《线性代数》第二章自测题

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线性代数第二章测试题

第二章矩阵及其运算1.填空(1)设A 为3阶方阵，且A =3，则|312()A |=( )。

(2)A 为3阶方阵且A =2，则|132A A -*-|=( ),|**()3A A -|=( )。

(3)已知A =200120112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦满足AB=A+B 则B =( )。

2.单项选择题(1)设A,B 均为n 阶矩阵，则必有( )。

A ．AB A B +=+ B ．AB=BAC ．AB BA =D ．111()A B A B ---++=(2)设n 阶方阵A,B,C 满足关系式ABC=E 则必有( )。

A ．ACB=EB ．CBA=EC ．BAC=ED ．BCA=E(3)设A,B 为n 阶方阵，满足关系AB=O ,则必有( )。

A ．A=B=OB ．A+B=OC ．A =0或B =0D ．0A B +=(4)设A 为n 阶方阵，且0A a =≠,则|*A |=( )。

A ．aB ．1aC ．1n a- D ．n a 3.已知矩阵A =121210110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B =010210021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2223,,A B AB BA A B +--。

4.求二阶矩阵的逆矩阵(1) 1315A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ (2) 1221B ⎛⎫= ⎪⎝⎭5.判断矩阵1200130010230112A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是否可逆，若可逆，用分块矩阵的方法求1A -。

6.设矩阵100220345A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求1*()A - 7.解矩阵方程(1) 101112112011253X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦(2) X AX B =+，其中010111101A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，112053B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3) 32125456X --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭8.求矩阵310211211344A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的秩。

线性代数第二章矩阵练习题（有答案）

第二章一、选择题 1、计算13230102-⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值为（C ） A.-5 B.6 C.3003⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2902-⎡⎤⎢⎥⎣⎦2、设,A B 都是n 阶可逆矩阵，且AB BA =，则下列结论中不正确的是（D ） A. 11AB B A --= B. 11A B BA --= C. 1111A B B A ----= D.11B A A B --=3、初等矩阵（A ）A. 都是可逆阵B.所对应的行列式值等于1C. 相乘仍是初等阵D.相加仍是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵，满足0AB =,若()2r A n =-，则（C ） A. ()2r B = B.()2r B < C. ()2r B ≤ D.()1r B ≥二、判断题1、若,,A B C 都是n 阶矩阵，则()k k k k ABC A B C =. （×）2、若,A B 是n 阶反对称方阵，则kA 与A B +仍是反对称方阵.（√）3、矩阵324113A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵2213B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可进行乘法运算. (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ，则A B =. (×)三、填空题1、已知[]456A =，123B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求AB 得_________。

(32)2、已知12n a a A a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（0,1,2,,ia i n ≠= ），则1A -=3、设A 为n 阶方阵，2A =，求TA A的值为_________。

4、设A 为33⨯矩阵，3A =-，把A 按列分块为()123A A A A =,求出132,4,A A A 的值为__________。

四、计算题1、计算()101112300121024--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.解原式()1292(38)4-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2、求矩阵100120135A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦的逆矩阵. 解求出10A =-，11201035A ==，1210515A -=-=-，1311113A --==--， 2100035A =-=,2210515A -==--,2310313A -==-,12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212n +3100020A ==,3210010A -=-=-,3310212A -==--故*11001102213110105A A A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.五、证明题设n 阶方阵A 满足3()0A I +=，求证A 可逆，且求1A -.证由3()0A I +=得32330A A A I +++=,于是2(33)A A A I I ⎡⎤-++=⎣⎦. 令233B A A I =---,则AB =I ,故A 可逆，且1233A A A I -=---.。

线性代数2章精选练习题

2、单项选择题第一章行列式1.下列排列是5阶偶排列的是（）. (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512•如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,则排列j n j 2j 1的逆序数是（）.3. 4. 5.(A) k (B) n!k (C) I(D)n(n 1) k 2n 阶行列式的展开式中含 a^a 22的项共有（(A) 0(B) (C)(n 2)!(D)(n 1)!0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0).(A) 0(B) (C) (D) 20 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 01 0).(A) 0 (B)(C)(D) 26.在函数 f(x)2x1 3 01 2 3 1中x 3项的系数是（).(A) 0(B)1(C)1(D) 2a 11 a 12a 132，则2a na 13a 112a i27.若Da 21 a 22 a 23D 12a 21 a 23 a 21 2a 22a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B)4(C) 2(D)8.若a 11 a i2则厲2ka 22( ).a ,a 21 a 22*1ka 21( 0).).2,5,1, X ,二、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是 _________2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符号是3. 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是4.若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于9. (A) ka (B)ka (C) 已知4阶行列式中第1行元依次是k 2a(D)k 2a4,0,1,3,第3行元的余子式依次为(A) 0 (B) (C) (D) 210.若 D 则D 中第一行元的代数余子式的和为().(A) 1 (B)(C)(D)11.若 D,则D 中第四行元的余子式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)kx 3X 1 X 212k :于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组X 1kx 2 X 30有非零解kx 1 X 2X 3()(A)1(B)2(C)3(D)32 251 1 11,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1 ,有元素，则所得的新行列式的值为11 11 1x 1x 11 10.行列式1 x 1 11x 111 1111 11. n 阶行列式1 1111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为则该行列式的值为则 4阳 3A 42 2A 43 A 44 ______5.行列式 6 •行列式 1) a r11 耳1a 11 a 13 3a 〔2 3912a 12913 8.如果Da 21a 22a 23M ，则D 1a 21 a 233a ?23922931 932 933931 933 3932 3932a 211)7.行列式 5阶行列式的值为5,将其第一行与第9.已知某31(na 2(na 1n 0 5行交换并转置，再用2乘所1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 513.设行列式D1, 2, 3, 4)为D 中第四行元的代数余子式,1.7A 44A 41 A 42kx-2x 2 X 3 017. 齐次线性方程组2x 1kx 20仅有零解的充要条件是X 1X 2X 3 02x 2X 3 018. 若齐次线性方程组2x 2 5X 3 0有非零解，则k=.3为 2x 2 kx 3 0、计算题abcd2,22,2X y x y a b c d ； 2.3 ,3 3 ,3 yx yxabcd14.已知D 中第四列元的代数余子式的和为15.设行列式D1 3 1 123 5 1 34 6 26，A 4j 为a 4j (j 1,2,3, 4)的代数余子式，则16.已知行列式D2n 1 0 0,D 中第一行元的代数余子式的和为x y X ybed a c d a b d a b c1.7xa i1x1711.a ia 2a n 2 3 •解方程a 2 a n 2a 2 a 3 a 2a 3a n 15. 1 1 a 1 1 1 a 2(a j1,j0,1,,n)；a n6. (n 1) b11 1 1x a 1 a 2 a na a 1 a 1a 1 x a 2a n 7.b b 2 a 2 a 2 ； 8.a 1 a 2 x a nb b 2 b 3a na 1a 2 a 3x210 10 0X 1 %x 2x 2x 1 x f X 2X nJX n X 1x n X 21 X ：1 aa 0 0 01 1 a a 0 0 D0 1 1 aa 0 0 0 1 1 a a11 a29. 10.四、证明题设 abed 1,证明:ai Dxa 1xa 2b 2x a 2xa 3b 3x a 3X 1 1 1 abe2.22a b e 4.4 4ab e2. 13. b ib 2 b 3 d d 2 d 41 1 a 1a 24. 2a 12a 2n 2a 1n 2a 2na 1 na 2(b a n2a nb 21 a 1 b2 丄e1a1 b 10.a 1b 1 Ci (1 x 2) a 2b 2 C 2a 3b 3 e 3C1C 2C 3 a)(c a)(d a)(e b)(d b)(d e)(ana i(a j aj .i 11 i j nn 2a n a n1 1 5.设a,b,e 两两不等，证明a b3,3a b1 e 3e0的充要条件是a b参考答案.单项选择题A D A C C D ABCD B B3.2,0,1;4.(x aQn n 1 \5.(a k1)(1 —);6k 0k 0 a k 17. n(1)n(b k a k );8.k 1(2 b)(1 b) ((n 2) b);nn(xaQ(x a k );k 1k 110.•填空题 1. n ；2. ;3. a 【14a22a31 印3 ;4. 0 ;5.0 ;6. ( 1)n 1n!n(n 1)7.(1)a 1n a 2( n 1)a n1;8.3M ; 9. 160; 10. 4x ; 11.( n) n 112..2 ; 13. 0 ;14. 0 ;15. 12, 9 ;16. n!(1"-k);17. k 2,3k1k18..k 7三 -•计算题1 • (a b c d)(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)；2. 2(x 3 y 3)；n 111. (1 a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)第二章矩阵、 1. A 、单项选择题B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是（）。

