第五章弯曲应力
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第五章 弯曲应力
z1 A 2 1 2
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
2 2
A
A
A
同理知
2 I y1 I y b A ：
横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
例题 【例5-1】求T字形截面的 惯性矩。尺寸单位为cm。 【解】1)求T字形截面中 性轴z轴即形心坐标yC。 将截面分成I、II两部分。
腹板上剪应力为：
腹板上的剪应力沿腹板高 度按抛物线变化。
当y=0时， max
Q S z max Q [b( H 2 h 2) d h 2] 8I z d Izd Qb ( H 2 h2) min 当y=h/2时， 8Izd
当d≤b时，τmax≈ τmin ，可视为均匀分布。 翼缘上剪应力基本上沿水平方向，其值很小可不考虑。 由对各种不同形状的截面上的剪应力的讨 Q max S z max 论知，最大剪应力一般位于最大剪力截面 max I zb 的中性轴上，其计算公式可统一为：
第五章 弯曲应力
§5-1 梁弯曲正应力 §5-2 惯性矩计算 §5-3 梁弯曲剪应力 §5-4 梁弯曲时的强度计算 §5-5 塑性弯曲的概念 §5-6 提高梁抗弯能力的措施
§5-1 梁弯曲正应力
一、梁弯曲时横截面上的应力分布 一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有 弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向 内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横 截面上同时存在正应力和剪应力。
【例5-2】求图示阴影部分对中性轴z轴的惯性矩。 【解】因 I 阴z 2 I 1z
D4
64
d I1z
故 I 阴z
D4
64
4
2 I 1z
工程力学2第五章 弯曲应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz
M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN
M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m
x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章弯曲应力
★
的材料（例铸铁），宜采用截面不对称于中性轴。
z
z
2.变截面梁与等强度梁
等截面梁：Wz = 常数，
等强度梁是一种变截面梁，即各截面上的最大正应力都相 等，且等于许用应力：
3. 梁的合理受力 ① 合理布置载荷
P
Wz = 常数，降低 P
（＋）
（＋）
P
（＋）
q＝P/l
（＋）
（＋）
② 合理布置支座位置
型钢的Iz 和Wz 可查型钢表。
B
y
(中性轴）
z
q=60kN/m
【例】简支梁如图所示，
A
B 试求：梁内的最大正应力。
3m
解：画弯矩图，求最大弯矩
120
180
z
y
M
Mmax
+
x
【例】 求图示梁的最大弯曲正应力，d = 60mm。
d
z
解：
(－)
【例】 求图示梁中央截面上的最大拉应力和 最大压应力以及 G点的正应力，梁由10号槽钢制成。
x
§5–2 对称弯曲正应力
M 纵向对称面
M 一、变形及基本假设
中性层 中性轴 横向线ab变形后仍为直
线，但相对于原来的位置
aa bb
旋转了一个角度；纵向线 弯成弧线(M>0，上缩下伸 ；M<0，上伸下缩)，横向
M
M 线与变形后的纵向线仍保
aa
b
b
持垂直。 平面假设
中性层和中性轴
由梁的变形规律，可知梁内必有一层纤维既不伸长也不缩短 ，此层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。 中性轴通过截面形心且垂直于外力作用平面。
M 6kN·m
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
第五章弯曲应力
AI 20 60 1200mm2
y'I
20
60 2
50mm
AII 60 20 1200mm2
y'II
20 2
10mm
第五章弯曲应力
整个截面的形心C至z’轴 的距离为：
y'C
Ai yi A
1200 50 120010 30mm 1200 1200
(2) 求各组成部分对中性轴z的
惯性矩 设两矩形的形心轴
为z1和z2，它们对中性轴z的 距离分别为：
aI CCI 20mm, aII C性轴z的惯性矩分别为：
I zI
I z1I
a2 I
AI
20 603 12
202 1200
840103 mm4
I zII
I z2II
a2 II
AII
60 203 12
202 1200
520103 mm4
（3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：
Iz IzI IzII 840103 520103 1360103 mm4
第五章弯曲应力
§5-3 梁弯曲时的强度计算
梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：
My
Iz
(5-3)
最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：
IZ1
A
y2 1
dA
IZ1
y a2dA
A
y2dA 2a ydA a2 dA
A
A
A
IZ1 Iz a2 A
同理：
I y1 I y 第b五2 章A弯曲应力
例5-2 已知一T字形截面，求其对中性轴Z的惯性矩
解：（1）确定形心和中性轴 的位置
第五章 弯曲应力
缩短。
2、平面假设：
梁弯曲变形后，其原来的横 截面仍保持为平面，只是相 邻横截面绕某一轴相对转了 一个小角度，且仍垂直于梁 变形后的轴线。
中性层：靠近底部的纵 向线伸长，靠近顶部的 纵向线缩短，根据变形 的连续性，中间必有一 层纵向线既不伸长也不 缩短。
中性轴：中性层与横截 面的交线 z 轴，横截面 z 就是绕中性轴转动的。
是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况直接判断。 （3） 由公式推导可知，公式不仅适用于矩形截面梁，而且还适用
于其它一些截面梁，如：圆截面梁、工字形截面梁、T字形
截面梁，等等。
p
（4）由于y、z轴就是横截面的形心主轴，从而可得到启示：当横
截面没有对称轴时，只要外力偶作用在形心主轴之一（例如
y轴）所构成的纵向平面内，上述公式仍适用。
（5）对于用铸铁、木材以及混凝土等材料制成的梁，在应用上述 公式时，都带有一定的近似性。
例5-1 T形截面外伸梁尺寸及受力如图所示。已知横截面对中性轴
的惯性矩Iz=5.33×106mm4。求跨中C截面上a、b、c点的弯
曲正应力。
F = 8kN A
D
0.6m
Fs / kN
解：首先作剪力图和弯矩图，由
( y)d d y
d
即： y
a
故 y
二、物理关系
Me 由于弯曲变形微小，可设各层纤维之间 没有挤压，亦即可认为各纵向纤维处于
