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全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
全等三角形课件ppt
与三角函数的关系
三角函数是研究三角形边和角之间关系的数学工具。在全等 三角形中，可以利用三角函数来证明两个三角形全等。例如 ，在直角三角形中，可以利用勾股定理和三角函数来证明两 个直角三角形全等。
三角函数还可以用于计算三角形的角度、边长等几何量，这 些计算在证明两个三角形全等时也是非常有用的。
与四边形的联系
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等。
全等三角形的周长、面积和角度和相 等。
全等三角形的分类
根据全等三角形的边长关系，可以分为SSS（三边全等）、SAS（两边和夹角全 等）、ASA（两角和夹边全等）和AAS（两角和非夹边全等）四种类型。
根据全等三角形的形状，可以分为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等类型 。
详细描述
利用全等三角形的性质证明线段相等或 角相等。
综合练习题
详细描述
总结词：结合其他数学知识 ，考察学生综合运用全等三
角形的能力
01
02
03
将全等三角形与其他几何知 识结合，如平行线、角平分
线等。
在实际问题中应用全等三角 形的知识，如测量、构造等
。
04
05
结合其他数学知识，解决涉 及全等三角形的综合问题。
04
CHAPTER
练习题与解析
基础练习题
总结词：考察全等三角形 的基本性质和判定方法
详细描述
给出两个三角形，判断它 们是否全等。
根据给定的条件，判断能 否证明两个三角形全等。
进阶练习题
总结词：深化全等三角形的性质和判定 方法的应用
在复杂的图形中识别和构造全等三角形 。
利用全等三角形的判定方法证明两个三 角形全等。
三角形全等的判定ppt课件
尺
作图区
规
例题解析
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：∠A=∠C
D
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB
全等, 然后由全等三角形的性质定理得到结论.A
证明:
在△ABD和△CDB中, AB=CD (已知) AD=CB (已知) BD=DB (公共边)
∴△ABD≌△CDB (SSS)
B E CF
＿＿AC＿=DF ( 已知 )
BC=＿E＿F (已证 ) ∴△ABC≌△DEFS(SS )
新知探究
如图,在∠CAB中，AF=DE, DF=DE. 求证:AD是∠CAB的角平分线.
C
1 2
A
D B
例题解析
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD
C
C
作法:
A
D
B
A
B
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点;
注意几何语言规范
2.三角形具有稳定性。房屋的人字架、大桥的钢梁、 起重机的支架、自行车的车座等，采用三角形结构， 起到稳固的作用。
课堂小结
内容
有三边对应相等的 两个三角形全等
边 边边
应用
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四个步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条 件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所 证明的两个三角形中.
A
D
C
B
E
图1
图2
新知探究
如图 ,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动.在转 动过程中,连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如 果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上,那么构成的三角形的形 状、大小就完全确定.
人教版《三角形全等的判定》PPT全文课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
三角形全等的判定ppt课件
知4－讲
1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
感悟新知
2. 书写格式：如图12 . 2-8， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∠ C= ∠ C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
感悟新知
知识点 1 基本事实“边边边”或“SSS”
知1－讲
1. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后， 其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的 依据.
感悟新知
感悟新知
知5－练
例5 如图12.2-11，AB=AE，∠ 1= ∠ 2，∠ C= ∠ D． 求证：△ ABC ≌△ AED．
感悟新知
思路引导：
知5－练
感悟新知
知5－练
技巧点拨：判定两个三角形全等，可采用执果 索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本 题还缺少∠ BAC= ∠ EAD，需利用已知条件∠ 1= ∠ 2 进行推导.
感悟新知
知2－练
③以点M′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠ BAC 内 部交②中所画的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC 于点E． 若∠ B=52°，∠C=83°，则∠ BDE= ___4_5_°__.
感悟新知
知识点 3 基本事实“边角边”或“SAS”
知3－讲
1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
感悟新知
解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD.
