2020-2021石家庄二中高一数学下期中试卷(含答案)
2019-2020学年河北省石家庄二中高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．1a＜1bC．a2＞ab＞b2D．ba＞ab2．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则a4＝（）A．﹣7B．﹣10C．10D．123．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SB B．AD⊥SCC．平面SAC⊥平面SBD D．BD⊥SA4．若函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．365．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE 所成角的余弦值为（）A．14B．15C．2√65D．√1546．在△ABC中，cos2B2=a+c2c，则△ABC为（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A．283πB．√223πC．73πD．√7π8．已知数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a4等于（）A．4B．32C．64D．1289．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b＝1，求a+c的取值范围（）A．(1，√3)B．(√3，2]C．（1，2]D．（1，2）10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m•a n＝64，则1m +16n的最小值为（）A．256B．215C．92D．17311．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最小值B．S15是最小值C．S29＝0D．S15是最大值12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，则（）A．sin∠CDB=310B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8+4√5D．△ABC为锐角三角形二、填空题13．已知数列{a n}满足a1＝1，3a n+1a n＝a n﹣a n+1，则通项a n＝．14．函数f(x)={−1(x≤0)x(x＞0)，则不等式xf（x）﹣x≤2的解集为．15．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足4√33S=b2+c2−a2，若a=√3，则bsinB=．16．对于数列{a n}，定义Hn =a1+2a2+⋯+2n−1ann为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H n=2n，记数列{a n}的前n项和为S n，则S20202020=．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a b=cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC 而言，若其内部的点P 满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝120°，则称P 为△ABC 的费马点．如图所示，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，设P 为△ABC 的费马点，且满足∠PBA ＝45°，PA ＝2．（1）求△PAC 的面积； （2）求PB 的长度．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DF⊥AB于F．（Ⅰ）求证：BC平行平面DEF；（Ⅱ）若∠BAC=∠ADC=π3，求直线BE与平面DAB所成角的余弦值．参考答案一、选择题1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．1a＜1bC．a2＞ab＞b2D．ba＞ab【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：∵a＜b＜0，则A．c＝0时，ac2＜bc2不成立；B．由已知可得1a ＞1b，因此不成立；C．由已知可得：a2＞ab＞b2，因此正确；D．由已知可得：a2＞b2，∴a2ab＞b2ab，化为ab＞ba，因此不成立．故选：C．2．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则a4＝（）A．﹣7B．﹣10C．10D．12【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，利用通项公式求和公式可得：3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1，d，即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，∴3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1＝2，d＝﹣3．则a4＝2﹣3×3＝﹣7．故选：A．3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A ．AC ⊥SBB ．AD ⊥SCC ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD ⊥SA【分析】在A 中，推导出AC ⊥SD ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面SBD ，由此得到AC ⊥SB ；在B 中，推导出AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，从而AD ⊥平面SDC ，由此得到AD ⊥SC ；在C 中，推导出AC ⊥平面SBD ，从而平面SAC ⊥平面SBD ；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD 与SA 不垂直，解：由四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，知： 在A 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ， ∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；在B 中，∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，∵SD ∩CD ＝D ，∴AD ⊥平面SDC ， ∵SC ⊂平面SCD ，∴AD ⊥SC ，故B 正确； 在C 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，∵AC ⊂平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面SBD ，故C 正确；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝a ，DS ＝b ，则D （0，0，0），B （a ，a ，0），A （a ，0，0），S （0，0，b ）， DB →=（a ，a ，0），SA →=（a ，0，﹣b ），∵DB→⋅SA→=a2≠0，∴BD与SA不垂直，故D错误．故选：D．4．若函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，则实数a的值为（）A．12B．24C．16D．36【分析】利用基本不等式的性质即可得出．解：函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)当且仅当x＝2时取得最小值，∴f（x）≥2√4x⋅ax=4√a，当且仅当x=√a2=2时取等号，解得a＝16．故选：C．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，DD1的中点，则异面直线AF，DE 所成角的余弦值为（）A．14B．15C．2√65D．√154【分析】可画出图形，连接BE，从而可得出∠DEB为异面直线AF，BE所成的角，并连接DB，然后可设正方体的棱长为2，从而可得出△BDE三边的长度，根据余弦定理即可求出cos∠DEB的值．解：如图，连接BE，则BE∥AF，则∠DEB为异面直线AF，DE所成的角，连接DB，设正方体的棱长为2，则：BE=DE=√5，BD=2√2，∴在△BDE中，由余弦定理得，cos∠DEB=BE 2+DE2−BD22BE⋅DE=5+5−82×√5×√5=15．故选：B．6．在△ABC 中，cos 2B 2=a+c2c，则△ABC 为（ ） A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【分析】根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状． 解：∵cos 2B 2=a+c 2c ， ∴12（1+cos B ）=a+c2c， 在△ABC 中，由余弦定理得，12+12•a 2+c 2−b 22ac=a+c 2c，化简得，2ac +a 2+c 2﹣b 2＝2a （a +c ）， 则c 2＝a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：C ．7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．√223π C ．73πD ．√7π【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积．解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，下底面三角形的外接圆半径r满足：2r=1sin60°⇒r=√33，所以，球半径R=√r2+h2=(33)2+(12)2=√712，∴球的表面积为：4πR2＝4π（√712）2=73π；故选：C．8．已知数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a4等于（）A．4B．32C．64D．128【分析】推导出a na n−1=4×(12)n−1=23﹣n，从而a4=a1×a2a1×a3a2×a4a3，由此能求出a4的值．解：∵数列a1，a2a1，a3a2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，∴a na n−1=4×(12)n−1=23﹣n，∴a4=a1×a2a1×a3a2×a4a3＝4×2×1×12=4．故选：A．9．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知B=π3，b＝1，求a+c的取值范围（）A．(1，√3)B．(√3，2]C．（1，2]D．（1，2）【分析】由已知结合余弦定理及基本不等式可求a+c的范围，然后再结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．解：由余弦定理可得，cos B=12=a2+c2−12ac，所以（a+c）2﹣2ac﹣1＝ac即（a+c）2＝1+3ac≤1+3×(a+c2)2，当且仅当a＝c时取等号，解可得，a+c≤2，又a+c＞b＝1，综上1＜a+c≤2．故选：C．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m•a n＝64，则1m +16n的最小值为（）A．256B．215C．92D．173【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n＝2n．求得m+n＝6，1 m +16n=16（m+n）（1m+16n）=16（17+nm+16mn），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．解：S n＝2a n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，又S n＝2a n﹣2，相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣1，{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．所以a n＝2n．a m a n＝64，即2m•2n＝64，得m+n＝6，所以1m +16n=16（m+n）（1m+16n）=16（17+nm+16mn）≥16（17+2√16）=256，当且仅当nm =16mn时取等号，即为m=65，n=245．因为m、n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+16n＞256，验证可得，当m＝1，n＝5时，1m +16n取得最小值为215．故选：B．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最小值B．S15是最小值C．S29＝0D．S15是最大值【分析】由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，根据a1＞0，可得d＜0，即可判断出结论．解：由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，∵a1＞0，∴d＜0，∴S14，S15是最大值，S29=29(a1+a29)2=29a15＝0．∴CD正确．故选：CD．12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，则（）A．sin∠CDB=310B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8+4√5D．△ABC为锐角三角形【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．解：在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，所以sin∠CDB=2√55．如图所示：设CD＝x，则CB＝2x，在△BCD中，利用余弦定理：cos∠CDB=−√55=x2+9−(2x)22×3×x，整理得√5x2−2x−3√5=0，解得x=√5（负值舍去）．所以CD=√5，CB＝2√5，进一步求出cos B=2√5)2√5)22×3×25=2√55．在△ABC中，利用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC cos B，解得：AC＝2√5，所以：l△ABC=8+2√5+2√5=8+4√5．S△ABC=12×8×2√5×√55=8．cos ∠ACB =√5)2√5)22×25×250，所以△ABC 为钝角三角形． 故选：BC ． 二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1，则通项a n ＝ 13n−2．【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．解：数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1， 可得1a n+1−1a n=3，可得数列{1a n}是等差数列，首项为1，公差为3，所以1a n=1+3（n ﹣1），所以a n =13n−2． 故答案为：13n−2．14．函数f(x)={−1(x ≤0)x(x ＞0)，则不等式xf （x ）﹣x ≤2的解集为 [﹣1，2] ．【分析】由已知函数解析式可把原不等式进行转化即可求解．解：当x ≤0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，﹣x ﹣x ≤2，解可得，x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0， 当x ＞0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，x 2﹣x ≤2，解可得，﹣1≤x ≤2，此时0＜x ≤2， 综上可得，x 的范围[﹣1，2] 故答案为：[﹣1，2]15．在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．△ABC 的面积S 满足4√33S =b 2+c 2−a 2，若a =√3，则bsinB= 2 ．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan A ，进而可求A ，然后结合正弦定理即可求解．解：因为4√33S =b 2+c 2−a 2，所以4√33×12bcsinA =2bc cos A ，则tan A =√3，因为A 为三角形的内角，故A =13π，因为a =√3，由正弦定理可得，b sinB =a sinA =√3√32=2．故答案为：216．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20202020=20232．【分析】先由题设条件得到a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，再利用a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减求出a n ＝n +1（n ≥2），检验n ＝1时是否适合，然后求出S 20202020即可．解：由题意知H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn =2n，即a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，又当n ≥2时，有a1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减得：2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1， 整理得a n ＝n +1（n ≥2），当n ＝1时，有a 1＝1×2＝2也适合， ∴a n ＝n +1，S 2020=2020(2+2021)2，∴S 20202020=20232．故答案为：20232．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a b=cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．【分析】（I ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求； （II ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求； （III ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 解：（I ）因为ab =cosA 2−cosB=sinA sinB，所以2sin A ﹣sin A cos B ＝sin B cos A ，所以2sin A ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）＝sin C ， 由正弦定理可得，ac =sinA sinC =12；（II ）由余弦定理可得，14=a 2+16−4a 28a，整理可得，3a 2+2a ﹣16＝0， 解可得，a ＝2，因为sin C =√154，所以S △ABC =12absinC =12×2×4×√154=√15；（III ）由于sin2C ＝2sin C cos C ＝2×√154×14=√158，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=−78．所以cos （2C +π3）=12cos2C −√32sin2C =12×(−78)−√32×√158=−7−3√516．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值．【分析】（1）利用已知条件，求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （2）化简通项公式，利用裂项相消法，求解数列的和，然后求解n 即可． 解：（1）设数列{a n }的公差为d ， 因为a 6﹣a 2＝8，所以4d ＝8，解得d ＝2，因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 62=a 1a 21， 即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1＝5， 所以a n ＝2n +3；（2）由（1）知b n =1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)， 所以b n =12(12n+3−12n+5)， 所以S n =12[(15−17)+(17−19)+⋯+(12n+3−12n+5)]=n5(2n+5)， 由n 5(2n+5)=111，得n ＝25．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，PA⊥平面ABCD ，AB ＝2，PA ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【分析】（1）证明BC ⊥AC ，PA ⊥BC ，推出BC ⊥平面PAC ，即可证明平面PAC ⊥平面PBC ．（2）设点D 到平面PBC 的距离为d ，利用V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ，转化求解即可． 【解答】（1）证明：由已知得AC =√AD 2+CD 2=√2，BC =√AD 2+(AB −CD)2=√2，AB ＝2，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ，∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， ∵PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ， ∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）得BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AC ，BC =√2，PC =√12+(√2)2=√3， 设点D 到平面PBC 的距离为d ， ∵V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ， ∴13×12×DC ×AD ×PA =13×12×PC ×BC ×d ，∴13×12×1×1×1=13×12×√3×√2×d ，解得d =√66，∴点D 到平面PBC 的距离为√66．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝2．（1）求△PAC的面积；（2）求PB的长度．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得∠PAB＝15°，∠PAC＝30°，可得在△PAC中，∠PCA＝30°，可得PA＝PC＝2，利用三角形的面积公式即可求解△PAC 的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45°，sin15°的值，在△PAB中，由正弦定理可得PB的值．解：（1）由已知可得∠PAB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，在△PAC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴PA＝PC＝2，∴△PAC的面积S=12PA•PC•sin∠PAC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△PAB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√2422=√3−1．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得a1＝2．则a n可求．设等比数列{b n}的公比为q，求得q与b2，则{b n}的通项公式可求；（2）由（1）知，a n=2n，b n=2n．代入得c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1+c na n=2n+1，即可求得数列{c n}d的通项公式；数列{c n}的前2020项的和S2020=8+2×23+3×24+⋯+ 2020×22021=4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．然后利用错位相减法求解．解：（1）依题意得：b32=b2b4，∴(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，∴a12+12a1+36=a12+16a1+28，解得a1＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．设等比数列{b n}的公比为q，∴q=b3b2=a4a2=84=2，又b2＝a2＝4，∴b n=4×2n−2=2n；（2）由（1）知，a n=2n，b n=2n．∵c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1+c na n=2n+1，①当n≥2时，c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1=2n，②由①﹣②得，c n a n=2n ，即c n =n ⋅2n+1，又当n ＝1时，c 1=a 1b 2=23不满足上式， ∴c n ={8，n =1n ⋅2n+1，n ≥2； 数列{c n }的前2020项的和S 2020=8+2×23+3×24+⋯+2020×22021 ＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．设T 2020=1×22+2×23+3×24+⋯+2019×22020+2020×22021，③ 则2T 2020=1×23+2×24+3×25+⋯+2019×22021+2020×22022，④ 由③﹣④得：−T 2020=22+23+24+⋯+22021−2020×22022=22(1−22020)1−2−2020×22022=−4﹣2019×22022．∴T 2020=2019×22022+4，∴S 2020=T 2020+4=2019×22022+8．22．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影E 在AC 上，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：BC 平行平面DEF ；（Ⅱ）若∠BAC =∠ADC =π3，求直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出EF ∥BC ，由此能证明BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由EF ⊥平面DAB ，得∠EBH 即所求线面角，由此能求出直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值． 解：（Ⅰ）证明：因为DA ＝DB ＝DC ，所以E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ， 因为EF ⊂平面DEF ，BC ⊄平面DEF ，所以BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）解：在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由（Ⅰ）知EF ⊥平面DAB ，∠EBH 即直线BE 与平面DAB 所成角， 由F 是AB 的中点，AB ⊥EF 得EA ＝EB ， 设AC ＝2，∠BAC =π3，则DE =√3，EF =√32，EF =√152EH =√155，所以直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值为sin∠EBF =EH EB =√155，所以直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值为√105．。
石家庄二中2024年高一数学12月试题+答案