《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答

An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章矩阵及其运算

线性代数练习册练习题—第2章矩阵

第2章
一、填空题
1．
2 0
3
121
2 1
02 _________．
矩阵
2.设 A 2 3 1 2 ，则 AAT _________．
3.设
A
a c
b d
，则
A
的伴随矩阵
A*
_________．
4．设 A 为 3 阶方阵，且 A =2, 则 A =
．
5. A 为 3 阶方阵， A =2，则 A A
（ A ）若 A, B 可逆，则 A B 可逆
（ B ）若 A, B 可逆，则 AB 可逆
（ C ）若 A B 可逆，则 A B 可逆（ D ）若 A B 可逆，则 A, B 可逆
5．A 为 n 阶可逆矩阵，下列各式中不正确的是（）．
（A） (2A)1 =2 A1
（B） A1 = 1 A
(B)4
( C )5 （D）40
a11 a12 a13
a21
a22
a23
9．设
A
a21
a22
a23
，
B
a11
a12
a13
a31 a32 a33
a11 a31 a12 a32 a13 a33
0 1 0
1 0 0
P1
1
0
0
，
P2
0
1
0
，则（
）成立．
0 0 1
1 0 1
（）
4. 在秩是 r 的矩阵中，所有的 r 阶子式都不等于 0.
()
5. 从矩阵 A 中划去一行得到矩阵 B ，则 R( A) R(B) ．（）
四、计算题
1.计算
1 0

线性代数习题集第二章-湖北工业大学水印

1 2 1
1
学 1
，试求伴随矩阵
A*
的逆矩阵。
3
湖
大
业
工四、求解下列方程组（每题 10 分，共 20 分）
北 x1 + 2x2 + 3x3 = 1
1、 2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 3x1 + 5x2 + x3 = 3
湖
2 1 −1 1 −1 3
学 2、
X
1
1
1
=
4
3
2
3 2 1 2 −2 5
A
可逆，则下列结论中成立的是（
湖大（A） A1可逆
（B） A2 可逆
）
（C） A1 与 A2 的可逆性不定
业（D） A1 与 A2 均可逆
3、设
A、B
为
n
阶方阵，则分块矩阵
C
=
A
O
北工（A）
A* O
O
B*
A A* （B） O
O B B*
O
B
的伴随矩阵 C*
=
（
）
湖
B A* （C） O
2
1
2
学 a11 a12 a13 x1
( ) 4、 x1
x2
x3
a12
a22
a23
x2
大 a13 a23 a33 x3
业
1 0
工
四、设
A
=
0
0
0
北 1
,
求
Ak
,
k
N
+
湖
学大
3 1 1
工五、已知

