2020-2021石家庄二中高一数学下期中试卷(含答案)

公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关
键．
6．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
①a∥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故①错误； ②若 a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得 b⊥α，故②正确； ③a⊥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故③错误； ④若 a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得 a∥b，故④正确． 故选 B．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
ab 2
设长方体的棱长分别为
a,
b,
c
，则
bc
3
，
ac 6
a 2
所以 abc2
36 ，于是
b
1
，
c 3
设球的半径为 R ，则 4R2 a2 b2 c2 14 ，所以这个球面的表面积为 4 R2 14 ．
中档题．
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的
高为 ，消去的三棱锥的高为 ，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 和 的直角三角
形，所以几何体的体积为
，故选 C．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运
19．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC BD ，则平行四边形 ABCD 一
定是___________.
20．已知直线 l1 : y x 1 上有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2 , y2 ) , 且 x1, x2 为一元二次方程 x2 6x 1 0 的两个根, 则过点 A, B 且和直线 l2 : x 1相切的圆的方程为
ABCD, AD AB, AB / /DC, AD DC AP 2, AB 1，若 E 为棱 PC 上一点，满足
BE AC ，则 PE __________．
EC
18．若直线 l : kx y 2 0 与曲线 C : 1 y 12 x 1有两个不同的交点，则实数 k
的取值范围________.
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ， 因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接
球表面积为 （ ）
A． 3
B． 2 3
C． 4 3
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
D．12
A．12
B．18
C．24
D．30
9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 4 的正方形，两条虚线互相垂直
底面是斜边上的高为 2 的等腰直角三角形， 与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，
故三棱锥的外接球与以棱长为 2 的正方体的外接球相同，其直径为 2 3 ，半径为 3
三棱锥的外接球体积为 4
3
3 4 3
3
故选 C
பைடு நூலகம்
【点睛】
本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于
可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】
作出三棱锥 A BCD 的外接长方体 AEBF GDHC ，如下图所示：
设 DG x ， DH y ， DE z ， 则 AD2 x2 z2 3 ， DB2 y2 z2 4 ， DC 2 x2 y2 5 ，
三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． 3 2
B． 24
C． 6
D． 6
3．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
4．B
解析：B
【解析】
由 f x 为偶函数得 m 0,所以
a 2log0,5 3 1 2log2 3 1 3 1 2, b 2log2 5 1 5 1 4 , c 20 1 0 ,所以 c a b ,
7．C
解析：C 【解析】
【分析】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为 2 的等腰直角
三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，故三棱锥的外接球与 以棱长为 2 的正方体的外接球相同，由此可得结论
【详解】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，
14．直线
与圆
交于
两点，则
________．
15．直线 ax y 1 0 与连接 A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则 a 的取值范围是
___．
16．若圆 C1 ： x2 y2 ax by c 0 与圆 C2 ： x2 y2 4 关于直线 y 2x 1对称，则 c ______. 17．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面
______________.
三、解答题 21．如图，在 ABC 中 AC BC 且点 O 为 AB 的中点，矩形 ABEF 所在的平面与平面 ABC 互相垂直.
（1）设 EC 的中点为 M ，求证： OM // 平面 ACF ； （2）求证： AC 平面 CBE
22．已知空间几何体 ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为 2 的等边三角形，△ABC 是 腰长为 3 的等腰三角形，平面 CDE⊥平面 BCD，平面 ABC⊥平面 BCD.
围是（ ）
A． ( 5 , 3] 12 4
B． ( 5 , 1] 12 2
C． (1 , 3] 24
D．[1 , ) 2
6．设 表示平面， a ， b 表示直线，给出下列四个命题：① a ， a b b ；
② ab ， a b ；③ a ， a b b ；④ a ， b ab ，其中
中心，底面为正方体上底面，因此体积是 43 1 2 42 160 ，选 B.
3
3
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观 图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形 状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
且相等，则该几何体的体积是（ ）
A． 176 3
B． 160 3
C． 128 3
D．32
10．长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，则该长方体外接球的表面积为 ( )
A． 7 2
B． 56
C．14
D． 64
11．矩形 ABCD中， AB 4 ， BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角
2020-2021 石家庄二中高一数学下期中试卷(含答案)
一、选择题
1．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为
30 ，则该长方体的体积为（ ）
A． 8
B． 6 2
C． 8 2
D． 8 3
2．已知三棱锥 A BCD 中， AB CD 5 ， AC BD 2， AD BC 3 ，若该
(1)试在平面 BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点 F 与 E 的连线 EF 均与平面 ABC 平 行，并给出证明； (2)求三棱锥 E－ABC 的体积.
23．如图， AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆 O 的直径， D、E 分别是 AA1 、 CB1 的中点， DE 平面 CBB1 ．
4．已知定义在 R 上的函数 f (x) 2 xm 1(m为实数) 为偶函数,记
a f (log0.5 3), b f (log2 5), c f (2m) ,则 a,b, c ,的大小关系为（ ）
A． a b c
B． c a b
C． a c b
D． c b a
5．直线 y k(x 2) 4 与曲线 x 3 2y y2 0 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范
上述三个等式相加得 AD2 BD2 CD2 2 x2 y2 z2 3 4 5 12 ，
所以，该长方体的体对角线长为 x2 y2 z2 6 ，则其外接球的半径为 R 6 ， 2
因此，此球的体积为
4 3
6 2
3
6 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外
B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积是（ ）
A． 125 12
B． 125 9
C． 125 6
D． 125 3
12．已知实数 x, y 满足 2x y 5 0 ，那么 x2 y2 的最小值为（ ）
A． 5 二、填空题
B． 10
C． 2 5
D． 2 10
13．点 (5, 2) 到直线 (m 1)x (2m 1) y m 5的距离的最大值为________.
【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
作出三棱锥 A BCD 的外接长方体 AEBF GDHC ，计算出该长方体的体对角线长，即
26．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝ 6 ，M
是 CC1 的中点．
(1)求证：A1B⊥AM； (2)求二面角 B--AM--C 的平面角的大小．.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
（1）证明： AC 平面 AA1B1B ； （2）证明： DE / / 平面 ABC. 24．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， CC1 平面 ABC , AC BC, AC BC CC1 2 ，点 D, E, F 分别为棱 A1C1, B1C1, BB1 的中点．
（1）求证： AB / / 平面 DEF ； （2）求证：平面 ACB1 平面 DEF ； （3）求三棱锥 E ACB1 的体积. 25．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，底面 ABCD 是菱形． （1）求证： BD PC ； （2）若平面 PBC 与平面 PAD 的交线为 l ，求证： BC / /l ．
故选 B. 考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用数形结合，作出图象，计算得直线 l1 与直线 l2 的斜率，即可得到结论.
【详解】
曲线可化简为 x2 ( y 1)2 4 x 0 ，如图所示：
直线 l1 : y k x 2 4 ，此直线与曲线相切，此时有
算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对
正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体
的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．
9．B
解析：B
【解析】
该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 4，倒四棱锥顶点为正方体
3 2k k2 1
2 ，解得 k
5， 12
直线 l2
:
y
k
x
2
4
，此直线与曲线有两个交点，此时有
k
1 2
.
所以，过点 2, 4 的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得 5 k 1 . 12 2 故选：B. 【点睛】
本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离