石家庄二中高一年级12月月考数学试卷(本试卷满分150分，考试时间120分钟)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2，-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)2.下列运算中正确的是()A.log37log34=log74 B.110-lg2+ln(ln e)=2C.a-1a=-aD.若a+a-1=14，则a12+a-12=233.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的是原来的1100？()(参考数据：lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.16B.17C.18D.194.已知a=20.3，b=30.4，c=log0.20.3，则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c5.若函数f x =ln e2x-2e x-a对x∈R恒有意义，则实数a的取值范围是()A.-∞,+∞B.1,+∞C.-1,1D.-∞,-16.若f x 是定义在R的奇函数，且f x+1是偶函数，当0≤x≤1时，f x =ln x+1，则2≤x≤3时f x 的解析式为()A.f x =ln x-1B. f x =-ln x-1C.f x =-ln3-xD. f x =ln3-x7.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在0,+∞上单调递增，满足f(log2a)-f log12a≤2f(3)，则实数a的取值范围为()A.8,+∞B.18,8C.0,18D.0,88.已知函数f x =x2+4a-3x+3a,x<0log a x+1+1,x≥0,(a>0且a≠1)在-∞,+∞上单调递减，且函数g x =f x+x-2恰好有两个零点，则a的取值范围是()A.13,2 3∪34B.13,23∪34C.0,23D.23,34二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是()A.函数f x =a x-1-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点1,-2B.若函数g x 满足g-x+g x =6，则函数g x 的图象关于点0,3对称C.当x>0时，函数y=x+3x+1-1的最小值为23-1D.函数g x =-x2-x+2的单调减区间为-12,110.已知函数f x 是定义在1-2a,a+1上的偶函数，当0≤x≤a+1时，f x =x-3x+1，若f log2m>1，则()A.a=2B.a=3C.m的值可能是16D.m的值可能是611.已知函数f(x)=log2mx2+2x+m-1，m∈R，则下列说法正确的是()A.若m=0，则不等式f(x)<1的解集为x x<32B.若函数f(x)的定义域为R，则实数m的取值范围是1+52,+∞C.若函数f(x)的值域为[-1,+∞)，则实数m=2D.若函数f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，则实数m的取值范围是[0,+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数f(x)=log2(x+1),若0<f(1-2x)-f(x)<12，则x的取值范围是；13.设函数f(x)=ax+1x+2a在区间(-2，+∞)上是增函数，那么a的取值范围是.14.若x>0，y>0，且log23x+log29y=log481，则2x +13y的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题13分)函数f(x)=2ax2+4x-3-a，a∈R.(1)当a=1时，求函数f(x)在-1,1上的最大值；(2)如果函数f(x)在区间-1,1上只有一个零点，求实数a的取值范围.16.(本小题15分)已知函数f (x )=log a mx +1x -1(a >0,且a ≠1)是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)当x ∈(1，a -2)时，函数f (x )的值域是(1，+∞)，求实数a 的值．17.(本小题15分)已知函数f x =42+4x．(1)若函数f x 的图象关于12，b成中心对称图形，求b 值；(2)判断f x 的单调性(无需证明)，并解关于x 的不等式f 1+ax +x 2 +f x <2．18.(本小题17分)已知函数f (x )=log 22x -1+1 ，g (x )=-2x +1.(1)求证：f (x )为奇函数；(2)解关于x 的不等式g (x )-g (2-x )≤2x -2(3)若2f (2x)-k ≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围；19.(本小题17分)若函数y =f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数g (x )=2x 是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数f (x )=(x -1)2在定义域[m ,n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m ,n 乘积mn 的取值范围；(3)已知函数f (x )=(x -a )2a <43在定义域43,4 上为“依赖函数”.若存在实数x ∈43,4 ，使得对任意的t ∈R ，有不等式f (x )≥-t 2+(s -t )x +4都成立，求实数s 的最大值.数学参考答案1.【答案】B 【解析】因为函数f (x )=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f (-1)=12-3=-52<0,f (0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ．2.【答案】B 【解析】log 37log 34=log 47，A 错；110 -lg2+ln (ln e )=10lg2+ln1=2+0=2，B 正确；a -1a =-a 2-1a =--a ，C 错误；a +a -1=14时，a 12+a -122=a +2+a -1=16，a 12+a-12=4，D错．3.【答案】A 【解析】设该种放射性物质初始质量为m ，经过n 年，剩留量变为1100m ，则可建立模型为m ⋅34n=1100m ， 即n =lg 1100lg 34=-2lg3-2lg2=-20.4771-2×0.3010≈16，所以大约经过16年，该物质剩留的是原来的1100.故选：A .4．【答案】D 【解析】c =log 0.20.3<log 0.20.2=1,a =20.3>1,b =30.4>1则有：a >c ,b >ca =20.3<30.3<30.4故有：b >a >c 故选：D5．【答案】D 【解析】由题意得：e 2x -2e x -a >0对x ∈R 恒成立，即a <e 2x -2e x =e x (e x -2)恒成立，令y =e x (e x -2)，当且仅当e x =1即x =0时，有最小值-1，故a <-1，故选：D ．6.【答案】B 【解析】由题意可得f 1+x =f 1-x =-f x -1 ，即f x =-f x -2 ，当2≤x ≤3时，0≤x -2≤1，所以，f x =-f x -2 =-ln x -2+1 =-ln x -1 .7.【答案】D 【解析】函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，所以f (x )在R 上是增函数，f (log 2a )-f log 12a ≤2f (3)，即f (log 2a )+f (log 2a )≤2f (3)，所以f (log 2a )≤f (3)，所以log 2a ≤3=log 223，所以0<a ≤8，即实数a 的取值范围为0,8 .8.【答案】A 【解析】因为函数f x 是R 上的减函数，则3-4a2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 1+1，解得13≤a ≤34，函数g x =f x +x -2恰好有两个零点，即方程f x =2-x 恰好有两个根，如图，在0,+∞ 上方程f x =2-x 恰好有一解，所以在-∞,0 上，方程f x =2-x 有且仅有一解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0，x <0，则Δ=4a -2 2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，经检验符合题意；当1≤3a ≤2即13≤a ≤23时，由图象知符合题意.综上，a 的取值范围是13,23∪34 .故选：A .9.【答案】BD 【解析】对A ：令x -1=0，解得x =1，当x =1时，f x =-1，故f x 恒过定点1,-1 ，A 错误；对B ：因为g -x +g x =6，则g x +g -x2=3，故g x 的图象关于0,3 对称，B 正确；对C ：因为x >0，故y =x +3x +1-1=x +1+3x +1-2≥2x +1 ×3x +1-2=23-2，当且仅当x =3-1时取得等号，故C 错误；对D ：要使g x =-x 2-x +2有意义，则-x 2-x +2≥0，解得-2≤x ≤1，则g x 的定义域为-2,1 ，由复合函数的单调性可得y =-x 2-x +2在-2,-12 单调递增，在-12,1 单调递减，故D 正确.10.【答案】AD 【解析】由于f x 是定义在1-2a ,a +1 上的偶函数，所以1-2a +a +1=2-a =0,a =2，A 选项正确，B 选项错误.当0≤x ≤3时，f x =x -3x +1.由x -3x +1=10≤x ≤3 ⇒x =2.若m =16，则log 2m =log 216=4∉-3,3 ，不合题意，C 选项错误.若m =6，则log 2m =log 26>log 24=2，f 2 =2-33=1，f x =x -3x +1在0,3 上递增，所以f log 2m>1成立，D 选项正确.故选：AD11.【答案】BCD 【解析】对于A ，当m =0时，f (x )=log 2(2x -1)，由f (x )<1，可得0<2x -1<2，解得12<x <32，故A 错误.对于B ，因为f (x )的定义域为R ，所以mx 2+2x +m -1>0恒成立，当m =0时，上式不等式为2x -1>0，显然不恒成立；当m ≠0时，则m >0Δ=4-4m (m -1)<0 ，解得m >1+52，故B 正确；对于C ，因为f (x )的值域为[-1,+∞)，所以y =mx 2+2x +m -1的最小值为12，显然m ≠0，否则f (x )没有最小值，所以m >0m -1m 2+2-1m +m -1=12，解得m =2，故C 对；对于D ，因为函数f (x )在区间[2,+∞)上为增函数，所以当m =0时，f (x )=log 2(2x -1)，符合题意；当m ≠0时，m >0-1m ≤24m +4+m -1>0，解得m >0；综上，m ≥0，故D 对；12.答案3-22,13 解析：由0<log 2(2-2x )-log 2(x +1)<12，∴1<2-2xx +1<2，且2-2x >0，且x+1>0，得3-22<x <13．13.答案[1，+∞),解析： f (x )=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a，∵函数f (x )在区间(-2，+∞)上是增函数，∴2a 2-1>0，-2a ≤-2， 即2a 2-1>0，a ≥1， 即a ≥1.14.答案4+233【解析】因为x >0，y >0，所以log 23x+log 232y =log 234log 24,log 23x ×32y =12log 234=log 293x ×32y =32，所以x +2y =2，即12x +2y =1所以2x +13y =12x +2y 2x +13y =122+23+4y x +x 3y ≥1283+24y x ×x 3y≥1283+433 ≥4+233当且仅当4y x =x 3y ，即4yx =x3y x +2y =2，此时x =6-23y =3-1 时取等号,所以最小值为4+23315.解：(1)当a =1时，则f (x )=2x 2+4x -4=2(x 2+2x )-4=2(x +1)2-6，因为x ∈-1,1 ，所以x =1时，f (x )max =f (1)=2；............................................2分(2)当a =0时，f (x )=4x -3，令f x =4x -3=0，得x =34，所以函数在-1,1 上有一个零点,故a =0时成立........................4分①当a ≠0时，令Δ=16+8a (3+a )=8(a +1)(a +2)=0,解得a =-1,a =-2，..................5分当a =-1时,f (x )=-2x 2+4x -2=-2(x -1)2，由f (x )=0，得x =1∈[-1,1]；当a =-2时,f (x )=-4x 2+4x -1=-4x -12 2．由f (x )=0，得x =12∈-1,1 ，.所以当a =-1或-2时,y =f (x )均恰有一个零点在-1,1 上..............................8分②当f (-1)⋅f (1)=(a -7)(a +1)≤0，即-1≤a ≤7时，y =f x 在-1,1 上必有零点，....................9分当a =-1时，f (x )=-2x 2+4x -2=-2(x -1)2,由f (x )=0得，x =1符合题意；当a =7时，则f (x )=14x 2+4x -10,由f (x )=0解得x 1=-1,x 2=57∈[-1,1]∴函数有两个零点(不合题意，舍去)所以，-1≤a <7函数恰有一个零点...............................12分综上所述，函数f (x )在区间-1,1 上存在零点，实数a 的取值范围是a ≥-1或a =-2............13分16.解(1)由f (x )=log a mx +1x -1(a >0且a ≠1)是奇函数，得f (-x )+f (x )=log a 1-mx -x -1+log a mx +1x -1=log a 1-m 2x 21-x 2=0对于定义域内的任意x 恒成立，即1-m 2x 21-x2=1，得m 2=1，即m =±1．........................................5分当m =-1时，原函数化为f (x )=log a 1-x1-x，定义域为{x |x ≠1}(舍去)，∴m =1；....................7分由(1)知f (x )=log ax +1x -1，设u =1+2x -1，则y =log a u ，∵a -2>1∴a >3...................9分又∵函数f (x )的值域是(1，+∞)，即y >1，∴u =1+2x -1(1<x <a -2)的值域为(a ，+∞)，........................11分因为函数u =1+2x -1在x ∈(1,a -2)上单调递减，所以a =1+2a -3，解得：a =2+3；综上，a =2+3．..............................15分17.解(1)∵f x +f (1-x )=42+4x +42+41-x =42+4x +4⋅4x 2⋅4x +4=8+4⋅4x 2(2+4x )=2...........5分∵函数f x 的图象关于点12,b 成中心对称图形，∴2b =2,b =1..............................7分(2)易知函数y =2+4x 为单调递增函数，且2+4x >0对于x ∈R 恒成立,则函数f x =42+4x在R 上为单调递减函数，...........................9分由(1)知，f x 的图象关于12,1 成中心对称图形，即f x +f 1-x =2，不等式f 1+ax +x 2 +f x <2得：f 1+ax +x 2 <2-f x ，即f 1+ax +x 2 <f 1-x ，则1+ax +x 2>1-x ，整理得x 2+a +1 x >0，......................12分所以，当a =-1时，不等式的解集为x x ≠0 ；.............................13分当a >-1时，不等式的解集为x x <-a -1或x >0 ；.............................14分当a <-1时，不等式的解集为x x <0或x >-a -1 ..............................15分18.解：(1)证明：函数f (x )=log 22x -1+1，即f (x )=log 2x +1x -1，可得x +1x -1>0，解得x >1或x <-1，可得定义域为{x |x <-1或x >1}，关于原点对称...................................2分f (-x )=log 2x -1x +1=-log 2x +1x -1=-f (x )，则f (x )为奇函数；................................4分(2)不等式g (x )-g (2-x )≤2x -2，即为式g (x )-x ≤g (2-x )-(2-x )设h (x )=g (x )-x ，即h (x )=-2x +1-x ，可得h (x )在R 上递减，..................................6分所以g (x )≤g (2-x )，所以x ≥2-x ，解得x ≥1，................................8分所以原不等式的解集为[1,+∞). ................10分(3)由2x >1或2x <-1，解得x >0，..................11分所以2f (2x )-k ≥g (x )(x >0)恒成立，即2log 22x+12x -1-k ≥-2x +1，.................................13分化为2x +12x -1-k ≥-2x +1，即k ≤2x +12x -1+2x +1=3+22x-1+2(2x -1)对x >0恒成立................15分由3+22x -1+2(2x -1)≥3+2×2=7，当且仅当22x -1=2(2x -1)即x =1时，取得等号，所以k ≤7，即k 的取值范围是(-∞,7]；.............................17分19．解(1)对于函数g (x )=2x 的定义域R 内任意的x 1，取x 2=-x 1，则g (x 1)g (x 2)=2x 1⋅2-x 1=1，且由g (x )=2x 在R 上单调递增，可知x 2的取值唯一，故g (x )=2x 是“依赖函数”；..............4分(2)∵m >1,f (x )=(x -1)2在[m ,n ]递增，故f (m )f (n )=1，即(m -1)2(n -1)2=1，由n >m >1，得：(m -1)(n -1)=1，故n =mm -1，.............................6分由n >m >1，得：1<m <2，即mn =m 2m -1=m -1+1m -1+2在m ∈1,2 上单调递减，故mn ∈4,+∞ ，............................8分(3)∵a <43，故f x =x -a 2在43,4 上单调递增，即f 43 ⋅f4 =1，即43-a 24-a 2=1，即43-a 4-a =1，解得：a =1或a =133(舍)，.............................10分从而，存在x ∈43,4，使得对任意的t ∈R ，有不等式x -1 2≥-t 2+s -t x +4都成立，即t 2+xt +x 2-s +2 x -3≥0恒成立，.............................13分由Δ=x 2-4x 2-s +2 x -3 ≤0，得：4s +2 x ≤3x 2-12，由x ∈43,4 ，可得：4s +2 ≤3x -12x，.............................15分又∵y =3x -12x 在x ∈43,4 单调递增，故当x =4时，3x -12x max=9，即4s +2 ≤9，解得：s ≤14，故实数s 的最大值为14..............................17分。
河北省石家庄市高一下学期期中数学试卷
河北省石家庄市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二上·贺州月考) 已知 sin α＝ ，则 cos(π－2α)＝（ ）A.－ B.－ C.D. 2. （2 分） 设向量 =（1，﹣2）， =（﹣3，2），若表示向量 3 ， 2 ﹣ ， 的有向线段首尾相接能构 成三角形，则 ⋅ =（ ） A . -4 B.4 C . -8 D.83. （2 分） (2019 高一下·菏泽月考) 已知 是第二象限角，且，则的值是（ ）A.B.C.第 1 页 共 18 页D. 4. （2 分） (2020 高一下·天津期中) 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D.5. （2 分） 函数 A . 最小正周期为 的偶函数 B . 最小正周期为 的奇函数是（ ）C . 最小正周期为 的偶函数D . 最小正周期为 的奇函数 6. （2 分） 下列命题中正确的个数是（ ）①向量与是共线向量，则 A、B、C、D 必在同一直线上；②向量 与向量 平行，则方向相同或相反；③若下列向量、满足，且与同向，则；④若，则的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1第 2 页 共 18 页C.2 D.37. （2 分） (2020 高三上·平顶山月考) 已知函数则的单调递增区间为（ ）的部分图象如图所示，A.，B.，C.，D.，8. （2 分） 函数 （）A . 向左平移B . 向右平移C . 向左平移D . 向右平移9. （2 分） 已知向量的图象可由函数的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是，且 ∥ ，则实数 a=（ ）第 3 页 共 18 页A.1 B.6 C . 2或1 D.2 10. （2 分） 下列函数中，最小正周期为 ， 且图像关于直线 对称的是（ ）A.B.C.D. 11. （2 分） 若向量 =（1，2）， =（1，﹣1），则 2 + 与 ﹣ 的夹角等于（ ）A.-B.C.D.12. （2 分） (2016 高二上·马山期中) cosα=﹣ 则 cos（β﹣α）=（ ），α∈（，π），sinβ=﹣，β 是第三象限角，A.B.C.第 4 页 共 18 页D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）(2019 高一下·苏州月考) 在中，已知，则的形状为________.14. （1 分） (2020 高一下·胶州期中) 已知向量 ， 满足，在 方向上的投影为________.，且，则15. （1 分） (2019 高一下·上海期中) 已知，16. （1 分） 若 f（x）=2sin（ωx+Φ）+m，对任意实数 t 都有 数 m 的值等于________三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （10 分） 解答题，则________.，且， 则实（1） 当 x∈[ ， ]时，求函数 y=3﹣sin x﹣2cos2x 的最大值．（2） 已知 5sinβ=sin（2α+β），tan（α+β）= ，求 tanα18. （10 分） (2019 高一上·长沙月考) 设二次函数数，恒有且.（1） 求证：；（2） 若函数的最大值为 ，求 ， 的值.，已知不论 ， 为何实19. （10 分） (2019 高三上·资阳月考) 已知函数（1） 求在上的零点；（2） 求在上的取值范围．20. （5 分） (2016 高一下·邵东期末) 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图第 5 页 共 18 页象一个最高点为 P（ ，2），相邻最低点为 Q（ ，﹣2），当 x∈[﹣ ， ]时，求 f（x）的值域．21. （10 分） (2019 高一下·湖州月考) 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ． 已知 cosC＝ ．（1） 若，求△ABC 的面积；（2） 设向量，，且，求 sin(B－A)的值．22. （5 分） (2019 高三上·清远期末) 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为 ，，短轴的两端点分别为 ， ，线段，的中点分别为 ， ，且四边形是面积为 8 的矩形．（Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过 作直线 交椭圆于 ， 两点，若，求直线 的方程．第 6 页 共 18 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点： 解析：第 7 页 共 18 页答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 18 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 9 页 共 18 页答案：9-1、 考点：解析： 答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点： 解析：第 10 页 共 18 页答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
2020-2021学年河北省石家庄二中高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年河北省石家庄二中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，则集合UA（ ）A ．{0,2}B ．{1,0}-C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【分析】利用集合补集的性质直接求解即可【详解】由于{}1,0,1,2U =-，{} 1,1A =-，所以，UA {0,2}故选A2．命题“,0x Q x x ∃∈+≥”的否定是（ ） A ．,0x Q x x ∃∈+< B ．(),0R x C Q x x ∀∈+< C ．,0x Q x x ∀∈+< D ．,0x Q x x ∀∈+≥【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可直接得出结果. 【详解】命题“,0x Q x x ∃∈+≥”的否定是“,0x Q x x ∀∈+<”. 故选C【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3．函数1()3f x x =+的定义域为（ ） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--【答案】C【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解.【详解】因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.4．已知幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则下列命题正确的是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是单调递增函数 C ．()f x 的值域为R D ．()f x 在定义域内有最大值【答案】B 【详解】设，因为幂函数()f x 的图象经过点（4,2）, 所以，所以．所以，它在单调递增．5．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】“a ＞1”⇒“11a＜”，“11a ＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞是增函数，设(3)a f =-，()b f π=，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】D【分析】利用函数的奇偶性化简,a c ，再根据单调性比较出三者的大小关系.【详解】由于()f x 是偶函数，故()()()()33,11a f f c f f =-==-=.由于()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()()()13πf f f <<，即c a b <<.故选D.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较大小，属于基础题. 7．设集合{A x y ==，{}2B y y x a ==-+，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】本题首先可根据210x -≥得出[]1,1A =-，然后根据2x a a 得出(],B a =-∞，最后根据A B ⋂≠∅即可得出结果.【详解】因为y =210x -≥，解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-， 因为2yx aa ，所以(],B a =-∞，因为A B ⋂≠∅，所以1a ≥-，实数a 的取值范围为[)1,-+∞， 故选：C.8．已知函数()122,22,2x a x x f x a x -⎧⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24a << B ．24a ≤<C ．34a <<D ．34a ≤<【答案】D【分析】由题意可知函数222a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间(],2-∞上为增函数，函数1x y a -=在区间()2,+∞上为增函数，且有2222a a ⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎝⎭，由此可得出关于实数a 的不等式组，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】由于函数()122,22,2x a x x f x a x -⎧⎛⎫-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩在R 上是增函数， 则函数222a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间(],2-∞上为增函数，函数1x y a-=在区间()2,+∞上为增函数，且有2222a a ⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎝⎭， 所以，20216aa a a ⎧->⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩，解得34a ≤<.故选：D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，要注意分析每支函数的单调性，同时也还需注意分界点处函数值的大小关系，考查计算能力，属于中等题. 9．已知函数331()5f x ax bx x=+--，且(2)2f -=，那么(2)f 等于（ ） A ．-12 B ．2 C ．-18 D ．10【答案】A【分析】根据函数的奇偶性的性质求出(2)f 的值即可． 【详解】解：令331()g x ax bx x=+-， 则()()g x g x -=-是奇函数，(2)(2)52f g -=--=，故(2)7g -=，(2)7g =-， 故(2)f g =(2)512-=-， 故选：A ．10．已知函数()1,0,21,0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)(]2,00,2-C ．(](),22,-∞-+∞D ．()()2,00,2-【答案】D【分析】按0a >和0a <分类解不等式即可得． 【详解】[()()]0a f a f a -->，若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以02a <<，若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以20a -<<，综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-．故选：D ．【点睛】本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．11．记实数1x 、2x 、⋯、n x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ，最小数为{}12min ,,,n x x x ，若(){}2min 1,1,6f x x x x x =+-+-+，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．65-【答案】B【分析】由题意首先绘制出函数的图象，然后结合函数图象联立方程，即可求得函数()f x 的最大值．【详解】在同一个平面相交坐标系中绘制函数1y x =+，21y x x =-+，6y x =-+的图象如下图所示，结合题中的定义可知函数()f x 的图象为图中的实线部分所示，联立直线方程16y x y x =+⎧⎨=-+⎩，可得5272x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即函数()f x 的最大值为72． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数最大值的求解，解题的关键在于理解()f x 的意义，利用数形结合思想进行求解.二、多选题12．下列命题为真命题的是（ ）A．函数()f x =的最小值为2B ．“2x =”是“2x -=的充要条件C ．x R ∃∈，11x x<+ D ．函数|1|y x =-既是偶函数又在区间[1,)+∞上是增函数 【答案】BC【分析】对四个命题依次判定，A 选项可研究函数的最小值，确定其是假命题，B 选项直接用充要条件的定义进行证明即可判断，C 选项可根据特称命题的真假判断方法进行判断，D 选项从偶函数的角度判断真假．【详解】解：对于A 933>，所以函数()f x =的最小值为2错误，A 不是真命题；对于B 选项，2x =时，2x -=即2x =可推出2x -= 由20x x -=，可得出2020x x -⎧⎨-⎩，解得2x =，故2x =”是“2x -=的充要条件，B 是真命题；对于C 选项，当1x =时，11111=<+，故 x R ∃∈，11x x<+，是真命题； 对于D 选项，由于|1||1|x x --≠-，故函数|1|y x =-不是偶函数，D 不是真命题． 综上BC 是真命题． 故选：BC ．三、填空题 13．计算：12232927(1.5)48-⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__． 【答案】23【分析】利用有理数指数幂的运算性质求值．【详解】原式2132()222323332332()()()()()2223223⨯⨯-=-+=-+=，故答案为：23． 14．已知0a >，0b >，111a b+=，则4a b +的最小值为______. 【答案】9【分析】利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果． 【详解】由0a >，0b >，111a b+=，则114(4)559a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭.当且仅当4b aa b=，即3a =且32b =时，4a b +取得最小值9.故答案为:9.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题.15．若定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(4)0f -=，则使得()0xf x >成立的x 的取值范围是__．【答案】(,4)(4,)-∞-⋃+∞．【分析】由已知可得函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，结合(4)(4)0f f -==，转化不等式，即可求解． 【详解】解：定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，又(4)0f -=，∴(4)0f =，由()0xf x >，得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，解得4x >或4x <-．x 的取值范围是(,4)(4,)-∞-⋃+∞．故答案为：(,4)(4,)-∞-⋃+∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题，解题的关键是由奇函数的性质可得函数()f x 是在(,0)-∞上是增函数，由()0xf x >，得0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，结合(4)0f -=，(4)0f =可得结果．16．关于x 的不等式22(1)ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是__． 【答案】3443(,][,)2332--． 【分析】先将原不等式转化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【详解】不等式22(1)ax x -<可化为[(1)1][(1)1]0a x a x +---<，①当1a =时，原不等式等价于210x ，其解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，不满足题意； ②当1a =-时，原不等式等价于210x +<，其解集为1 ,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，不满足题意； ③当1a >时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，∴12?1131a a ⎧<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎩，解得：4332a ≤<；④当11a -<<时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11(,,11a a ⎫⎛⎫-∞⋃+∞⎪ ⎪-+⎭⎝⎭，不满足题意；⑤当1a <-时，原不等式等价于11011x x a a ⎛⎫⎛⎫--< ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭，其解集为11,11a a ⎛⎫ ⎪+-⎝⎭，其解集中恰有2个整数，121131a a ⎧<-⎪⎪+∴⎨⎪-⎪+⎩，解得：3423a -<-，综合以上，可得：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：3443,,2332a ⎛⎤⎡⎫∈-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．四、解答题17．已知集合{|17},{|21}A x x B x m x m =≤≤=-+<<，全集为R. （1）若5m =，求, ()R A B C A B ；（2）若AB A =，求m 的取值范围.【答案】（1）{97}AB x x =-<≤∣,(){}|91R C A B x x =-<<；（2）7m >.【详解】解：（1）∵5m =，{|17},{|95}A x x B x x ∴=≤≤=-<< ,{|1R A x C x =<或7}x >∴{97}AB x x =-<≤∣，(){}|91R C A B x x =-<<；（2） ∵,A B A A B =∴⊆，∴2117m m -+<⎧⎨>⎩，∴7m >.18．已知函数()bf x ax x=+的图象经过点A （1，1），21B -（，）． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在（0，+∞）上的单调性并用定义证明； 【答案】（1）()()20f x x x x=-+≠.（2）见解析. 【分析】（1）根据条件列方程组，解得a,b ，即得解析式，（2）根据单调性定义先作差，再因式分解，根据各因子符号确定差的符号，最后根据定义确定单调性.【详解】（1）由 f(x)的图象过A 、B ，则，解得．∴()()20f x x x x=-+≠. （2）证明：设任意x 1，x 2∈0（，）+∞，且x 1<x 2． ∴.由x 1，x 2∈0（，）+∞，得x 1x 2>0，x 1x 2+2>0． 由x 1<x 2，得． ∴，即．∴函数()f x 在0（，）+∞上为减函数． 【点睛】本题考查函数单调性定义，考查基本分析论证能力. 19．已知函数2()(1)()f x x a x a a R =+--∈． （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,) a -；（2）{|1x x ≤-或}1x ≥.【分析】（1）将不等式()0f x <左边因式分解，将a 分成1,1,1a a a <-=->-三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，求得不等式()0f x <的解集.（2）变换主参变量，将“[1,1]a ∀∈-，()0f x ≥恒成立”转化为一次函数在区间[]1,1-上恒大于零，列不等式组来求解得x 的取值范围. 【详解】（1）不等式2(1)0x a x a +--<等价于()(1)0x a x -+<，当1a <-时，不等式的解集为(,1)a -；当1a =-时，不等式的解集为∅；当1a >-时，不等式的解集为(1,)a -．（2）22(1)(1)x a x a a x x x +--=-+++，设2()(1),[1,1]g a a x x x a =-+++∈-，要使()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立，只需(1)0(1)0g g -≥⎧⎨≥⎩， 即22210,10,x x x ⎧++≥⎨-≥⎩ 解得1≥x 或1x ≤-，所以x 的取值范围为{|1x x ≤-或}1x ≥．【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．已知定义域为R 的函数()133x x a f x b+-=+是奇函数． （1）求a 、b 的值；（2）求不等式()()210f x f x +-<的解集．【答案】（1）1a =，3b =；（2）13x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由奇函数的性质可得()00f =，分析可得a 的值，又由()()f x f x -=-可得出关于b 的等式，由此可解得实数b 的值；（2）由（1）的结论，分析可得在R 上是增函数且为奇函数，进而可以将不等式转化为()()21f x f x <-，结合函数的单调性即可得21x x <-，解可得答案．【详解】（1）由题意知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，则有()1003a f b-==+，解可得1a =， 因为函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，而()()()11331311333333x x x x x x x x f x b b b --------===++⋅+，所以，11331333x x x x b b+--=-+⋅+， 整理可得()()()()()133333333333130x x x x x x b b b b b b b ++-+⋅=⋅+--⋅=---=--=对任意的x ∈R 恒成立，所以30b -=，解得3b =.所以，1a =，3b =；（2）由（1）的结论，()()131231131112133331331331x x x x x x x f x ++---⎛⎫==⋅=⋅=⋅- ⎪++++⎝⎭， 由()f x 在R 上是增函数且为奇函数，由()()210f x f x +-<可得()()()211f x f x f x <--=-，则有21x x <-，解可得13x <. 所以，不等式()()210f x f x +-<的解集为13x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩（2）故当施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）分段判断()f x 的单调性，及利用基本不等式求出()f x 的最大值即可．【详解】（1）依题意()15()1020f x W x x x =--，又()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩ 所以27530225,02()75030,251x x x f x x x x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩． （2）当02x 时，2()7530225f x x x =-+，开口向上，对称轴为15x =， ()f x ∴在[0，1]5上单调递减，在1(5，2]上单调递增， ()f x ∴在[0，2]上的最大值为()2465f =．当25x <时，25()78030(1)780304801f x x x =-++-⨯+， 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()480max f x =．答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是480元．【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．22．已知函数()224f x x x a =+--，(其中a 为常数) ()1若2a =，写出函数()f x 的单调递增区间(不需写过程)；()2判断函数()f x 的奇偶性，并给出理由；()3若对任意实数x ，不等式()1f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）递增区间为：()1,∞+（2）()f x 为非奇非偶函数，详见解析（3）2a ≤-或2a ≥【分析】（1）利用2a =，直接写出函数()2224f x x x =+--的递增区间． （2）当0a =时，判断函数的奇偶性，当0a ≠时，通过特殊值()()22f f ≠±-，说明()f x 为非奇非偶函数；（3）设()2(1)25g x x a =+--，()x a ≥，()2(1)25h x x a =-+-，()x a <通过①对于()g x 当1a <-时，当1a ≥-时，求解()min g x ，②对于()h x ，当1a <时，当1a ≥时，求解()min h x ，推出()()()125min min f x h x h a ===-，由251a -≥-，解得2a ≥，得到实数a 的取值范围即可．【详解】（1）由题意，当2a =，函数()22228,22242,2x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+--=⎨-<⎩， 可得函数的图象，如图所示， 结合图象，可函数的单调递增区间为()1,+∞.（2）当0a =时，函数()224f x x x =+-， 则()()22()2424f x x x x x f x =-+--=+-=-，所以函数()f x 为偶函数； 当0a ≠时，可得()222f a =-，()222f a -=+，则()()22f f ≠±-，所以函数()f x 为非奇非偶函数；（3）对任意实数x ，不等式()1f x ≥-恒成立，只需使得()min 1f x ≥-恒成立， 设()2(1)25g x x a =+--，()x a ≥，()2(1)25h x x a =-+-，()x a < ①对于()2(1)25g x x a =+--，()x a ≥当1a <-时，()()125min g x g a =-=--；当1a ≥-时，()()24min g x g a a ==- ②对于()2(1)25h x x a =-+-，()x a <当1a <时，()()24min h x h a a ==-，当1a ≥时，()()125min h x h a ==- ①当1a <-时，()22242521(1)0a a a a a ----=++=+≥，所以()()()125min min f x g x g a ==-=--，由251a --≥-，解得2a ≤-满足；②当11a -≤<时，()24min f x a =-，由241a -≥-，解得a <a >③当1a ≥时，()22242521(1)0a a a a a ---=-+=-≥，所以()()()125min min f x h x h a ===-，由251a -≥-，解得2a ≥，满足题意． 所以实数a 的取值范围是：2a ≤-或2a ≥．【点睛】本题考查了函数与方程的应用，函数的奇偶性的判定，以及函数的最值的求法等知识的综合应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想的应用，属于中档试题．。
河北省石家庄市第二中学2020-2021年第一学期高三数学期中考试试卷及解析
石家庄二中高三数学期中考试模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3C ．2D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A ．20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10 B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ；（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD＝1，AD ＝2，PB =，PA PC ==（Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-， 所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b +=+，故D 错误.故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==成立， 所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误. 选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a aa a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-． 平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b aa b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a b a a b b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+.所以222cos 2a b cC ab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112cos 2cos 2sin 226A A A A A A π⎫⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x '=++，所以22111()x f x x x x-''=-+=， 当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分18．【详解】（1）由已知可得，2S n ＝3a n －1， ①所以2S n －1＝3a n －1－1 （n ≥2）， ② 2分 ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简为a n ＝3a n －1（n ≥2），即 4分在①中，令n ＝1可得，a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1． 6分 （2）b n ＝(n －1)·3n －1，T n ＝0·30＋1·31＋2·32＋…＋(n －1)·3n －1， ③则3T n ＝0·31＋1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ． ④ 8分③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)·3n ，3313n-=--10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，PA ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵PA ＝PC 3=，CM 132AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =，0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞ 11分∴直线AD与平面APC 所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|4=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MC rr =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B 为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=.5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220k x kmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k +=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩，()()111111111f x x x x x '=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立， 6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+- -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。
2020年石家庄市高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)
2020年石家庄市高中必修二数学下期中模拟试卷(附答案)一、选择题1．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073πB ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 2．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，则该四棱锥的体积的最大值为（ ） A ．643B ．32C ．54D ．643．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,34．对于平面、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B ．若//,a b b α⊂,则//a αC ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a bD ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π6．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A．12512πB．1259πC．1256πD．1253π7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（）A．62+45B．62+25C．32+45D．32+258．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )A．B．C．D．9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若，，则；②若，，则；③若，，，则④若，，，则. A．①③B．①④C．②③D．②④10．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为()A． B．C． D．11．某锥体的三视图如图所示（单位：cm），则该锥体的体积（单位：cm3）是（）A ．13B ．12C ．16D ．112．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3π C ．4πD ．3π 二、填空题13．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．14．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ； ②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直； ④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)15．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线． 其中正确的结论的序号为________．16．若直线y x b =+与曲线234y x x =-b 的取值范围是______． 17．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==2AC BC ==AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.18．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则 ①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 19．在各棱长均为1的正四棱锥P ABCD -中，M 为线段PB 上的一动点，则当AM MC +最小时，cos AMC ∠=_________20．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.三、解答题21．已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0，（m ∈R ）．（1）证明：无论m 取何值，直线l 过定点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最短时m 的值及最短弦长．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 所在直线为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为22)4πρθ=-.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长度.23．在平面直角坐标系xOy 中，直线2210x y +-=与圆C 相切，圆心C 的坐标为()2,1-（1）求圆C 的方程；（2）设直线y =x +m 与圆C 交于M 、N 两点. ①若22MN ≥，求m 的取值范围； ②若OM ⊥ON ，求m 的值.24．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.25．如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，DE ⊥平面1CBB ．（1）证明：AC ⊥平面11AA B B ； （2）证明：//DE 平面ABC .26．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D . 【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，可得22122a h h =-，得出四棱锥的体积关于h 的函数()V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值. 【详解】正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为3，设底面ABCD 的边长为a ，四棱锥的高为h ，设正四棱锥的底面ABCD 的中心为1O .则OA =,1PO ⊥平面ABCD .则22211OO O A OA +=,即()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，可得22122a h h =-. 则该四棱锥的体积为()221112233V a h h h h =⨯=- 令()()2122f h h hh =-，则()2246f h h h'=-当04h <<时，()0f h '>，()f h 单调递增. 当4h >时，()0f h '<，()f h 单调递减.所以当4h =时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为：()216412424433⨯⨯-⨯⨯=.故选：A【点睛】本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于中档题．3．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．4．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有错误；若此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面 外时,才有错误；由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；若此时由面面平行的判定定理可知,只有当、为相交线时,才有//,D βα错误. 故选C.考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上， 记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =，由勾股定理()2224R R =+-得94R =， ∴球的表面积814S π=，故选A.考点：球的体积和表面积6．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.7．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,所以1122,25,42EF BE C F BC ====, 所以所求截面的周长为62+45, 故选:A 【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用线面平行判定定理可知B 、C 、D 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于B 项，如图所示，连接CD ，因为AB ∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ ，又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ ， 同理可证，C ，D 项中均有AB ∥平面MNQ . 故选：A.【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【解析】 【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，由n⊥β，得m⊥β，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．10．C解析：C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图．11．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．12．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径DE =2432S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.二、填空题13．