菱形的判定练习题及其详解

菱形的判定
01基础题
知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第1题图第2题图
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是(B)
A．AB＝BC B．AC＝BC
C．∠B＝60°D．∠ACB＝60°
3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴∠FAD＝∠EDA.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.
∴四边形AEDF是菱形．
知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．
已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO.
∵AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD.
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD为菱形．
知识点3四条边相等的四边形是菱形
6．(2016·大庆)下列说法正确的是(D)
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形的对角线互相垂直
C．一组对边平行的四边形是平行四边形
D．四边相等的四边形是菱形
7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B 落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．
证明：∵AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD.
由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.
∴∠DAM＝∠AMD.
∴DA＝DM＝AB＝BM.
∴四边形ABMD是菱形．
02中档题
8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需
要添加的条件是(D)
A ．A
B ＝AC
B ．AD ＝BD
C ．BE ⊥AC
D ．B
E 平分∠ABC
9．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，
大于12
AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是(B )
A ．矩形
B ．菱形
C ．一般的四边形
D ．平行四边形
第9题图 第10题图
10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为(A)
A ．2 3
B ．4
C ．4 3
D ．8
11．(2016·沈阳)如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE. 求证：
(1)∠CEB ＝∠CBE ；
(2)四边形BCED 是菱形．
证明：(1)∵△ABC ≌△ABD ，
∴∠ABC ＝∠ABD.
∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠ABD.
∴∠CEB ＝∠CBE.
(2)∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD.
由(1)得∠CEB ＝∠CBE ，∴CE ＝CB.∴CE ＝BD.
又∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形．
又∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．
12．(2016·聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC.求证：四边形ADCF 是菱形．
证明：∵AF ∥CD ，
∴∠AFE ＝∠CDE.
在△AFE 和△CDE 中，
⎩⎨⎧∠AFE ＝∠CDE ，
∠AEF ＝∠CED ，AE ＝CE ，
∴△AFE ≌△CDE(AAS )．∴AF ＝CD.
∵AF ∥CD ，
∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∴AE ＝AB.
∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠BAD.
又∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD(SAS )．
∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC.
∴四边形ADCF 是菱形．
03 综合题
13．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，BD ＝AC.
(1)求证：AD ＝BC ；
(2)若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．
证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.
∵AB ∥ CK ，
∴四边形ABKC 是平行四边形．
∴AC ∥ BK.∴∠ACD ＝∠K.
∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，
∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.
∴∠ACD ＝∠BDC.
在△ACD 和△BDC 中，
⎩⎨⎧AC ＝BD ，
∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，
∴△ACD ≌△BDC(SAS )．
∴AD ＝BC.
(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE. ∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点， ∴EH 为△ABD 的中位线．
∴EH ＝12
AD. 同理：GF ＝12AD ，EG ＝12BC ，HF ＝12
BC. 又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE. ∴四边形EHFG 是菱形．
∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．。