线性代数第2章答案

第二章矩阵及其运算2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B求.B A A AB T 及23- 解：A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=092650850. 3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk kk k kkk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k kkk k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1214．求下列矩阵的逆矩阵： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解： 2=A , 故1-A 存在. 024312111==-=A A A而 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012（注意元素的排列顺序）.5.设矩阵B 满足E B A AB 932-=-，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400020101A ，求矩阵B .解：由E B A AB 932-=-，得))(()(E A E A E A B E A 33932+-=-=-.注意到023≠=-||E A ，从而E A 3-可逆，于是E A B 3+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=700050104.6.设三阶矩阵A 满足21=||A ，求|)(|*A A 231--.解：根据逆矩阵和伴随矩阵的性质得|||||||)(|*11113223123-----=-=-A A A A A A 27163213-=-=-||)(A .7. 设⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ,求8A 及4A . 解： ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A . 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A故8218⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=8281A OO A . 1682818281810===A A A A A .⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A OO A A .8.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4121031200210001A ，求1-A .解： 24=A ， 0434232413121======A A A A A A . 68122444332211====A A A A124110320011312-=-=)(A 124210120211413-=-=)(A31213120211514=-=)(A 44210120011523-=-=)(A 51213120011624-=-=)(A 21210210011734-=-=)(A *-=A AA 11，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-4112124581031612100212100011A ，也可以分块处理.13．解下列矩阵方程：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解： 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X （注意坐乘、右乘） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012（初等矩阵的性质）.15．举反列说明下列命题是错误的:（１）若02=A ,则0=A ;（２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =.解 (1) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011Y AY AX =且0≠A 但Y X ≠16．设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若0=A ,则0=*A ;(2) 1-*=n AA .证明(1) 用反证法证明．假设0≠*A 则有E A A =-**1)(由此得O A E A A AA A ===-*-**11)()(O A =∴*这与0≠*A 矛盾，故当0=A 时有0=*A(2) 若0≠A ，由于*-=A AA 11, 则E A AA =* 取行列式得到: nA A A =*则1-*=n A A若0=A 由(1)知0=*A 此时命题也成立故有1-*=n AA第二章自测题1. 填空题(1)设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8030010000100001A ,求=||A . 提示：根据8==||,||**A E A AA ，得3||||*A A =知道2=||A .(2) 设n 阶矩阵满足31=||A ,则=-⎪⎭⎫⎝⎛*-||A A 15411.提示：根据逆矩阵和伴随矩阵的性质有n n A A A A A A A )(||)(||||||||131154154111111-=-=-=-=-⎪⎭⎫⎝⎛----*-. (3)设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ,则()=--12E A .提示：因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1000210012E A ，所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--1000212100121)(E A . (4) 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211A ,E A A B 232+-=, 则=-1B .提示：先求出矩阵B ，从而知道⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-112101B . （5）设A 为43⨯矩阵，且2()R A =，102020103B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则()R AB = .提示：由于矩阵B 可逆，从而知道2()().R AB R A ==（6）设121000000000000n n na a A a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，其中012(,,,),i a i n ≠= 则1A -= .提示：由于矩阵A 比较特殊，可以看出11111211000000000000n n n a a A a a ------⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭.也可以利用分块矩阵处理.事实上，设O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中矩阵A 及矩阵B 都可逆，所以D 可逆. 令1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321C C C C ，则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321C C C C ==E 12E O O E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得到13131441111222()()AC E C A AC O C O A BC O C O B BC E C B ----⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩存在存在故 111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2.单项选择题(1) n A 是可逆矩阵,则正确的选项是（）.(A) ||||A A =*； (B) 1-*=n A A ||||； (C) ||||1-*=A A ； (D) ||||n A A =*.提示：根据,||*E A AA =有1-=n A A ||||*，答案为B.(2) 设n A ,n B ,n C 满足E ABC =,则下式正确的是（）. (A) E ACB =； (B) E CBA =； (C) E BAC =； (D) E BCA =.提示：根据E ABC =，知道A 和BC 互为逆矩阵，从而D 对.(3) n A 是可逆矩阵, 则下式正确的是（）. (A) 2*()||n A A A *-=； (B) 1*()||n A A A *+=； (C) 1*()||n A A A *-= ； (D) 2*()||n A A A *+=.提示：因为0||AA A E *=≠，所以，***()||A A A E *=，从而1***()||()A A A *-=.注意到11*()||A A A -=和1||||n A A *-=，故2*()||n A A A *-=，答案为A.(4) A 和B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( ). (A) 若A 与B 均可逆,则B A +可逆； (B) 若A 与B 均可逆,则AB 可逆； (C) 若B A +可逆,则B A -可逆； (D) 若B A +可逆,则A 与B 均可逆. 提示：答案为B.(5) 设n 维行向量α=(210021,,,, ),矩阵ααT E A -=,ααT E B 2+=,则AB 等于( ). (A) 0； (B) E -； (C) E ； (D) ααT E +.提示：因为ααααααααααααααT T T T T T T E E AB 222-+=-+-=，而21=T αα，答案为C.（6）设分块矩阵1111A X αβ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2212A X αβα-⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中12,A A 为n 阶可逆矩阵，12,αα为1n ⨯矩阵，12,ββ为1n ⨯矩阵，α为实数，则α=（）.(A) 1； (B) 1111A βα-； (C) 111111A βα--； (D) 111111A βα-+. 提示：因为121121,.A O αααβαα+=+= 从而111111A αβα-=-，答案为C.（7）设A 和B 均为n 阶可逆阵，则必有（）.(A) A B +可逆； (B) ||||A B =；(C) A 经行的初等变换可以变为B ； (D) 存在可逆矩阵P ，使得1P AP B -=. 提示：因为A 和B 均为n 阶可逆阵，A 经行的初等变换可以变为E ， B 经行的初等变换也可以变为E ，答案为C.（8）设A 为n 阶实矩阵，T A 为A 的转置矩阵，则方程组（I ）0Ax =和方程组（II ）0T A Ax =必有（）. (A)（II ）和（I ）的解是相同的；(B)（II ）的解是（I ）的解，但（I ）的解不是（II ）的解； (C)（I ）的解是（II ）的解，但（II ）的解不是（I ）的解； (D) （I ）的解不是（II ）的解，（II ）的解也不是（I ）的解.提示：根据矩阵乘法的结合律，显然（I ）的解是（II ）的解；又因为0T A Ax =，则0T T x A Ax =，即0()()T T x A Ax =，也就是0()()T Ax Ax =.注意到A 为n 阶实矩阵，且Ax 为1n ⨯阵，根据0()()T Ax Ax =，立知0Ax =（Why ？），这样（II ）的解也是（I ）的解，答案为A.（9）设A 为3阶矩阵，1()R A =，则有（）. (A) 3*()R A =； (B) 2*()R A =；(C) 1*()R A = ； (D) 0*()R A =.提示：因为1()R A =，所以，A 的所有2级子式都为零，这样*A O =，答案为D.事实上，设A 为n 阶矩阵，则1102*,();(),();,().n R A n R A R A n R A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩若若若(10) n A 是可逆矩阵, 则下式正确的是（）.(A) 1122--=A A )(； (B)0≠*AA ；(C)111--=A A A ||)(* ；(D) T T T A A ])[(])[(111---=. 提示：因为0||AA A E *=≠，答案为B.3. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3500120000210052A ,求1-A . 解：令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21521A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=35122A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A . 由于⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-215211A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-251312A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111A O O A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2500130000210052.4．设方阵A 满足O E A A =--232,证明A 可逆,并求1-A . 证明：由O E A A =--232得E E A A 23=-)(，所以A 可逆,且)(E A A 3211-=-.5. 设α,β,1γ,2γ均为3维行向量,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2132γγαA ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21γγβB .知18=||A ,2=||B ,求||B A -.解：根据行列式的性质，得||B A -212γγβα-=2231222121=-=-=||||B A γγβγγα.6．设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2001Λ,求11A . 解： Λ=-AP P 1，故1-=P P A Λ，所以11111-=P P A Λ.3=P ， 1411P *⎛⎫= ⎪--⎝⎭， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P . 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111120012001Λ.故⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.7.设ΛP AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=511Λ，求ϕ(A )=8A (265A A E +-).解：因为6-=||p ，所以1-=p p A Λ.注意到⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-121303222611P ， ϕ(A )=8Λp (265ΛΛ+-E )1-p⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=444444444121303222610000000012111201111.8．（1）设矩阵A 及矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛B C O A ．解：设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C O A D ，则0≠⋅=||||||B A D ，所以D 可逆. 令1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321C C C C ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ==E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s nE O O E由此得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=+-=⇒=+=⇒==⇒=------1242111131122111B C E BC CC B CA B C O BC CC A O C O AC A C E AC s n )()(存在存在故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A ．注：特别地0=C 的情况.（2）设矩阵A 及矩阵B 都可逆,求1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭．事实上，设O A D B O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中矩阵A 及矩阵B 都可逆，所以D 可逆. 令1O A B O -⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321C CC C ，则O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321C C C C ==E 12E O O E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由此得到13131441111222()()AC E C A AC O C O A BC O C O B BC E C B ----⎧=⇒=⎪=⇒=⎪⎨=⇒=⎪⎪=⇒=⎩存在存在故 111O A O B B O AO ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9.解下列矩阵方程.(1) 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A , 且满足矩阵方程02=-+E AX A ,求X .解：因为1-=||A ，所以A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ，再根据02=-+E AX A ，得A A X -=-1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000000120.(2) 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ,且满足矩阵方程X A E X A 212+=+-,求X . 解：注意到A 可逆，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110011101211A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--635563356141212)(E A . 再根据X A E X A 212+=+-，得)()(E A E A X --=--1122⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=132213321281. 10.求解齐次线性方程组：12341234123420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩.解：注意到1211121136130040510150040A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 120100100000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而原方程与1243200x x x x +-=⎧⎨=⎩同解，即12422243442211000001x x x x x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.11.求矩阵的秩（1）10103121121210100111A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 解：注意到1010101001110111022200000000000001110000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以2()R A =. (2)a b b b a b A b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中A 为n 2()n ≥阶矩阵.分析：这是含参数矩阵的求秩问题，先将矩阵A 化为等价的行阶梯形再讨论．解：显然矩阵A 的秩与b a ,有关，利用A 的初等变换对b a ,取值情况进行讨论：由于 000000~000000a b b b b b a a b b a a b b a a b b a a b ⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+b a b a b a b a b b b b b n a 0000000000000000)1(~ ，若0a b ==，则0()R A =；若0a b =≠，则1()R A =；若10()a n b +-=，且a b ≠，则1()R A n =-；若10()a n b +-≠，且a b ≠，则()R A n =.。