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D V 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 14．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q ＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF 则PQ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD 故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ，又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.15．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直解析：③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．16．【解析】【分析】由曲线y=3+得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=40≤x≤4直线y=x+b 与曲线y=3+有公共点圆心（23）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2由此结合图象能求出实数b 的取值范围【详 解析：122,3⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】由曲线24x x -x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，直线y=x+b 与曲线24x x -2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2，由此结合图象能求出实数b 的取值范围．【详解】由曲线y=3+24x x -，得（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4，0≤x≤4，∵直线y=x+b 与曲线y=3+24x x -有公共点，∴圆心（2，3）到直线y=x+b 的距离d 不大于半径r=2， 即23212b 1+222bd -+=≤⇒-≤≤∵0≤x≤4，∴x=4代入曲线24x x -y=3，把（4，3）代入直线y=x+b ，得b min =3﹣4=﹣1，②联立①②，得-1b 122≤≤+∴实数b 的取值范围是[﹣1，2]．故答案为1,122⎡-+⎣.【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．17．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥， 以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为2244(7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．18．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解.【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．故答案为②④【点睛】本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．【解析】【分析】将侧面和侧面平展在一个平面上连即可求出满足最小时点的位置以及长解即可求出结论【详解】将侧面和侧面平展在一个平面上连与交点即为满足最小正四棱锥各棱长均为在平展的平面中四边形为菱形且在正 解析：13- 【解析】【分析】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC ，即可求出满足AM MC +最小时，点M 的位置，以及,AM CM 长，解AMC V ，即可求出结论.【详解】将侧面PAB 和侧面PBC 平展在一个平面上，连AC 与PB 交点即为满足AM MC +最小，正四棱锥P ABCD -各棱长均为1，在平展的平面中四边形PABC 为菱形，且60PAB ∠=o ， 3AM MC ==，在正四棱锥P ABCD-中，2AC = 在ACM V 中，222332144cos 32324AM CM AC AMC AM CM +-+-∠===-⋅⋅. 故答案为:13-. 【点睛】本题考查线线角，要注意多面体表面的长度关系转化为共面的长度关系，考查直观想象能力，属于中档题.20．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形【解析】【分析】【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形三、解答题21．（1）证明见解析；（2）34m =-，5 【解析】【分析】（1）直线方程可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，求解即可.【详解】（1）证明：直线:(21)(1)74l m x m y m +++--=0可化为()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,1x y ==，所以直线l 过定点()3,1.（2）直线l 过定点()3,1A ，22(31)(12)525-+-=<，故点()3,1A 在圆的内部，直线l与圆C 相交，圆C 的圆心为()1,2，半径为5，AC ==当l AC ⊥时，直线l 被圆C 截得的弦长最短， 211132AC k -==--，直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+，解得34m =-，此时弦长为=故当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦长最短为 【点睛】本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.22．（1）22220x y x y +--=；（2【解析】【分析】 （1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线C 的直角坐标方程； （2）把直线参数方程化为普通方程，曲线C 是圆，因此由垂径定理计算弦长，即求出圆心到直线的距离，由勾股定理计算弦长．【详解】（1）因为)4πρθ=-，所以()cos cos sin sin 2cos sin 44ππρθθθθ⎫=+=+⎪⎭ 即()22cos sin ρρθρθ=+.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，所以222()x y x y +=+，所以曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=（2）因为直线l的参数方程为2112xy t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），所以)x-=-=所以l的直角坐标方程为0x-+=所以圆心()1,1到直线l的距离12d==，所以AB===AB【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化．考查圆的弦长问题．求圆弦长，一般用几何方法，即求出圆心到弦所在直线距离（弦心距），由勾股定理计算弦长．23．（1）22(2)(1)4x y-++=；（2）①51m-≤≤-；②m=或m=【解析】【分析】（1）假设圆的方程，利用以()2,1C-为圆心的圆与直线10x y+-=相切，即可求得圆C的方程；（2）①直线y x m=+圆C交于M、N两点，根据圆心到直线的距离，半径，弦长之间的关系，得到关系式求出m的范围.②设()()1122,,,M x y N x y，联立直线与圆的方程，通过韦达定理以及判别式，通过OM⊥ON，求出m的值即可.【详解】解：（1）设圆的方程是222(2)(1)x y r-++=，依题意，直线10x y+-=与圆C相切，∴所求圆的半径2r==，∴所求的圆方程是22(2)(1)4x y-++=；（2）①圆心()2,1C-到直线y x m=+的距离d==MN ∴==≥解得51m -≤≤-； ②设()()1122,,,M x y N x y ，22(2)(1)4y x m x y =+⎧⎨-++=⎩， 消去y ，得到方程2222(1)210x m x m m +-+++=， 由已知可得，判别式(224(1)422+1)0m m m ∆=--⨯+>，化简得2610m m ++<， 21212211,2m m x x m x x +++=-+=①， 由于OM ⊥ON ，可得12120x x y y +=又1122,y x m y x m ==++，所以()2121220x x m x x m +++=②，由①，②得32m -=或32m -=，满足>0∆，故32m -+=或32m -=. 【点睛】本题重点考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，合理运用圆的性质是关键.注意韦达定理及整体思想的运用，属中档题.24．（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明见解析（2【解析】【分析】（1）取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求，证明EN ∥AH ，MN ∥BC 可得平面EMN ∥平面ABC 即可（2）因为点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，求三棱锥E －ABC 的体积可转化为求三棱锥N －ABC 的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，则MN 即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，易知DH3，∴NG3又S△ABC＝12·BC·AH＝12×2×22312，∴V E－ABC＝13·S△ABC·NG6.【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.25．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过证明1A A AC ⊥和AB AC ⊥，即可证得AC ⊥平面11AA B B ；（2）通过证明//DE AO ，即可证得//DE 平面ABC .【详解】（1）由题，得1A A ⊥平面ABC ，所以1A A AC ⊥，又BC 是底面圆O 的直径，所以AB AC ⊥，因为1AB AA A =I ，所以AC ⊥平面11AA B B ；（2）连接,OE OA ，因为,E O 分别为1,B C BC 的中点，所以1//OE BB 且112OE BB =， 易得1//AD BB 且112AD BB =， 所以//AD OE 且AD OE =，所以四边形OADE 为平行四边形，则//DE AO ，因为AO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC .【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.26．(1) 13+24y x =46 【解析】【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2)根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解.【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ， ∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为110d -+==2，∴弦AB 的长为=. 【点睛】 本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题.。
河北省石家庄市第二中学2020-2021年第一学期高三数学期中考试模拟(含答案)
石家庄二中高三数学期中考试模拟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.其中1-8题为单选题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；9-12题为多选题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.1．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则AB =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则||z =（ ） A ．1B ．22C ．12D ．143．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数()441x x f x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．4．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 5．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足5AB CD ==，6BD AC ==，7AD BC ==，则该鞠的表面积为（ ） A ．55π B ．60πC ．63πD ．68π6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，过其右焦点F 且平行于一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，l 与双曲线交于点B ，若2BF AB =，则双曲线的离心率为（ ） A ．23 B ．3 C ．2 D ．27．若存在唯一的正整数0x ，使关于x 的不等式32350x x ax a --+-<成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．1(0,)3B ．(15,34]C ．13(,]32D ．53(,]428．如图，已知1F ，2F 分别是椭圆C ：2216432x y+=的左、右焦点，过1F 的直线1l 与过2F 的直线2l 交于点N ，线段1F N 的中点为M ，线段1F N 的垂直平分线MP 与2l 的交点P （第一象限）在椭圆上，若O 为坐标原点，则2OM OF 的取值范围为（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C．(D ．()0,19．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．11b b a a +>+ C ．11a b b a+>+ D ．11a b a b+>+ 10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，则（ ） A ．29a a 的最大值为10B ．29a a +的最大值为C ．222911a a +的最大值为15D ．4429a a +的最小值为20012．在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥平面ABCD ，PD AB =，四边形ABCD 是正方形，点E 是棱PB 的中点，则（ ）A ．PD ⊥平面ABCDB ．//PD 平面ACEC ．2PB AE =D ．PC AE ⊥ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是__________．14．已知平面向量a ，b 满足4a =，a 与b 的夹角为120︒，且()()23261a b a b -⋅+=，则3a b +=______.15．在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是,,a b c ，若()21a b b +=，1c =b -的取值范围是______.16．已知对任意(0,)x ∈+∞，都有()111ln 0kxk e x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围为_________．三、解答题：本题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、现给出两个条件：①2c −√3b ＝2a cos B ，②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若有_______， （1）求A ；（2）若a =√3−1，求△ABC 面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，312n n a S -=. （1）求n a ，（2）若(1)n n b n a =-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，132PB =，3PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20．已知定圆C ：()2218x y ++=，动圆M 过点()10B ,，且和圆C 相切. （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与轨迹E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数m 的取值范围.21．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--． （1）证明()2f x '≥；（2）若()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点22⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.石家庄二中高三数学期中考试模拟答案1．A 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)AB x x =<<=．2．B 【详解】因为11111111(1)(1)222i i i z i i i i i --=-====-+++-， 所以2211222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B..3．D 【详解】因为函数()441x x f x =-，44()()()4141xx x x f x f x ----==≠-- 所以函数()f x 不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故排除A 、B 选项； 又因为x →-∞时()f x →+∞，故排除C ，故选D4．D 【详解】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0，∴k 43=-，或k 34=-．故选：D ． 5．A 【详解】将三棱锥A BCD -补成长方体AEBH GDHC -，使得三棱锥A BCD -的各棱为长方体AEBH GDHC -的面对角线，设EA x =，EB y =，ED z =，设该鞠的半径为R ，则2222R x y z =++，由勾股定理可得22225AB x y =+=，22236AC y z =+=，22249AD x z =+=，上述三个等式相加得()2222253649110x y z ++=++=，则222255R x y z =++=，因此，该鞠的表面积为()224255S R R πππ==⨯=.故选：A6．B 【详解】如下图所示：设直线l 的方程为()by x c a=--，则直线OA 的方程为b y x a =，联立()b y x a b y x c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点,22c bc A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点(),B m n ，由2BF AB =可得出23FB FA =， 即()2,,,32233c bc c bc m c n a a ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33c m c bc n a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得233c m bc n a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2,33c bc B a ⎛⎫⎪⎝⎭， 将点B 的坐标代入双曲线的标准方程得222222241993c b c e a a b -==，解得3e =.因此，该双曲线的离心率为3.故选：B.7．B 【详解】设32()35f x x x ax a =--+-，则存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，设32()35g x x x =-+，()(1)h x a x =+，因为2()36g x x x '=-，所以当(,0)x ∈-∞以及(2,)+∞时，()g x 为增函数，当(0,2)x ∈时，()g x 为减函数，在0x =处，()g x 取得极大值5，在2x =处，()g x 取得极小值1.而()h x 恒过定点(1,0)-，两个函数图像如图， 要使得存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，只要满足(1)(1)(2)(2)(3)(3)g h g h g h ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩，即135281253272754aa a-+≥⎧⎪-+<⎨⎪-+≥⎩，解得1534a <≤，故选B .8．D 【详解】如图所示，点P 在y 轴右边，因为PM 为1F N 的垂直平分线，所以1FM MN =． 由中位线定理可得212OM F N =． 设点()00,P x y ()000,0x y >>．由两点间的距离公式，得()()222220100021x PF x c y x c b a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭22200022c x cx a a ex a=++=+，同理可得20PF a ex =-， 所以21202F N PF PF ex =-=，故0OM ex =，因为8a =，42c =，所以22e =，故022OM x =，所以00222842x OM x OF ==． 因为()00,8x ∈，所以()010,18x ∈．故2OM OF 的取值范围为()0,1．故选：D ．9．AC 【详解】选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b⋅，所以11a b<，故A 正确； 选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b b a a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b+=+，故D 错误. 故选：AC10．AC 【详解】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确；选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k k x k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,故B 错误；选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小值为半个最小正周期,即21323ππ⨯=,故C 正确；选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,D 错误11．ABD 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+，所以()22929220a a a a +=+，即222920a a +=.选项A,222929201022a a a a +≤==，当且仅当2910a a ==时成立，故A 选项正确.选项B 由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以292910,2102a a a a +≤+≤2910a a ==B 选项正确.选项C 22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2910a a ==时成立，所以222911a a +的最小值为15，故C 选项错误.选项D 结合①的结论，有()24422222222929292924002400210200a a a a a a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=，当且仅当2910a a ==时成立，故D 选项正确.12．BC 【详解】如图，选项A ，因为PD 与AD 不一定垂直，所以PD 不一定垂直平面ABCD ，故A 错误. 选项B ，连接BD ，记ACBD O =，连接OE .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点.因为,O E 分别为BD ，BP 的中点，所以//OE PD ，又PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，则//PD 平面ACE ，故B 正确.选项C ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，因为侧面PAD ⊥平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD .因为//AB CD ，所以AB ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ， 所以AB PA ⊥，则2PB AE =，故C 正确.选项D ，取BC 的中点F ，连接,EF AF .因为,E F 分别为BP ，BC 的中点， 所以//EF PC .假设PC AE ⊥，则EF AE ⊥.设2PD AB ==， 则1144222EF PC ==⨯+=，415AF =+=.因为EF AE ⊥， 所以523AE =-=，所以23PB =.因为2PD =，23PB =，22BD =， 所以222PD BD PB +=，所以PD BD ⊥，则PD ⊥平面ABCD .因为PD 与平面ABCD 不一定垂直，所以D 错误.故选：BC. 13．6【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示． 由32z x y =-可得322zy x =-．平移直线322z y x =-，结合图形可得，当直线322zy x =-经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值．由题意得A 点坐标为(2,0)，∴min 326z =⨯=，即32z x y =-的最小值是6．故答案为6．14．61【详解】因为()()222223244344cos120361a b a b a a b b a a b b -⋅+=-⋅-=-︒-=,所以23830b b --=,解得3b =或13-（舍）,所以()222336961a b a ba ab b +=+=+⋅+=,故答案为15．(【详解】因为()21a b b +=，1c =，故222c a b =+-.所以222cos 2a b c Cab +-===.又ABC为锐角三角形，故6C π=. 由正弦定理，12sin sin sin sin 6a b c A B C π====，)52sin 2sin 6b A B A A π⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎥⎝⎭⎦112sin cos 2cos 2sin 22226A A A A A A π⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭. 又ABC 为锐角三角形，故02062A A ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩，解得32A ππ<<，从而663A πππ<-<.(2sin 6b A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭.故答案为：( 16．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】等价于()1(1)ln kxkx e x x +>+，所以()1ln (1)ln kx kx e e x x+>+①，令()(1)ln f x x x =+，则1()1ln f x x x'=++，所以22111()x f x x x x -''=-+=，当01x <<时，()0f x ''<，当1x >时，()0f x ''>，所以()'f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以()(1)2f x f ''>=， 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，所以①式可化为()()kxf e f x >，所以kx e x >，所以ln xk x >，令ln ()x h x x=， 可求得()h x 在(0,)e 单调递增，在(,)e +∞单调递减， 所以max 1()h x e=，所以1k e >，故答案为：1(,)e +∞.17、【解析】选择条件：①2c −√3b ＝2a cos B ， （1）由余弦定理可得2c −√3b ＝2a cos B ＝2a •a 2+c 2−b 22ac， 2分∴整理可得c 2+b 2﹣a 2=√3bc ，可得cos A =b2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc=√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分选择条件：②（2b −√3c ）cos A =√3a cos C ．（1）由题意可得2b cos A =√3a cos C +√3c cos A ， 2分 ∴2sin B cos A =√3（sin A cos C +sin C cos A ）=√3sin （A +C ）=√3sin B ，∵sin B ≠0，∴可得cos A =√32， 4分∵A ∈（0，π），∴A =π6． 5分 （2）∵a =√3−1，A =π6，∴由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，可得（√3−1）2＝b 2+c 2﹣2bc •√32， 7分∴4﹣2√3=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc ，可得bc ≤2， 9分 ∴S △ABC =12bc sin A ≤12×2×12=12，即△ABC 面积的最大值为12． 10分 18．