全等三角形ppt课件
斜边直角边定理
总结词
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
详细描述
斜边直角边定理是全等三角形的基本定理之一，它表明如果两个直角三角形的斜边和一条直角边相等 ，则这两个直角三角形全等。这个定理可以用于证明两个直角三角形全等，也可以用于构造全等直角 三角形。
03
全等三角形的证明方法
利用全等三角形的性质和判定方法证明
两线垂直等。
在几何中，全等三角形可用于解 决角度、长度等问题，为许多几
何定理的证明提供了工具。
通过全等三角形，我们可以证明 两个平面图形是否全等，这对于 研究几何形状的性质和面积、体
积的计算非常重要。
在代数中的应用
全等三角形在代数中也有广泛的 应用，主要体现在因式分解、解
方程等方面。
利用全等三角形的性质，可以将 一个复杂的式子通过恒等变形转 化为一个更易于处理的式子，从
02
全等三角形的基本定理和 推论
边边边定理
01
总结词
三边对应相等的两个三角形全等
02
详细描述
边边边定理是全等三角形的基本定理之一，它表明如果两个三角形的 三条对应边相等，则这两个三角形全等。这个定理可以用于证明两个 三角形全等，也可以用于构造全等三角形。
边角边定理
总结词
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
全等三角形在三角函数的应用中，可以帮助我们理解如何用三角函数解决实际问题 ，如测量不可直接测量的角度或长度。
05
全等三角形的拓展知识
勾股定理的证明与应用
勾股定理的证明 欧几里得证法：利用相似三角形的性质证明勾股定理。 毕达哥拉斯证法：利用正方形的性质证明勾股定理。
勾股定理的证明与应用
完整版三角形全等的判定ppt课件
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
初二（5、6）班
1
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
40
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
41
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
(4) 两角一边 ?
27
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
28
4.角角边公理(AAS)：
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
32
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
全等三角形ppt课件
∴ ∠C =180°-∠A -∠B B
=50° ∵ △DEF ≌△ABC ∴ ∠F =∠C =50° （全等三角形的对应角相等） E
A
C D
F
探究活动
先写出全等式，再指
B
∵△ABC≌△ABD
∴AB = AB , BC=BD , AC=AD
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D
A
D
B
C
E
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF. （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm； （2）若∠A =100°，则∠D 的度数为 100°；
A
D
B
CE
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF.
（3）若∠A =100°，∠B =30°，求∠F 的度数.
解：
∵ ∠A =100°，∠B =30°
按照上述探究活动 进行平移、翻折、旋转，变换前 后的两个三角形还全等吗？
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但 形状、大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后 的图形全等 .
图（1）中，△ABC ≌△DEF； 图（2）中，△ABC ≌△DBC； 图（3）中，△ABC ≌△AED.
你能说出它们的对应顶点、对应边和对应 角吗？
温馨提示：记三角形全等时，要把表示对 应顶点的字母写在对应的位置.
练习巩固
2.如图，△OCA≌△OBD,点C和点B、点AA和点D是 对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.
对应边的关系： OC=OB CA=BD OA=OD
对应角的关系: ∠A=∠D ∠C= ∠B ∠COA= ∠BOD
课堂总结
通过这节课的学习，谈谈你掌握了 什么？
=50° ∵ △DEF ≌△ABC ∴ ∠F =∠C =50° （全等三角形的对应角相等） E
A
C D
F
探究活动
先写出全等式，再指
B
∵△ABC≌△ABD
∴AB = AB , BC=BD , AC=AD
∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD ∠C= ∠D
A
D
B
C
E
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF. （1）若DF =10 cm，则AC 的长为 10 cm； （2）若∠A =100°，则∠D 的度数为 100°；
A
D
B
CE
F
小试牛刀
已知：如图，△ABC ≌△DEF.
（3）若∠A =100°，∠B =30°，求∠F 的度数.
解：
∵ ∠A =100°，∠B =30°
按照上述探究活动 进行平移、翻折、旋转，变换前 后的两个三角形还全等吗？
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了， 但 形状、大小 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后 的图形全等 .
图（1）中，△ABC ≌△DEF； 图（2）中，△ABC ≌△DBC； 图（3）中，△ABC ≌△AED.
你能说出它们的对应顶点、对应边和对应 角吗？
温馨提示：记三角形全等时，要把表示对 应顶点的字母写在对应的位置.
