2014高考函数的奇偶性与周期公式推导方法

迎战2014年高考数学 函数的奇偶性与周期公式推导方法

一、奇函数、偶函数

对于函数)(x f ，其定义域关于原点对称：

1、对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称)(x f 为奇函数.

2、对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称)(x f 为偶函数. 二、判断函数的奇偶性 1、定义法

①判断有解析式的函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x+1|－|x －1|； （2）f （x ）=（1+x ）·

11x

x

-+； （3）2

1()|2|2x f x x -=+-； （4）(1)(0),()(1)(0).

x x x f x x x x -<⎧=⎨

+>⎩

剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断.

解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.

∵f （－x ）=|－x+1|－|－x －1|=|x －1|－|x+1|=－（|x+1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x+1|－|x －1|是奇函数. 先确定函数的定义域.由

11x

x

+-≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以)(x f 既不是奇函数也不是偶函数。 解：：函数1()(1)

1x

f x x x

-=++定义域 －1＜x ＜1 ∵1()(1)

1x f x x x -=++＝221.(1)11x

x x x

-+=-+

∴22()1()1()f x x x f x -=--=-= ∴1()(1)

1x

f x x x

-=++是偶函数 （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.

由⎩⎨

⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,

11x x x 且

故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有

f （x ）= 2

122x x -+-=

21x x -，这时有f （－x ）=21()x x

---=－2

1x x -=－f （x ），故f （x ）为奇函数.

（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数.

评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.

②证明抽象函数的奇偶性

例2、已知f （x ）是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足：f （a ·b ）=af （b ）+bf （a ）． 求f （0），f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性，并证明你的结论．

分析：应用公式f （a ·b ）=af （b ）+bf （a ），取a 、b 的一些特殊的值进行计算． 解：（1）f （0）=f （0·0）=0·f （0）+0·f （0）=0； 由f （1）=f （1·1）=1·f （1）+1·f （1）， 得f （1）=0． （2）f （x ）是奇函数．

证明：因为f （1）=f ［（－1） 2 ］=－f （－1）－f （－1）=0， 所以f （－1）=0，

f （－x ）=f （－1·x ）=－f （x ）+xf （－1）=－f （x ）． 因此，f （x ）为奇函数．

点评：研究抽象函数的奇偶性，应紧紧围绕题目所给的抽象函数的性质进行研究．如果觉得所给抽象函数的性质符合某些已知函数（如二次函数等）的性质，可以用已知函数替代抽象函数进行思考，探索求解思路。

例3、定义在区间)1,1(-上的函数)(x f 满足：对任意的)1,1(,-∈y x ，都有

()()(

)1x y

f x f y f xy

++=+.求证：()f x 为奇函数； [思路点拨]欲证明()f x 为奇函数，就要证明()()f x f x -=-，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的)1,1(,-∈y x ，都有()()()1x y

f x f y f xy

++=+”中的y x ,进行合理“赋值”

[解析]令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = 00

()10

f ++= f (0) ∴ f (0) = 0

令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1)

∴ )(x f + f (－x) = f (2

1x x

x --) = f (0) = 0

∴ f (－x) =－()f x

∴ ()f x 在(－1，1)上为奇函数

点评：对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值”，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用已知条件，尤其是f (x1) －f (x2) = f (x1) + f (－x2)

奇偶函数的性质及其应用

1、奇偶函数图象的对称性

（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

（2）若)(x a f y +=是偶函数⇔)()(x a f x a f -=+⇔)(x f 的图象关于直线a x =对称； 若)(x b f y +=是奇函数⇔)()(x b f x b f +-=-⇔)(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；