如何突破数列一章的重点和难点知识

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数列知识点与技巧总结

数列知识点与技巧总结一、数列的定义与性质1.1 数列的定义数列是按一定顺序排列的一组数，其中每个数称为该数列的项，通常用下标 n 来表示。

数列可以用通项公式或递推公式来表示。

1.2 数列的基本性质（1）首项：数列中的第一个数称为首项，通常用 a1 表示。

（2）公差：如果数列中的每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个常数称为该数列的公差，通常用 d 表示。

（3）通项公式：通项公式用来表示数列中的第 n 项与 n 之间的关系，通常用 an 表示。

（4）递推公式：递推公式可以根据数列中的前几项来求出后面的项。

通常用 an = an-1 + d 表示。

1.3 常见数列（1）等差数列：相邻两项之间的差等于常数的数列称为等差数列。

通项公式为 an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列：相邻两项之间的比等于常数的数列称为等比数列。

通项公式为 an = a1 * q^(n-1)。

（3）斐波那契数列：这是一个特殊的数列，前两项是 1，以后每一项都等于其前两项的和。

通项公式为 an = an-1 + an-2。

1.4 数列的求和公式（1）等差数列求和：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列求和：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中 q 不等于 1。

二、数列的常见问题与解题方法2.1 确定数列类型当遇到一个数列时，首先要确定它的类型，即是等差数列、等比数列还是其他特殊类型的数列。

2.2 确定数列的首项和公差（或公比）确定了数列类型之后，要进一步确定数列的首项和公差（或公比），这样才能利用数列的性质来解题。

2.3 求解数列的通项公式对于已知数列的前几项，可以利用数列的性质来求解其通项公式，这样可以方便计算出数列中任意一项的值。

2.4 判断数列的性质有时需要判断一个给定的数列是不是等差数列或等比数列，可以利用数列的性质进行判断。

学习数列问题的技巧和方法有哪些？

学习数列问题的技巧和方法有哪些？答：数列是高中数学中的重要内容之一，也是高考的重要考点之一。

目前，全国卷对数列板块降低了要求，大题一般放在17题位置，与三角函数可能轮流出现，难度中档及以下。

但是，这并不意味着你可以掉以轻心，可以不去重视，因为小题中的数列问题仍然可能出现难题，甚至放在12题或者16题位置，作为选择题或填空题的压轴题出现。

下面就数列章节简单谈谈学习的方法，仅供参考，说不定会让你灵光乍现，茅塞顿开。

一、把握数列板块的知识结构，形成自己的知识网络。

1、数列章节大致包含以下四个内容：数列的概念及其表示；等差数列及其前n项和；等比数列及其前n项和；数列的求和与综合应用。

2、数列在高考小题中，经常考查等差数列或等比数列的性质，比如中项公式、下标和公式、单调性、最大项与最小项、周期数列求值等。

3、数列中最重要的内容便是数列的通项公式和数列求和，在高考大题中，一般第一问考查求通项公式，第二问考查求和。

二、从考试题型上掌握数列解题的基本方法与技巧。

1、以数列的通项公式为例，常见的求数列的通项公式包括以下方法：利用和与通项的关系求解；利用累加法求解；利用累乘法求解；利用待定系数法求解；利用倒数法求解等。

2、以数列求和为例，常见的数列求和方法包括：利用公式法求解；利用分组求和法求解；利用倒序相加法求解；利用错位相减法求解；利用裂项相消法求解等。

3、以数列不等式为例，常考的有两类题型，一是证明数列不等式；二是已知数列不等式求参数的取值范围。

以证明数列不等式为例，常用方法有：单调性法、数学归纳法、放缩法等。

三、知道数列是一种特殊的函数，其特殊在定义为正整数集或它的子集，它的图像是一些孤立的点。

因此，数列的许多问题都可以利用函数的方法进行解决。

以判断等差数列为例，如果一个数列的通项公式是关于n的一次函数，那么这个数列是等差数列，同样如果一个数列的前n项和是关于n的不含常数项的二次函数，那么该数列也是等差数列。

数学大讲堂：数列求和考点突破1

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)设 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和. 由an＝2n＋1可知 bn＝ana1n＋1＝(2n＋1)1(2n＋3)＝122n1＋1－2n1＋3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn
2019版高三一轮
[跟踪训练] (2017·石家庄一模)已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前 10 项和 S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 bn＝ana1n＋1，求数列{bn}的前 n 项和.
课时小结
数列求和的基本思想是“转化”：
2019版高三一轮
其一是转化为基本数列（如等差、等比数列）是求பைடு நூலகம் 或其他可求和的数列；
由 a2n＋2an＝4Sn＋3，
可知 a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
两式相减，得 a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即 2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an).
2019版高三一轮
由 an>0，可得 an＋1－an＝2.
又 a21＋2a1＝4a1＋3，解得 a1＝－1(舍去)或 a1＝3.
[基思本考能力辨自析测]
2019版高三一轮
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 如果数列 {an} 为等比数列，且公比不等于 1 ，则其前 n 项和 Sn＝ a11－－aqn＋1.( √ )
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝21n－1 1－n＋1 1.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可