练习巩固
2.如图，△OCA≌△OBD,点C和点B、点AA和点D是 对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.
对应边的关系： OC=OB CA=BD OA=OD
对应角的关系: ∠A=∠D ∠C= ∠B ∠COA= ∠BOD
课堂总结
通过这节课的学习，谈谈你掌握了 什么？
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
三角形全等的判定ppt课件
追问1：这个尺规作图的方法利用了上节课中的哪个知识点？
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
全等三角形及性质PPT课件
角角边定理
两角和一边对应相等的两个三角 形全等，简称AAS。
若两个三角形有两个角相等，且 其中一个角的对边也相等，则这
两个三角形全等。
举例：若△ABC和△DEF中， ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则
△ABC≌△DEF。
04
全等三角形与相似三角形关系
相似三角形定义及性质
定义：两个三角形如果它们 的对应角相等，则称这两个
行推导。
全等三角形在几何证明中作用
01
02
03
04
证明线段相等
通过全等三角形的对应边相等 来证明两条线段相等。
证明角相等
通过全等三角形的对应角相等 来证明两个角相等。
证明垂直关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线垂直。
证明平行关系
通过全等三角形的性质来证明 两条直线平行。
典型例题解析
例题1
已知△ABC和△DEF全等，且AB=DE，BC=EF，∠B=∠E。 求证：AC=DF。
HL全等（直角三角形）
在直角三角形中，斜边和一条直 角边分别相等的两个三角形全等 。
典型例题解析
解析
根据SAS全等的判定方法，已知两边和夹角分别相等，因 此可以判定△ABC和△DEF全等。
例2
已知△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，且AB = 6cm，求△DEB的周长。
边角边判定
如果两个多边形的一组对 应边和它们之间的对应角 都相等，则它们是全等的 。
角边角判定
如果两个多边形的一组对 应角和它们之间的夹边都 相等，则它们是全等的。
典型例题解析
1. 例题一
已知两个四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF, BC=FG, CD=GH, DA=HE，且∠A=∠E, ∠B=∠F, ∠C=∠G, ∠D=∠H。求证：四边形ABCD与四边形EFGH全等。
三角形全等的判定ppt课件
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中 两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五 边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什 么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？
练一练 1.如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明 △AEB △ADC．
解： BD＝CE， BD－ED＝CE－ED（等式的性质）
即BE＝CD． 在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，(已知) AE＝AD，(已知) BE＝CD，(已证) △AEB △ADC(SSS)
2、如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两 点，且AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由.
有一个角对应相等的三角形 不一定全等
做一做 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 每种情况下作出的三角形一定全等吗？
两个条件（两个角） (2)三角形的两个角分别是：30°，50°；
30°
不一定全等
两个条件（两条边） (3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
不一定全等 两个条件不能保证三角形全等.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等 (“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
数学表达式： 在△ABC和△A'B'C'中
例题 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等 吗？为什么？
动手做一做
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动 其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
全等三角形ppt课件
解： △ABD≌△ACD，BD=CD，∠B=∠C，理由如下： 由AD平分∠BAC，知∠1=∠2. 因此，将图1沿AD对折时，射线AC与射线AB重合. ∵AB=AC， ∴点C与点B重合，也就是△ACD与△ABD重合（图2）
∴ △ABD≌△ACD（全__等__三__角__形__的__定__义__）_________
解：∵∠A＝50°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－50°－48°＝82°. 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F，∴∠F＝82°. ∵DE的对应边为AB，所以DE＝AB， ∴AB＝10 cm.
【点悟】利用全等三角形的对应角相等、对应边相等解决问 题时，应注意不要将对应边(对应角)弄错，也就是要求在表 示两个三角形全等时书写规范．
寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
例2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC.△ABD与△ACD全等吗？
起可以重合
能够完全重合的 两个图形叫做全
等图形
A
B′
A′
B
C
C′
1.它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A′、B和 B′、C和C′； 2.互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A′B′、BC和B′C′、CA和C′A′; 3.互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A′、 ∠B和∠B′、 ∠C和 ∠C′.