线性代数第二章练习题

第二章矩阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或（B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且（C）00==Þ=B A 0AB 或（D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ）（A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ）（A）AB 为对称矩阵（B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）（A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ）（A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ）（A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。

2+2线性代数自测题

线性代数测试题第一章自测练习题一、填空题1、n 阶行列式0000000000000000=a b b a a b a b a.2、5阶行列式 1101100011000110001=---------aa a aa a a aa.3、n 阶行列式111110*********110111110=.4、设T )1,0,1(-=α，矩阵T A αα=，n 为正整数，则 ||=-nA aE .5、设行列式2235007022220403--=D ，则第四行各元素余子式之和为 . 6、设B A ,均为n 阶矩阵，2||=A ，3||-=B ，则 |2|1=-*B A .7、设3阶矩阵B A ,满足E B A B A =--2，其中E 为3阶单位矩阵，若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=102020101A ，则 ||=B .二、选择题1、方程0347534453542333322212223212=---------------x x x x x x x x x x x x x x x x 的根的个数为【】（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）4 2、设A 是n 阶可逆矩阵, *A 是A 的伴随矩阵，则【】（A ）1||||-*=n A A （B ）||||A A =* （C ）n A A ||||=* （D ）n A A ||||1-*= 3、若21321,,,,ββααα都是四维列向量，且4阶行列式m =|,,,|1321βααα，n =|,,,|3221αβαα，则|,,,|21123ββααα+等于【】（A ）n m + （B ）)(n m +- （C ）m n -（D ）n m -三、计算证明题1、设A 为1010⨯矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000001010000001000001010 A ，计算行列式||E A λ-，其中E 为10阶单位矩阵，λ为常数.2、已知3阶实矩阵)(ij a A =满足条件：(1))3,2,1,(==j i A a ij ij ，其中ij A 是ij a 的代数余子式；(2)011≠a ，计算行列式||A . 3、设A 是n 阶方阵，且n 2,,4,2 是A 的n 个特征值，计算行列式|3|E A -的值.自测练习题答案或提示一、填空题1、n n nb a 1)1(+-+ 2、54321a a a a a -+-+- 3、)1()1(1---n n 4、)2(2n a a -5、28-6、3212--n 7、24 8、21二、选择题1、B2、A3、C三、计算证明题1、101010-λ2、13、!)32()32(31--=-⋅⋅⋅-n n第二章自测练习题一、填空题1、设α为三维列向量，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111111111T αα，则=ααT. 2、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=7600054000320001A ，E 为4阶单位矩阵，且)()(1A E A EB -+=-，则 )(1=+-B E .3、设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3211A ，E A A B 232+-=，则 1=-B . 4、设B A ,均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵，已知B A AB +=2，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202040202B ，则)(1=--E A .5、已知A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，则 =A .二、选择题1、设B A ,为n 阶矩阵，满足等式O AB =，则必有【】（A ）O A =或O B =（B ）O B A =+ （C ）0||=A 或0||=B （D ）0||||=+B A2、设n 维行向量)21,,0,21( =α，矩阵, ααT E A -=，ααT E B 2+=，其中E 为n 阶单位矩阵，则AB 等于【】（A ）0 （B ）E - （C ）E （D ）ααTE +3、设B A ,均为n 阶矩阵，**B A ,分别为B A ,的伴随矩阵，则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B OO A C 的伴随矩阵为【】（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**B B OO A A ||||（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛**A A OO B B |||| （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B OO B A ||||（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A OO A B ||||4、设11,,,--++B A B A B A 均为n 阶可逆矩阵，则111)(---+B A 等于【】（A ）11--+B A（B ）B A + （C ）B B A A 1)(-+ （D ）1)(-+B A5、设矩阵n m A ⨯的秩n m A r <=)(，m E 为m 阶单位矩阵，则下述结论正确的是【】（A ）A 的任意m 个列向量必线性无关（B ）A 的任意一个m 阶子式不等于零（C ）A 通过初等变换，必可化为),(O E m 的形式（D ）非齐次线性方程组b Ax =一定有无穷多组解6、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100B ，已知矩阵A 相似于B ，则)2(E A r -与)(E A r -之和等于【】（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5三、计算证明题1、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3111211111A ，求1)(-*A .2、已知3阶方阵A 满足矩阵方程O E A A =--232，其中A 给定，而E 是单位矩阵，证明A 可逆，并求出1-A .3、假设矩阵A 和B 满足关系式B A AB 2+=，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011324A ，求矩阵B .4、设n 阶矩阵A 和B 满足条件AB B A =+，（1）证明E A -为可逆矩阵；（2）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求A .5、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，矩阵X 满足X A E AX +=+2，其中E 是3阶单位矩阵，试求矩阵X .6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111111A ，且E AB A =-2，其中E 是3阶单位矩阵，求矩阵B .7、设11)2(--=-C A B C E T，其中E 是4阶单位矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1000210032102321B ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000210002101021C ，求矩阵A .8、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求矩阵X . 9、已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111011001A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110B ，矩阵X 满足E BXA AXB BXB AXA ++=+，求矩阵X .10、已知B A ,为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵，（1）证明：矩阵E A 2-可逆；（2）若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求A . 自测练习题答案或提示一、填空题1、32、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---43000320002100013、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--112/10 4、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 5、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200012/102/11二、选择题1、C2、C3、D4、C5、D6、C三、计算证明题1、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----101022125 2、)3(21E A - 3、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----91226926834、（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200013/102/115、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛201030102 6、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000160 7、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12100121001200018、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101110011419、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021052110、（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200011020第三章自测练习题一、填空题1、设向量组),0,(1c a =α,)0,,(2c b =α,),,0(3b a =α线性无关，则c b a ,,必满足关系式 .2、已知向量组)1,1,2,1(1-=α， )0,,0,2(2t =α，)2,5,4,0(3--=α的秩为2，则=t .二、选择题1、若向量组γβα,,线性无关，δβα,,线性相关，则【】（A ）α必可由δγβ,,线性表示（B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示（D ）δ必不可由γβα,,线性表示2、设m ααα,,,21 均为n 维向量，则下列结论正确的是【】（A ）若02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,,21 线性无关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ；（C ）若m ααα,,,21 线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若000021=+++m ααα ，则m ααα,,,21 线性无关.3、设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有【】（A ）21321,,,ββααα+k 线性无关（B ）21321,,,ββααα+k 线性相关（C ）21321,,,ββαααk +线性无关（D ）21321,,,ββαααk +线性相关4、设向量组)4,2,1,1(1-=α,)2,1,3,0(2=α,)14,7,0,3(3=α,)0,2,2,1(4-=α，)10,5,1,2(3=α，则该向量组的极大线性无关组是【】（A ）321,,ααα（B ）421,,ααα（C ）521,,ααα （D ）5421,,,αααα三、计算证明题1、已知T)2,0,4,1(1=α,T)3,1,7,2(2=α,T a ),1,1,0(3-=α,Tb )4,,10,3(=β，问：（1）b a ,取何值时，β不能由321,,ααα线性表示？（2）b a ,取何值时，β可由321,,ααα线性表示？并写出此表示式.2、已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=122a β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=013b β与向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211α， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=7693α具有相同的秩，且3β可由321,,ααα线性表出，求b a ,的值.3、设有向量组(Ⅰ)：T )2,0,1(1=α，T )3,1,1(2=α，T a )2,1,1(3+-=α和向量组(Ⅱ)：T a )3,2,1(1+=β，T a )6,1,2(2+=β，T a )4,1,2(3+=β. 试问：当a 为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价？当a 为何值时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价？4、设向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T p )2,1,2,3(3+-=α，T p ),10,6,2(4--=α， (1) p 为何值时，该向量组线性无关? 并在此时将向量T )10,6,1,4(=α用该向量组线性表出； (2) p 为何值时，该向量组线性相关? 并在此时求出它的秩和一个极大无关组.自测练习题答案或提示一、填空题1、0≠abc2、3二、选择题1、C2、B3、A4、B三、计算证明题1、（1）2≠b ；（2）1,2≠=a b 时有唯一表示式：32102αααβ++-=；当1,2==a b 时：321)2()12(αααβk k k +++--=.2、5,15==b a3、当1-≠a 时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价；当1-=a 时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价.4、（1）2≠p 时，向量组4321,,,αααα线性无关，4321212432ααααα--++--+=p pp p ；（2）2=p 时，向量组4321,,,αααα线性相关；321,,ααα为其一个极大无关组。