T数列极限教学中难点的处理与突破

T数列极限教学中难点的处理与突破T数列极限教学中难点的处理与突破董希智①郭运瑞②（①河南省辉县市第一高级中学，辉县市453600；②河南科技学院，新乡市453003）摘要：在数列极限的教学中，如何引导学生从数列极限的“描述性”定义ε”语言转化. 历来被认为向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N-是极限教学的重点和难点.本文运用建构主义理论，结合自己的教学实践谈谈突破教学难点的思路和方法.关键词：数列极限；建构主义；数学思想方法；描述性；精确性我们知道，高等数学是用极限的理论和方法研究函数的，极限是它的武器和工具, 极限的思想方法贯穿高等数学的始末.高等数学又是一门非常重要的基础课，它是学生学习许多后续课程（如普通物理、常微分方程、复变函数等）的基础.但要学好高等数学，必须首先学好极限, 而极限概念是一个群体，各概念之间有着紧密的逻辑联系，数列极限又是极限理论的基础，因而更显得数列极限尤为重要.这就为教师提出了一个重要任务：必须尽一切努力教好数列极限这一课！那么，怎样教数列极限，才能使学生真正了解它的直观背景，掌握它的精神实质，理解它的思想方法，熟悉它的实际应用，而不至于只是形式地去“理解”它的定义，机械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引导学生从数列ε”极限的“描述性”定义向“精确性”定义过渡，从一般的叙述语言向“N-语言转化. 这一教学重点和难点必须从教和学两个方面突破. 建构主义提倡在教师指导下，以学习者为中心的学习.也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，两者相得益彰、和谐发展，为突破难点提供了有力的支撑.建构主义理论把“情景”、“协作”、“会话”和“意义建构”作为学习环境的四大要素.为突破数列极限的教学难点，笔者通过多媒体课件演示模型精心设计了“问题环境”，再通过师生之间的“会话”、“协作”，逐步完成学生的“意义建构”.一、以模型驱动思维，引导学生认识“无限”我们可先从《庄子.天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”中，使学生初步认识“无限”.然后利用多媒体课件演示“无限”的数学模型，引导学生辩证的认识“无限”.模型（课件演示）我国古代（公元3世纪）数学家刘徽的“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”意思是：圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长与圆的周长误差就越少，正多边形的边数再增加，一直到正多边形的边不能再分割时，则正多边形的周长就是圆的周长.首先，这句话的要点在于“割之又割”，没有“割之又割”，就没有“以至于不可割”，也就没有了“合体”之说. 因而我们说“割之又割”是一种变化过程，是一种没完没了的变化过程，即“无限”变化过程，所以“无限”实质上是一种永不停止的变化过程.其次，“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是思维上的一种认识，是思维上的一种飞跃—辩证思维. “不可割”是思维上的不可割，是思维上的一个“终结”，不是实际上的，实际上永远达不到“不可割”.有了这种思维认识就顺理成章地有了“合体”之说. 永不停止的“无限”变化过程，有时也有一个“终结”，而这个“终结”不是实质上的“终结”，而是一种变化趋势.二、以具体数列深化思维，引导学生形成“描述性定义”1.多媒体演示以下数列，描绘数列的图象（1）21，41，81，…，n 21，… （2）2，23，34，…，nn 1+，… （3）2，21，34，…，n n n 1)1(--+，… （4）1，1-，1，…，1)1(+-n ，…（多媒体课件动感表示）将这四个数列直观表示在直角坐标中，描绘出每个数列的图形(略).2. 通过观察引出“描述性”定义让学生观察分析数列的图形后不难发现：当项数n 无限增大时，数列（1）的一般项n 21无限接近于常数0；数列（2）的一般项n n 1+无限接近于常数1；数列（3）的一般项nn n 1)1(--+无限接近于常数1；而数列（4）的一般项n x 在1与-1之间摆动，不趋向于某一个确定的常数.教师：当项数无限增大时，如果数列的一般项能无限接近于一个常数，则称这个常数为数列的极限.这就是数列极限的“描述性”定义.板书:“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ，则称常数a 为数列的极限”.三、“N -ε”精确化定义的形成和概括过程1.在“会话”、“协作”中让学生主动构建知识用《几何画板》考察数列（2）的图像，学生可亲自参与，用鼠标拖动图形中标注的拖动点，观察数列的一般项随n 变化的过程，反复实践，反复体验何谓“趋向于”.在此基础上，老师与学生进行“会话”、“协作”共同再认识“描述性”定义：“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ，则称常数a 为数列的极限”.为“描述性”定义向“精确化” 定义过渡作准备.为了更简明、更清晰地展示“会话”、“协作”的过程，笔者撷取了一段课堂实录：老师：让我们考察数列（2）的图像，当项数n 无限增大时，其一般项n x ＝nn 1+是否趋向于某一常数？几乎全体学生：是！趋向于1.老师：噢！大家都认为随n 无限增大时，一般项nn 1+将趋向于1.但何谓“趋向于1”呢？学生A ：就是无限接近于1.老师：什么叫“无限接近”？（众笑）学生B ：（经过片刻思考）就是随着n 越来越大，n x 与1的差越来越小.学生B ：（受启发后继续补充）也就是n x 与1的距离1-n x 越来越小.老师：距离比0.1小行吗？学生C ：行！只要n ＞10即可.老师打开《几何画板》考察数列（2）的图像，故意给出n ＝1，2，3，4，图像并不在（0.9，1.1）之间.老师：数列（2）中的各项并不在（0.9，1.1）内，并不靠近1呀？学生D ：（反驳）那是因为你给的n 太小了.把n 的范围设定在10到20之间，数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了！老师通过《几何画板》用鼠标拖动图形中标注的拖动点，再演示把n 的范围设定在10到20之间，屏幕上数列的相应项就都在（0.9，1.1）内了.老师：随着n 继续增大，比如到了n ＞20以后，数列的相应项会不会跑出（0.9，1.1）范围呢？老师通过《几何画板》再演示，同学们发现第20项以后数列的相应项都在（0.9，1.1）内. 且相应的各项距离1越来越近了. 继续演示到了n ＞100以后，数列的相应项也都在（0.9，1.1）内，且相应的各项距离1越来越近了.老师：你们认为在（0.9，1.1）内，此数列有多少项？几乎所有学生：有无穷多项. 老师：通过观察我们看到，要1-n x ＜0.1，只要n ＞10即可. 再给出要1-n x ＜0.01、0.001，让学生讨论多少项以后，这个数列的各项就能分别都在区间（0.99，1.01）、（0.999，1.001）内.学生经过积极的交流合作，很快得到分别是第100项、第1000项以后.老师一边与学生讨论，一边将讨论的结果板书：n x ＝nn 1+，∞→n ，1→n x 当n ＞10、 n ＞100、 n ＞1000、… 有1-n x ＜0.1、1-n x ＜0.01、1-n x ＜0.001，… 老师：我们用1-n x 来衡量n x 与1之间的接近程度，1-n x 越小，n x 就越接近1，如果1-n x 要多么小就多么小，可以任意小，小于预先给定的无论多么小的正数ε，即表示n x 与1之间无限接近，就是1→n x .那么n 满足什么条件时，就能使1-n x ＜ε？所有学生：（通过自己运演）得到ε1>n 时，就能使1-n x ＜ε.老师：因为n 是数列的项数，应该是正整数.所以我们取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有11-+nn ＜ε成立. 老师：你们通过了刚才的体验与实践，能不能用语言概括一下？我们只有把上述现象用数学形式加以概括，才能得到极限的精确描述.2.在交流协作中完成“N -ε”精确化定义经过学生间的交流协作，在若干次的修改、补充、完善后，形成如下的表述：极限的“N -ε”定义：0>∀ε无论它多么小，∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ，恒有a x n -＜ε.则称常数a 是数列{}n x 的极限，记作a x n n =∞→lim 或 )(∞→→n a x n 用数学符号简述为：0>∀ε，∃正整数N ，当N n >，恒有a x n -＜ε⇔a x n n =∞→lim . 四、“N -ε”精确化定义的进一步分析至此，教师还须对“N -ε”定义中的语言作进一步的解释，要指出：①ε与N 的逻辑关系是先有ε后有N ，关系不容颠倒.定义中的N 是变化过程的界限，N 由相应的ε来确定，ε越小，N 越大，有时也记为)(εN ，但并不意味着N 由ε唯一确定.因为ε取定后，N 的选取并不唯一（老师可用上面的例子再作解释）.②ε是任意给定的正数，它具有两重性.一是它的任意性，因此它不是一个固定的常数，以保证a x n -要多么小就有多么小，它刻划n x 无限接近于a 的程度；二是它的相对固定性，ε一经取定，就相对固定了下来，以便根据它去求出N ，但ε的本质是一个常量.③“对任意给定的正数ε”，“恒有a x n -＜ε”，表明数列{}n x 的项n x 与a 要多么接近就多么接近，这表达了“无限接近”的确切意思；“∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ”则说明上述无限接近的过程和条件与n 无限增大的过程的具体联系.只要n 在增大过程中达到某一个界限N 时，N n >后就能保证a x n -＜ε都成立.④定义中并不是、也不需要数列{}n x 的所有项n x 均满足a x n -＜ε，而是当n 增大到一定程度时，比如N n >以后的所有项满足a x n -＜ε就可以了，至于N 之前的有限个项是否满足a x n -＜ε并不影响常数a 是数列{}n x 的极限.五、从理性认识又回到感性认识，对定义作几何解释若a x n n =∞→lim ，也就是：0>∀ε无论它多么小，∃正整数N ，当N n >时的一切项n x ，恒有a x n -＜ε. 对这个任意给定的无论多么小的正数ε，我们都能以常数a 为中心作出一个a 的ε邻域（a -ε，a +ε），（老师边说边作出图，此处略）.我们可根据ε来确定N ，当N n >以后的所有项n x 全部落在邻域（a -ε，a +ε）内，在邻域之外只有有限项1x ，2x ，…，N x .也可以形象地说成是无论正数ε多么小，数列{}n x 的“尾巴”全部进入到邻域（a -ε，a +ε）内. 又由于ε可以任意小，所以邻域（a -ε，a +ε）可以任意地小，即数列{}n x 中几乎所有的点全聚集在a 的附近，可见数列极限的“N -ε”定义精确地描述了“当项数n 无限增大时，无穷数列{}n x 的一般项n x 无限接近于一个常数a ”的这种变化趋势.至此，数列极限的定义已全部讲完，同学们对数列的极限已经有了一个明确的并且直观的认识，下面我们可以用极限的“N -ε” 定义来证明数列的极限.六、用极限的“N -ε”定义来证明数列的极限要证a x n n =∞→lim .任意给定了ε＞0之后，问题的关键是有没有这样的一项N x ，即是否可以找到自然数N ，使得当N n >时，就有a x n -＜ε都成立？所以问题就转化为根据ε去找N .也就是说，从不等式a x n -＜ε出发，倒推回去，去推出不等式)(εh n >，这样的[])(εh 就可以去作我们要找的N 了.例1 证明1)1(lim =-+∞→nn nn . 证因1)1(--+nn n ＝n 1，对任意给定的无论多么小的ε＞0，要使1)1(--+n n n ＜ε，就是n 1＜ε，解不等式得到ε1>n ，取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有11-+n n ＜ε成立，即1)1(lim =-+∞→nn n n . 例2 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn 证因0)1()1(2-+-n n 2)1(1+=n ＜11+n ＜n 1，所以对任意给定的无论多么小的正数ε，要使0)1()1(2-+-n n ＜ε，只要n 1＜ε，解不等式得到ε1>n ，取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，于是当N n >时，恒有0)1()1(2-+-n n ＜ε，即0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 需要说明的是：对于给定的ε，能够说明N 确实存在即可，没有必要求出最小的N 是什么.因此，为了求解方便，我们总是把不等式a x n -作适当的放大，利用放大之后的式子小于ε，解不等式得到N .还可以再举几个证明极限的例子，本次课就可以结束了.（下边的内容教师可根据具体情况而定，充分体现因材施教的原则）七、从反面理解数列的极限定义在讲授了数列极限的“N -ε”定义之后，还要指出的a x n n ≠∞→lim 的“N -ε”定义，这样既可以加深对数列极限本质的认识，又可以锻炼学生的抽象思维能力，使他们逐步适应这类精确的数学语言.参考文献[1]徐利治.《数学方法论选讲》,武汉:华中工学院出版社.1998[2]皮亚杰.(瑞士)《发生认识论原理》.北京:商务印书馆.1995[3]郭运瑞.MM 教育方式与数学创新教育的教学原则.职业技术教育.2001,3[4]同济大学.《高等数学》第五版.高等教育出版社.2003。

(完整word版)数列知识点复习总结,推荐文档

数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。

2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。

2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。

又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ；若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ，相加得 12n n a a S n +=，还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。

