第五章弯曲应力

FS
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纯弯曲
§5-1 纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲 梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
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§5-2 纯弯曲时的正应力
纯弯曲的内力 剪力Fs=0
1、变形几何关系 2、物理关系 3、静力学关系
横截面上没有切应力 只有正应力。
弯曲正应力的 分布规律和计算公式
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
中性轴
中性轴上各点 σ=0
各横截面绕中性轴发生偏转。
中性轴的位置过截面形心
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§5-2 纯弯曲时的正应力
✓中性轴的特点：
平面弯曲时梁横截面上的中性轴 一定是形心主轴；
它与外力作用面垂直；
中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
关于中性层的历史 1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；
一、变形几何关系
（一）实验观察现象：
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§5-2 纯弯曲时的正应力
施加一对正弯矩，观察变形
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§5-2 纯弯曲时的正应力
观察到纵向线与横向线有何变化？
变化的是： 1、纵向线的长度 2、两横截面的夹角 3、横截面的宽度
纵向线 由直线
曲线 各纵向线的长度还相等吗？
横向线 由直线
直线 各横向线之间依然平行吗？
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面 空心圆截面 空心矩形截面
bh3 IZ 12
IZ
D 4
64
(1
4)
IZ
b0h03 12
bh3 12
Wz
bh2 6
Wz
D3
32
(1 4 )
Wz
( b0h03 12
bh3 12
)
/(h0
（2）必须清楚所求的是该截面上哪一点的正应力， 并确定该点到中性轴的距离，以及该点处应力的符号
（3）特别注意正应力沿高度呈线性分布； （4）中性轴上正应力为零，
而在梁的上下边缘处分别是最大拉应力和最大压应力。
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§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（5）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压; 正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负 及梁的变形状态来确定。
/ 2)
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§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
横截面不再保持为平面 且由于切应力的存在，也不能保证纵向纤维之间没有正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力 弹性力学精确分析表明：
对于跨度L 与横截面高度h 之比L / h > > 5的细长梁， 用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，
误差<<2% 满足工程中所需要的精度。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
你能解释一下托架开孔合理吗？托架会不会破坏？
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§5-2 纯弯曲时的正应力
（三）理论分析：
y的物理意义 纵向纤维到中性层的距离；
点到中性轴的距离。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
My
IZ
M • 正应力大小与其到中性 轴距离成正比；
• 与中性轴距离相等的点， 正应力相等；
• 中性轴上,正应力等于零
max
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
适用条件 截面关于中性轴对称。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
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§5-2 纯弯曲时的正应力
三、静力学关系 FN、My、Mz
中性轴过 截面形心
坐标轴是主轴
1 M
EI Z
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§5-2 纯弯曲时的正应力
四、弯曲正应力计算公式
变形几何关系 物理关系
y
E
E y
静力学关系
1 M
EI
Z1
为曲率半径， 为梁弯曲变形后的曲率
正应力公式
My
IZ
1826年纳维在《材料力学》讲义中给出正确计算公式
相对旋转一个角度后， 仍然与纵向弧线垂直。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
（二）提出假设：
1、平面假设： 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面； 横截面绕某一轴线发生了偏转。
瑞士科学家Jacob.贝努力于1695年提出梁弯曲的平面假设
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§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维之间有无相互作用力
2、假设： 纵向纤维之间没有相互挤压， 各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
观察纵向纤维的变化 设想梁是由无数
层纵向纤维组成
在正弯矩的作用下，
偏上的纤维 缩短， 偏下的纤维 伸长。
凹入一侧纤维缩短 凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度 不变－－中性层
中间层与横截面的 交线－－中性轴
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§5-2 纯弯曲时的正应力
中性层
ΔL<0 ΔL>0 ΔL=0 既不伸长也不缩短 中性层 －－纤维长度不变
建立坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mn
a
a
o
o
b
by
m dx n
线应变的变化规律 与纤维到中性层的距离成正比。
从横截面上看： 点离开中性轴越远，该点的线应变越大。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
二、物理关系 胡克定理 E E y
弯曲正应力的分布规律 a、与点到中性轴的距离成正比；
沿截面高度线性分布； b、沿截面宽度 均匀分布； c、正弯矩作用下，上压下拉； d、危险点的位置， 离开中性轴最远处.
横力弯曲正应力公式
My
IZ
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§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My
IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲
•横截面惯性积 IYZ =0
•弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax IZ
M max WZ
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§5-3 横力弯曲时的正应力 注意：
（1）计算正应力时，必须清楚所求的是哪个截面上的应力， 从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；
英国科学家胡克于1678年也阐述了同样现象， 但没有涉及中性轴的位置问题；
法国科学家纳维于1826年，出版《材料力学》讲义， 给出结论： 中性轴过截面形心。
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§5-2 纯弯曲时的正应力
观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释
为什么开孔？ 孔开在何处？可以在任意位置随便开孔吗？ 为什么加钢筋？ 施工中如何安放？
第五章 弯曲应力
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第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
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伽利略Galilei (1564-1642) 此结论是否正确？
§5-1 纯弯曲
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M
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