线性代数第二章矩阵(答案).docx

线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第一节矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC2．设C (1, 0 ,0 ,1)，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22（ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）03．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B]（ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A二、填空题：1642011651．282342112412124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 4317353．1232657014913121400126784．13413120561402三、计算题：111设 A111，4111123B124，求 3AB2A 及 A T B0511111231113AB 2 A 3 111124 2 1111110511110582223 0562222902222132221720 ;4292111123058由 A对称，A T A，则 A TB AB11112405 6 .111051290线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第二节逆矩阵一．选择题1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B]（ A）AA A 1（ B）An 1（ C）( A)n A（ D）( A )0 A2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵（ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B|3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]（ A ） A T B T A T C T E （B ） A 2 B 2 A 2 C 2E（C ） BA 2CE （ D ） CA 2 B E二、填空题：1121A ，其中 B21．已知 ABB，则 A2 11122．设2 54 6，则 X =2 13 1 X21 0433．设 A ， B 均是 n 阶矩阵， A2 ， B3 ，则 2 A B14n64．设矩阵 A 满足 A 2A4E0 ，则 ( A E) 11 ( A 2E)2三、计算与证明题：1．设方阵 A 满足 A 2A 2E 0 ，证明 A 及 A2E 都可逆，并求 A 1和 ( A 2E ) 1A 2A 2 E 0A( A E ) 2 E A(A2 E ) EA 可逆，且 A 1AE ;2A 2 A 2E 0A( A 2E) 3A 2E 0A( A 2E) 3( A 2E) 4E 0( A 3E )( A 2E) 4E ( A3E)( A 2E)E4A可逆，且 (A 2E)1A 3E41 2 12．设 A3 4 2 ，求 A 的逆矩阵 A 1541解：设 A(a ij )3 ，则A 114 2 4,A 12( 1)1232 13, A 13( 1)133432,4 15154A21( 1)1221 2, A 22 ( 1)2211 6, A 23 ( 1)2312 14,41 5154A 31( 1) 13210, A 32 ( 1) 3211 1, A 33( 1) 3312 2,4232344 2 0 从而 A *1361 .32 142又由1 212c 11 00 2 1A3 4c 23 212254 1 c 3c1514 614 6A * 21 0则 A 113 31A27216 10 3 33．设 A1 1 0 且满足 ABA2B ，求 B12 3AB A2B( A 2E) B A2 3 3 0 3 3 11 0 B 1 1 012 11 232 3 3 0 3 311 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 r 1r 22 3 3 03 3 12 11 2 31 2 1 1 2 31 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 r 22r 10 1 3 2 5 3 r 3 r 2 0 13 25 3 r 3 r 11 13 32 2 211 0 11 0110 1 10 r 3 ( 1) 0 1 3 2 5 3 r 23r 3 0 1 01 2 32 0 0 1 1 1 00 011 11 0 0 0 3 3 r 1 r2 0 1 01 2 30 0 111 00 3 3 则 B ( A 2E) 1 A1 2 31 1线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（一）矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：1 1 3 4 3 r2 3r 1 1 134 3r 2 4 1 1 3 4 3 3 3 5 4 1 0 0 4 8 8 0 0 1 2 222 3 2 0 r 3 2r 1 00 366 r 33 0 0 1 2 233 4 2 1r43r 1 0 0 5 10 10r45 012 211 34 3 11 023 r 3 r 2 0 0 1 2 2 00 1 2 2 r 4r 2 00 0 0 0 r 1 3r20 0 0 0二、把下列矩阵化为标准形：2 3 1 3 7 1 2 0 2 4 r 2 2r 1 1 2 0 2 4 1 2 0 2 4 23 1 3 7 0 1 1 1 132 83 0 r 1 r232 83 0 r 33r18 8 9 12 13 74 313 74 3 r 4 r 1 05 767122 4 122 4 r3 8r 2 0 1 1 1 1 01 1 1 1 r 45r 2 00 0 1 4 r 3 r40 2 1 20 212 00 0 14r 3 r 4 1 20 0 4120 040 1 1 0 31r 3 01 0 0 2r 2 r 4 r 20 0 2 0 20 0 2 0 2 r 1 2r 420 00 140 141 0 0 0 0 r 21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 20 1 0 0 2 0 1 0 0 0r 12r20 2 0 2 1r 3 0 0 1 0 1c52c 2c34c40 1 0 00 00 14 20 0 0 140 0 0 1 0三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵3 2 0 1 0 2 2 1A2 3 211 213 2 0 1 1 0 0 0 1 2 3 2 0 0 1 0 0 2 2 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 0 01 2 3 2 0 0 1 r 1 r 32 0 1 1 0 0 0 03 012 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 11 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 02 2 1 0 1 0 0 01 2 1 0 0 0 1 r 33r14 95 1 0 3 0 r 2 r44 95 1 0 3 0 01210 00 12210 10 01 2 3 2 0 0 1 0 1 2 3 2 0 0 1 0 r 3 4r 2 0 12 1 0 0 0 1 012 1 0 0 0 1 r 42r 2 0 01 1 1 0 3 4 r 42r30 01 1 1 0 3 40 0210 10 2 0 00 12 1 6 10123 0 42 11 20120 0 1 1 2 2 r 12r4012 0 2 16 11 r 1 3r 3 0 1 00 01 0 1 r2 r 4 0 0 1 0 1 1 36 r 2 2r 3 0 0 1 0 1 1 36 r 3 r 40 00 1 2 1 6100 12 16101 0 0 0 1 1 24 r 1 2r 2 0 10 0 0 1 0 1 0 01 0 1 1 360 00 12 1 6101 12 4 A10 1 0 1 1 1 3 62 1 6 101 1 1 1 0 1 四、已知0 2 2 X 1 1 0 ，求 X110 1 41 1 1 1 0 11 1 1 10 11 1 1 1 0 1 0 22 1 1 0 r3 r 1 0 2 2 11 0 r 3r 2 0 2 2 1 1 0uuuuuruuuuur11 01 40 2 1 1 1 30 03 0 231 1 0 12 21 111 0 13r 22r3 0 20 1r 310 2 2 1 1 0 123r r30 012 1 uuuuuuur20 1 0 1331 1 01221 01 5 33 26r 210 1 0111 r 1 r2 0 1 0 111226uuuuur26uuuuur220 0 1 010 0 1 013 31 5 32 6故 X1 1 12 62 13线性代数练习题第二章矩阵系专业班姓名学号第三节（二）矩阵的秩一．选择题1．设 A ， B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB = 0，则 A 和 B 的秩[ D]（ A ）必有一个等于零（ B ）都等于 n（C ）一个小于 n ，一个等于 n（ D ）都不等于 n2．设 mn 矩阵 A 的秩为 s ，则[ C]（ A ） A 的所有 s（ B ）A 的所有 s阶子式不为零－ 1 阶子式不为零（ C ）A 的所有 s +1 阶子式为零（D ）对 A 施行初等行变换变成E s0 0112133．欲使矩阵2s126的秩为2，则s，t满足[ C ] 455t12（ A）s = 3 或t = 4（B）s= 2 或t = 4（ C）s = 3 且t = 4（D）s = 2 且t = 44．设A是m n 矩阵，B是 n m 矩阵，则（ A）当m n 时，必有行列式| AB |0（ B）当（ C）当n m 时，必有行列式| AB |0（ D）当[ B ] m n 时，必有行列式| AB |0n m 时，必有行列式| AB |0a11a12a13a21a22a230105．设Aa21a22a23， Ba11a12a13， P1100，a31a32a33a31a11a32a12a33a13001100P2010，则必有 B[ C ] 101（ A）AP1P2（B）AP2P1（ C）P1P2A（ D）P2P1A二．填空题：31021．设A1 1 2 1 ，则 R( A)213441212．已知A 23a2应满足a=-1 或 3 1a的秩为 2，则 a22a21三、计算题：218371．设A230753258，求 R( A) 。