【详解】（1）由已知可得，2S n ，3a n ，1， ，所以2S n －1，3a n －1，1 ，n ≥2，， ， 2分 ①－②得，2(S n ，S n －1)，3a n ，3a n －1， 化简为a n ，3a n －1，n ≥2），即4分在①中，令n ＝1可得，a 1，1， 所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ，3n －1， 6分 ，2，b n ，(n ，1)·3n －1，T n ，0·30，1·31，2·32，…，(n ，1)·3n －1， ，则3T n ，0·31，1·32，2·33，…，(n ，1)·3n ， ， 8分 ③－④得，－2T n ，31，32，33，…，3n －1，(n ，1)·3n ，3313n-=-- 10分所以， 12分19．【详解】（I ）证明：取AC 的中点M ，连接PM ，BM ， ∵AB ＝BC ，P A ＝PC ，∴AC ⊥BM ，AC ⊥PM ， 2分 又BM ∩PM ＝M ，∴AC ⊥平面PBM ， 4分 ∵BP ⊂平面PBM ，∴AC ⊥BP ． 5分（II ）解：∵底面ABCD 是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2， ∴∠ABC ＝120°，∵AB ＝BC ＝1，∴AC 3=，BM 12=，∴AC ⊥CD ， 又AC ⊥BM ，∴BM ∥CD ．∵P A ＝PC 3=，CM 1322AC ==，∴PM 32=， ∵PB 13=，∴cos ∠BMP 222122PM BM BP PM BM +-==-⋅，∴∠PMB ＝120°， 7分以M 为原点，以MB ，MC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，以平面ABCD 在M 处的垂线为z 轴建立坐标系M ﹣xyz ，如图所示： 则A （0，3-，0），C （0，3，0），P （34-，0，33），D （﹣1，3，0）， 8分∴AD =（﹣1，3，0），AC =（0，3，0），AP =（34-，32，334），设平面ACP 的法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即030424x y z =⎨-++=⎪⎩， 令x =n =0，1）， 10分∴cos n ＜，n AD AD n AD⋅==-＞， 11分∴直线AD 与平面APC所成角的正弦值为|cos n ＜，AD ＞|=． 12分20．【详解】（Ⅰ）圆C 的圆心为()1,0C -，半径1r =设动圆M 的半径为2r ，依题意有2r MB =.由2BC =，可知点B 在圆C 内，从而圆M 内切于圆C ，故12MCr r =-， 2分即2MC MB +=>. 所以动点M 轨迹E 是以C 、B为焦点，长轴长为圆. 4分 因为a =1c =，所以2221b a c =-=.于是E 的方程是2212x y +=. 5分（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22220x y y kx m⎧+-=⎨=+⎩消去y 得到，222()20x kx m ++-=，即()222124220kxkmx m +++-=.则122412kmx x k +=-+，()121222212m y y k x x m k+=++=+， 6分弦AB 中点M 的坐标是222,1212km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.由()()22221681120k m m k∆=--+>，得2212km +>. 8分另一个方面，线段AB 的垂直平分线方程是112y x k =--. 点222,1212kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭在此直线上， 得到2212112122m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，整理得2212m k =+. 10分 代入2212k m +>中，得220m m -<，解得02m <<. 又22121m k =+>，0k ≠，所以21m >，即12m >.故实数m 的取值范围为1,22⎛⎫⎪⎝⎭. 12分21．【详解】(1)证明：函数的定义域为()10,1,110x x x +>⎧∈-⎨->⎩， ()()111111111f x x x x x'=-⋅-=++-+-， 2分 只需证明11211x x+≥+-， 即证明()()11211x x x x -++≥-+，即证20x ≥，显然成立，所以()2f x '≥. 4分（2）解：令()()()()ln 1ln 1,01g x f x ax x x ax x =-=+---≤<()1111g x a x x'=+-+- ①由（1）可知当2a ≤时，()11011g x a x x'=+->+-恒成立，所以()g x 在01x ≤<递增，()()min 00g x g ==，即()0f x ax -≥对01x ≤<恒成立，6分②当2a >时，()2221121111a x x ax a g x a x x x x ⎛+ -+⎝⎭⎝⎭'=+-==+---，因为01<<，所以有，令()0,g x x ⎫'>∈⎪⎪⎭，()g x 递增； 令()0,g x x ⎛'<∈ ⎝，()g x 递减； ()minln ln 1g x g ⎛⎛==-- ⎝⎝2lnln 2=+-， 8分令()()min 2ln ln 2h a g x g ===，()()20a h a -'==<，10分 ()h a 在2a >上递减，且()()20h a h <=，所以当2a >时，()min 0g x g =≥不可能； 11分综合①②③有，2a ≤. 12分22．【详解】（1）解：因为1C的离心率为3，所以22619b a =-，解得223a b =.①将点⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 2分联立①②，得21a =，213b =， 4分故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. 5分（2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213xy +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =所以11122NAB S MN AB ∆=⋅==. 6分 ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，将y kx m =+代入椭圆1C 的方程得()222136310k x kmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m ∆=-+-=，整理得22313m k =+. 7分 将y kx m =+代入椭圆2C 的方程得()222136330k x kmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+， 所以AB =2313k m ==+. 8分设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=，9分 所以3ON MO =，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅= 10分所以))1111223NAB S d AB m ∆=⋅= 3=，11分综上，NAB ∆3. 12分。
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复数，则下列说法正确的是（ ）53i1i z +=-A ．z 的虚部为4i B ．z 的共轭复数为1﹣4iC ．|z |＝5D ．z 在复平面内对应的点在第二象限【答案】B【分析】根据复数的乘法除法运算化简，再由共轭复数的概念求解.【详解】∵，()()()()53i 1i 53i 28i14i 1i 1i 1i 2z ++++====+--+∴ z 的虚部为4, z 的共轭复数为1﹣4i ，|z |z 在复平面内对应的点在第一象限.故选：B2．在ΔABC 中,若 ,则=（ ）3,4,60AB AC BAC ==∠=︒BA AC ⋅A ．6B ．4C ．-6D ．-4【答案】C【分析】向量的点乘，=cos ,BA AC BA AC BA AC ⋅⋅⋅<>【详解】,选C.1==cos 3462BA AC AB AC AB AC BAC ⋅-⋅-⋅⋅∠=-⨯⨯=- 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC 的补角BA AC与3．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin y x =A ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度123πB ．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度126πC ．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度123πD ．各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度6π【答案】B【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符合题目要求即可作出判定.【详解】把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，sin y x =12sin 2y x =接下来若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π32sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若向左平移个单位长度，得到函数的图象；π6sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故A 错误，B 正确；C 中的伸长到原来的本身说法矛盾，后面的平移参照A 也是错误的，故C 错误；12D 中伸长到原来的2倍，得到函数的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象，sin2xy =故D 错误.故选：B4．已知向量，，且，则（ ）(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥ 2a b -=A ．B ．C ．D ．810【答案】B【分析】由得，从而得，再求模长即可.a b ⊥620a b m ⋅=-= 2(4,8)a b -=- 【详解】向量，，且，(6,2)a =- (1,)b m = a b ⊥所以，解得，所以，，620a b m ⋅=-=3m =(1,3)b = 2(4,8)a b -=-所以a -= 故选：B.5．等于（备注：）（ ）)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 22sin cos ααα=A ．1B ．2C ．D ．1-2-【答案】C【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.【详解】)tan 70cos10201︒⋅︒︒-sin 70cos101cos 70⎫︒=⋅︒⋅⎪⎪︒⎭cos 20cos10sin 20︒=⋅︒⋅︒11cos102sin 20cos 20sin 202⎛⎫=⋅︒⋅︒⨯ ⎪ ⎪︒⎝⎭()1cos102sin 20cos30cos 20sin 30sin 20=⋅︒⋅︒⨯︒-︒⨯︒︒1cos102sin(2030)sin 20=⋅︒⋅︒-︒︒12cos10sin10sin 20=-⋅︒⋅︒︒，1sin 201sin 20=-⋅︒=-︒故选：C6．已知向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于（ ）a b 3π||4a = ||2b = a 2a b + A ．B ．56π12πC ．D ．13π16π【答案】D【分析】根据已知条件求得，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.a b ⋅【详解】向量，的夹角为，且，，故可得，ab 3π||4a = ||2b = cos 43a b a b π⋅== 则，()22216824a a b a a b ⋅+=+⋅=+=a+= 设向量与向量的夹角为，故，又，故.a 2ab + θ()2cos 2a a b a a b θ⋅+===+[]0,θπ∈θ=16π故选：D.7．中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则下列结论不正确的是ABC ::7:5:3ab c =（ ）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A BC =0AB AC →→⋅>C ．若，则的面积是D ．是钝角三角形6c =ABC ABC 【答案】B【分析】用正弦定理即可判断A ；用余弦定理可以判断D ，再结合平面向量数量积的定义可以判断B ；先用余弦定理确定A ，再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.【详解】对A ，由正弦定理可得正确；对B ，D ，设，∴，A 为钝角，()7,5,30a t b t c t t ===>22222594915cos 022t t t t A bc bc +--==<，B 错误，D 正确；||||cos 0AB AC AB AC A →→→→⋅=<对C ，∵，则，∴∴6c =14,10a b ==215601cos ,sin 21202t A Abc --===-=.1=1062ABC S ⋅⋅= 故选：B.8．已知非零向量、满足，且，则的形状是（ABAC 0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭12AB AC AB AC ⋅=ABC ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ AB AC =12AB AC AB AC ⋅=A ∠【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，||AB AB AC ACAB AC 由，可得的角平分线与垂直，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ A ∠BC 所以为等腰三角形，且，ABC AB AC =且，22||||cos AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅12AB AC AB AC ⋅= 所以，又，1cos 2A Ð=()0,πA ∠∈所以，π3A ∠=所以，π3B C A ∠=∠=∠=所以三角形为等边三角形．故选：D ．二、多选题9．已知i 为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ）2i2i z =+A ．复数z 的虚部是B ．451z =C ．复数z 的共轭复数是D ．复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限24i 55=-z 【答案】AC【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共轭虚数的定义、复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.【详解】，()()()222i 2i 2i 4i 2i 24i 24i2i 2i 2i 4i 555z --+=====+++--复数z 的虚部为，，，复数z 的共轭复数对应的点位于第一象45z ==24i55=-z 限，故正确，错误，AC BD故选：.AC 10．已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在12π712πy （ ）A ．的最小正周期为()f x 2πB ．的最大值为2()f x C ．在区间上单调递增()f x 5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．为偶函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】由周期求，由五点法作图求出的值，由特殊点的坐标求出A ，再利用三角函数的图象ωϕ和性质，得出结论．【详解】由图知，的最小正周期，则.()f x 721212T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2ω=由，得.由，得，所以.2122ππϕ⨯+=3πϕ=()0f =sin3A π=2A =()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，则单调递增.5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2,322x πππ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦()f x 因为，则不是偶函数，22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：BC ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.11．如图，在四边形中，，，，E 为的中点，ABCD AB AD AC +=||2||2== AD AB 1AB AD ⋅= CD 与相交于F ，则下列说法一定正确的是（ ）AE DB A ．B ．在上的投影向量为1233AF AB AD=+BF ABC ．D ．若，则1AF AB ⋅= 12α=∠DEFtan α=【答案】ABC【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.【详解】解：因为在四边形中，，所以四边形为平行四边形，ABCD AB AD AC +=ABCD 又，，所以，||2||2== AD AB 1AB AD ⋅=60BAD ∠=︒对于 A ：，设 ，12AE AD DE AD AB =+=+ AF AE λ== 1122AD AB AD AB λλλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为三点共线，,,B F D所以，解得，所以，故选项A 正确；112λλ+=23λ=1233AF AB AD=+ 对于B ：设的夹角为，因为，，,BF AB θ1AB=2,AD BD ==所以，所以，即，222AD AB BD =+BD AB ⊥θ=90︒所以在上的投影向量为 ，故选项B 正确；BF AB||cos 00||||AB ABBF AB AB θ⨯=⨯=对于：由题意， ，故选项C 1233AF AB AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅= ⎪⎝⎭ 21212112133332AB ABAD +⋅=+⨯⨯⨯=C 正确；对于D ： ，||AF==cos FAB ∠=||||AF AB AF AB ⋅==若，则，又因为，tan α=30α=︒113022DEF FAB α=∠=∠=︒所以，不满足，故选项D 不正确.260FAB α∠==︒cos FAB ∠=故选：ABC.12．对于，有如下命题，其中错误的是（ ）ABC A ．若，则为锐角三角形222sin sin cos 1AB C ++<ABC B ．若，，，则AB =1AC =30B =︒ABC C ．P 在所在平面内，若，则P 是的重心ABC 0PA PB PC ++=ABC D ．若，则为等腰三角形22sin sin A B =ABC 【答案】AB【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理得到角为钝角，从而判定A 错误；利用正弦定理求得角有两解，从而得到角也有两解，C C A 进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B 错误；利用三角形重心的向量公式可判定C 正确；利用正弦定理角化边可得到D 正确，从而确定错误的选项为AB.【详解】若，，，222sin sin cos 1A B C ++<222sin sin 1cos A B C +<-222sin sin sin A B C +<，，故为钝角，故A 错误；222a b c +<222cos 02a b c C ab +-=<C，，，，故，AB c ==1AC b ==30B =︒c b >C B >或，所以或，sin sin c B C b ===60C =︒120︒90A =︒30︒所以面积为错误；ABC 1sin 902bc A =︒30︒=B 设的重心为，若，则ABC G 0PA PB PC ++= 00,33PA PB PC PG ++===所以，重合，故C 正确；,P G 若，根据正弦定理角化边得到,从而,∴为等腰三角形，故D 正确.22sin sin A B =22a b =a b =ABC 故选：AB三、填空题13．若,且三点共线,则＝______()()()1,2,4,8,5,A B C x --A B C 、、x 【答案】10【分析】先由三点坐标，写出向量与的坐标，再由向量共线即可得出结果.,,A B C AB AC【详解】因为，所以，，()()()1,2,4,8,5,A B C x --()5,10AB =()62AC x，=+又三点共线，所以与共线，A B C 、、AB AC因此，解得.()52600x +-=10x =故答案为10【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.14．在锐角中，，，__________．ABC ∆1cos 3A =AC =ABC ∆BC =【答案】2【详解】分析：先可得出，再由面积公式：AB ，再由∠A 的sin A =1sin 2AC BC A ⋅余弦定理即可求出BC.详解：由题得,故sin A =1sin 2AC AB A ⋅=AB ⇒=2331cos 263BC A BC +-==⇒=答案为2.点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.15．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则()2π2sin sin 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()f x m <2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭实数m 的取值范围是________.【答案】()3,+∞【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数的取值m 范围.【详解】()22π2sin sin 2sin cos 2f x x x x x x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，π1cos 222sin 216x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭当时，,,,当，即时2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭72,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦()(]0,3f x ∈226x ππ-=3x π=，()3f x =∴在区间上的最大值为3，()f x 2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭所以使得不等式在区间上恒成立，则实数m 的取值范围是.()f x m <2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭()3,+∞故答案为：()3,+∞四、双空题16．如图，平行四边形中，，，，，设ABCD 60DAB ∠=︒3AD =6AB =DE EC =13BF BC =，，用，表示______，______．AB a = AD b = a b AE =AE AF ⋅=【答案】；12a b +632【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】空一：因为，DE EC =所以；111222AE AD DE AD DC AD AB a b=+=+=+=+ 空二：因为，13BF BC =所以，111333AF AB BF AB BC AB AD a b=+=+=+=+ 因此，2211111)()2326(3a b a b a a E b F a b bA A ⋅+⋅+=+⋅+⋅=+ 因为，，，所以，60DAB ∠=︒3AD =6AB =3,6,,60AD b AB a a b ====〈〉=︒所以，1711633663926232AE AF ⨯+⨯⨯⨯⋅=+⨯=故答案为：；12a b + 632五、解答题17．在中,内角所对的边分别为,已知, ,且.ABC ∆,,A B C ,,a b c (),2m a c b =- ()cos ,cos n C A = m n ⊥ (1)求角的大小;A(2)若,求的周长5b c +=ABC ∆ABC ∆【答案】(1)；(2)3π5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到，进而求得；cos A A （2）根据三角形面积公式构造方程求得，利用余弦定理可求得，进而得到所求周长.bc a 【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-= 由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C CB A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A CB A AC B A +-=+-= A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=sin 2sin cos 0B B A ∴-= ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2） 11sin sin 223ABC S bc A bc π∆==== 4bc ∴=由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=的周长a ∴=ABC ∆∴5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.18．已知两个非零向量与不共线，a b (1)若，求证：A ､B ､D 三点共线；,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- (2)试确定实数k ，使得与共线；ka b + k + a b (3)若，且，求实数的值.(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ b c ⊥ λ【答案】(1)证明见解析(2)1k =±(3)32λ=-【分析】（1）由平面向量的共线定理证明共线，即可得证；,AB BD （2）由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；（3）由向量垂直的坐标表示求解即可【详解】（1）∵，,28,3()AB a b BC a b CD a b =+=+=- ∴，283()28335()5BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+= ∴共线，,AB BD 又∵它们有公共点B ，∴A ､B ､D 三点共线；（2）∵与共线，ka b + k + a b ∴存在实数，使，λ()ka b a kb λ+=+ 即，∴，ka b a kb λλ+=+ ()(1)k a k b λλ-=- ∵是两个不共线的非零向量，,a b ∴，10k k λλ-=-=∴，解得；210k -=1k =±（3）∵，(1,2),(1,1),a b c a b λ===+ 且，b c ⊥ ∴，(1,2),120c b c λλλλ=++⋅=+++= 解得.32λ=-19．复数，其中为虚数单位．22i(1i)1i z =++-i (1)求及；z z (2)若，求实数，的值．223i z az b ++=+a b 【答案】(1)，13i z =-+z =(2)3,7.a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）首先根据复数的运算求解出复数，进而根据复数的模长公式求解；z z （2）首先将代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数，的13i z =-+a b 值.【详解】（1）∵，()()()()222i 1i 2i (1i)12i i 2i i 1i 13i 1i 1i 1i z +=++=+++=++=-+-+-∴z ==（2）由（1）可知，13i z =-+13iz =--由，得：，223i z az b ++=+2(13i)(13i)23i a b -++--+=+即，∴，解得(8)(63)i 23i a b a --++--=+82,63 3.a b a --+=⎧⎨--=⎩3,7.a b =-⎧⎨=⎩20．已知函数．44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--（1）求的最小正周期；()f x （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x x 【答案】（1），（2），时T π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =【分析】（1）先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解；（2）由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解．x 24x π+【详解】解：（1），44()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- ，2222(cos sin )(cos sin )sin 2x x x x x =-+-，cos 2sin 2x x =-，)4x π+故的最小正周期；()f x T π=（2）由可得，，[0,]2x π∈2[44x ππ+∈5]4π当得即时，函数取得最小值．所以，时24x ππ+=38x π=38x π⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭()min f x =21．如图，、分别是的边、上的点，且，，交M N ABC ∆BC AB 14BM BC =1AN AB 2=AM 于.CN P（1）若，求的值；AM xAB y AC =+ x y -（2）若，，，求的值.4AB =3AC =60BAC ∠= AP BC ⋅ 【答案】（1）；（2）.12277-【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则可求出、的值，进而可计算出的值；x y x y -（2）设，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、3144AP AM AB AC λλλ==+ NP k NC = λ的方程组，解出这两个未知数，可得出关于、的表达式，然后用、表示，k AP AB AC AB AC BC 最后利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出的值.AP BC ⋅ 【详解】（1），()11314444AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，，因此，；34x ∴=14y =311442x y -=-=（2）设，3144AP AM AB AC λλλ==+再设，则，即，NP k NC = ()AP AN k AC AN -=- ()112k AP k AN k AC AB k AC -=-+=+ 所以，，解得，所以，314214k k λλ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4717k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3177AP AB AC =+ 因此，()()()221132377AP BC AB AC AC AB AC AB AC AB ⋅=+-=+⋅- .221127324334727⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-⨯=- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数，同时也考查了平面向量数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形其中三角形区ABCDE ABE 域为球类活动场所；四边形为文艺活动场所．其中，，，，为运动小道BCDE AB BC CD DE EA （不考虑宽度），，，千米．120BCD CDE ∠=∠=︒60=︒∠BAE 226DE BC CD ===（1）求小道的长度；BE （2）设，试用表示的面积，并求为何值时，球类活动场所的面积最大值，ABE x ∠=x ABE x ABE 并求出最大值．【答案】（1） （2）球类活动场所BE =ABE 2【分析】（1）连接，在中由余弦定理得的值，在中，求解的值即可.BD BCD △BD Rt BDE BE （2）设，在中，由正弦定理求解、，表示，然后求解最大值.ABE α∠=ABE AB AE ABE S 【详解】（1）如图，连接BD在中，，BCD △3()2DE BC CD km ===120BCD CDE ︒∠=∠=由余弦定理得：2222cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=BD ∴=又BC CD= CDB CBD∴∠=∠又120CDE ︒∠= 90BDE CDE CDB ︒∴∠=∠-∠=在中，Rt BDEBE ===（2）设ABE α∠=60120BAE AEB α︒︒∠=∴∠=- 在中，由正弦定理可知：ABEsin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，)AB α︒∴=-AE α=011sin 60)sin 221cos(120)cos(120)22)01201202120120ABE S AB AE ααααααααα︒︒︒︒︒︒︒︒︒∴==⨯-⎧⎫⎡⎤=--+---⎨⎬⎣⎦⎩⎭=-<<∴-<-< 当时，∴60α︒=ABE S=即球类活动场所ABE 2。