怎样判断两个图形是不是全等图形？
确定两个图形全等要符合两个条件： ①形状相同，②大小相同； 是否是全等图形与位置无关． 判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两 个图形叠合在一起，看它们能否完全重合，即用叠合法判断．
∴ △ABD≌△ACD（全__等__三__角__形__的__定__义__）_________
解：∵∠A＝50°，∠B＝48°， ∴∠C＝180°－50°－48°＝82°. 又∵△ABC≌△DEF， ∴∠C＝∠F，∴∠F＝82°. ∵DE的对应边为AB，所以DE＝AB， ∴AB＝10 cm.
【点悟】利用全等三角形的对应角相等、对应边相等解决问 题时，应注意不要将对应边(对应角)弄错，也就是要求在表 示两个三角形全等时书写规范．
寻找对应边、角的规律：
（1）有公共边的，公共边是对应边； （2）有公共角的，公共角是对应角； （3）有对顶角的，对顶角是对应角； （4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边； （5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
例2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC.△ABD与△ACD全等吗？
起可以重合
能够完全重合的 两个图形叫做全
等图形
A
B′
A′
B
C
C′
1.它们重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点：如A和A′、B和 B′、C和C′； 2.互相重合的边叫做全等三角形的对应边：如AB和A′B′、BC和B′C′、CA和C′A′; 3.互相重合的角叫做全等三角形的对应角：如∠A和∠A′、 ∠B和∠B′、 ∠C和 ∠C′.
怎样判断两个图形是不是全等图形？
确定两个图形全等要符合两个条件： ①形状相同，②大小相同； 是否是全等图形与位置无关． 判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、翻折等方法把两 个图形叠合在一起，看它们能否完全重合，即用叠合法判断．
三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
全等三角形ppt课件
其他领域的应用在工程领源自中，全等三角形可用于解 决一些复杂的几何问题，例如机构设 计、零件配合等。
在物理学中，全等三角形可用于分析 光的反射、折射等现象，以及解决一 些与角度、长度相关的物理问题。
2024/1/25
在地理学和地质学中，全等三角形可 用于测量地形高度、计算地层厚度等 。
18
05
全等三角形拓展知识
误区二
忽视三角形的边长和角度的对应关系。
2024/1/25
纠正
在判断三角形是否全等时，必须确保边长和角度的 对应关系正确。
误区三
错误使用SSS、SAS、ASA、AAS或HL判定方法。
纠正
熟练掌握并正确应用各种全等三角形的判定方法，注意 判定条件的准确性和完整性。
6
02
全等三角形证明方法
2024/1/25
12
求解角度大小问题
利用全等三角形对应角相等的 性质，通过构造全等三角形来 求解角度大小。
2024/1/25
在复杂图形中，通过寻找或构 造全等三角形，将问题转化为 简单的角度计算。
利用全等三角形的性质进行角 度的平移、旋转等操作，以简 化问题并求解角度大小。
13
判定图形形状问题
利用全等三角形的性质来判断图 形的形状，例如通过证明两个三 角形全等来证明四边形是平行四
7
边角边定理及应用
边角边定理：如果两个三角形有两边和 夹角分别对应相等，则这两个三角形全 等。
在几何图形中，通过已知条件寻找全等 三角形，从而推导其他边的长度或角的 大小。
用于证明两个三角形全等。
2024/1/25
示例：在△ABC和△DEF中，如果AB=DE ，BC=EF，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF。
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注意：有公共边的，公共边是对应边
如图:△ABC≌△ADE,找出图中的对应边,
对应角.
A
答:∠BAC的对应角是(
)
∠B的对应角是(
)
C
E
∠AED的对应角是(
)
AB的对应边是( )
AC的对应边是( )
BC的对应边是( )
D
B
A
C
E
D
B
如图:△ABC≌△ADE,找出图中的对应边, 对应角.
A C
D
答:∠BAC的对应角是(∠DAE )
D E DE=BC=1cm, AE=AB=3cm
(全等三角形对应边相等)
回顾学习目标，谈谈你的收获？
结合“知识树”阅读课本， 反思所学
A
A 对应角之间有什么关系?
