[亥姆霍兹定理的证明.doc](可编辑修改word版)

例16 求V3
解由上节例中可知
因此
根据（1.41c）式
式中
代人，在r#r'，即及式0处
V）
J_ = A_ A^o R R3 V
但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算
▽■募
V V 5
以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。

如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此
也就是
—忐去=0
对于三维
＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有
S⑻=0 穴关0
卜dv C
比较可知
-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)
去)dV =
fl
▽■▽I:-7
▽ 2^dV=_
V
亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +
V X A(r) 式中
V 证根据5
函数的性质
F(r) = JJ - r)dW
(1.6-3)
(1-6-4)
(1- 6-5)
(1.6-6) 将= 代人上式，
V
考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得
v^v\AV ， V
利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■
i^dW) + V X V X j^d^) V V
即
F(r) =
—▽*+▽ x A 0(r) = V •
仲)=v X i^VT dr > V
(1.6-3)式得证。

将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得 中⑺：O
=認▽ x
V =—W X v
V
FC
^ x v ，T^VT dv ，
二 a
厦,
V V r X F<〆) 式中
(1.6-7〉
(1.6-8)
(1.6-9〉
V
- M s
(1.6-10)
(1.6-11)
打〆).v (t , \-|)dy ，
A(r) = ▽ X
<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。

当源分布在有限区域时，在远处，|f(r)|cc_(e>0)，7?为场点到源的距离，可见，封闭面积分的被积函数随封闭面半径的増大按+趋于零，因此，上式中无限大的面积分为零。

因此，得
帥)-a
刪：a V 证
毕。

由亥姆霍兹定理，在无限空间中，当矢量场连续，且其散度与旋度给定，就可通过积分计算出空间任一点的矢量场。

1.8矢量场的唯一性定理
根据亥姆霍兹定理，对于在无限空间具有连续二阶偏导数的矢量场，可以由其散度、旋度即场在空间的源来确定。

但对于有界空间区域中的矢量场，满足什么条件时，该区域中的矢量场才能唯一确定呢？
矢量场的唯一性定理指出：在空间某一区域v中的矢量场，当其在该区域v中的散度、旋度以及边界上的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被唯一地确定。

证用反证法。

在区域V中，若矢量场的散度、旋度以及边界上的切向分量或法向分量给定后，矢纛场不唯一，那么至少有两个解，设为fl及F2,则有
在区域V中
▽• R f2▽X = ▽ X (1，8-1) (1- 8-2)
在区域边界面Si
f! • e n = F2• e n(1.8-3)
X X e n(1-8-4) e-为区域边界面上的法线单位矢量。

令则由(1.8-1)〜(1.8-4)式，得
在区域V中
V ' 3F = 0〈1.8-5)
▽ X = ◦(1.8-6)在区域边界面S上
卽• e, = 0(1.8-7)
X & = 0(1- 8-8)由(1-8-6)式，■可表示为标量场的梯度，即
3F = ▽中(1.8-9)代人(1.8-5)式，得
▽2$ = 0(1.8-10)利用标量第一格林定理，取少=少，得
jj (| V«-r +5-V^)dV =
(1.8-11)将(1.8-10)式代人得
v s
(1.8-12)如果在区域边界面S上场的法向分量给定，将(1.8-9)式代人(1.8-7)式得
3® *
三=. V® — 0
因此(1-8-12)式的右边面积分为零，如果在区域V边界面S上场的切向分量给定，将(1.8-9) 式代人(1-8-8)式得
冲
:==A ・▽ 0 — e n X ▽少=0
式中e,为区域V边界面S上的切向单位矢量。

由上式可见，在区域V边界面S上标量位少为常数，记为么，因此（1.8-12）式的右边面积分为
吞0芸dS = A J▽中• dS = 720dV = 0
s s V
上式中应用了髙斯定理。

以上结论说明，不论边界上矢量场的法向分量给定，还是切向分量给定，（1.8-12〉左的右边面积分均为零，从而左边的体积分也为零。

又由于（1.8-12）式的左边的被积函数为正数，因此，其被积函数I ▽少I2为零，从而
▽中=0 即
F, - F,
证毕。

唯一性定理给出了唯一确定有界区域V中矢量场的条件，这就是区域V中源及区域边界上矢量场的法向分量或切向分量。

既然这些条件可决定区域中矢量场的唯一性，那么，在区域中这些条件相同的两个矢量场一定相同，而不论两种情况下区域外的条件是否相同…了解这一点，对有限区域中矢量场的求解是十分有利的。

矢量场的唯一性条件包括两类，一类是区域中矢量场的散度和旋度，这是显然的，因为，该区域中的散度源和旋度源要在该区域中产生矢量场；另一类条件是矢量场在边界上的法向分量或切向分量，称之为边界条件，边界条件对矢量场的影响实际反映了区域外面的源在区域中产生的场。

当区域外多种分布形式的源产生的矢量场在区域边界上的边界条件相同时，它们在区域内产生的矢量场也就相同。