河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
期中数学试卷一、选择题1．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是（ ） A ．ac 2＜bc 2B ．1a＜1bC ．a 2＞ab ＞b 2D ．b a＞ab2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2+S 4，a 2＝﹣1，则a 4＝（ ） A ．﹣7B ．﹣10C ．10D ．123．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．AC ⊥SBB ．AD ⊥SCC ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD ⊥SA4．若函数f(x)=4x +a x(x ＞0，a ＞0)当且仅当x ＝2时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12B ．24C ．16D ．365．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．15C ．2√65D ．√1546．在△ABC 中，cos 2B 2=a+c 2c，则△ABC 为（ ） A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．283π B ．√223π C ．73πD ．√7π8．已知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，⋯，an a n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a 4等于（ ） A ．4B ．32C ．64D ．1289．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B =π3，b ＝1，求a +c 的取值范围（ ） A ．(1，√3)B ．(√3，2]C ．（1，2]D ．（1，2）10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ﹣2，若存在两项a m ，a n ，使得a m •a n ＝64，则1m+16n 的最小值为（ ）A ．256B ．215C ．92D ．17311．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且满足a 1＞0，S 11＝S 18，则对S n 描述正确的有（ ） A ．S 14是唯一最小值 B ．S 15是最小值C ．S 29＝0D ．S 15是最大值12．在△ABC 中，D 在线段AB 上，且AD ＝5，BD ＝3，若CB ＝2CD ，cos ∠CDB =−√55，则（ ） A ．sin ∠CDB =310B ．△ABC 的面积为8C ．△ABC 的周长为8+4√5D ．△ABC 为锐角三角形二、填空题13．已知数列{a n }满足a 1＝1，3a n +1a n ＝a n ﹣a n +1，则通项a n ＝ ． 14．函数f(x)={−1(x ≤0)x(x ＞0)，则不等式xf （x ）﹣x ≤2的解集为 ．15．在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．△ABC 的面积S 满足4√33S =b 2+c 2−a 2，若a =√3，则b sinB= ．16．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20202020= ．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a b=cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值． 19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC 而言，若其内部的点P 满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CP A ＝120°，则称P 为△ABC 的费马点．如图所示，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，设P 为△ABC 的费马点，且满足∠PBA ＝45°，P A ＝2．（1）求△P AC 的面积； （2）求PB 的长度．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，D在底面ABC上的射影E在AC上，DF ⊥AB于F．（Ⅰ）求证：BC平行平面DEF；（Ⅱ）若∠BAC=∠ADC=π3，求直线BE与平面DAB所成角的余弦值．一、选择题1．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．1a ＜1bC．a2＞ab＞b2D．ba＞ab【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，则A．c＝0时，ac2＜bc2不成立；B．由已知可得1a ＞1b，因此不成立；C．由已知可得：a2＞ab＞b2，因此正确；D．由已知可得：a2＞b2，∴a2ab＞b2ab，化为ab＞ba，因此不成立．故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，则a4＝（）A．﹣7B．﹣10C．10D．12【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，利用通项公式求和公式可得：3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1，d，即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵3S3＝S2+S4，a2＝﹣1，∴3（3a1+3d）＝6a1+7d，a1+d＝﹣1，解得a1＝2，d＝﹣3．则a4＝2﹣3×3＝﹣7．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A ．AC ⊥SBB ．AD ⊥SCC ．平面SAC ⊥平面SBDD ．BD ⊥SA【分析】在A 中，推导出AC ⊥SD ，AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面SBD ，由此得到AC ⊥SB ；在B 中，推导出AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，从而AD ⊥平面SDC ，由此得到AD ⊥SC ；在C 中，推导出AC ⊥平面SBD ，从而平面SAC ⊥平面SBD ；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法摔倒导出BD 与SA 不垂直， 【解答】解：由四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，知： 在A 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ， ∵SB ⊂平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；在B 中，∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥CD ，AD ⊥SD ，∵SD ∩CD ＝D ，∴AD ⊥平面SDC ， ∵SC ⊂平面SCD ，∴AD ⊥SC ，故B 正确； 在C 中，∵SD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥SD ， ∵四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，∴AC ⊥BD ， ∵SD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面SBD ，∵AC ⊂平面SAC ，∴平面SAC ⊥平面SBD ，故C 正确；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DS 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设AB ＝a ，DS ＝b ，则D （0，0，0），B （a ，a ，0），A （a ，0，0），S （0，0，b ）， DB →=（a ，a ，0），SA →=（a ，0，﹣b ），∵DB →⋅SA →=a 2≠0，∴BD 与SA 不垂直，故D 错误． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4．若函数f(x)=4x +ax (x ＞0，a ＞0)当且仅当x ＝2时取得最小值，则实数a 的值为（ ） A ．12B ．24C ．16D ．36【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：函数f(x)=4x +ax(x ＞0，a ＞0)当且仅当x ＝2时取得最小值， ∴f （x ）≥2√4x ⋅ax =4√a ，当且仅当x =√a2=2时取等号，解得a ＝16． 故选：C ．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．15C ．2√65D ．√154【分析】可画出图形，连接BE ，从而可得出∠DEB 为异面直线AF ，BE 所成的角，并连接DB ，然后可设正方体的棱长为2，从而可得出△BDE 三边的长度，根据余弦定理即可求出cos ∠DEB 的值．【解答】解：如图，连接BE ，则BE ∥AF ，则∠DEB 为异面直线AF ，DE 所成的角，连接DB ，设正方体的棱长为2，则： BE =DE =√5，BD =2√2，∴在△BDE 中，由余弦定理得，cos ∠DEB =BE 2+DE 2−BD 22BE⋅DE =2×5×5=15．故选：B ．【点评】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题． 6．在△ABC 中，cos 2B 2=a+c2c，则△ABC 为（ ） A ．等腰直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【分析】根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出△ABC 的形状．【解答】解：∵cos 2B2=a+c2c ， ∴12（1+cos B ）=a+c 2c， 在△ABC 中，由余弦定理得，12+12•a 2+c 2−b 22ac=a+c 2c，化简得，2ac +a 2+c 2﹣b 2＝2a （a +c ）， 则c 2＝a 2+b 2，∴△ABC 为直角三角形， 故选：C ．【点评】本题考查余弦定理以及二倍角的余弦公式变形的应用，属于基础题．7．一直三棱柱的每条棱长都是1，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．283π B ．√223π C ．73πD ．√7π【分析】正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正三棱柱的两个底面的中心的连线的中点就是球的球心，球心与顶点的连线长就是半径，下底面三角形的外接圆半径r 满足：2r =1sin60°⇒r =√33， 所以，球半径R =√r 2+ℎ2=(√33)2+(12)2=√712， ∴球的表面积为：4πR 2＝4π（√712）2=73π； 故选：C ．【点评】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，明确球心、球的半径与正三棱柱的关系是本题解决的关键．8．已知数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，⋯，a na n−1是首项为4，公比为12的等比数列，则a 4等于（ ）A ．4B ．32C ．64D ．128【分析】推导出a n a n−1=4×(12)n−1=23﹣n ，从而a 4=a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3，由此能求出a 4的值．【解答】解：∵数列a 1，a 2a 1，a3a 2，⋯，a nan−1是首项为4，公比为12的等比数列，∴a n a n−1=4×(12)n−1=23﹣n ，∴a 4=a 1×a 2a 1×a 3a 2×a4a 3＝4×2×1×12=4． 故选：A ．【点评】本题考查数列的第四项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B =π3，b ＝1，求a +c 的取值范围（ ） A ．(1，√3)B ．(√3，2]C ．（1，2]D ．（1，2）【分析】由已知结合余弦定理及基本不等式可求a +c 的范围，然后再结合三角形的两边之和大于第三边即可求解．【解答】解：由余弦定理可得，cos B =12=a 2+c 2−12ac， 所以（a +c ）2﹣2ac ﹣1＝ac 即（a +c ）2＝1+3ac ≤1+3×(a+c2)2，当且仅当a ＝c 时取等号，解可得，a +c ≤2， 又a +c ＞b ＝1， 综上1＜a +c ≤2． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用余弦定理及基本不等式求解三角形，属于基础试题． 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ﹣2，若存在两项a m ，a n ，使得a m •a n ＝64，则1m+16n 的最小值为（ ）A ．256B ．215C ．92D ．173【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得a n ＝2n ．求得m +n ＝6，1m+16n=16（m +n ）（1m+16n）=16（17+n m +16mn ），运用基本不等式，检验等号成立的条件，即可得到所求最小值．【解答】解：S n ＝2a n ﹣2，可得a 1＝S 1＝2a 1﹣2，即a 1＝2， n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣2，又S n ＝2a n ﹣2，相减可得a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2a n ﹣1，即a n ＝2a n ﹣1， {a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以a n ＝2n ．a m a n ＝64，即2m •2n ＝64， 得m +n ＝6， 所以1m+16n =16（m +n ）（1m+16n）=16（17+n m +16m n ）≥16（17+2√16）=256，当且仅当n m=16m n时取等号，即为m =65，n =245． 因为m 、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+16n＞256，验证可得，当m ＝1，n ＝5时，1m+16n取得最小值为215．故选：B ．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，考查基本不等式的运用，注意检验等号成立的条件，考查化简运算能力，属于中档题．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，且满足a1＞0，S11＝S18，则对S n描述正确的有（）A．S14是唯一最小值B．S15是最小值C．S29＝0D．S15是最大值【分析】由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，根据a1＞0，可得d＜0，即可判断出结论．【解答】解：由S11＝S18，可得：11a1+11×102d＝18a1+18×172d，化为：a1+14d＝0＝a15，∵a1＞0，∴d＜0，∴S14，S15是最大值，S29=29(a1+a29)2=29a15＝0．∴CD正确．故选：CD．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，则（）A．sin∠CDB=310B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8+4√5D．△ABC为锐角三角形【分析】直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．【解答】解：在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB=−√55，所以sin∠CDB=2√5 5．如图所示：设CD＝x，则CB＝2x，在△BCD中，利用余弦定理：cos∠CDB=−√55=x2+9−(2x)22×3×x，整理得√5x2−2x−3√5=0，解得x=√5（负值舍去）．所以CD=√5，CB＝2√5，进一步求出cos B=32+(2√5)2−(√5)22×3×25=2√55．在△ABC中，利用余弦定理：AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC cos B，解得：AC＝2√5，所以：l△ABC=8+2√5+2√5=8+4√5．S△ABC=12×8×2√5×√55=8．cos∠ACB=(2√5)2+(2√5)2−642×2√5×2√50，所以△ABC为钝角三角形．故选：BC．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．二、填空题13．已知数列{a n}满足a1＝1，3a n+1a n＝a n﹣a n+1，则通项a n＝13n−2．【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，3a n+1a n＝a n﹣a n+1，可得1a n+1−1a n=3，可得数列{1a n}是等差数列，首项为1，公差为3，所以1a n=1+3（n﹣1），所以a n =13n−2． 故答案为：13n−2．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 14．函数f(x)={−1(x ≤0)x(x ＞0)，则不等式xf （x ）﹣x ≤2的解集为 [﹣1，2] ．【分析】由已知函数解析式可把原不等式进行转化即可求解．【解答】解：当x ≤0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，﹣x ﹣x ≤2，解可得，x ≥﹣1，此时﹣1≤x ≤0，当x ＞0时，由xf （x ）﹣x ≤2可得，x 2﹣x ≤2，解可得，﹣1≤x ≤2，此时0＜x ≤2， 综上可得，x 的范围[﹣1，2] 故答案为：[﹣1，2]【点评】本题主要考查了利用分段函数求解不等式，体现了分类讨论思想的应用． 15．在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ．△ABC 的面积S 满足4√33S =b 2+c 2−a 2，若a =√3，则b sinB= 2 ．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求tan A ，进而可求A ，然后结合正弦定理即可求解． 【解答】解：因为4√33S =b 2+c 2−a 2，所以4√33×12bcsinA =2bc cos A ， 则tan A =√3，因为A 为三角形的内角，故A =13π， 因为a =√3， 由正弦定理可得，bsinB=a sinA=√3√32=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．16．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现已知某数列的“优值”H n =2n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20202020=20232．【分析】先由题设条件得到a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，再利用a1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减求出a n ＝n +1（n ≥2），检验n ＝1时是否适合，然后求出S 20202020即可．【解答】解：由题意知H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn=2n ，即a1+2a 2+⋯+2n−1a n =n •2n ，又当n ≥2时，有a1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)⋅2n−1，两式相减得：2n ﹣1a n ＝n •2n ﹣（n ﹣1）•2n ﹣1＝（n +1）•2n ﹣1， 整理得a n ＝n +1（n ≥2），当n ＝1时，有a 1＝1×2＝2也适合， ∴a n ＝n +1， S 2020=2020(2+2021)2，∴S 20202020=20232．故答案为：20232．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法及等差数列前n 项和公式，属于基础题． 三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且ab =cosA 2−cosB．（Ⅰ）求ac．（Ⅱ）若b ＝4，cos C =14，求△ABC 的面积． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos （2C +π3）的值．【分析】（I ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求； （II ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求； （III ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 【解答】解：（I ）因为ab =cosA 2−cosB=sinA sinB，所以2sin A ﹣sin A cos B ＝sin B cos A ，所以2sin A ＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin （A +B ）＝sin C ， 由正弦定理可得，ac =sinA sinC=12；（II ）由余弦定理可得，14=a 2+16−4a 28a，整理可得，3a 2+2a ﹣16＝0， 解可得，a ＝2， 因为sin C =√154，所以S △ABC =12absinC =12×2×4×√154=√15； （III ）由于sin2C ＝2sin C cos C ＝2×√154×14=√158，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=−78． 所以cos （2C +π3）=12cos2C −√32sin2C =12×(−78)−√32×√158=−7−3√516． 【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及和差角公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．18．已知等差数列{a n }中，a 6﹣a 2＝8，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =111，求n 的值． 【分析】（1）利用已知条件，求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （2）化简通项公式，利用裂项相消法，求解数列的和，然后求解n 即可． 【解答】解：（1）设数列{a n }的公差为d ， 因为a 6﹣a 2＝8，所以4d ＝8，解得d ＝2，因为a 1，a 6，a 21依次成等比数列，所以a 62=a 1a 21，即(a 1+5×2)2=a 1(a 1+20×2)，解得a 1＝5， 所以a n ＝2n +3；（2）由（1）知b n =1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)，所以b n =12(12n+3−12n+5)，所以S n =12[(15−17)+(17−19)+⋯+(12n+3−12n+5)]=n5(2n+5)， 由n 5(2n+5)=111，得n ＝25．【点评】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠ABC ≠90°，AB ∥CD ，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝AD ＝DC ＝1． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBC ； （2）求点D 到平面PBC 的距离．【分析】（1）证明BC ⊥AC ，P A ⊥BC ，推出BC ⊥平面P AC ，即可证明平面P AC ⊥平面PBC ．（2）设点D 到平面PBC 的距离为d ，利用V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ，转化求解即可． 【解答】（1）证明：由已知得AC =√AD 2+CD 2=√2，BC =√AD 2+(AB −CD)2=√2，AB ＝2，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC ，∵P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ， ∵P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面P AC ⊥平面PBC ．（2）解：由（1）得BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AC ，BC =√2，PC =√12+(√2)2=√3， 设点D 到平面PBC 的距离为d ， ∵V P ﹣BCD ＝V D ﹣PBC ， ∴13×12×DC ×AD ×PA =13×12×PC ×BC ×d ，∴13×12×1×1×1=13×12×√3×√2×d ，解得d =√66，∴点D 到平面PBC 的距离为√66．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，P A＝2．（1）求△P AC的面积；（2）求PB的长度．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得∠P AB＝15°，∠P AC＝30°，可得在△P AC中，∠PCA＝30°，可得P A＝PC＝2，利用三角形的面积公式即可求解△P AC的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45°，sin15°的值，在△P AB中，由正弦定理可得PB的值．【解答】解：（1）由已知可得∠P AB＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠P AC＝45°﹣15°＝30°，在△P AC中，∠PCA＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴P A＝PC＝2，∴△P AC的面积S=12P A•PC•sin∠P AC=12×2×2×√32=√3．（2）∵sin15°＝sin（45°﹣30°）=√22×√32−√22×12=√6−√24，sin45°=√22，∴在△P AB中，由正弦定理PBsin15°=PAsin45°，可得PB=2sin15°sin45°=2×√6−√2422=√3−1．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c1a1+c2a2+⋯+c na n=b n+1，求数列{c n}的前2020项的和．【分析】（1）由已知结合等比数列的性质及等差数列的通项公式求得a1＝2．则a n可求．设等比数列{b n}的公比为q，求得q与b2，则{b n}的通项公式可求；（2）由（1）知，a n=2n，b n=2n．代入得c1a1+c2a2+⋯+c n−1a n−1+c na n=2n+1，即可求得数列{c n}d的通项公式；数列{c n}的前2020项的和S2020=8+2×23+3×24+⋯+ 2020×22021=4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．然后利用错位相减法求解．【解答】解：（1）依题意得：b32=b2b4，∴(a1+6)2=(a1+2)(a1+14)，∴a12+12a1+36=a12+16a1+28，解得a1＝2．∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．设等比数列{b n}的公比为q，∴q=b3b2=a4a2=84=2，又b 2＝a 2＝4，∴b n =4×2n−2=2n ； （2）由（1）知，a n =2n ，b n =2n ． ∵c 1a 1+c 2a 2+⋯+c n−1a n−1+c n a n=2n+1，①当n ≥2时，c 1a 1+c 2a 2+⋯+c n−1a n−1=2n ，②由①﹣②得，c na n=2n ，即c n =n ⋅2n+1，又当n ＝1时，c 1=a 1b 2=23不满足上式， ∴c n ={8，n =1n ⋅2n+1，n ≥2；数列{c n }的前2020项的和S 2020=8+2×23+3×24+⋯+2020×22021 ＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021．设T 2020=1×22+2×23+3×24+⋯+2019×22020+2020×22021，③ 则2T 2020=1×23+2×24+3×25+⋯+2019×22021+2020×22022，④ 由③﹣④得：−T 2020=22+23+24+⋯+22021−2020×22022=22(1−22020)1−2−2020×22022=−4﹣2019×22022．∴T 2020=2019×22022+4，∴S 2020=T 2020+4=2019×22022+8．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力．考查的核心素养是逻辑推理与数学运算．22．如图，在三棱锥D ﹣ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影E 在AC 上，DF ⊥AB 于F ．（Ⅰ）求证：BC 平行平面DEF ；（Ⅱ）若∠BAC =∠ADC =π3，求直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出EF ∥BC ，由此能证明BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由EF ⊥平面DAB ，得∠EBH 即所求线面角，由此能求出直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值． 【解答】解：（Ⅰ）证明：因为DA ＝DB ＝DC ， 所以E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以EF ∥BC ， 因为EF ⊂平面DEF ，BC ⊄平面DEF ， 所以BC ∥平面DEF ．（Ⅱ）解：在△DEF 中过E 作DF 的垂线，垂足H ，由（Ⅰ）知EF ⊥平面DAB ，∠EBH 即直线BE 与平面DAB 所成角， 由F 是AB 的中点，AB ⊥EF 得EA ＝EB ， 设AC ＝2，∠BAC =π3，则DE =√3， EF =√32，EF =√152EH =√155，所以直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值为sin ∠EBF =EHEB =√155， 所以直线BE 与平面DAB 所成角的余弦值为√105．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案和解析