单向应力状态。并设 Et Ec E
当 p时
E E y
b
故 y
z o
y
说明：
推导过程简单总结：（三方面）
由变形几何关系得到
材料力学《第五章》弯曲应力
上海交通大学
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
a
1
b
2
O z y
由变形的连续形可知：
从伸长到缩短的过程中，必存在一 层纵向纤维既不伸长也不缩短，保 持原来的长度。 中性层：由既不伸长也不缩短的纵 M 向纤维组成。 中性轴：中性层与梁横截面的交线。 中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。 a
1
1
2
c
O1
d
O2
a
1 1 2
b
2
M
d
O2
c
O1
b
2
3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。 与轴向拉、压时变形相似。
上海交通大学
O z y
二、假设 1. 梁弯曲平面假设 梁弯曲变形后，横截面仍保持为平 面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直， 只是绕该截面内某轴转过一个微小 M 角度。 2. 单向受力假设 设想梁由许多层纵向纤维组成，弯 曲时各纵向纤维处于单向受拉或单 向受压状态。 由实验现象和假设可推知： 弯曲变形时： 靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短； 靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。
O1Biblioteka 1dqr2
O2
M
a
1
y
b
2
中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力； 中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。 y =0 (中性轴上)，s = 0 ； y |max (上、下表层)， s max 。
由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。
第五章 弯曲应力
28.8 106 Pa
28.8MPa
Z
cC
M
B
y 2
Iz
2.5103 N m 52 10-3m 7.6410-6 m4
17.0 106 Pa
17.0MPa
3)计算B截面上的最大拉应力和最大压应力
cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8810-3m 7.6410-6 m4
目录
第五章 弯曲应力\梁横截面上的正应力
5.2. 2 横力弯曲时横截面上的正应力
横力弯曲时梁横截面上不仅有正应力，而且有切应力。由于切 应力的存在，梁变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出 的纯弯曲梁横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面 上的正应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比 值 l ＞5时，其误差甚小。因此，纯弯曲时横截面的正应力计算公
5.2.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
1. 横截面上正应力的计算公式
研究梁横截面上正应力的方法与 研究圆轴扭转时横截面上切应力所用 的方法相似，也须综合研究变形的几 何关系、应力与应变间的物理关系以 及静力平衡关系。
1) 变形的几何关系 取截面具有竖向对称轴（例如
矩形截面）的等直梁，在梁侧面画 上与轴线平行的纵向直线和与轴线 垂直的横向直线，如图a所示。然后 在梁的两端施加外力偶Me,使梁发生 纯弯曲（图b）。此时可观察到下列 现象：
上式是研究梁弯曲变形的基本公式。由该式可知，EIz越大，曲
率半径越大，梁弯曲变形越小。EIz表示梁抵抗弯曲变形的能力，
称为梁的弯曲刚度。
将上式代入式 σ E y ，得 My
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
第五章 弯曲应力
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）:支座
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
1）减小M（合理按排梁的受力情况）：布载
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：矩形
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：工字形、槽形、矩形、
圆形比较（W/A值）
习题讨论课
2）不同材料
组合截面梁
c
Ac
hc
sc
∑Fx=0
σt=Ety/ρ σc=Ecy/ρ
t
s d A = F
A
N
At
ht
t
st
FN=0
c
中性轴？
At
s dA s
Ac
dA = 0
习题讨论课
2）不同材料
c
Ac
hc
组合截面梁
sc
∑My=0
At
ht
t
st
( E ) zdA = 0
例（书例5-1)
★ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲强度特点
1)危险面往往有几处 2)同一截面危险点往往不只一个
★ 横力弯曲时的正应力
※ 有些材料 s t s c 拉压强度要分别校核
s t max
M s t = W t z max
M s c = W c z max
★
2 、措施
提高弯曲强度的措施
2） 增大W（合理截面）：注意和思考 a) 工艺成
本（如空心截面） b) 考虑材质（如铸铁T形梁等）
★
第五章 弯曲应力
三类条件
物理关系
静力关系
1.变形几何关系
m a
n
a
m a o b m
n a o dx
b m
dx
b n
b n
假设oo层为中性层 变形前：aa = bb = oo = dx
m M a
o b m
n a M M
d M
dx
o b n
m o
b′
n o
b′
m
n
变形后：假设中性层oo层变形后的曲率半径为，则
max
M [ ] Wz max
(2) 设计截面尺寸
(3) 计算许用载荷
M Wz [ ]
M max Wz [ ]
例2. T形截面铸铁梁，已知[σt]=30MPa,[σc]=60MPa, 试 80 校核梁的强度。
9kN
A 1m
4kN
B D 1m
20
CLeabharlann 1m120讨论： 1.横截面是绕中性轴转动。 (中性层不伸长也不缩短，中性轴是中性层与横截
面的交线 。) 上部受压
当M > 0时 下部受拉 上部受拉 下部受压
当M < 0时
讨论： 2.纵向纤维的伸长或者缩短与它到中性层的
距离成正比。
m
n′
n a
y
a
y
b m
b
中性层 n′
中性轴 横截面
n
定量分析
与圆轴扭转问题相似，弯曲问题的理论分析也 必须包含三类条件。 变形几何关系
结论： 1.横截面上只存在正应力。
(纵向线与横向线保持直角。)