线性代数第二章自测题

线性代数第二章自测题基础课程教学资料《第二章线性方程组 n 维向量》自测题一、单项选择题（16分，每小题4分）1.对于方程个数与未知量个数相同的非齐次线性方程组，下列结论正确的是 .A. 当方程组有解时，系数行列式D 一定不等于0.B. 当系数行列式D=0，方程组一定无解.C. 当系数行列式D=0，方程组一定有解.D. 当系数行列式D=0时，方程组不可能有唯一解.2.设向量组k i i i ααα=(){,,,}122是向量组s ααα=(){,,,}121的一个部分组，k s <，下列结论正确的是 .A. 若（1）相关，则（2）必定相关.B. 若（2）无关，且其余向量也无关，则（1）必定无关.C. 若（2）无关，则（1）必定无关.D. 若（1）、（2）的秩相等，则()()?12.3. 向量组,,,s ααα12线性无关的充分必要条件是 .A. ,,,s ααα12都不是零向量. B. 向量组中至少有一个向量不能由其他向量线性表示C. 向量组中任何一个向量都不能由其他向量线性表示D.任意两个向量的对应分量不成比例.E.向量的个数小于或等于向量的维数.4.下列命题正确的是 . A.若向量,,,s ααα12线性相关，,,,s βββ12线性相关，则,,,s s αβαβαβ+++1122也线性相关.B. 矩阵m n A ?的m 个行向量线性相关，它的n 个列向量不一定线性相关.C.若,,,n ααα12线性相关，,,,r ααα12线性无关，则,,,r r n ααα++12必线性相关.D.若从矩阵A 中划去一列，得到矩阵B ，则()()r A r B >. 二、计算题1.（8分）设向量组(,,),(,,),(,,)a a ααα===-1232120111，试确定a 为何值时，向量组线性相关.2. （8分）求矩阵a 1322113A=32111321??-----??的秩. 3.（15分）设,,,λααλαβλλλ+???????? ? ? ? ?==+== ? ? ? ? ? ? ? ?+12321110111111，问当λ为何值时（1）β不能由,,ααα123线性表示？（2）β可由,,ααα123线性表示，且表示法唯一？（3）β可由,,ααα123线性表示，且表示法不唯一？4. （15分）设ααααα?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，，23312100-111372521140642,,145 （1）试证αα，45线性无关；（2）将αα，45扩大成一个极大无关组；（3）将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.5. （18分）当a,b 为何值时，线性方程组()x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=??++=?-+--=??+++=-?12342342341234022132321 无解；有唯一解；有无穷多解？并求出有无穷多解时的全部解（或通解）.三、证明题 1.（5分）设12n t t t ,,,是互不相同的数，证明2n-1i i ii 1t t t i=1,2,,n (,,,,),α=，线性无关.2.（15分）试证向量组1232133122323,,βααβααβαα=--=+=- 线性相关.《第二章线性方程组 n 维向量》自测题参考答案一、单项选择题1.D2.D3.C4.B二、计算题1. 当2a =-或3a =线性相关.2. 当52a =-，矩阵A 的秩为3，当52a ≠-，矩阵A 的秩为4.3. （1）当3λ=-，β不能由,,ααα123线性表示；（2）当0λ≠且3λ≠-，β可由,,ααα123线性表示，且表示法唯一；（3）当0λ=，β可由,,ααα123线性表示，且表示法不唯一. 4. 452,,,ααα为一组基；14532453,ααααααα=+=++.5. 通解为12111122010001c c γ- ? ? ?-- ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ?， 12c ,c 为任意常数. 三、证明题提示 1.用范德蒙行列式.2.可以就,,ααα123相关与不相关两种情况讨论.。

线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)

⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 可逆矩阵一定是方阵.
（√）
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵，则 AB 可逆.
（√）
3. 设 A, B 均为可逆矩阵，则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
（X）
4. 若 A 可逆，则 AT 也可逆.
分析： |
r1 A|
↔
r2
− | B |，所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
，
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
，
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13

线性代数习题第二章 (附详解)