河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案和解析河北省石家庄市第二中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,{|124}xA B x =-=≤≤，则A B ?= ( )A ．{}1,0,1-B ．{}0,1,2C ．{}0,1D ．{}1,22．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（） A ．12y x =B ．23y x =C ．4y x -=D ．13y x =3．已知()f x ，()g x 对应值如表：则(((1)))g f g -的值为（） A ．1B ．0C ．1-D ．无法确定4．设函数y ＝x 3与y ＝212x -?? ???的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5．已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．函数y ＝331x x -的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．7．若函数()f x 为奇函数，且在()0,+∞上是增函数，又()()()20,0f x f x f x--=<则的解集为（）A ．()()2,00,2-?B ．()(),20,2-∞-?C ．()(),22,-∞-?+∞D ．()()2,02,-?+∞8．已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（） A ．(,4]-∞C ．(4,4]-D ．[]4,4-9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则(2)f x x的定义域为（） A ．{}|04x x <≤B ．{}|04x x ≤≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <≤10．设偶函数()log a f x x b =-在(,0)-∞上递增，则(1)f a +与(3)f b +的大小关系是（）A ．(1)(3)f a f b +=+B ．(1)(3)f a f b +>+C ．(1)(3)f a f b +<+D ．不确定11．已知函数f(x)={1+4x ,x ≥4,log 2x,x <4,若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的根，则实数k 的取值范围是（） A ．(?∞,1)B ．(?∞,2)C ．[1,2)D ．(1,2)12．定义一种运算,,,,a a b a b b a b ≤??=?>?令()f x 2(32)x x x t =+-?-（t 为常数），且[]3,3x ∈-，则使函数()f x 的最大值为3的t 的集合是（）A ．{}3,3-B ．1,5D ．{}3,1,3,5--二、填空题13．已知函数1()log (23)x a f x -=-恒过定点，则此定点为__________.14．已知函数()23f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[]1,2a a -,则函数的值域为____15．已知()1x f x e =-，2()42g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围是__________.16．设函数，则满足31,1()2,1xx x f x x -三、解答题 17．2|1A x x ??=≥，{}22log (1)2log (1)B x x x =+--. （1）求A ，B ；（2）求AB ，()R A B .18．设函数2,40,()3,0,x bx c x f x x x ?++-≤<=?-+≥?若(4)(0)f f -=，(2)1f -=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间. 19．已知函数2()41(0,1)g x ax ax b a b =-++≠<，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -?≥在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围.20．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.21．已知函数22()21x xa a f x ?+-=+，其中a 为常数. （1）判断函数()f x 的单调性并证明；（2）当1a =时，对于任意[]2,2x ∈-，不等式2(6)(2)0f x m f mx +++->恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数．（1）求k 的值；（2）若函数()()[]122421?0log 3f x xx h x m x +=+?-∈，，，是否存在实数m 使得()h x 最小值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C 【解析】{}|124x B x =≤<{}|02x x =≤<，又{}1,0,1,2A =-则{}0,1A B ?=故选C 2．B 【解析】对于A ，12y x =定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以A 不具有奇偶性，不对；对于B ，23y x =是过点()0,0，()1,1的偶函数，B 对；对于C ，4y x -=定义域为{}|0x x ≠ 不过点()0,0，不对；对于D ，13y x =过点()0,0，()1,1但它为奇函数，不对；故选B 3．C 【解析】()1g -=1，则()()()1f 10,f g -==则()()()()1g 01g f g -==-故选C 4．B 【分析】函数y ＝x 3与y ＝212x -?? ???的图象的交点的横坐标即为231()2x g x x -??=-的零点，将问题转化为确定函数231()2x g x x -??=-的零点所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．【详解】设231()2x g x x -??=-，则()g x 是增函数，又(0)40,(1)10,(2)70g g g =-<=-<=>.所以(1)(2)0g g <，所以x 0所在的区间是(1，2) 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的交点，考查函数的零点，解题的关键是构建函数，正确运用函数零点存在定理，属于中档题. 5．D 【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系．【详解】解：由对数函数和指数函数的性质可知，0.10 1.302log 0.30,221,00.20.21,a b c a c b =<=>=<=<=∴<<故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的性质，考查指数函数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来． 6．C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x→＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故331xx -→0且大于0，故排除D ，选C. 7．A 【分析】由函数奇偶性性质，结合特殊值，在坐标系中作出函数简图，由奇函数性质化简不等式，借助图像即可求出解集. 【详解】由奇函数的性质以及特殊点可作出如下简图：由奇函数定义化简解析式：()()()20f x f x f x xx--=<，即()f x 与x 异号即可，由图像可知当20x -<<或02x <<时()f x 与x 异号. 故选A. 【点睛】本题考查奇函数的定义以及图像特点，由题意作出图像可极大降低题目的难度，便于快速求出结果. 8．D 【解析】令g （x ）=23x ax a -+，因为函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g （x ）=23x ax a -+在区间()2,+∞上是增函数，且g （x ）>0在()2,+∞上恒成立；224422230aa a a ?≤?∴-≤≤??-?+>? 故选D 9．D 【解析】因为函数f （x ）的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，所以0≤x≤1，所以f （2x ）的定义域为[0，1]，则函数()2f x x的定义域是（0，1]，故选D ． 10．B 【解析】因为函数f（x）=log a|x-b|，所以对定义图内任意实数x都有f （-x）=f（x），即log a|-x-b|=log a|x-b|，所以|-x-b|=|x-b|，所以b=0，∴f（x）=log a|x|，∵偶函数f（x）=log a|x|在（-∞，0）上单调递增，y=|x|在（-∞，0）上单调递减，∴0＜a＜1，∴1＜a+1＜b+3=3，∴log a|a+1|＞log a3，∴f（a+1）＞f（b+3）；综上，f（a+1）＞f（b+3）．故选：B．11．D【解析】是减函数，且1＜f（x）≤2；②当x＜4时，f（x）=log2x在（0，：①当x≥4时，f(x)=1+4x4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；作出函数的图象如下：故实数k的取值范围是（1，2）；故选D．点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．12．C【解析】y=3+2x-x 2在x ∈[-3，3]上的最大值为3，所以由3+2x-x 2=3，解得x=2或x=0．所以要使函数f （x ）最大值为3，则根据定义可知，当t ＜1时，即x=2时，|2-t|=3，此时解得t=-1．当t ＞1时，即x=0时，|0-t|=3，此时解得t=3．故t=-1或3．故选C ．点睛：本题主要考查新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的分析能力，根据定义，先计算y=3+2x-x 2在x ∈[-3，3]上的最大值，然后利用条件函数f （x ）最大值为4，确定t 的取值即可． 13．(3,0) 【解析】令1231x --=得123x x -=∴= 此时0y = 故此定点为()3,0 故答案为()3,0 14．311,27??【分析】根据函数为偶函数，定义域关于原点对称求得a 的值，根据偶函数的定义求得b 的值，根据二次函数的性质求得函数的值域. 【详解】由于()f x 为偶函数，定义域关于原点对称，故1120,3a a a -+==，()2113f x x bx b =+++，()2113f x x bx b -=-++，由于()()f x f x =-，故0b =，即()2113f x x =+，定义域22,33x ??∈-.根据二次函数性质可知，当0x =时，函数有最小值为1，当23x =时，函数有最大值231327f ??= ，故函数的值域为311,27??. 【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数的性质，属于基础题.15．(22-+ 【解析】∵f （x ）=e x -1，在R 上递增，∴f （a ）＞-1则g （b ）＞-1；∵g （x ）=-x 2+4x-2=-（x-2）2+2≤2，又f （a ）=g （b ），∴g （b ）∈（-1，2]，即-b 2+4b-2＞-1，整理，得 b 2-4b+1＜0解得22b <<+故答案为(2+ 16．2[,)3+∞ 【分析】令()f a t =，则()2t f t =，当1t <，令1231,2t y t y =-=，1t <，结合图象得出方程无解，当1t ≥时，讨论1a <，1a ，结合分段函数的解析式，解不等式即可得出a 取值范围. 【详解】令()f a t =，则()2tf t =当1t <时，312t t -=令1231,2ty t y =-=，1t <其图象如下图所示∴1t <时，312t t -=无解当1t ≥时，22t t =成立，由()1f a ≥，得当1a <时，有311a -，解得213a < 当1a 时，有21a ，解得1a 综上，a 取值范围是2[,)3+∞ 故答案为2[,)3+∞【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题. 17．(1){}|02A x x =<≤，{B x =；(2){}0A B x x ?=，{()0R A B x ?=<≤.【解析】试题分析：（1）由21x ≥，则20x x-≤，故{}|02A x x =<≤，而()()22log 12log 1x x +>--，()()()()2222log 1log 1log 11log 4x x x x ++-=+->，等价于()()10,10,B 114,x x x x ?+>?->?+->?解不等式求交集得（2）根据交集，并集，补集的定义很容易求解. 试题解析：（1）由21x ≥，则20x x-≤，故{}|02A x x =<≤，而()()22log 12log 1x x +>--，()()()()2222log 1log 1log 11log 4x x x x ++-=+->，等价于()()10,10,114,x x x x ?+>?->??+->?则1,1,x x x x ?>-?>??><?即{B x =.（2）{}0A B x x ?=，因为{{(){|,?0BR R B x C x x A B x =∴=≤∴?=<≤，.18．(1)243,40,()3,0.x x x f x x x ?++-≤<=?-+≥?；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得16-4b+c=3，4-2b+c=-1，解方程可得b ，c ，进而得到f （x ）的解析式；（2）由分段函数的画法，可得f （x ）的图象，进而得到定义域、值域、单调区间．试题解析：（1）∵()()40f f -=，()21f -=-，∴1643b c -+=，421b c -+=-，解得4b =，3c =，∴()243,40,3,0.x x x f x x x ?++-≤<=?-+≥?（2）图象见图所示：由图像可知，函数的定义域为[)4,-+∞，值域为(],3-∞. 单调增区间为()2,0-，单调减区间为()4,2--和()0,+∞. 19．（1）3,9a b =-=-（2）11k ≤- 【解析】试题分析：（１）因为对称轴x=1不在定义区间内，所以函数()[] 2,3g x 在区间单调，根据单独递增与单独递减分类讨论，解得a,b 的值，代人()()g x f x x=可得函数f(x)的解析式（２）先分离变量得212122x x ≤-+ｋ,只需求出函数212122x x -+最小值，即得实数k 的取值范围试题解析：(1)()221,g x ax ax b =-++ 对称轴x=1.由题意得：，或()()02143311a gb g a b ?<?=+=??=++=?解得10a b =??=?或131a b =-??=>?（舍去)故所以(2)不等式即即设所以()21,k t ≤- 又因()210,mint -=故20．(1)2()2f x x =-，()g x x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f （x ）和g （x ）的解析式；（2）()()h x g x < 即()23130mx m x +--<，讨论当0m =时，当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m =，23x =-，比较1m与-3的大小，进行讨论；试题解析：（1）由题意()()22f x g x x x -+-=--，即()()22f x g x x x -=--，又()()22f x g x x x +=+-联立得()22f x x =-，()g x x =.（2）由题意不等式即()23130mx m x +--<，当0m =时，即30x --<，解得3x >-；当0m ≠时，即()()130mx x -+<，对应方程的两个根为11x m=，23x =-，故当0m >时，易知13m >-，不等式的解为13x m -<<；当0m <时，若13m >-，即13m <-时，不等式的解为3x <-或1x m>；若13m =-，即13m =-时，不等式的解为3x ≠-；若13m <-，即13m >-时，不等式的解为1x m<或3x >-；综上所述，当13m <-时，不等式的解为1|3x x x m 或?-；当103m -≤<时，不等式的解集为1|3x x x m ??-或；当0m =时，不等式的解集为{}3x x -；当0m >时，不等式的解集为1|3x x m ?-<<. 点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏. 21．(1)答案见解析；(2)1023m -<<. 【解析】试题分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可（2）当1a =时，()2121x x f x -=+，则()2121x x f x ----=+ ()1212xxf x -==-+，∴函数()f x 是奇函数，对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()2620f x m f mx +++->恒成立，等价为对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()()2622f x m f mx f mx ++>--=恒成立，即262x m mx ++>，在[]2,2x ∈-恒成立，即2260x mx m -++>，在[]2,2x ∈-恒成立，设()226g x x mx m =-++，则等价为()min 0g x >即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解. 试题解析：（1）函数()()21222121x x x a f x a +-==-++在R 上是增函数.证明如下：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则()()()()()121212122222*********x x x x x x f x f x a a --=---= ? ?++++?，∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，∴()()12f x f x <，∴函数()221x f x a =-+在R 上是增函数. （2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当1a =时，()2121x x f x -=+，则()2121x xf x ----=+ ()1212xx f x -==-+，∴函数()f x 是奇函数，则对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()2620f x m f mx +++->恒成立，等价为对于任意[]2,2x ∈-，不等式()()()2622f x m f mx f mx ++>--=恒成立，即262x m mx ++>，在[]2,2x ∈-恒成立即2260x mx m -++>，在[]2,2x ∈-恒成立，设()226g x x mx m =-++，则等价为()min 0g x >即可.即()()222266g x x mx m x m m m =-++=--++，当2m ≤-，则函数()g x 的最小值为()25100g m -=+>，得2m >-，不成立，当22m -<<，则函数()g x 的最小值为()260g m m m =-++>，得22m -<<，当2m ≥，则函数()g x 的最小值为()23100g m =-+>，得1023m -<<. 综上1023m -<<. 点睛：本题考查了用定义证明函数的单调性及不等式恒成立问题，在解决本题中()()2620f x m f mx +++->恒成立时，移项得()()262f x m f mx ++>--所以肯定先要研究函数的奇偶性，从而利用单调性去掉f 转化为二次不等式恒成立，找最值即得解. 22．（1）12-；（2）1m =-．【分析】（1）由于函数为偶函数，满足()()f x f x -=，将x -代入函数解析式化简后，可求得12k =-；（2）化简()42x x h x m =+?，令2x t =将函数化为2y t mt =+，然后利用二次函数的图像与性质，讨论函数最小值是否为0，由此求得1m =- 【详解】（1）∵函数()()()4log 41xf x kx k R =++∈是偶函数，∴()()f x f x -=，即()()44log 41log 41-+-=++xx kx kx 恒成立，∴()()4444412log 41log 41log log 441x xxx x kx x ---+=+-+===-+，∴12k =-．（2）由题意函数()()[]12242142? 0?log 3f x xx x x h x m m x +=+?-=+?∈，，，令[]213xt =∈，，则[]213y t mt t =+∈，，，∵函数2y t mt =+的图象开口向上，对称轴为直线2mt =-，故当12m-≤，即2m ≥-时，当1t =时，函数取最小值10m +=，解得：1m =-；当132m <-<，即62m -<<-时，当2mt =-时，函数取最小值204m -=，解得：0m =（舍去）；当32m-≥，即6m ≤-时，当3t =时，函数取最小值930m +=，解得：3m =-（舍去），综上所述，存在1m =-满足条件．考点：函数的奇偶性与单调性．【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，考查二次函数图象与性质．第一问条件是函数为偶函数，故满足()()f x f x -=，如果函数为奇函数，则满足()()f x f x -=-．将x -代入函数的表达式，和原来式子对比，即可求得参数的值．第二问要求函数的最小值为零，令2x t =换元后变为二次函数，利用二次函数图象与性质就可以求得m 的值．。
河北省2020石家庄二中高一下期中考试答案
答案
一．选择题
1．C．2.A 3．A 4．C．5．D．6．C．7．C 8．A．9．C．
10．A．11．CD．12．BC．
二．填空题
13．
1 3n
2
三．解答题
14． 1,2
2023
15.2 16.
2
17．解：（I）因为 ＝
＝，
所以 2sinA﹣sinAcosB＝sinBcosA，
＝ ﹣1．
＝．
＝
，
， 可 得 PB ＝
＝
21．解：（1）依题意得：
，
∴
，
∴
，
解得 a1＝2． ∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．
设等比数列{bn}的公比为 q，∴
，
又 b2＝a2＝4，∴
；
（2）由（1）知，
．
∵
，①
当 n≥2 时，
，②
由①﹣②得， 又当 n＝1 时， ∴
，即
，
不满足上式，
；
数列{cn}的前 2020 项的和 ＝4+1×22+2×23+3×24+…+2020×22021． 设
，③
则
，④
由③﹣④得：
＝
＝﹣4﹣2019×22022．
∴
，
∴S2020＝
．
22．（1）证明：因为 DA＝DB＝DC，所以 E，F 分别是 AB，AC 的中点， 所以 EF∥BC，从而 BC∥平面 DEF （2）解：在△DEF 中过 E 作 DF 的垂线，垂足 H，
由（1）知 EH⊥平面 DAB，∠EBH 即所求线面角， 由 F 是 AB 中点，AB⊥EF 得 EA＝EB
河北省石家庄市辛集市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题.doc
河北省石家庄市辛集市第二中学2021-2022高一数学下学期期中试题一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知向量a ⃗=(3,x),b ⃗=(-2,2),若向量a ⃗⊥b ⃗,则实数x的值为( )A. 1B. 2C. 3D. -3【答案】C【解析】向量a ⃗=(3,x),b ⃗=(-2,2), 因为向量a ⃗⊥b ⃗,所以a ⃗∙b ⃗=-6+2x=0,x=3.2. 已知角α的终边与单位圆相交于点P(- (√3 )/2,1/2),则sinα等于( )A. - (√3 )/2B. - 1/2C. 1/2D. (√3 )/2【答案】C【解析】由题意知|OP|=1(O为原点),∵角α的终边与单位圆相交于点P(- (√3 )/2,1/2), ∴sinα= 1/2,故选C.3. 右图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，则图中x的值等于（）A. 0.12B. 0.18C. 0.012D. 0.018【答案】D【解析】由频率分布直方图的性质可知，各个小长方形的面积之和等于1，即0.06+0.06+0.1+0.54+x×10+0.06=1，解得x=0.018.4. 若tanα,tanβ是方程〖x〗^2 -2x-4=0的两根,则tan(α+β)=( )A. 2/5B. - 2/3C. - 2/5D. 2/3【答案】A【解析】∵tanα,tanβ是方程〖x〗^2 -2x-4=0的两根,则tan(α+β)= (tanα+tanβ)/(1-tan αtanβ) = 2/(1-(-4)) = 2/5.5. 如图所示的两个变量具有相关关系的是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③【答案】D【解析】观察散点图，如果所有样本散点基本在某一函数曲线附近，则可认为两变量之间具有相关性。