2.正应力分布不是均匀的。
(纵向线中既有伸长也有缩短的。)
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
材料力学课件 第五章弯曲应力
1 M = ρ EI z
EIz—弯曲刚度。表示梁抵抗弯曲变形的能力。 正应力公式
My y σ=E I zρ
公式适用范围： 1、对称弯曲，且纵向纤维无挤压。 2、线弹性范围，且拉压弹性模量相等。 思考题：若不是对称弯曲，以上正应力公式能 否成立？什么条件下成立？
4、最大正应力
最大正应力在横截面的上、下边缘点处
M B = 2.5kNm M C = −4kNm
9kN
A 2.5kN B
8kN/m
C D 88
80 b
20 z 120 20
I z = 763 × 106 mm 4
M B = 2.5kNm
1m
1m
14.5kN
1m
a
M C = −4kNm
3、确定危险点进行强度计算 C截面a点 C截面b点 B截面a点
[q2 ] = 8Wz [σ ] = 8 × 7.22 × 104 × 10 × 10 −6 = 5.78 kN
m
☻提高弯曲截面系数是提高梁的承载能力的主要 措施之一。
例题：一T型铸铁梁受外力如图所示，已知横截面对 中性轴的惯性矩Iz=763×104mm4，铸铁材料的容许 拉应力[σt]=30MPa，容许压应力[σc] =60MPa。试校 核梁的正应力强度。
梁满足强度条件 ☻非对称截面梁可能有两个危险截面、三个危险点
例题：图示20号槽钢受弯曲变形时，测出边缘点A、 B两点间长度的改变量为Δl=27×10-3mm，材料的弹 性模量E=200GPa。试确定两横截面上的弯矩M。
A M 50 B M
问题分析 边缘点
σ max M 单向应力 = Wz
Δl = ε max l AB
σ t max ≤ [σ t ] σ c max ≤ [σ c ]
第五章 弯曲应力
此梁为等截面直梁，故全梁最大弯曲正应力在最大弯矩
所在截面上，其值为
max
M max Wz
6M max bh2
6 7.5106 40 802
175MPa
第五章 弯曲应力
5.2 弯曲切应力简介
5.2.1 矩形截面梁的弯曲切应力 矩形截面梁的任意横截面上，剪力FS皆与横截面的对称
轴y重合（见图5－11(b)）。设横截面的高度为h，宽度为b， 现研究弯曲切应力在横截面上的分布规律。
图5－8
第五章 弯曲应力
5.1.4 弯曲正应力公式的适用范围 弯曲正应力公式是在纯弯曲情况下推出的。当梁受到
横向力作用时，一般横截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲 称为横力弯曲。剪力会在横截面上引起切应力τ，从而存在 切应变γ=τ/G。由于切应力沿梁截面高度变化（见下一节）， 故切应变γ沿梁截面高度也是非均匀的。因此，横力弯曲时，
第五章 弯曲应力
综上所述，对于各横截面剪力相同的梁和剪力不相同的 细长梁（l>5h），在纯弯曲情况下推导的弯曲正应力公式 （5－2）仍然适用。
第五章 弯曲应力 例5－1 图5－10(a)所示悬臂梁，受集中力F与集中力 偶Me作用，其中F＝5kN，Me＝7.5kN·m，试求梁上B点左邻 面1－1上的最大弯曲正应力、该截面K点处正应力及全梁的 最大弯曲正应力。
FN 2
dA
A1
式中A1为右侧面pn1的面积，正应力 可按弯曲正应力公式算出，
于是
FN 2
dA
A1
M dM y1 dAM dM
A1
Iz
Iz
A1
y1dAM
dM Iz
S
* z
第五章 弯曲应力
C
xc
比较： 比较 Ix1、Ix2、Ixc 的大小
x1
求右图对形心轴的惯性矩。 例3 求右图对形心轴的惯性矩。 解：
20 ×1203 120 × 203 I z = I z1 + I z 2 = + 12 12 = 2.96 ×106 mm 4 I y = I y1 + I y 2
zc
∑S = ∑A
h
z y D d
空心圆截面 W =
πD3
32
(1 − α )
4
d α= D
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 ycmax 和
yt max 直接代入公式 σ = My 求得相应的最大正应力 Iz
σ cmax
σt max =
ycmax
M
Myt max Iz Myc max Iz
M( x) 等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为 σ = Wz 弯曲正应力强度条件: 弯曲正应力强度条件
例1：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用 图示梁的截面为T 压应力分别为［ ］，则 压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳 比值为多少？（Ｃ为截面形心） 比值为多少？（Ｃ为截面形心） ？（Ｃ为截面形心
A
I z = ∫ y dA
2 A
2 A
dA
I P = ∫ r dA
y
A
O
r
z
IP = I y + I z
z
dA
dr
已知：圆截面直径d 例2 已知：圆截面直径 求：Iy， Iz
dA = 2 rdr π
r C
IP 1 Iy = Iz = = ∫ r2dA 2 2 A
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FS
目录
纯弯曲
§5-1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系 3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；
法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴过截面形心。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
为什么开孔？ 孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（三）理论分析：
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离；
点到中性轴的距离。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维的变化 设想梁是由无数
层纵向纤维组成
在正弯矩的作用下，
偏上的纤维 缩短， 偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性层
ΔL<0 ΔL>0 ΔL=0 既不伸长也不缩短 中性层 －－纤维长度不变
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面
bh3 IZ 12
IZ
D 4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0
一、变形几何关系
（一）实验观察现象：
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
施加一对正弯矩，观察变形
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