线性代数习题第二章（附详解）第二章矩阵及其运算【编号】ZSWD2023B0061 1 已知线性变换3213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换解：由已知221321323513122y y y x x x故3211221323513122x x x y y y321423736947y y y 321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换32133212311542322y y y x y y y x y y x 323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解：由已知221321514232102y y y x x x321310102013514232102z z z321161109412316z z z所以有 3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设 111111111A150421321B 求3AB 2A 及A TB解：1111111112150421321111111111323A AB2294201722213211111111120926508503092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)127075321134解：127075321134 102775132)2(7111237449635(2)123)321(解：123)321( (1 3 2 2 3 1) (10)(3))21(312解： )21(31223)1(321)1(122)1(2632142(4)20413121013143110412 解：20413121013143110412 6520876(5)321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x 解：321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1 a 12x 2 a 13x 3 a 12x 1 a 22x 2 a 23x 3 a 13x 1 a 23x 2 a 33x 3)321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a5 设3121A2101B 问(1)AB BA 吗? 解： AB BA 因为6443AB8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗? 解： (A B)2A 22AB B 2因为5222B A52225222)(2B A2914148但 43011288611483222B AB A27151610 所以(A B)2A 22AB B 2(3)(A B)(A B) A 2B 2吗?解： (A B)(A B) A 2B 2因为5222B A1020B A906010205222))((B A B A而718243011148322B A 故(A B)(A B) A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0解：取0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A 则A 0或A E 解：取0011A 则A 2A 但A 0且A E (3)若AX AY 且A 0 则X Y 解：取0001A 1111X1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设101 A 求A 2A 3A k解：12011011012 A1301101120123 A A A101 k A k8 设001001A 求Ak解：首先观察0010010010012A2220020123232323003033 A A A43423434004064 A A A545345450050105A A AkA k k kk k k k k k k 0002)1(121用数学归纳法证明当k 2时显然成立假设k 时成立，则k 1时，0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k 由数学归纳法原理知k k k k k k k k k k k A 0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B TAB 也是对称矩阵证明：因为A TA 所以(B TAB)TB T(B TA)TB T A TB B TAB从而B TAB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明：充分性因为A TA B TB 且AB BA 所以(AB)T(BA)TA TB TAB即AB 是对称矩阵必要性因为A TA B TB 且(AB)TAB 所以AB (AB)TB T A TBA11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)5221 解：5221A |A| 1 故A 1存在因为1225*22122111A A A A A故 *||11A A A1225(2)cos sin sin cos 解cos sin sin cos A |A| 1 0 故A 1存在因为cos sin sin cos *22122111A A A A A所以 *||11A A Acos sin sin cos(3)145243121解145243121A |A| 2 0 故A 1存在因为214321613024*332313322212312111A A A AA A A A A A所以 *||11A A A1716213213012(4)n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 n a a a A 0021由对角矩阵的性质知n a a a A 1001121112 解下列矩阵方程 (1)12643152X解：126431521X1264215380232(2)234311*********X 解： 1111012112234311X0332321012343113132538122(3)101311022141X解： 11110210132141X2101101311421212101036612104111 (4)021102341010100001100001010X解： 11010100001021102341100001010X01010000102110234110000101020143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1) 3532522132321321321x x x x x x x x x解：方程组可表示为321153522321321x x x故0013211535223211321x x x从而有 001321x x x(2) 05231322321321321x x x x x x x x x解：方程组可表示为012523312111321x x x故3050125233121111321x x x 故有 305321x x x14 设A kO (k 为正整数) 证明(E A) 1E A A 2A k 1证明：因为A kO 所以E A kE 又因为E A k(E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2A k 1) E由定理2推论知(E A)可逆且 (E A) 1E A A 2A k 1证明一方面有E (E A) 1(E A)另一方面由A kO 有E (E A) (A A 2) A 2A k 1(A k 1A k)(E A A 2 Ak 1)(E A)故 (E A) 1(E A) (E A A 2A k 1)(E A)两端同时右乘(E A) 1就有 (E A) 1(E A) E A A 2A k 115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆并求A 1及(A 2E) 1证明：由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E) 2E或 E E A A)(21 由定理2推论知A 可逆且)(211E A A 由A 2A 2E O 得A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E) 4E或 E A E E A)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆且)3(41)2(1A E E A证明由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A| 2即 |A||A E| 2 故 |A| 0所以A 可逆而A 2E A 2|A 2E| |A 2| |A|20 故A 2E 也可逆由 A 2A 2E O A(A E) 2EA 1A(A E) 2A 1E )(211E A A又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E) 4E (A 2E)(A 3E) 4 E所以 (A 2E) 1(A 2E)(A 3E) 4(A 2 E) 1)3(41)2(1A E E A16 设A 为3阶矩阵 21||A 求|(2A) 15A*| 解：因为*||11A A A所以 |||521||*5)2(|111 A A A A A |2521|11 A A | 2A 1| ( 2)3|A 1| 8|A| 18 2 1617 设矩阵A 可逆证明其伴随阵A*也可逆且(A*) 1(A 1)*证明：由*||11A A A得A* |A|A 1所以当A 可逆时有|A*| |A|n|A 1| |A|n 10 从而A*也可逆因为A* |A|A 1所以(A*) 1|A| 1A又*)(||)*(||1111A A A A A 所以 (A*) 1|A| 1A |A| 1|A|(A 1)* (A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A| 0 则|A*| 0 (2)|A*| |A|n 1证明：(1)用反证法证明假设|A*| 0 则有A*(A*) 1E 由此得A A A*(A*) 1|A|E(A*) 1O所以A* O 这与|A*| 0矛盾，故当|A| 0时有|A*| 0(2)由于*||11A A A则AA* |A|E 取行列式得到 |A||A*| |A|n若|A| 0 则|A*| |A|n 1若|A| 0 由(1)知|A*| 0 此时命题也成立因此|A*| |A|n 119 设321011330A AB A 2B 求B解：由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故321011330121011332)2(11A E A B01132133020 设101020101A 且AB E A 2B 求B解：由AB E A 2B 得(A E)B A 2E即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100|| E A 所以(A E)可逆从而201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B 解：由A*BA 2BA 8E 得 (A* 2E)BA 8E B 8(A* 2E) 1A 18[A(A* 2E)] 18(AA* 2A)18(|A|E 2A) 18( 2E 2A) 14(E A)14[diag(2 1 2)] 1)21 ,1 21(diag 4 2diag(1 2 1)22 已知矩阵A 的伴随阵8030010100100001*A 且ABA 1BA 13E 求B解：由|A*| |A|38 得|A| 2由ABA 1BA 13E 得AB B 3AB 3(A E) 1A 3[A(E A 1)] 1A11*)2(6*)21(3A E A E103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中1141P2001 求A 11解：由P 1AP 得A P P 1所以A 11A=P 11P 1. |P| 31141*P 1141311P而11111120 012001故31313431200111411111A6846832732273124 设AP P 其中111201111P511求 (A) A 8(5E 6A A 2) 解： ( ) 8(5E 6 2)diag(1 1 58)[diag(5 5 5) diag( 6 6 30) diag(1 1 25)] diag(1 1 58)diag(12 0 0) 12diag(1 0 0) (A) P ( )P 1*)(||1P P P1213032220000000011112011112111111111425 设矩阵A、B 及A B 都可逆证明A 1B 1也可逆并求其逆阵证明：因为A 1(A B)B 1B 1A 1A 1B 1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积所以A 1(A B)B 1可逆即A 1B 1可逆(A 1B 1) 1[A 1(A B)B 1] 1B(A B) 1A26 计算30003200121013013000120010100121 解：设10211A30122A 12131B30322B则 2121B O B E A O E A222111B A O B B A A而4225303212131021211B B A90343032301222B A 所以 2121B O B E A O E A 222111B A O B B A A9000340042102521即30003200121013013000120010100121900034004210252127 取1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A解：4100120021010*********0021010010110100101D C B A 而01111|||||||| D C B A 故|||||||| D C B A D C B A28 设22023443O O A 求|A 8|及A 4解：令 34431A22022A则21A O O A A故 8218 A O O A A8281A O O A 1682818281810|||||||||| A A A A A464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆求 (1)1O B A O解：设43211C C C C O B A O 则O B A O 4321C C C Cs n E O O E BC BC AC AC 2143 由此得 s n E BC O BC O AC E AC 2143 121413B C O C O C A C所以O A B O O B A O 111(2)1B C O A解：设43211D D D D B C O A 则s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121 14113211B D CA B D O D A D所以11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)2500380000120025 解：设1225A2538B 则5221122511A8532253811B于是850032000052002125003800001200251111B A B A(2)4121031200210001 解：设 2101A 4103B2112C 则1111114121031200210001B CA B O A BC O A411212458103161210021210001。