2020-2021学年河北省石家庄二中教育集团高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄二中教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共11小题，共55.0分）1. 已知全集U ={−1,0，1，2}，A ={−1,1}，则集合∁U A =( )A. {0,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2. 命题“∃x ∈Q ，|x|+x ≥0”的否定是( )A. ∃x ∈Q ，|x|+x <0B. ∀x ∈(∁R Q)，|x|+x <0C. ∀x ∈Q ，|x|+x <0D. ∀x ∈Q ，|x|+x ≥03. 函数f(x)=√−x +1x+3的定义域为( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]4. 已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则下列命题正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是单调递增函数C. f(x)的值域为RD. f(x)在定义域内有最大值5. 设x ∈R ，则“x >1”是“1x <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，设a =f(−3)，b =f(π)，c =f(−1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b7. 设集合A ={x|y =√1−x 2}，B ={y|y =−x 2+a}，若A ∩B ≠⌀，则实数a 的取值范围为( )A. a ≤−1B. a <−1C. a ≥−1D. a >−18. 已知函数f(x)={(2−a2)x +2,x ≤2a x−1,x >2在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. 2<a <4B. 2≤a <4C. 3<a <4D. 3≤a <49. 已知函数f(x)=1x 3+ax 3−bx −5，且f(−2)=2，那么f(2)等于( )A. −12B. 2C. −18D. 1010. 已知函数f(x)={x +1,x ≥0−2x −1,x <0，若a[f(a)−f(−a)]>0，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [−2,0)∪(0,2]C. (−∞,−2]∪(2，+∞)D. (−2,0)∪(0,2)11. 记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1,x 2,…,x n }，最小数为min{x 1,x 2,…,x n }，若f(x)=min{x +1,x 2−x +1,−x +6}，则函数f(x)的最大值为( )A. 3B. 72C. 4D. 6−√5二、多选题（本大题共1小题，共5.0分） 12. 下列命题为真命题的是( )A. 函数f(x)=√x 2+9+√x 2+9的最小值为2B. “x =2”是“x −2=√2−x ”的充要条件C. ∃x ∈R ，1x <x +1D. 函数y =|x −1|既是偶函数又在区间[1,+∞)上是增函数三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.计算：(94)−12−(278)23+(1.5)2= ．14. 若正数a ，b 满足：1a +1b =1，则a +4b 的最小值为 ．15. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，且f(−4)=0，则使得xf(x)>0成立的x 的取值范围是 ．16. 关于x 的不等式(ax −1)2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知全集为实数集R ，集合A ={x|1≤x ≤7}，B ={x|−2m +1<x <m}．(1)若m =5，求A ∪B ，(∁R A)∩B ； (2)若A ∩B =A ，求实数m 的取值范围．18. 已知函数f(x)=ax +bx 的图象经过点A(1,1)，B(2,−1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性并用定义证明；19. 已知函数f(x)=x 2+(1−a)x −a(a ∈R)．(1)解关于x 的不等式f(x)<0；(2)若∀a ∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数x 的取值范围．20. 已知定义域为R 的函数f(x)=3x −a 3x+1+b是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)求不等式f(2x)+f(x −1)<0的解集．21. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：W(x)={5(x 2+3),0≤x ≤250x 1+x,2<x ≤5，肥料成本投入为10x元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为f(x)(单位：元)．(1)求f(x)的函数关系式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？22.已知函数f(x)=x2+2|x−a|−4，(其中a为常数)(1)若a=2，写出函数f(x)的单调递增区间(不需写过程)；(2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由；(3)若对任意实数x，不等式f(x)≥−1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】直接求补集．本题考查补集，属于基础题．【解答】解：因为全集U={−1,0，1，2}，A={−1,1}，所以：∁U A={0,2}，故选：A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题．直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可．【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以，命题“∃x∈Q，|x|+x≥0”的否定是：∀x∈Q，|x|+x<0．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由{−x ≥0x +3≠0，解得x ≤0且x ≠−3．∴函数f(x)=√−x +1x+3的定义域为(−∞,−3)∪(−3,0]． 故选：C ．4.【答案】B【解析】 【分析】先设出幂函数的解析式，再根据条件求解析式，根据幂函数的性质即可得解． 本题考查幂函数的解析式和性质，当幂函数的指数大于0时，图象在第一象限内单调递增．属简单题． 【解答】解：设幂函数f(x)=x a ∵幂函数f(x)图象过点(4,2) ∴4a =2，∴a =12∴f(x)=x 12(x ≥0)∴由f(x)的性质知，f(x)是非奇非偶函数，值域为[0,+∞)，在定义域内无最大值，在定义域内单调递增故A 、C 、D 不正确，B 正确 故选：B ．5.【答案】A【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的判断方法判断选项即可． 本题考查充分条件、必要条件的判断，基本知识的考查． 【解答】<1”解得x<0或x>1，解：“1x<1”的充分不必要条件，故“x>1”是“1x故选：A．6.【答案】D【解析】【分析】由已知可知，f(x)在(−∞,0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，然后即可比较大小．本题主要考查了偶函数对称区间上单调性相反及利用单调性判断函数值的大小．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，∵|−1|<|−3|<|π|∴f(−1)<f(−3)<f(π)，则c<a<b，故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义等基础知识．求出集合A和B，利用A∩B≠⌀，能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|y=√1−x2}={x|−1≤x≤1}，B={y|y=−x2+a}={y|y≤a}，∵A∩B≠⌀，∴a≥−1，∴实数a 的取值范围是a ≥−1． 故选：C ．8.【答案】D【解析】 【分析】根据函数f(x)={(2−a2)x +2,x ≤2a x−1,x >2在R 上是增函数，可知每段上都为增函数，且两段的最值比较，得出{a >12−a2>06−a ≤a解出a 的范围即可．本题考查了分段函数单调性的判断，及运用求其满足的条件，加深了对单调性的定义的理解． 【解答】解：当x =2时y =6−a ，∵函数f(x)={(2−a2)x +2,x ≤2a x−1,x >2在R 上是增函数，∴{a >12−a2>06−a ≤a 解不等式组可得：3≤a <4， 故选：D ．9.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了函数的奇偶性的性质的应用，考查转化思想．令g(x)=1x 3+ax 3−bx ，由已知可求出g(−2)，然后根据函数的奇偶性的性质求出g(2)，即可得f(2)的值． 【解答】解：令g(x)=1x 3+ax 3−bx ，定义域关于原点对称，因为g(x)的定义域为{x|x ≠0}，且g(−x)=−g(x)，所以g(x)是奇函数，f(−2)=g(−2)−5=2，故g(−2)=7，g(2)=−7，故f(2)=g(2)−5=−12，故选：A．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了分段函数和不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．结合已知的函数的解析式，分别求出a>0和a<0时的情况下不等式的解集，即可得到答案．【解答】解：a>0时，a[f(a)−f(−a)]>0可化为：a(a−2)<0，解得：0<a<2，a<0时，a[f(a)−f(−a)]>0可化为：a(a+2)<0，解得：−2<a<0，故a的取值范围是(−2,0)∪(0,2)，故选：D．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数图像的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意首先绘制出函数的图象，然后结合函数图象联立方程，即可求得函数的最大值．【解答】解：在同一平面直角坐标系中绘制函数y=x+1，y=x2−x+1，y=−x+6的图象如图所示，结合题中的定义可知函数f(x)的图象为图中的实线部分所示，联立直线方程{y =x +1y =−x +6，可得{x =52y =72． 即函数的最大值为72． 故选：B ．12.【答案】BC【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断与应用，属于拔高题．对四个命题依次判定，A 选项可研究函数的最小值，确定其是假命题，B 选项直接用充要条件的定义进行证明即可判断，C 选项可利用特殊值法判断，D 选项从偶函数的角度判断真假． 【解答】解：对于A 选项，由于√x 2+9≥3，故√x 2+9√x 2+9>3， 所以函数f(x)=√x 2+9+√x 2+9的最小值为2，错误， A 不是真命题；对于B 选项，x =2时，x −2=√2−x 显然成立，即x =2可推出x −2=√2−x 成立， 由x −2=√2−x ≥0，可得出{x −2≥02−x ≥0，解得x =2，故“x =2”是“x −2=√2−x ”的充要条件， B 是真命题；对于C 选项，当x =1时，11=1<1+1，故∃x ∈R ，1x <x +1，C 是真命题； 对于D 选项，由于|−x −1|≠|x −1|，故函数y =|x −1|不是偶函数，D 不是真命题．综上BC 是真命题．故选：BC ．13.【答案】23【解析】【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．【解答】解：原式=(32)2×(−12)−(32)3×23+(32)2=23−(32)2+(32)2=23， 故答案为：23．14.【答案】9【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数a ，b 满足：1a +1b =1，则a +4b =(a +4b)(1a +1b)=5+4b a +a b ≥5+2√4b a ⋅a b =9， 当且仅当4b a =a b 且1a +1b =1，即b =32，a =3时取等号，故答案为：915.【答案】(−∞,−4)∪(4,+∞)【解析】【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．由已知可得函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数，结合f(−4)=f(4)=0，转化不等式，即可求解．【解答】解：∵定义在R 上的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴函数f(x)是在(−∞,0)上是增函数，又f(−4)=0，∴f(4)=0，由xf(x)>0，得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0， 解得x >4或x <−4．∴x 的取值范围是(−∞,−4)∪(4,+∞)．故答案为：(−∞,−4)∪(4,+∞)．16.【答案】(−32,−43]∪[43,32)【解析】【分析】本题主要考查含参不等式的解法及不等式解集中的整数解问题．先将原不等式转化为[(a +1)x −1][(a −1)x −1]<0，再对a 分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数a 的取值范围．【解答】解：不等式(ax −1)2<x 2可化为[(a +1)x −1][(a −1)x −1]<0，①当a =1时，原不等式等价于2x −1>0，其解集为(12,+∞)，不满足题意； ②当a =−1时，原不等式等价于2x +1<0，其解集为(−∞,−12)，不满足题意； ③当a >1时，原不等式等价于(x −1a+1)(x −1a−1)<0，其解集为(1a+1,1a−1)，∵其解集中恰有2个整数，∴{2<1a−13≥1a−1，解得：43≤a <32； ④当−1<a <1时，原不等式等价于(x −1a+1)(x −1a−1)>0，其解集为(−∞,1a−1)∪(1a+1,+∞)，不满足题意；⑤当a <−1时，原不等式等价于(x −1a+1)(x −1a−1)<0，其解集为(1a+1,1a−1)，∵其解集中恰有2个整数，∴{1a+1<−21 a+1≥−3，解得：−32<a≤−43，综合以上，可得：a∈(−32,−43]∪[43,32)，故答案为：(−32,−43]∪[43,32).17.【答案】解：(1)m=5时，集合A={x|1≤x≤7}，B={x|−9<x<5}．∴A∪B={x|−9<x≤7}，∁R A={x|x<1或x>7}，∴(∁R A)∩B={x|−9<x<1}．(2)∵集合A={x|1≤x≤7}，B={x|−2m+1<x<m}，A∩B=A，∴A⊆B，∴{−2m+1<m−2m+1<1m>7，解得m>7.∴实数m的取值范围是{m|m>7}．【解析】(1)m=5时，求出集合B，由此能求出A∪B，求出∁R A，由此能求出(∁R A)∩B．(2)推导出A⊆B，列出不等式组，由此能求出实数m的取值范围．本题考查补集、交集、并集的求法，考查补集、并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)∵f(x)的图象过A(1,1)、B(2,−1)，∴{a+b=12a+b2=−1，解得{a=−1b=2，∴f(x)=−x+2x；(2)函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，证明：设任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，f(x1)−f(x2)=(−x1+2x1)−(−x2+2x2)=(x2−x1)+2(x2−x1)x1x2=(x2−x1)(x1x2+2)x1x2，由x1，x2∈(0,+∞)得，x1x2>0，x1x2+2>0．由x1<x2得，x2−x1>0，∴f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减．【解析】本题考查了定义法证明函数的单调性，待定系数法求函数的解析式，考查函数单调性的证明．(1)将点A 、B 的坐标代入解析式列出方程组，求出a 、b 的值，即可求出f(x)；(2)先判断再利用定义法证明函数单调性即可．19.【答案】解：(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0， 当a <−1时，不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1,a)．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0,x 2−1≥0,解得：x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为：{x|x ≤−1或x ≥1}．【解析】(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可． 本题考查函数与方程的应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：(1)由题意知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，则有f(0)=0，即1−a 3+b =0，解可得：a =1，又由f(−1)=−f(1)，即3−19+b =−13−130+b ，解可得b =3；经检验符合题意，则a =1，b =3；(2)由(1)的结论，f(x)=3x −13x+1+3=13(3x −13x +1)=13(1−23x +1)，由f(x)在R 上是增函数且为奇函数，则f(2x)+f(x −1)<0⇒f(2x)<−f(x −1)⇒f(2x)<f(1−x)，则有2x <1−x ，解可得x <13；所以不等式的解集为{x|x <13}.【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，分析可得a 的值，又由f(−1)=−f(1)，解可得b 的值，即可得答案；(2)由(1)的结论，分析可得f(x)在R 上是增函数且为奇函数，进而可以将不等式转化为f(2x)<f(1−x)，结合函数的单调性即可得2x <1−x ，解可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到a 、b 的值．21.【答案】解：(1)f(x)=15W(x)−10x −20x ={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x,2<x ≤5． (2)由(1)得f(x)={75x 2−30x +225,0≤x ≤2750x 1+x−30x,2<x ≤5 ={75(x −15)2+222,0⩽x ⩽2,780−30[251+x +(1+x)],2<x ⩽5， 当0≤x ≤2时，f(x)max =f(2)=465；当2<x ⩽5时，f(x)=780−30[251+x +(1+x)] ≤780−30×2√251+x ⋅(1+x)=480，当且仅当251+x =1+x 时，即x =4时等号成立．因为465<480，所以当x =4时，f(x)max =480．故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元．【解析】本题考查了分段函数模型的应用和基本不等式在实际中的应用．(1)用销售额减去成本投入得出利润f(x)的解析式；(2)分别讨论函数在各段的最大值，比较最大值即可得到答案．22.【答案】解：(1)a=2，函数f(x)=x2+2|x−2|−4，所以，递增区间为：[1,+∞)；(2)当a=0时，f(x)=x2+2|x|−4，∴f(x)=f(−x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(2)=2|2−a|，f(−2)=2|a+2|，∴f(2)≠±f(−2)∴f(x)为非奇非偶函数；(3)转化为求函数y=f(x)的最小值，设g(x)=(x+1)2−2a−5，(x≥a)，ℎ(x)=(x−1)2+2a−5，(x<a)，①对于g(x)=(x+1)2−2a−5，(x≥a)，当a<−1时，g(x)min=g(−1)=−2a−5；当a≥−1时，g(x)min=g(a)=a2−4，②对于ℎ(x)=(x−1)2+2a−5，(x<a)，当a<1时，ℎ(x)min=ℎ(a)=a2−4，当a≥1时，ℎ(x)min=ℎ(1)=2a−5，1)当a<−1时，a2−4−(−2a−5)=a2+2a+1=(a+1)2≥0，∴f(x)min=g(x)min=g(−1)=−2a−5，由−2a−5≥−1，解得a≤−2满足；2)当−1≤a<1时，f(x)min=a2−4，由a2−4≥−1，解得a⩽−√3或a⩾√3，不满足；3)当a≥1时，a2−4−(2a−5)=a2−2a+1=(a−1)2≥0，∴f(x)min=ℎ(x)min=ℎ(1)=2a−5，由2a−5≥−1，解得a≥2，满足题意．所以实数a的取值范围是：a≤−2或a≥2．【解析】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查分类讨论思想的应用，属于拔高题．(1)利用a=2，直接写出函数f(x)=x2+2|x−2|−4的递增区间．(2)a=0时，判断函数的奇偶性，当a≠0时，通过特殊值f(2)≠±f(−2)，说明f(x)为非奇非偶函数；(3)设g(x)=(x+1)2−2a−5，(x≥a)，ℎ(x)=(x−1)2+2a−5，(x<a)通过①对于g(x)当a<−1时，当a≥−1时，求解g(x)min，②对于ℎ(x)，当a<1时，当a≥1时，求解ℎ(x)min.分a<−1，−1≤a<1，a≥1三种情况分析f(x)min，从而得到实数a的取值范围即可．。
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公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关
键．
6．B
解析：B 【解析】
【分析】
【详解】
①a∥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故①错误； ②若 a∥b，a⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得 b⊥α，故②正确； ③a⊥α，a⊥b⇒b 与 α 平行，相交或 b⊂α，故③错误； ④若 a⊥α，b⊥α，则由直线与平面垂直的性质得 a∥b，故④正确． 故选 B．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 由题意首先求得长方体的棱长，然后求解其外接球的表面积即可. 【详解】
ab 2
设长方体的棱长分别为
a,
b,
c
，则
bc
3
，
ac 6
a 2
所以 abc2
36 ，于是
b
1
，
c 3
设球的半径为 R ，则 4R2 a2 b2 c2 14 ，所以这个球面的表面积为 4 R2 14 ．
中档题．
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的
高为 ，消去的三棱锥的高为 ，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 和 的直角三角
形，所以几何体的体积为
，故选 C．
考点：几何体的三视图及体积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运
19．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC BD ，则平行四边形 ABCD 一
定是___________.
20．已知直线 l1 : y x 1 上有两个点 A(x1, y1) 和 B(x2 , y2 ) , 且 x1, x2 为一元二次方程 x2 6x 1 0 的两个根, 则过点 A, B 且和直线 l2 : x 1相切的圆的方程为
ABCD, AD AB, AB / /DC, AD DC AP 2, AB 1，若 E 为棱 PC 上一点，满足
BE AC ，则 PE __________．
EC
18．若直线 l : kx y 2 0 与曲线 C : 1 y 12 x 1有两个不同的交点，则实数 k
的取值范围________.
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ， 因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接
球表面积为 （ ）
A． 3
B． 2 3
C． 4 3
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
D．12
A．12
B．18
C．24
D．30
9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 4 的正方形，两条虚线互相垂直
底面是斜边上的高为 2 的等腰直角三角形， 与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，
故三棱锥的外接球与以棱长为 2 的正方体的外接球相同，其直径为 2 3 ，半径为 3
三棱锥的外接球体积为 4
3
3 4 3
3
故选 C
பைடு நூலகம்
【点睛】
本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于
可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积. 【详解】
作出三棱锥 A BCD 的外接长方体 AEBF GDHC ，如下图所示：
设 DG x ， DH y ， DE z ， 则 AD2 x2 z2 3 ， DB2 y2 z2 4 ， DC 2 x2 y2 5 ，
三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A． 3 2
B． 24
C． 6
D． 6
3．已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m // n
B．若 m ， n ，则 m n
C．若 m ， m n ，则 n / /
D．若 m / / ， m n ，则 n
接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故 B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
4．B
解析：B
【解析】
由 f x 为偶函数得 m 0,所以
a 2log0,5 3 1 2log2 3 1 3 1 2, b 2log2 5 1 5 1 4 , c 20 1 0 ,所以 c a b ,
7．C
解析：C 【解析】
【分析】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为 2 的等腰直角
三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为 2 ，高为 2 ，故三棱锥的外接球与 以棱长为 2 的正方体的外接球相同，由此可得结论
【详解】
由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，
14．直线
与圆
交于
两点，则
________．
15．直线 ax y 1 0 与连接 A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则 a 的取值范围是
___．
16．若圆 C1 ： x2 y2 ax by c 0 与圆 C2 ： x2 y2 4 关于直线 y 2x 1对称，则 c ______. 17．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 底面
______________.
三、解答题 21．如图，在 ABC 中 AC BC 且点 O 为 AB 的中点，矩形 ABEF 所在的平面与平面 ABC 互相垂直.
（1）设 EC 的中点为 M ，求证： OM // 平面 ACF ； （2）求证： AC 平面 CBE
22．已知空间几何体 ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为 2 的等边三角形，△ABC 是 腰长为 3 的等腰三角形，平面 CDE⊥平面 BCD，平面 ABC⊥平面 BCD.
围是（ ）
A． ( 5 , 3] 12 4
B． ( 5 , 1] 12 2
C． (1 , 3] 24
D．[1 , ) 2
6．设 表示平面， a ， b 表示直线，给出下列四个命题：① a ， a b b ；
② ab ， a b ；③ a ， a b b ；④ a ， b ab ，其中
中心，底面为正方体上底面，因此体积是 43 1 2 42 160 ，选 B.
3
3
点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观 图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形 状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
且相等，则该几何体的体积是（ ）
A． 176 3
B． 160 3
C． 128 3
D．32
10．长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，则该长方体外接球的表面积为 ( )
A． 7 2
B． 56
C．14
D． 64
11．矩形 ABCD中， AB 4 ， BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角
2020-2021 石家庄二中高一数学下期中试卷(含答案)
一、选择题
1．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为
30 ，则该长方体的体积为（ ）
A． 8
B． 6 2
C． 8 2
D． 8 3
2．已知三棱锥 A BCD 中， AB CD 5 ， AC BD 2， AD BC 3 ，若该
(1)试在平面 BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点 F 与 E 的连线 EF 均与平面 ABC 平 行，并给出证明； (2)求三棱锥 E－ABC 的体积.
23．如图， AA1 、 BB1 为圆柱 OO1 的母线（母线与底面垂直），BC 是底面圆 O 的直径， D、E 分别是 AA1 、 CB1 的中点， DE 平面 CBB1 ．
4．已知定义在 R 上的函数 f (x) 2 xm 1(m为实数) 为偶函数,记
a f (log0.5 3), b f (log2 5), c f (2m) ,则 a,b, c ,的大小关系为（ ）
A． a b c
B． c a b
C． a c b
D． c b a
5．直线 y k(x 2) 4 与曲线 x 3 2y y2 0 有两个不同的交点，则实数 k 的取值范
上述三个等式相加得 AD2 BD2 CD2 2 x2 y2 z2 3 4 5 12 ，
所以，该长方体的体对角线长为 x2 y2 z2 6 ，则其外接球的半径为 R 6 ， 2
因此，此球的体积为
4 3
6 2
3
6 .
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外
B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积是（ ）
A． 125 12
B． 125 9
C． 125 6
D． 125 3
12．已知实数 x, y 满足 2x y 5 0 ，那么 x2 y2 的最小值为（ ）