横向线 由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定。
第五章 弯曲应力
目录
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
伽利略Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
§5-1 纯弯曲
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系 FN、My、Mz
中性轴过 截面形心
坐标轴是主轴
1 M
EI Z
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
四、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 物理关系
y
E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
横力弯曲正应力公式
My
IZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My
IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
/ 2)
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
横截面不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力 弹性力学精确分析表明：
对于跨度L 与横截面高度h 之比L / h > > 5的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
误差<<2% 满足工程中所需要的精度。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
二、物理关系 胡克定理 E E y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性轴
中性轴上各点 σ=0
各横截面绕中性轴发生偏转。
中性轴的位置过截面形心
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
✓中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；
目录
纯弯曲
§5-1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系 3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；
法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴过截面形心。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
为什么开孔？ 孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（三）理论分析：
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离；
点到中性轴的距离。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维的变化 设想梁是由无数
层纵向纤维组成
在正弯矩的作用下，
偏上的纤维 缩短， 偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性层
ΔL<0 ΔL>0 ΔL=0 既不伸长也不缩短 中性层 －－纤维长度不变
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面
bh3 IZ 12
IZ
D 4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0
一、变形几何关系
（一）实验观察现象：
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
施加一对正弯矩，观察变形
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
横向线 由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定。
第五章 弯曲应力
目录
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
伽利略Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
§5-1 纯弯曲
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M
? ?
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系 FN、My、Mz
中性轴过 截面形心
坐标轴是主轴
1 M
EI Z
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
四、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 物理关系
y
E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
横力弯曲正应力公式
My
IZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My
IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
/ 2)
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
横截面不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力 弹性力学精确分析表明：
对于跨度L 与横截面高度h 之比L / h > > 5的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
误差<<2% 满足工程中所需要的精度。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
建立坐标
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
二、物理关系 胡克定理 E E y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
中性轴
中性轴上各点 σ=0
各横截面绕中性轴发生偏转。
中性轴的位置过截面形心
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
✓中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；