线性代数习题╱第二章自测题

第二章自测题一、填空1．设n 阶可逆矩阵A 满足2|A|=|kA|, (k>0), 则k=2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，而2≥n 为正整数，则12--n n A A =3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11334221t A ，B 为三阶非零矩阵，且0=AB ，则t =4．设1)1,0,1(--=α，矩阵TααA =， n 为正整数，则||n A bE -= 5．设A 为3阶方阵，将A 按列分块则),,(321A A A A =，已知,3||=A 则|,,2|2331A A A A +=6．设A 为奇数阶可逆矩阵，且T A A=-1，|A|=1，则|I －A|=7．设(1,0,1)T α=-，矩阵TααA =， n 为正整数，则||n A bE -= 二、计算 1．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1201A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2103B ，计算2A-3B 2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321212113A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101012111B ，求AB-BA3．计算nθθθθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-cos sin sin cos 和n⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01104．求逆矩阵（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221021132 （3）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001100011000115．设矩阵A ，B 满足E BA BA A 82*-=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100420221A ，*A 是A 的伴随矩阵，求B6．用分块矩阵的方法求下列矩阵的逆矩阵（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000121nn a a a a （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100001003102020102 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01000001000011000121n n a a a a ，（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100000100000100232102101021021三、证明1．设方阵A 满足方程0422=+-I A A ，证明：A+I 和A －3I 都可逆，并求它们的逆矩阵。

(完整版)线性代数第二章矩阵试题及答案

第二章矩阵一、知识点复习1、矩阵的定义由m⨯n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m⨯n型矩阵。

例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是一个4⨯5矩阵.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。

两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。

2、n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。

n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。

（1）A是正交矩阵⇔A T=A-1 （2）A是正交矩阵⇔2A=1阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足:①如果它有零行，则都出现在下面。

②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。

《线性代数》单元自测题

《线性代数》基础习题第一章行列式一、填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。

2．在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。

3．在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取。

4．已知xx x x x x f 42124011123313)(--=，则)(x f 中4x 的系数为。

5．行列式=600300301395200199204100103__ __。

二、计算下列各题：1．计算63123112115234231----=D 。

2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值。

3．计算ab b a b a b a D n 000000000000=4．计算nD n 222232222222221=5．计算ab b b b a b bb b a bb b b a D n = 6．计算4443332225432543254325432=D 7．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。

第二章矩阵一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221,则R(A)= 。

2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1--mA = 。

3．=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20092010100001010534432121001010100 。

4．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。

5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()321A A A A =，()32122A A A B =，则*B = 。

大学线性代数第二章习题答案

第二章矩阵及其运算第一节矩阵 1．解．,251=x 212=x .2.解． ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x 其系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----161109412316第二节矩阵的运算一填空题：1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛224210 2.3 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121 ， 13-k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121（k 为正整数）。

3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000004.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010001 5. 0二选择题：CCCCC B三计算：1．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---632142（2）10 （3）322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++32155121232272i i i i ii i 2. ()()T T T A I A AA A I A A A T A A I +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.3.111101()()2()2000101n T n T n T n A αααααα----⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则2(2)n n aE A a a -=-. 4.设2222223T T x x xy xz y xy y yz x y z z xz yzy ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.02()()()A E A B A B E A E A E B A E A E B E +≠--=⇒+-=+⇒-=112A EB B ⇒-⋅=⇒=. 6.()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1154123600022B A B A7．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012328317 8．－80第三节逆矩阵一填空题：1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000031212. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24205100010 3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000213141 5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 6. 541-；7.100122()(2)2()0102100B E AB A B A E B E E A E -⎡⎤-⎢⎥=+⇒--=⇒-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.21()(2)20B A E A E --⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦. 9.由21224()().22A E A EA A E O A E E A E -+++-=⇒-=⇒-=()()kA lE h A E +=10.由111021()102002AB B A A B B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．选择题：ACBBD三.计算题：1.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----17162132130122. 由BA A BA A +=-61得，B E B A +=-61，所以 E B E A 6)(1=--从而， 11)(6---=E A B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7000400031A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--6321E A3.11010100001693471582100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001693471582100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=963852741. 4. 因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=622250207315. 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.6. 1100200611AP PB A PBP -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===. 7.1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以 1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或 *1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-.8.E BA E BA A A E B A A B -=-=-=--**11||)(，即E E A B =-)(*，因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *解 1*n A A-=.9.证 (1)由1124(2)(4)28A B B E A E B E E A E -=-⇒-⋅-=⇒-可逆,且 11(2)(4)8A EB E --=-(2)由(1)得102028(4)110002A E B E -⎛⎫⎪=+-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 四、证明题：1.证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2.证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的. 第四节矩阵分块法1. 00011000100000010010010001000010010000100010010010000100011000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以100010001001000100100010010001000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31313231000000520021. 3.A ；4.若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A OB A OC C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5. (1) 1()T APQ O A b A ααα-⎛⎫=⎪-⎝⎭. (2) 由(1)得0211()P A TT P Q PQ A b A Q b A αααα=≠--⋅==-=-. 6. 23423422288()40A B A B αβγγγαβγγγ+=+=+=+=.7. 11100100112120(2)01221001001B O B O A I A I O O --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⇒-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 8. (1)m m mnnnO A A O C B OOB =-从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mn m n A B =-(1)mn ab =-.自测题一.单项选择题：1.D 2.C 3.C 4．A5. B 二、填空题：1. 912.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-133 3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4332211 4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11001200005200211A 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725 三.计算题1.由B X A =*得，AB X AA =*，即 AB X A = ，因为2-=A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆.2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A EB .3.111()[()]()()T T T T T T T A E C B C E A C C B C E A C B C C E ----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 4.-250；415. 由1113()3ABA BA E E A B E ---=+⇒-=.又3*82A A A ==⇒=,则**160000600()36(2)606010306A E B E B E A A -⎛⎫ ⎪⎪-=⇒=-= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四.证明题1.证由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒==== ,即A 的第i 行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾. 2.由23202A E A A E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.。