注意：对应边所对的
EC
角是对应角， 对应角所对的
D
B 边是对应边。
从以上学习中你能总结出找全等三角形 的对应边,对应角的方法吗?
一般情况下：
1、 对顶角是对应角
找全等三 角形对应 边、对应 角的方法
2、长边对应长边，大角对应大角 3、公共边是对应边，公共角是对应角
4、对应边所对的角是对应角，对应角 所对的边是对应边
(1) 你还能说出生活中全等图形的例子吗? (2) 如果两个图形形状相同，它们一定全等吗？ (３) 如果两个图形大小相同，它们一定全等吗？
观察下面两组图形，它们是不是全等图形？
形状相同
(1)
大小相同
(2)
全等图形的特征
全等图形的形状和大小都相同
能够完全重合的两个三角形,叫 全等三角形.
A
D
B
记作:△ABC≌△DEF
蟠龙中学 王坚
知识树
认识全等 三角形
三角形全 等的判定
全等三 角形
我们的学习目标
（１）了解全等形、全等三角形的定义。 （２）理解全等三角形的性质，并能应用。 （３）能准确找出全等三角形的对应元
素，锻炼识图能力。
观察
（1）
（2）
(3)
思 每组的两个图形有什么特点?
考
能够完全重合
能够完全重合的两个图形叫做全等形: 议一议
2、 △ BCE 和 △ CBF
对应角是： ∠BCE和 ∠CBF、 ∠BEC和 ∠CFB、 ∠CBE和 ∠BCF； 对应边是：CB和BC、CE和BF、CF和BE。
3.如图，已知△ABC≌△ADE. A
E
想一想: ∠ BAD= ∠ CAE吗?
为什么?
BD
C
答:相等.理由如下: ∵△ABC≌△ADE(已知) ∴∠ BAC= ∠ DAE(全等三角形对应角相等) ∴∠ BAC - ∠ DAC= ∠ DAE - ∠ DAC(等式性质) 即∠ BAD= ∠ CAE
三角形全 等的判定
全等形
全等三 角形
如图△AOC≌△BOD
D
B 1.对应边是：OA与OB
OC与OD，AC与BD
2.∠AOC的对应角 是 ∠BOD
O
∠A的对应角
是 ∠B
A
C
注意：有对顶角的，对顶角是对应角
C 如图△ABC≌△ABD C
A
B
A
B
A
B
D
D
⑴AD的对应边是 AC ；AB的对应边是 AB
⑵∠DAB的对应角是 ∠CAB
习题.如图,△ABC≌△AED,且∠BAC=25°， ∠B=35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,
∠ ADE的度数和线段DE,AE 的长度。
解:∵ △ABC≌△AED (已知)
A
∴∠E= ∠B= 35°(全等三角形对应角相等)
B
C
∠ADE=∠ACB=18O°- 25°- 35° =120 ° (全等三角形对应角相等)
1、判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （√ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （√ ）
3）面积相等的三角形是全等三角形。 （ X ） 4）两个等边三角形是全等三角形。 （ X ）
2.请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1、 △ ABE 和 △A CF
对应角是： ∠A和∠A、∠ABE 和∠ACF、 ∠AEB和∠AFC； 对应边是：AB和AC、AE和AF、 BE和CF。
CE
F
互相重合的顶点叫对应顶点.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ读作 :△ABC全等于△DEF
互相重合的边叫对应边.
互相重合的角叫对应角.
想一想：全等三角形的对应边、对应角有什么关系？ 全等三角形的性质：
全等三角形对应边相等，对应角相等。
知识树
全等图形 的特征
全等三 角形对 应元素
全等三 角形定 义
全等三 角形性 质
认识全等 三角形
∠B的对应角是( ∠D )
E
∠AED的对应角是( ∠ACB)
AB的对应边是( AD )
AC的对应边是( AE )
BC的对应边是( DE ) B
A C D
注意：有公共角的， 公共角是对应角
注意：一对最长的
边是对应边，
一对最短的
E
边是对应边
注意：一对最大的
角是对应角，
一对最小的
B
角是对应角
想一想:全等三角形的对应边与