数学中数列题解题技巧与关键知识点

数学中数列题解题技巧与关键知识点数列是数学中一个重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。

解决数列题需要掌握一些关键的技巧和知识点。

本文将介绍数列题的解题技巧，并列举一些数列题的关键知识点。

一、等差数列的解题技巧等差数列是最常见的数列类型之一。

解决等差数列题可以运用以下技巧：1. 找出公差：公差是等差数列中相邻两项的差值，一般表示为d。

通过找出公差，可以帮助我们确定等差数列的规律。

2. 判断首项和通项公式：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

通过已知条件，可以确定首项和公差的值，并利用通项公式解决问题。

3. 利用等差数列的性质：等差数列具有一些特殊的性质，如任意三项的和等于三倍的中间项、前n项和的计算公式等。

在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。

二、等比数列的解题技巧等比数列是另一类常见的数列类型。

解决等比数列题可以运用以下技巧：1. 找出公比：公比是等比数列中相邻两项的比值，一般表示为q。

通过找出公比，可以帮助我们确定等比数列的规律。

2. 判断首项和通项公式：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，q表示公比。

通过已知条件，可以确定首项和公比的值，并利用通项公式解决问题。

3. 利用等比数列的性质：等比数列具有一些特殊的性质，如任意相邻三项的乘积相等等。

在解题过程中，利用这些性质可以简化计算，提高解题效率。

三、斐波那契数列的解题技巧斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前两项的和。

解决斐波那契数列题可以运用以下技巧：1. 理解斐波那契数列的定义：斐波那契数列的前两项分别为0和1，后面的每一项都是前两项的和。

通过理解这个定义，可以找出斐波那契数列的规律。

2. 利用递推关系求解：斐波那契数列可以通过递推关系an = an-1 + an-2求解，其中an表示第n项。

专题2-1 数列重难点、易错点突破

专题2-1 数列重难点、易错点突破（建议用时：120分钟） 1 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有a n 与S n 的关系式时，常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解.例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，求其通项公式a n . 2.累加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f (n －1)(n ≥2)，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)可求，则可用累加法求通项. 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2)，求其通项公式a n . 3.叠乘法若数列{a n }满足a na n －1＝f (n －1)(n ≥2)，其中f (1)·f (2)·…·f (n －1)可求，则可用叠乘法求通项.例3 已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1(a n ≠0，n ≥2)，求其通项公式a n .4.构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q (pq ≠0且p ≠1)的形式时，把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，即a n ＋1＝pa n ＋λ(p －1)，令λ(p －1)＝q ，解得λ＝qp －1，从而构造出等比数列{a n ＋λ}. 例4 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝14a n ＋3(n ∈N *)，求其通项公式a n .2提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强，因此，在解数列问题时必须研究技巧与策略，以求做到：选择捷径、合理解题，本文归纳了七种常见策略.第一招活用概念数列的概念是求解数列问题的基础，灵活运用数列的概念，往往能出奇制胜.例1已知{a n}是公差为2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝100，那么a2＋a5＋a8＋…＋a98等于() A.166 B.66 C.34 D.100第二招巧用性质数列的性质是数列的升华，巧妙运用数列的性质，往往可以使问题简单明了，解题更快捷方便.例2各项均为正数的等比数列{a n}中，若a7a8＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a14等于()A.12B.14C.10D.10＋log32第三招灵用变式在求解数列问题过程中，可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题.例3已知等差数列{a n}中，a3＝3，a10＝388，则该数列的通项a n＝________.第四招整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的.例4设S n表示等差数列{a n}的前n项和，且S9＝18，S n＝240，若a n－4＝30，试求n的值.第五招数形结合数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题.例5在公差d<0的等差数列{a n}中，已知S8＝S18，则此数列的前多少项的和最大？第六招分解重组在处理数列求和问题时，若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n项和进行重新分解，分别求和.例6 在数列{a n }中，已知a 1＝56，a 2＝1936，且{b n }是公差为－1的等差数列，b n ＝log 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n a a 311，{c n }是公比为13的等比数列，c n ＝a n ＋1－12a n ，求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .第七招合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等. 例7 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ＝1,2,3，…)，证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列.3 盘点数列中的易错问题1.对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________. 2.忽视数列与函数的区别而致错例2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a的取值范围是________.3.公式使用条件考虑不周全而致错例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .4.审题不细心，忽略细节而致错例4首项为9的等差数列，从第7项起开始为负数，求公差d的取值范围.5.忽略概念中的隐含条件而致错例5一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n边形的边数.6.忽视等差数列前n项和公式的基本特征而致错例6已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且对一切正整数n都有S nT n＝5n＋32n＋7，试求a9b9的值.7.等差数列的特点考虑不周全而致错例7在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n有最大值，并求出它的最大值.8.忽略题目中的隐含条件而致错例8 已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值.9.求和时项数不清而致错例9 已知点(1,2)是函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)的图象上一点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )－1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log a a n ＋1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .10.利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例10 已知等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，求数列{a n }的通项公式.专题2-1 数列重难点、易错点突破参考答案1 求数列通项的四大法宝例1 解当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝3n －3n －1＝2×3n －1，又a 1＝1≠2×31－1，所以数列{an }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 例2 解由已知，得a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝32，a 4－a 3＝33，…，a n －a n －1＝3n －1，以上各式左右两边分别相加，得a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1，所以a n ＝3(1－3n －1)1－3＋1＝3n －12(n ≥2)，又n ＝1时，a 1＝1＝31－12，所以a n ＝3n －12(n ∈N *).例3 解由a 1＝3，a n ＝3n －43n －1a n －1，得a n a n －1＝3n －43n －1，所以a 2a 1＝25，a 3a 2＝58，a 4a 3＝811，a 5a 4＝1114，…，a n a n －1＝3n －43n －1(n ≥2)，以上各式左右两边分别相乘，得a n a 1＝23n －1，所以a n ＝63n －1(n ≥2)，又a 1＝3＝63×1－1，所以a n ＝63n －1(n ∈N *).例4 解设a n ＋1＋t ＝14(a n ＋t )，则a n ＋1＝14a n －34t ，与已知比较，得－34t ＝3，所以t ＝－4，故a n ＋1－4＝14(a n －4)，又a 1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{a n －4}是首项为－3，公比为14的等比数列，因此a n －4＝－3×141-⎪⎭⎫⎝⎛n ，即a n ＝4－3×141-⎪⎭⎫⎝⎛n (n ∈N *).2 提高运算速度七妙招例1 解析若先求出a 1，再求和，运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等，且均是等差数列.由于(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)－(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＝(a 2－a 1)＋(a 5－a 4)＋(a 8－a 7)＋…＋(a 98－a 97)＝33d ＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166，故选A. 答案 A点评活用等差、等比数列的概念，沟通有关元素间的内在联系，使运算得以简化.例2 解析若设出a 1和q ，利用基本量法求解，显然运算量较大.若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9，则a 1a 2…a 14＝(a 7a 8)7＝97，所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14，故选B. 答案 B点评数列的性质是对数列内涵的揭示与显化，是求解数列问题的有力武器.例3 解析利用等差数列的变形公式求得公差，再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝3＋(n －3)×55＝55n －162.答案 55n －162点评常规方法是联立方程组，求出首项与公差，再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项，直接求解公差，再结合变形公式求得通项.例4 分析常规解法是设出基本量a 1，d ，列方程组求解，但较繁琐；若能利用整体思维，则可少走弯路，使计算合理又迅速.解由S 9＝18，即9(a 1＋a 9)2＝18，则a 1＋a 9＝4＝2a 5，故a 5＝2，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240，所以n ＝15.点评本题解法不在a 1，d 上做文章，而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示，使解题过程大大简化. 例5 分析用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a n 联系一次函数，对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型，可简化解题过程；②前n 项和S n 联系二次函数，利用二次函数的对称性及最值.解设f (x )＝xa 1＋x (x －1)2d ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2x ，则(n ，S n )在该二次函数的图象上，由于S 8＝S 18，d <0，所以y ＝f (x )的对称轴是x ＝8＋182＝13，且开口向下，故当n ＝13时，S n 取得最大值，故数列{a n }的前13项的和最大.点评从直观性角度研究数列问题，可使问题变得生动形象，易于求解.例6 分析由已知条件，事先无法估计a n 解析式的结构，因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{c n }可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式，消去a n ＋1，即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和. 解因为a 1＝56，a 2＝1936，所以b 1＝log 2⎝⎛⎭⎫1936－13×56＝－2， c 1＝1936－12×56＝132，又{b n }是公差为－1的等差数列， {c n }是公比为13的等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧b n＝－n －1，c n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，即⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－13a n ＝－n －1，an ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则⎩⎨⎧an ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，解得a n ＝32n －23n ，所以S n ＝3·⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －2·⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝2－32n ＋13n . 点评通项虽不是等比数列，但可拆为两个等比数列的和的形式，再分别利用等比数列的求和公式求和. 例7 分析要证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列，必须把问题化成与S n n 这个整体有关的问题，通过等比数列的定义加以证明.证明由于a n ＋1＝n ＋2n S n，a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，整理得nS n ＋1＝2(n ＋1)S n ，即S n ＋1n ＋1＝2S nn，又S n ≠0，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是以1为首项，2为公比的等比数列. 点评将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列的相关知识求解.3 盘点数列中的易错问题例1 [错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2.[点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点.[正解1] 设f (x )＝x 2＋λx ，则其图象的对称轴为x ＝－λ2，因为a n ＝n 2＋λn ，所以点(n ，a n )在f (x )的图象上，由数列{a n }是递增数列可知，若－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的. 故λ的取值范围为(－3，＋∞).[正解2] 因为数列{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立.又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0. 所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立.而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ的取值范围是(－3，＋∞).温馨点评利用函数观点研究数列性质时，一定要注意数列定义域是{1，2，3，4，…，n ，…}或其子集这一特殊性，防止因扩大定义域而出错. 例2 [错解] 因为数列{a n }是递增数列，且点(n ，a n )在函数f (x )的图象上，所以分段函数f (x )是递增函数，故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，7(3－a )－3<a ，解得94<a <3.[点拨] 上述解法把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增，忽视了二者的区别，事实上，数列是递增数列时，所在函数不一定单调递增. [正解] 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上.因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3，故实数a 的取值范围是(2,3).例3 [错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义.在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式. [正解] a 1＝S 1＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.例4 [错解] a 7＝a 1＋6d ＝9＋6d <0，∴d <－32.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第7项是该等差数列中的第一个负项，应有a 6≥0. [正解] 设a n ＝9＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝9＋5d ≥0，a 7＝9＋6d <0，得－95≤d <－32.温馨点评审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败. 例5 [错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°. 另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得n 2－25n ＋144＝0，所以n ＝9或n ＝16. 即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°应该舍掉. [正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°；当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去. 所以凸n 边形的边数为9.例6[错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ，b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点. [正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列，故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ， b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，点(n ，S n )在二次函数f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上.当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况⎝ ⎛⎭⎪⎫否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾. 例7 [错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130. ∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝20，S 10＝S 15，得10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0，∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴a 13＝0.∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数，而a 14及以后各项均为负数.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.例8 [错解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1. ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.当b 2＝2时，a 2－a 1b 2＝－12＝－12，当b 2＝－2时，a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. ∴a 2－a 1b 2＝±12. [点拨] 注意b 2的符号已经确定，且b 2<0，忽视了这一隐含条件，就容易产生上面的错误.[正解] ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2， ∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.例9 [错解] 1＋2＋22＋…＋2n -1＝21121---n ＝2n -1－1. [点拨] 错因在于没有搞清项数，首项为1＝20，末项为2n -1，项数应为n .[正解] (1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，∴a n ＝2n －1.(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，所以a n b n ＝n ·2n －1.T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1， ∴2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n . ∴由∴－∴得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ，所以T n ＝(n －1)2n ＋1.例10 [错解] 设等比数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12.所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况.[正解] 当q ＝1时，a 3＝4，a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，所以q ＝1符合题意，a n ＝4.当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.。

