⊙O相切
例8. 如图，已知AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E点在BC上。
求证：PE是⊙O的切线。
四．练习：
1、如图7，AB为⊙O直径，PA、PC为⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°
（1）求∠P大小。
（2）AB=2，求PA的长。
2、如图8，RTΔABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC中点，连接DE。
求证：直线DE是⊙O的切线
3、如图9，MP切⊙O于M，直线PO交⊙O于A、B，弦AC∥MP。
求证：MO∥BC
4、如图10，⊙O是ΔABC的外接圆，AB=AC,过点A作AP//BC，交BO的延长线于P 求证：AP是⊙O的切线。
5、如图4，ΔABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，
DE⊥AC于E。
求证：DE是⊙O的切线。