6.2化二次型为标准形(全)

§2 化二次型为标准形●用配方法化二次型为标准形

●用正交变换法化二次型为标准形

6.2.1用配方法化二次型为标准形

定理6.2.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形。

定理6.2.2对任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在可逆矩阵C ，使得

C T AC =diag(d 1, d 2, ¨, d n )例6.2.1 用配方法把三元二次型

化为标准形，并求所用的线性变换X=CY 及变换矩阵C 。()2221231

2

3

121323

,,23448f x x x x x x x x x x x x =+++--解先按及含有x 1的混合项配成完全平方，即

()()()22

123112323,,22f x x x x x x x x x ⎡⎤

=+-+-⎣⎦

21

x ()222

232323

238x x x x x x --++-()2

221232

3

23

24x x x x x x x =+-+--

()()2

221231232

3

23

,,24f x x x x x x x x x x =+-+--在上式中，再按22

234x x x -配成完全平方，于是

()()()22

2

123123233

,,225f x x x x x x x x x =+-+--令

11232233

32y x x x y x x y x =+-⎧⎪

=

-⎨⎪=⎩代入上式中，得到二次型的标准形

()2221231

2

3

,,25f x x x y y y

=+-

由

11232233

32y x x x y x x y x =+-⎧⎪

=

-⎨⎪=⎩解得

112233*********x y x y x y --⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⎝⎭上式是化二次型为标准形所做的线性变换X=CY ，其中

111012001C --⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

对于一般的n 元二次型，如果的系数不为

零，一般都可像例6.2.1那样将其化为标准形。如果的系数

为零，而的系数不为零，配方可先从开始。如果所有平方项的系数全为零，二次型中只含有混合项，此时可按下面例6.2.2的方法，将其化为标准形。

()12,,,n f x x x 21

x 2

1x 2

2x 2x 例6.2.2 用配方法化二次型

化为标准形，并求所做的线性变换。

()1231213,,24f x x x x x x x =+解因为二次型中没有平方项，无法配方，所以先作一个线性变换，使其出现平方项。根据x 1x 2，利用平方差公式，令

1122123

3x y y x y y x y

=+⎧⎪

=-⎨⎪=⎩

代入二次型，得

()()()()1231212123

,,24f x x x y y y y y y y =+-++再用配方法，先对含y 1的项配完全平方，然后对含y 2的项配完全平方，得到

1132233

3z y y z y y z y

=+⎧⎪

=-⎨⎪=⎩代入上式中，得到二次型的标准形

()2

21231

2

,,22f x x x z z

=-221

2

1323

2244y y y y y y =-++()()

2222

12311333223

,,22224f x x x y y y y y y y y =++--+()()

22

132322y y y y =+--

令

1132233

3y z z y z z y z

=-⎧⎪

=+⎨⎪=⎩

这个过程中共做了两次线性变换，分别记为X=C 1Y 和Y=C 2Z ，其中

1110110001C ⎛⎫ ⎪=- ⎪

⎪⎝⎭

2101011001C -⎛⎫

⎪= ⎪

⎪⎝⎭

()123,,,

T

X x x x =()123,,,

T

Y y y y =()

123,,T

Z z z z =于是X=C 1C 2Z 就是二次型化为标准形所作的线性变换，其中变

换矩阵为

12110112001C C C ⎛⎫ ⎪

==-- ⎪

⎪⎝⎭

这里原二次型及其标准形

所对应的矩阵，分别是

012100200A ⎛⎫ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭

220⎛⎫ ⎪Λ=- ⎪

⎪⎝⎭

可以看出：

220T

C AC ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪

⎪⎝⎭

121324x x x x +2

21

2

22z z

-任何n 元二次型都可用配方法化为标准形，相应的变换

矩阵为主对角元素为1的上三角矩阵和上例中的对角块矩阵C 1，或者是这两类矩阵的乘积。