掌握初中数学中的数列与数列极限解题技巧

掌握初中数学中的数列与数列极限解题技巧数列与数列极限在初中数学中是一个重要的知识点，也是学生们常常遇到的难点之一。

掌握数列与数列极限解题技巧对于学生们的数学学习至关重要。

本文将介绍一些初中数学中的数列与数列极限解题技巧，帮助学生们更好地理解和应用这一知识点。

一、数列的基本概念与性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

在数列中，每个数称为该数列的项，用通项公式a_n表示数列中第n个项。

学生们在解题过程中首先需要了解数列的基本概念和性质，例如等差数列和等比数列的定义以及它们的通项公式，这对于解题过程中的计算和推理至关重要。

二、数列的递推关系与通项公式的推导在解题过程中，学生们往往需要根据已知条件推导出数列的递推关系或通项公式。

对于等差数列，如果已知首项a_1和公差d，可以通过a_n=a_1+(n-1)d的关系求得数列的任意一项；对于等比数列，如果已知首项a_1和公比q，可以通过a_n=a_1*q^(n-1)的关系求得数列的任意一项。

学生们需要多做练习，掌握数列的递推关系和通项公式的推导方法，以便能够灵活应用于解题过程中。

三、数列的性质及应用数列的性质在数列的解题过程中起着重要的作用。

例如等差数列的前n项和公式S_n=n/2*(a_1+a_n)，等比数列的前n项和公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，这些公式在计算数列的和时非常有用。

学生们应当熟练掌握数列性质的应用，灵活地运用在解题过程中。

四、数列极限的概念与性质数列极限是指数列中的项随着项号趋于无穷大时的极限值。

例如，对于数列{1/n}，当n趋于无穷大时，数列的项趋近于0，因此0是该数列的极限。

学生们需要了解数列极限的概念和性质，并能够通过计算和推理求解数列的极限值。

五、数列极限解题技巧在解题过程中，数列极限的计算是一个常见的需求。

以下是一些数列极限解题的技巧，供学生们参考：1. 利用夹逼定理。

当数列的项可以被夹在两个已知的数列之间时，可以利用夹逼定理求得数列的极限值。

数列知识点归纳总结难点

数列知识点归纳总结难点数列作为数学中的重要概念和工具，常常在各个学科和实际问题中出现。

在学习数列的过程中，我们需要理解和掌握一系列的知识点，其中包括数列的定义、分类、通项公式、递推关系、求和公式等等。

同时，也存在一些难点和容易混淆的概念。

本文将对数列的知识点进行归纳总结，并针对其难点进行深入讲解。

一、数列的定义和分类数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的有序集合。

数列中的每个数字称为数列的项，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示。

数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等等。

等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定，等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定，递推数列是指数列中的每一项都依赖于它前面的一项或多项。

二、数列的通项公式和递推关系数列的通项公式是指可以通过项号$n$来表示数列中第$n$项的公式。

通项公式在数列的研究和分析中起到了至关重要的作用，它能帮助我们快速计算和推导数列中的各个项。

对于等差数列，通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$表示首项，$d$表示公差；对于等比数列，通项公式为$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$表示首项，$r$表示公比。

递推关系是指数列中的每一项都通过前面一项或多项进行计算得到的关系式。

通过递推关系，我们可以递推出数列中的每一项，从而不需要知道特定项号的具体值。

递推关系的建立需要根据数列的特点和规律进行分析和推导，通常可以通过观察数列前几项的变化规律来确定。

三、数列的求和公式和性质数列的求和是指对数列中的若干项进行求和运算。

求和公式是用来计算数列前$n$项和的公式。

对于等差数列，求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和；对于等比数列，求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前$n$项和。

数列教学重难点

数列教学重难点一、重点：1、概念，通项公式，会运用归纳法猜测数列的通项公式，已知数列的通项公式写出数列的任意一项；2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，通项公式；性质；会进行知三求二的基本量的运算，能运用定义和通项公式推出等差数列的相关性质并能准确应用；同时会用类比方法得到等比数列的相关定义，通项，性质，并能比较鉴别；4、等差数列n项和公式。

要明白公式的推导过程，特别是将方法上升到理论；能熟练运用求和公式进行基本量的运算；知道等差数列前n项和公式与二次函数解析式间的关系，并能利用其中的关系研究等差数列的性质，如最值问题；5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式二、数列教学的难点：1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

三：认识1、数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用。

如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等。

2、数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用。

3、由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

第五节有关数列的4大难点问题突破

第五节有关数列的4大难点问题突破难点一数列在数学文化与实际问题中的应用[典例] (1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．[解析] (1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为12的等比数列{a n }，设等比数列的首项为a 1，则a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12＝12，则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p )＝ap [(1＋p )5－(1＋p )]＝ap[(1＋p )5－1－p ]． [答案] (1)C (2)ap [(1＋p )5－1－p ][解题技法] 解答数列应用题需过好“四关”[过关训练]1．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t 倍．下列选项中，与t 值最接近的是( )A ．11B ．13C ．15D ．17解析：选B 设鱼原来的质量为a ，饲养n 年后鱼的质量为a n ，q ＝200%＝2，则a 1＝a (1＋q )，a 2＝a 1⎝⎛⎭⎫1＋q 2＝a (1＋q )⎝⎛⎭⎫1＋q 2，…，a 5＝a (1＋2)×(1＋1)×⎝⎛⎭⎫1＋12×⎝⎛⎭⎫1＋122×⎝⎛⎭⎫1＋123＝40532a ≈12.7a ，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B. 2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的高度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的高度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草高度相同．答案：3难点二数列中的新定义问题[典例] 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”，已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝20 190，则b 2b 2 018的最大值是________．[解析] 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是“调和数列”，所以b n ＋1－b n ＝d ，即数列{b n }是等差数列，所以b 1＋b 2＋…＋b 2 019＝2 019(b 1＋b 2 019)2＝2 019(b 2＋b 2 018)2＝20 190，所以b 2＋b 2 018＝20.又1b n ＞0，所以b 2＞0，b 2 018＞0，所以b 2＋b 2 018＝20≥2b 2b 2 018，即b 2b 2 018≤100(当且仅当b 2＝b 2 018时等号成立)，因此b 2b 2 018的最大值为100. [答案] 100 [解题技法]1．新定义数列问题的特点通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．2．新定义问题的解题思路遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．[过关训练]1．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n ＋2)※2 019＝(2n )※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.解析：设a n ＝(2n )※2 019，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.所以数列{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 0252．定义各项为正数的数列{p n }的“美数”为np 1＋p 2＋…＋p n(n ∈N *)．若各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，且b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝________.解析：因为各项为正数的数列{a n }的“美数”为12n ＋1，所以n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝n (2n ＋1)， S n －1＝(n －1)[2(n －1)＋1]＝2n 2－3n ＋1(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝4n －1(n ≥2)．又1a 1＝13，所以a 1＝3，满足式子a n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1(n ∈N *)．又b n ＝a n ＋14，所以b n ＝n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 018b 2 019＝11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019＝1－12＋12－13＋…＋12 018－12 019＝1－12 019＝2 0182 019. 答案：2 0182 019难点三数列与函数的综合问题[典例] (2019·抚顺模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1，0)点，且在x ＝－1处的切线斜率为－1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1前n 项的和T n . [解] (1)函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象经过(－1,0)点，则a －b ＝0，即a ＝b .①因为f ′(x )＝2ax ＋b ，函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a ＋b ＝－1.②由①②得a ＝1，b ＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )＝n 2＋n . 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，所以a n ＝S n －S n －1＝2n .当n ＝1时，a 1＝2符合上式，则a n ＝2n . (2)由于a n ＝2n ，则1a n ·a n ＋1＝12n (2n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，则T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4n ＋4.[解题技法] 数列与函数综合问题的类型及注意点[过关训练]1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2，数列{x n }满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n ).设a n ＝ln x n －2x n －1，若a 1＝12，x n ＞2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：由函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)有两个零点1,2，可得f (x )＝a (x －1)(x －2)，则f ′(x )＝a (2x －3)，∴x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )＝x n －a (x n －1)(x n －2)a (2x n －3)＝x 2n －22x n －3.由a 1＝12，x n ＞2，得a n ＋1＝ln x n ＋1－2x n ＋1－1＝ln (x n －2)2(x n －1)2＝2ln x n －2x n －1＝2a n ， ∴数列{a n }是以12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.答案：2n －22．(2019·大庆模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线y ＝12x 2＋52x 上，数列{b n }满足b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，b 4＝11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1(2a n －3)(2b n －8)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k 54恒成立的最大正整数k 的值．解：(1)由已知得S n ＝12n 2＋52n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋52＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋52n －12(n －1)2－52(n －1)＝n ＋2，当n ＝1时，符合上式．所以a n ＝n ＋2.因为数列{b n }满足b n ＋b n ＋2＝2b n ＋1，所以数列{b n }为等差数列．设其公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋3d ＝11，5b 1＋10d ＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5，d ＝2，所以b n ＝2n ＋3. (2)由(1)得，c n ＝1(2a n －3)(2b n －8)＝1(2n ＋1)(4n －2)＝12(2n ＋1)(2n －1)＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1. 因为T n ＋1－T n ＝14⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3＝12(2n ＋1)(2n ＋3)＞0，所以{T n }是递增数列，所以T n ≥T 1＝16，故要使T n ＞k 54恒成立，只要T 1＝16＞k54恒成立，解得k ＜9，所以使不等式成立的最大正整数k 的值为8.难点四数列与不等式的综合问题[典例] (2019·洛阳第一次统考)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝4，a n ＋1＝3S n ＋4(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜89.[解] (1)∵a n ＋1＝3S n ＋4，∴a n ＝3S n －1＋4(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n ，即a n ＋1＝4a n . 又a 2＝3a 1＋4＝16＝4a 1，∴数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n .(2)证明：∵a n b n ＝log 2a n ，∴b n ＝2n 4n， ∴T n ＝241＋442＋643＋…＋2n 4n ，14T n ＝242＋443＋644＋…＋2n 4n ＋1，两式相减得，34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n4n ＋1 ＝2×14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n 4n ＋1 ＝23－6n ＋83×4n ＋1， ∴T n ＝89－6n ＋89×4n ＜89.[解题技法]数列中不等式证明问题的解题策略数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1. (2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)． [过关训练]在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n ·a n(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n ＜2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n，又a 11＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)由(1)知b n ＝a n 4n －a n＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1恒成立，所以b n ≤12n－1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＜2. [课时跟踪检测]1．(2019·深圳模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析：选A ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 2．(2019·柳州模拟)设函数f (x )定义为如下数表，且对任意自然数n 均有x n ＋1＝f (x n )，若x 0＝6，则x 2 019的值为( )A ．1 C ．4D ．5解析：选D ∵数列{x n }满足x 0＝6，且对任意自然数n 均有x n ＋1＝f (x n )，∴利用表格可得x 1＝f (x 0)＝f (6)＝4，x 2＝f (x 1)＝f (4)＝2，x 3＝f (x 2)＝f (2)＝1，x 4＝f (x 3)＝f (1)＝5，x 5＝f (x 4)＝f (5)＝6，x 6＝f (x 5)＝f (6)＝4，…，∴x n ＋5＝x n ，∴x 2 019＝x 403×5＋4＝x 4＝5.3．(2019·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且a ＝507B ．a ，b ，c 成公比为2的等比数列，且c ＝507C ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且a ＝507D ．a ，b ，c 成公比为12的等比数列，且c ＝507解析：选D 由题意可得，a ，b ，c 成公比为12的等比数列，b ＝12a ，c ＝12b ，故4c ＋2c＋c ＝50，解得c ＝507.故选D. 4．已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12－λn ＋1(n ＜6)，λn －5(n ≥6)，若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n ＋1，则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，712 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫712，1 解析：选B 因为a n ＞a n ＋1，所以数列{a n}是递减数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－λ＜0，0＜λ＜1，λ＜⎝⎛⎭⎫12－λ×5＋1，解得12＜λ＜712，故选B. 5．(2019·南昌模拟)数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：选B ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)，且其前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴该直线在y 轴上的截距为－9.6．(2019·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝⎛⎭⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞.7．用[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]＝3，[1.2]＝1，[－1.3]＝－2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，则⎣⎡⎦⎤a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a 2 019a 2 019＋1＝________. 解析：因为a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ＞1，所以1a n ＋1＝1a n (a n ＋1)＝1a n －1a n ＋1，即1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 019＋1＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a 2 019－1a 2 020＝1－1a 2 020∈(0,1)．又a n a n ＋1＝1－1a n ＋1，所以a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a 2 019a 2 019＋1＝2 019－⎝⎛⎭⎫1－1a 2 020. 所以⎣⎡⎦⎤a 1a 1＋1＋a 2a 2＋1＋…＋a 2 019a 2 019＋1＝2 018.答案：2 0188．数列lg 1 000，lg(1 000·cos 60°)，lg(1 000·cos 260°)，…，lg(1 000·cos n －160°)，…的前________项和为最大．解析：依题意知，数列的通项a n ＝lg(1 000·cos n －160°)＝3＋(n －1)lg 12，公差d ＝lg 12＜0，数列单调递减．因为a n ＝3＋(n －1)lg 12＞0时，n ≤10，所以数列的前10项均为正，从第11项开始为负，故可知数列前10项的和最大．答案：109．(2019·济宁模拟)若数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，那么就称数列{a n }具有性质P .已知数列{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 2 020＝____________.解析：根据题意，数列{a n }具有性质P ，且a 2＝a 5＝2，则有a 3＝a 6＝3，a 4＝a 7，a 5＝a 8＝2. 由a 6＋a 7＋a 8＝21，可得a 3＋a 4＋a 5＝21，则a 4＝21－3－2＝16，进而分析可得a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3n ＝3，a 4＝a 7＝a 10＝…＝a 3n ＋1＝16，a 5＝a 8＝…＝a 3n＋2＝2(n ≥1)，则a 2 020＝a 3×673＋1＝16. 答案：1610．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 2 019中，正数的个数是____________．解析：由于sin π7＞0，sin 2π7＞0，…，sin 6π7＞0，sin 7π7＝0，sin 8π7＝－sin π7＜0，…，sin13π7＝－sin 6π7＜0，sin 14π7＝0，可得到S 1＞0，…，S 12＞0，S 13＝0，S 14＝0，∵2 019＝14×144＋3，∴S 1，S 2，…，S 2 019中，正数的个数是144×12＋3＝1 731.答案：1 73111．为了加强城市环保建设，某市计划用若干年时间更换5 000辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型两种车型．今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车300辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．市政府根据人大代表的建议，要求5年内完成全部更换，则a 的最小值为________．解析：依题意知，电力型公交车的数量组成首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，混合动力型公交车的数量组成首项为300，公差为a 的等差数列，则5年后的数量和为128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫3251－32＋300×5＋5×42a ，则128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫3251－32＋300×5＋5×42a ≥5 000，即10a ≥1 812，解得a ≥181.2，因为5年内更换公交车的总和不小于5 000，所以a 的最小值为182.答案：18212．(2019·遂宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n,2)，b ＝(1,1－2n )满足条件a ⊥b .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝S n ＋2－2n ＋1＝0， ∴S n ＝2n ＋1－2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n . (2)∵c n ＝n a n ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ，两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n(n ∈N *)． 13．(2019·安阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋Bx ＋C －1(B ，C ∈R)的图象上，且a 1＝C .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列b n ＝a n (a 2n －1＋1)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n . 又S n ＝n 2＋Bn ＋C －1，两式比较得d 2＝1，B ＝a 1－d2，C －1＝0.又a 1＝C ，解得d ＝2，C ＝1＝a 1，B ＝0，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝a n (a 2n －1＋1)＝(2n －1)(2×2n －1－1＋1)＝(2n －1)×2n ， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)×2n ， ∴2T n ＝22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1， ∴－T n ＝2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1 ＝2＋2×4(2n －1－1)2－1－(2n －1)×2n ＋1＝(3－2n )×2n ＋1－6，故T n ＝(2n －3)×2n ＋1＋6.14．(2018·淮南一模)若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝log 12a n .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34.解：(1)∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n ＋1.(2)证明：由c n ＋1－c n ＝log 12a n ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)．∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋12－⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜34.1c2＋1c3＋1c4＋…＋1c n≥1c2＝13，∴原式得证．又∵。

递推数列的通项公式难点突破

递推数列的通项公式难点突破递推数列是数学中常见的数列形式，其通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的数学公式。

在推导递推数列的通项公式时，存在一些难点需要突破。

首先，理解递推数列的定义和性质是突破的基础。

递推数列是指数列中的每一项可以由前一项或前几项通过其中一种规律来确定的数列。

理解递推数列的定义，包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等常见的递推数列，是推导通项公式的前提。

其次，突破递推数列通项公式的难点是寻找数列中的规律。

在有限项的数列中，可以通过直接列举每一项的值，对比观察其中的规律。

在无限项的数列中，可以通过找出相邻项之间的关系或者是找到第一项和下标之间的关系来建立递推关系。

有时候，可以使用列举假设的方法来发现数列中的规律，并进行验证。

接着，使用代数运算和数学知识来推导通项公式。

在突破第二个难点后，需要运用代数运算和已有的数学知识来进行推导。

通过归纳和推广来得到通项公式。

例如，对于等差数列，可以通过首项和公差的关系来推导通项公式；对于等比数列，可以通过首项和公比的关系来推导通项公式。

此外，在推导递推数列通项公式时，还可以运用数列的性质来进行辅助。

例如，对于等差数列，可以利用其性质之一即任意三项成等比数列来推导通项公式；对于等比数列，可以利用其性质之一即任意三项成等差数列来推导通项公式。

最后，需要进行验证和推广。

在得到一些递推数列的通项公式后，应该对其进行验证，即将公式代入数列中几个特定值进行计算，看是否能得到数列中对应的值。

若验证通过，则通项公式成立。

然后，可以通过类似的思路和方法，将所使用的方法和步骤进行推广，以求能够适用于更多类型的递推数列，并得到更一般的通项公式。

综上所述，递推数列的通项公式难点突破主要集中在理解数列的定义和性质、寻找数列中的规律、运用代数运算和已有的数学知识进行推导、运用数列的性质进行辅助、验证和推广等方面。

通过充分理解数列的性质和规律，并运用合适的方法和技巧，可以较好地突破递推数列通项公式的难点，从而得到更加一般化的解法。

从“数列极限”概念的教学谈难点的突破

材料．具体地说，就是把产生难点的因素，提前分散到它之前的内容中去．例如在极限概念教学之前，过对函数图象性质通的研究，解析几何中曲线切线的定义、近线的特性渐
Ｉ
的作用，以及为什么要对ｎＮ的一切自然数都成＞
样一个时刻，与Ａ接近到某一程度，列中在这个ｎ数
使他们易懂难忘，而牢固掌握．极限概念的教学从在
中主要注意以下几个问题：
１利用直观例子．
时刻后的各项，不会突破这个程度．定义的精确都为
个难点的突破，当经历量变— — 质变— — 巩应
固三个阶段．
１量变阶段．
这一阶段的时间长，要是为认识上的飞跃（主质
１
的极限是否存在来加深理解定义中Ｎ
变）作好数量上的准备，加有助于概念形成的感性增
化打下了基础．
３逐步引申，层深入．层朴素的观念，只是对极限的表面的认识，它是但
向纵深发展的基础．照上述三条，逐步向学生指对可
在教学当中，由下面的问题谈起：甲、先有乙二容
的教学，分析分母值趋近于零时分式值的变化情况，
讲述古代数学家祖冲之对圆周率的研究等等，学使
生熟悉并正确理解 “ 穷大” “ 无、任意小 ” 趋向” “ 、“ 、无

高中数学数列知识点总结精华版

/ 9 二、等差数列 1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann). 2、（1）等差数列的判断方法： ①定义法：)(1常数daannan为等差数列。 ② 中项法： aaannn212an为等差数列。 ③通项公式法：banan（a,b为常数）an为等差数列。 ④前n项和公式法：BnnAsn2（A,B为常数）an为等差数列。如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21 *nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。（2）等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。公式变形为:banan. 其中a=d, b= a1－d. 如1、等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na （答：210n）；2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）（3）等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中A=2d，B=21da.注意：已知n,d, a1,an, sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如数列 {}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝＿，n＝＿（答：13a，10n）；（2）已知数列 {}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.
/ 9 三、等比数列 1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann （或)(*1Naanqnn 2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaqqa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa (2)n。如1、一个等比数列{na}共有21n项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1na为____（答：56）； 2、数列{}na中，nS=41na+1 (2n)且1a=1，若nnnaab21 ，求证：数列｛nb｝是等比数列。 3、等比数列的通项：11nnaaq或nmnmaaq。如设等比数列{}na中，166naa，21128naa，前n项和nS＝126，求n和公比q. （答：6n，12q或2） 4、等比数列的前n和：当1q时，1nSna；当1q时，1(1)1nnaqSq11naaqq。如等比数列中，q＝2，S99=77，求9963aaa（答：44）提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。 5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()abab的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）

高中数学数列解题方法与技巧

高中数学数列解题方法与技巧一、引言在高中数学学习中，数列是一个重要的章节。

数列解题是数学学习中的基础，在考试中也占有比较大比重。

数列解题需要注意以下方面：1.正确理解题意，判断题目要求，2.找准解题方法与策略，3.实际操作，不放过每一道小问题。

二、数列概念1.数列的定义所谓数列，就是按照一定规律排列的一组数，其中每一个数均称为这个数列的项，数列中第一个项的位置称为“第一项”。

数列可以写作：a1,a2,a3,a4,a5,…,an比如：1，3，5，7，9，…，n，其中的5表示数列的第5项，n表示数列的第n项。

2.数列分类数列可分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等。

其中，等差数列的相邻两项之间的公差相等，为d；等比数列的相邻两项之间的比值相等，为q；递推数列则是通过前项计算出后项，最后项由第一项通过递推公式推出。

三、数列解题方法1.等差数列（1）判断等差数列一般来说，判断一组数列是否为等差数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之差是否相等的方法来判断是否为等差数列。

比如：5，8，11，14，17，…判断方法如下：8-5=11-8=14-11=33=d，为常数，因此，判断这个数列为等差数列。

（2）求等差数列公式已知等差数列的首项a1与公差d，求通项公式an的方法如下：an=a1+n-1×d其中，n为数列的项数。

此公式可以自己推导得出，需要注意的是，根据首项与公差可推出所有项，若题目信息不足，则需要另外的方法解题。

（3）等差数列求和等差数列求和有两种方法：平均数法和公式法。

平均数法：将首项与尾项之和除以2，再乘以项数n，即为等差数列之和。

Sn=[a1+an]n2公式法：首项加末项n次方乘公差除以2，即为等差数列之和。

Sn=na1+nna22.等比数列（1）判断等比数列判断一组数列是否为等比数列，需要寻找其中的通项公式。

可以借助相邻两项之比是否相等的方法来判断是否为等比数列。

高二数学专题等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)

专题等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差中项由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A a b =+.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则递推公式为1n n a a d +-=，通项公式为()11n da a n =+-知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）()()*1n a dn a d n N =+-∈（2）()*(),n m a a n m d m n N=+-∈.（3）(* ,n ma a d m n N n m-=∈-,且)m n ≠.2.若{}{},n n a b 分别是公差为,d d '的等差数列,则有数列结论{}n c a +公差为d 的等差数列(c 为任一常数){}·n c a 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){}n k an a ++公差为2d 的等差数列(k 为常数,*k N ∈){}n n pa qb +公差为pd qd +'的等差数列(p,q 为常数)3.下标性质在等差数列{}n a 中,若),(,,*m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.特别的,若)2,(,*m n p m n p N +=∈,则有2m n pa a a +=重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =.【答案】12-【分析】先判断得{}n a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为12n n a a +=-，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =-，又12a =，所以()82(81)212a =+-⨯-=-．故答案为：12-．2．已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{}n a 一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{}n a 中任意相邻两项n a 与()12n a n -≥，作差得()11n n a a pn q p n q p --=+--+=⎡⎤⎣⎦，它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n a 一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)1,3,5,7----．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2-【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为371913251931256-=-=-=-=，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为422,743-=-=，所以4274-≠-，因此不是等差数列．（3）因为3(1)5(3)7(5)2---=---=---=-，所以是等差数列，且公差为2-4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n ；(2)an=n2-n .【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为1[32(1)](32)2n n a a n n +-=-+--=-，是常数，所以数列{a n }是以2-为公差的等差数列．（2）因为221[(1)(1)]()2n n a a n n n n n +-=+-+--=，不是常数，所以数列{a n }不是等差数列．5．已知在数列{}n a 中，11a =，11112n n a a +=+，则10a 等于．【答案】211【分析】根据题意可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为11112n n a a +=+，所以11112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222n n n a a =+-⨯=+，故101111110222a =⨯+=，所以10211a =．故答案为：211．6．（多选）若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A ．{}n aB ．{}1n n a a +-C ．{}n pa q +(,p q 为常数)D ．{}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列1,1,3-是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A 不符合题意；对于选项B ，若{}n a 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列1{}n n a a +-为常数列，故1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；对于选项C ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=为常数列，故{}n pa q +为等差数列，故选项C 符合题意；对于选项D ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则121221n n a n a n d +++--=+为常数，故{2}n a n +为等差数列，故选项D 符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（）A ．85n a n =+B ．85n a n =-C ．85n a n =--D ．85n a n =-+【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差1138d =-=，所以通项公式为()()1138185n a a n d n n =+-=+-=-.故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），则n a =．【答案】n【分析】由题意得到{}n a 为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），故{}n a 为等差数列，公差为1，所以()111n a n n =+-⨯=.故答案为：n9．在数列{}n a 中，1a ==，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】23n a n=可得为等差数列，从而可求{}na 的通项公式.，故为等差数列，()()11n n =-=-=，故23n a n =，故答案为：23n a n=10．已知数列{}n a 中，1231,4,9a a a ===，且{}1n n a a +-是等差数列，则6a =（）A ．36B ．37C ．38D ．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求6a .【详解】因为21323,5a a a a -=-=，所以()()32212a a a a ---=，又{}1n n a a +-是等差数列，故首项为3，公差为2，所以132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以()()()665542112(54321)5136a a a a a a a a =-+-++-+=++++++= ．故选：A.11．在数列{}n a 中，11a =1=，则n a =（）A ．nB ．2nC ．2n +D【答案】B1=1=，再由等差数列的定义即可求出通项公式.1=1=，令n b =11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以11b ==为首项，1为公差的等差数列，所以()111n b n n =+-⨯=n =，所以2n a n =.故选：B12．已知数列(){}2log 1n a -（*N n ∈）为等差数列，且13a =，39a =，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】21nn a =+【分析】根据等差数列的概念可得数列(){}2log 1n a -的通项公式，进而可得n a .【详解】设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，由13a =，39a =，得()()2321log 1log 12a a d -=-+，解得1d =，所以()()2log 1111n a n n -=+-⨯=，即21nn a =+，故答案为：21nn a =+.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列{}n a 是等差数列，若48a =，()26263a a a a +=⋅，则2024a =（）A ．2024B ．2023C ．4048D ．4046【答案】C【分析】设数列{}n a 的公差为d （0d >），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求1,a d ，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以4a 为中心求d ，即可得结果.【详解】解法一：设数列{}n a 的公差为d （0d >），因为48a =，()26263a a a a +=⋅，则()()()1111132355a d a d a d a d a d +=⎧⎨+++=++⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以()202422202414048a =+⨯-=；解法二：设数列{}n a 的公差为d （0d >），由()26263a a a a +=⋅得()()4443222a a d a d ⨯=-+，又因为48a =，即()()488282=-+d d ，解得2d =，所以()202442202448220204048a a =+⨯-=+⨯=.故选：C ．14．已知等差数列{}n a 中，624a =-，3048a =-，则首项1a 与公差d 分别为（）A ．18,2--B ．18,1--C ．19,2--D ．19,1--【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题得115242948a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1191a d =-⎧⎨=-⎩.故选：D15．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出8a 即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 单调递增，所以0d >，由11019442a d a a =++=⇒，所以1499222d da -==-，则18957272222a a d d d d =+=-+=+>，所以8a 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足30a >，340a a +<，则1a d的取值范围是.【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据已知判断等差数列{}n a 先正后负，是递减数列，即可得出0d <，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】30a > ，340a a +<，40a ∴<，则0d <，31341120230a a d a a a d a d =+>⎧⎨+=+++<⎩解得11252a da d >-⎧⎪⎨<-⎪⎩，0d < ，1522a d ∴-<<-，即1a d 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则11a =．【答案】20【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，进而列出方程求得1a ，d ，进而求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =，则11110010220a a d =+=+⨯=.故答案为：20.18．已知等差数列{}n a 满足3681112a a a a +++=，则9112a a -的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得122441a d +=，即163a d +=，进而求出9111263a a a d -=+=【详解】由等差数列通项公式得11111225710d d d a a a d a ++++++=+，即122441a d +=，故163a d +=，()9111112281063a a a d a d a d -=+--=+=.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a ，b ，c 成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c 为斜边，公差为d ，则a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，所以2221()12,2()(),b b d b d b b d ⎧-=⎪⎨⎪+=+-⎩解得b ＝，d，从而a ＝c ＝，a ＋b ＋c ＝.方法二：设c 为斜边，因为是直角三角形且三边长a ，b ，c 成等差数列，且面积为12，可得：2222,112,2,b a c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故三角形的周长为a ＋b ＋c ＝.故答案为：.20．已知等差数列{}n a 满足213544,1a a a a =+=+，则7a =.【答案】2-【分析】由等差数列的性质可得3542a a a +=，代入条件式，可求得4a ，再根据1742a a a +=，可得解.【详解】在等差数列{}n a 中，23541a a a +=+ ，又3542a a a +=，24421a a ∴=+，解得41a =，又14a =，而1742a a a +=，解得72a =-.故答案为：2-.21．记等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，若22a 是21a 与232a -的等差中项，则d 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，由22a 是21a 与232a -的等差中项，得22223122a a a =+-，即2221112()(2)2a d a a d ++=-+，整理得21d =，而0d ≥，解得1d =，所以d 的值为1.故选：C22．有穷等差数列{}n a 的各项均为正数，若20233a =，则20002046212a a +的最小值是.【答案】34/0.75【分析】利用等差中项易知200020466a a +=，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由20232000204626a a a +==，且0n a >，则204620002000204620002046200020462000204622112115=()()()262622a a a a a a a a a a ++=+++153(624≥+=，当且仅当200020464,2a a ==时等号成立且满足题设.故答案为：3423．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件，得14a a +=()221a +，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.故答案为：2.24．已知数列{}n a 满足：11a =，()*2121211N 2n n n a n a a a ++==+∈，，则2015a =．【答案】12015【分析】由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可以求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出2015a 的值．【详解】解：由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又111a =，21111d a a =-=，∴1nn a =，∴1n a n =．∴201512015a =．故答案为12015．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列{}n a 为等差数列，则“4m =”是“2953m a a a a ++=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当4m =时，根据等差数列的性质可得()24915951955523a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=，故充分性成立；当{}n a 为常数列时，有1n a a =，由1293m a a a a ++=，529133m a a a a a ==++，此时*N m ∈即可，故必要性不成立．因此“4m =”是“2953m a a a a ++=”的充分不必要条件，故选：A ．26．已知正项等差数列{}n a ，若222985a a +=，3811a a +=，则n a =()A ．1B ．2C ．nD ．21n -【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出2a 和9a ，进而求出公差d 即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，依题意，293811a a a a +=+=，故()22929292121285a a a a a a +-=-=，解得，2918a a =，故2a 和9a 是211180x x -+=的两根，解得，12x =，29x =，因为{}n a 为正项等差数列，故公差0d ≥，从而22a =，99a =，则9277a a d -==，即1d =，所以2(2)1n a a n n =+-⨯=.故选：C .27．若{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22223456a a a a +=+，则该数列的前8项和8S =（）A ．10-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，根据题意求得34560a a a a +++=，然后利用等差数列的基本性质得出450a a +=，利用等差数列求和公式可求得8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，22223456a a a a +=+ ，()()222253640a a a a ∴-+-=，即()()()()535364640a a a a a a a a -++-+=，()345620d a a a a ∴+++=，0d ≠ ，所以，34560a a a a +++=，由等差数列的基本性质可得()4520a a +=，即450a a +=，所以，()()188458402a a S a a +==+=.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.29．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：530．在等差数列{}n a 中，若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210122022a a a ++=．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，由韦达定理可得1202310a a +=，所以由等差数列的性质得:2202212023101210,210,a a a a a +=+==10122101220225,15a a a a ∴=∴++=．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an }满足1311n n n a a a +-=+，13a =，令11n n b a =-.(1)证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)21n a n=+【分析】（1）将递推关系代入1111n n n b b a ++-=-11n a --，利用定义证明{}n b 是等差数列；（2）由等差数列通项公式求n b ，进而得n a .【详解】（1）∵1111n n n b b a ++-=-11n a -=-1131111n n n a a a ----+11112131(1)12(1)2(1)2(1)2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-=--==--+----，∴112n n b b +-=，又111112b a ==-，∴{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．（2）由（1）知()111222n n b n =+-=，21n a n ∴-=，∴21,n a n n*=+∈N .32．已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-（*n ∈N ），令11n n b a =-.(1)求23,a a 的值；(2)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)232a =，343a =(2)证明见解析，1n n a n+=【分析】（1）采用迭代法，可求2a ，3a ;（2）将112n n a a +=-转化为111111n n a a +=+--，即可证明数列{}n b 是等差数列，算出数列{}n b 的通项公式后即可计算数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）因为12a =，且112n na a +=-，当1n =时，211322a a =-=，当2n =时，321423a a =-=.（2）因为112n na a +=-，所以11111n n n na a a a +--=-=，两边同时取倒数有：1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，令11n n b a =-，有11111b a ==-，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =，所以1n n a n+=.33．已知{}n a 满足11a =，且()21133n n na n a n n +-+=+.(1)求23,a a ；(2)证明数列{}na n是等差数列，并求{}n a 的通项公式.【答案】(1)238,21a a ==(2)证明详见解析，232n a n n=-【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得n a .【详解】（1）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以，()1131n n n a a n n++=++，所以213223328,332112a a a a =+⨯==+⨯=.（2）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以131n n a a n n +-=+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为3的等差数列，所以()232,3232nn a n a n n n n n=-=-=-.34．数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列.【答案】(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b 为等差数列.35．已知数列{}n a 满足11a =，1144n na a +=-.(1)证明：121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设12nn n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)332n nn T +=-【分析】(1)将已知表达式变形为11422n na a +-=-，通过配凑的方法可以得到121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{}n a 的通项公式，代入{}n b ，用错位相减法可以求得前n 项和n T .【详解】（1）由题可知1211422n n n na a a a +--=-=，所以114221n n n a a a +=--，所以1221111121212121n n n n n n a a a a a a +-+===+----.所以11112121n n a a +-=--.又11121a =-，所以121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得()111121n n n a =+-⨯=-，所以111122n n a n n+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以1122n n n n na n b -+==.所以12323412222n n n T +=++++ .所以234112341222222n n n n n T ++=+++++L .两式相减，得111423111*********22122222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 113113322222n n n n n ++++=--=-所以332n nn T +=-.36．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅>=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，111n n n S T S ---=．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以1111111n n n n S S S S --+==+-，即11111n n S S +-=-，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列{}n a 的前n项和为11,1,1n n S a a +==+是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用n a 与n S 的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为11n n n a S S ++=-，11n a +=+，11n n S S +∴-=+)2111n n S S +=+=，1=1=，∴是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列{}n a 中，12211211,,23n n n n n n a a a a a a a a ++++===+，若135k a =，则k =（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】A【分析】由已知可得12211n n n a a a ++=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出1na ，进而可求得n a ，然后由135k a =可求得结果.【详解】由21122n n n n n n a a a a a a ++++=+且数列不存在为0的项，得12211n n na a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a =，公差为21112a a -=，所以()111221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-．由112135k a k ==-，得18k =，故选：A ．39．已知数列{}n a 满足()*123N n n a a n n ++=+∈，则12024a a +=（）A ．2023B ．2024C ．2027D ．4046【答案】C【分析】由123n n a a n ++=+可得2125n n a a n +++=+，进而可得22n n a a +-=，则有数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由123n n a a n ++=+①，得125a a +=，2125n n a a n +++=+②，由②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，则20242220242120222a a a ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以1202412270220a a a a +=+=++=.故选：C.40．已知各项均不为0的数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，且112a =，则2023a =．【答案】12024/12024-【分析】将111n n n a a a +=+取倒数化简可得1111n na a +-=，即判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得{}n a 的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，即11n n n a a a +=+，即11111111,n n n na a a a ++=+∴-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是112a =，公差为1的等差数列，故112(1)11,1n n n n a n a =+-∴=⨯++=，故202312024a =，故答案为：1202441．已知数列{}n a 满足13a =，11n n a a +=+，则10a =.【答案】120【分析】根据11n n a a +=+，可得)2111n a ++=，从而可证得数列是等差数列，可求得数列{}n a 的通项，即可得解.【详解】因为11n n a a +=+，所以2111n a ++=+，即)2111n a ++=，1=1=，所以数列2=，公差为1的等差数列，()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+，所以2101020120a =+=.故答案为：120.42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11n n n S S a ++⋅=，则n a =．【答案】2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【分析】题中所给式子无法直接根据1n n n a S S -=-进行转化，考虑使用11n n n a S S ++=-进行转化，先求出n S ，再求n a ．【详解】由11n n n S S a ++⋅=，得到11n n n n S S S S ++⋅=-，然后两边同除以1n n S S +⋅得到1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1-的等差数列．而12a =，于是()1132122n n n S -=--=，进而得到232n S n=-，所以当2n ≥时，有()()122432522325n n n a S S n n n n -=-=-=----（2n ≥）．综上所述，2,14,2(23)(25)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩．故答案为：2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩43．已知数列{}n a 满足14a =，()()1121n n na n a n n +-+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)222n a n n=+(2)()111212n n T n +=-+【分析】（1）利用构造法，先求得n a n ，进而求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T .【详解】（1）由()()1121n n na n a n n +-+=+得：121n n a a n n +-=+，∵141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列，所以()41222n a n n n =+-⨯=+，所以222n a n n =+；（2）()()112211221212n n n n n n n n b a n n n n ++++===-+⋅+，所以123n nT b b b b =++++ ()22334111111111122222323242212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()111212n n +=-+.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{}n a （单位万元，n N *∈），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a 的3倍，已知221272a a +=．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A ．72万元B ．96万元C ．120万元D ．144万元【答案】C 【分析】本题可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210a a +，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010a a a a a a a d a a a a +++++创=+=+=+，因为221272a a +=，所以()1210120a a +=£=，当且仅当12a a =时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n 苯结构简式……分子式108C H 1410C H 1812C H ……由此推断并十苯的分子式为.【答案】4224C H 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18 ，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H .故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】14；27.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{}n a ，显然大张在2021年第1,5,9, 天放假，所以有14(1)43n a n n =+-=-，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为{}n b ，则有17(1)76n b n n =+-=-，此时两数列的公共项为：1,29,57, ，首项为1，公差为28，末项为365，设共有m 项，所以有3651(1)2814m m =+-⋅⇒=；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为{}n c ，则有47(1)73n c n n =+-=-，此时两数列的公共项为：25,53,81, ，首项为1，公差为28，末项为361，设共有t 项，所以有36125(1)2813t t =+-⋅⇒=，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有141327+=天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．【答案】1920.9<≤d 【分析】这台设备使用n 年后的价值构成一个数列{}n a ．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于2205%11⨯=万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{}n a 的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为n a 万元，则可得数列{}n a ．由已知条件，得1(2)n n a a d n -=-≥．由于d 是与n 无关的常数，所以数列{}n a 是一个公差为d -的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以1220a d =-，于是1(1)()220n a a n d nd =+--=-．根据题意，得10112205%112205%11a a ≥⨯=⎧⎨<⨯=⎩，即22010112201111d d -≥⎧⎨-<⎩，解这个不等式组，得1920.9<≤d ．所以d 的取值范围为1920.9<≤d ．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A ．332尺B ．13尺C ．52尺D ．43尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，则由题意可得49.5a =，76a =，74736a a d -∴==-，则小满当日日影长11774464()63a a d =+=+⨯-=．故选：D ．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A ．戊戌年B ．辛丑年C ．己亥年D ．庚子年【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷= ，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为庚，由于1001284÷= ，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A ．6766升B ．176升C ．10933升D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=，即第5节竹子的容积为6766升．故选：A ．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A ．乙分到37文，丁分到31文B ．乙分到40文，丁分到34文C ．乙分到31文，丁分到37文D ．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以乙分得237a d -=（文），丁分得31a =（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】12【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83d =，首项为11740a =的等差数列，所以1(1)174083(1)831657n a a n d n n =+-=+-=+，令20233000n a ≤≤，即20238316573000n ≤+≤，解得36613438383n ≤≤，又*n ∈N ，所以5n =、6、L 、16，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为165112-+=次.故答案为：12.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则815(1)157n a n n =+-=-，令157200n -≤，解得13.8n ≤，则数列{}n a 的最大项为15137188⨯-=，所以该数列最大项和最小项之和为1888196+=．故答案为：196.。

高中数学：《数列》知识要点梳理

《数列》知识梳理一、数列及其有关概念1．数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，．注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复．2．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个；（2）将12n =，，代入通项公式，可以求出这个数列的每一项．3．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集*N （或它的有限子集{12}n ，，，）．这也决定了数列的图象是一群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个．4．数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列．（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．二、等差数列1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则它的通项公式为1(1)n a a n d =+-．由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了．通常称首项和公差是等差数列的两个基本量．3．等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与函数的关系由等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-可知：当0d ≠时，n a 可以看成是关于n 的一次函数；当0d =时，1n a a =，可知n a 是常数函数．不论d 是否为0n a ，的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点．（2）等差数列的前n 项和公式与函数的关系由等差数列的前n 项和公式2111(1)222n d d S na n n d n a n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭可知：当0d ≠时，n S 可以看成是关于n 的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当0d =时，1n n S a n S =，可以看成是关于n 的一次函数（当10a ≠时），或为常数函数（当10a =时）．注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质．4．等差数列的充要条件数列{}n a 是等差数列1n n a a d +⇔-=（d 为常数，n *∈N ）n a pn q ⇔=+（p q ，为常数，n *∈N ）2122()n n n n a a a n S An Bn *++⇔=+∈⇔=+N （A B ，为常数n *∈N ，）． 5．等差数列的常用性质已知{}n a 是等差数列，公差为d ，则：（1）()n m n m a a a a n m d d n m --=-=-，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈Ν，，，，则m n p q a a a a +=+；（3）下标成等差数列的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等差数列，公差为md ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，仍为等差数列；（5）数列{}n a b λ+（b λ，为常数）仍为等差数列，公差为d λ．三、等比数列1．等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示．需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为0．2．等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则它的通项公式为11n n a a q -=．由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了．通常称首项和公比是等比数列的两个基本量．3．等比数列的充要条件数列{}n a 是等比数列1n na q a +⇔=（q 为常数，n *∈N ）212n n n a a a ++⇔=，且0()n a n *≠∈N ．4．等比数列的常用性质已知{}n a 是等比数列，公比为q ，则：（1）n m n m n n m ma a a q q a --==，；（2）若()m n p q m n p q *+=+∈N ，，，，则m n p q a a a a =；（3）下标成等差数理的项2k k m k m a a a ++，，，组成的数列仍为等比数列，公比为m q ；（4）232n n n n n S S S S S --，，，（当各项均不为0时）为等比数列．四、几种重要的题型1．“知三求二”型在等差数列{}n a 中，若已知1n n a d a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，可以求出其余的两个量．同样地，在等比数列{}n a 中，若已知1n n a q a S n ，，，，五个量中的任意三个量，利用通项公式与前n 项和公式，也可以求出其余的两个量．这所用的其实就是方程思想．2．求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：①负号用(1)n -或1(1)n +-来调节．②公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系． ③对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．④有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法．此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法．例1 求1361015，，，，，的一个通项公式．解：设此数列为{}n a ，其差数列为{}n b ，则{}n b 为：2345，，，，…，即1n b n =+．又1n n n b a a +=-，所以11n n a a n +-=+．令n 取1231n -，，，…，，得1n -不等式，将它们相加，得1(1)(2)2342n n n a a n -+-=++++=，而11a =，所以(1)(2)(1)122n n n n n a -++=+=．（2）已知n S ，求n a这类问题主要是利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩，，≥求通项公式．特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证2n ≥时的公式对1n =是否适用．（3）已知n S 和n a 的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将n 变为1n -或1n +再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如n S ）转化为项．例2 已知数列{}n a 中，12a =，且1()n n a S n *+=∈N ，求n a ．解：当2n ≥时，由1n n a S +=，得1n n a S -=，将两式相减，得11n n n n a a S S +--=-，即12n n a a +=．又2112a S a ===．1212 2.n n n a n -=⎧∴=⎨⎩ ， ≥。

数列知识点及方法归纳总结

数列知识点及方法归纳总结数列是数学中重要的一部分，广泛应用于各个领域。

本文将对数列的概念、性质以及常见的解题方法进行归纳总结。

一、数列的概念与性质数列是由若干项按照一定规律排列组成的数序，用{an}或者{an}表示。

其中，an表示数列中的第n项。

数列的性质包括有界性、单调性和有限或无限等。

1. 有界性：如果数列{an}存在一个数M，使得对于任意的正整数n，都有an ≤ M，那么称这个数列有上界M；如果存在一个数m，使得对于任意的正整数n，都有an ≥ m，那么称这个数列有下界m。

既有上界又有下界的数列称为有界数列。

2. 单调性：如果数列{an}中的每一项与它的后一项比较，满足an ≤ an+1或者an ≥ an+1，那么称这个数列是单调递增的或者单调递减的。

3. 有限或无限：如果数列{an}只有有限个项，那么称它是有限数列；如果数列{an}有无穷多个项，那么称它是无限数列。

二、常见数列及其求和方法1. 等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻的项之差都相等的数列。

通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的前n项和Sn的求和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻的项之比都相等的数列。

通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列的前n项和Sn的求和公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，当q ≠ 1时成立。

3. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和。

通常将第一项和第二项分别设为1，得到的数列为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...。

斐波那契数列有许多特殊性质及应用，详细的推导和性质可以进一步深入研究。

4. 算术级数算术级数是指数列中任意两个相邻的项之差都为定值的数列。

设首项为a1，公差为d，第n项为an，则有an = a1 + (n-1)d。

专题二数列(难点突破数列的函数特征)2023年高考数学二轮复习(全国通用)

又也满足上式，所以．（2）由（1）得，所以 .由 ,得，即，即，因为，所以，即 .故满足的最小正整数的值为10．
令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以当时，，即，故实数的取值范围为 .
突破点3 数列的最值
例3 (2022·枣庄二模)在① 是与的等差中项，② 是与的等比中项，③数列的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．已知是公差为2的等差数列，其前项和为， .
因为，所以是首项为，公差为4的等差数列．由的前5项和为65，得，解得，所以 .（2）不存在，使得 .理由如下：由（1）可得，因为，
所以； .所以，所以中的最大项为 .显然，所以对任意的，，所以不存在，使得 .
提分秘籍数列作为特殊的函数，数列的周期性可以通过归纳得到.数列的最值问题可利用函数的单调性求解，当然要注意数比较大小一般要求两个数均为正数．
（1）求数列的通项公式.
（2）设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
▶思维导图
[解析] （1）若选① 是与的等差中项，则，即，解得，所以 .若选② 是与的等比中项，则，即，解得，所以 .若选③数列的前5项和为65，则 .
◎难点精练
1.(2022·湖北模拟)数列 <m></m> 满足 <m></m> 且 <m></m> 是递增数列，则实数 <m></m> 的取值范围是______.
[解析] ∵数列满足且是递增数列，∴需满足即解得，即实数的取值范围是 .