单自由度振动分析

结构动力学三级项目

班级：冶金五班

小组成员：邱林凯李海洋

张富张富增

指导老师：王健

2017年4月18日

目录

摘要 (2)

单自由度系统的振动 (3)

单自由度振动系统数学模型的建立 (3)

参数设定与求解 (5)

单自由度系统的强迫振动 (8)

本章小结 (17)

总结与心得 (17)

摘要

振动系统问题是个比较虚拟的问题，比较抽象的理论分析，对于问题的分析可以实体化建立数学模型，通过MATLAB可以转化成为图像。单自由度频率、阻尼、振型的分析，我们可以建立数学模型，最后通过利用MATLAB编程实现数据图形；多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。

关键词：振动系统；单自由度；MATLAB；多自由度

前言

振动系统是研究机械振动的运动学和动力学，研究单自由系统的振动有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。模态是振动系统的一种固有振动特性，模态一般包含频率、振型、阻尼。

利用MATLAB编程并验证程序的正确性。通过程序的运行，能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型，为设计人员提供了防止系统共振的理论依据，也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。

在结构动力学中，单自由度系统的振动是最简单的运动，但这部分又十分重要。因为从中可得到有关振动理论的一些基本的概念和解决问题的方法，同时它也适用于更为复杂的振动问题，是分析多自由度体系振动问题的基础。因此，搞清楚了单自由度系统的振动，将有助于我们提高分析和解决其他各种振动问题的能力。另外在实际工程中，确实有许多振动问题，可简化为单自由度问题，或近似地用单自由度理论去分析解决。

单自由度系统的振动

单自由度振动系统数学模型的建立

建立和分析有粘性阻尼时的自由度振动微分方程。以静平衡位置为原点建立如图坐标，由牛顿定律得运动方程为[13]:

0=++kx x c x

m (2-1) 令

m

k

m c n n ==

2,2ω 其中n 称为衰减系数，单位为s 1；n ω是相应的无阻尼时的固有频率，式(2-1)可以写为：

022

=++x x n x n ω (2-2)

如果进一步令

x

x

c kx

x

m

m

c

m

n

n

ως=

(2-3)

其中无量纲的ς称为相对阻尼系数，则式(2-2)可写为：

022

=++x x x n n ωςω (2-4)

为了求解，令

st e x = (2-6)

代入(2-4)后得到特征方程：

0222=++n n s s ωςω (2-7)

他的两个特征根为：

122,1-±-=ςωςωn n s (2-8)

根据相对阻尼系数ς的不同大小，可以将阻尼分为三种状态：

1>ς时为过阻尼，1=ς时为临界阻尼，10<<ς时为欠阻尼。 过阻尼状态

1>ς，1s 与2s 是两个不等的负实根，令

12*-=ςωωn （2-9）

初始条件

00)0(,)0(x x

x x == （2-10） 系统初始条件响应为

)()(**

00*0t sh x x

t ch x e t x n t n ωωςωωςω++

=- （2-11）

临界阻尼状态

n s ως-==,1是二重根，方程（2-4）的通解为系统对式（2-10）的初始条件的响

应为

])([)(000t x x

x e t x n t n ωω++=- （2-12） 欠阻尼状态

1<ς，其中

21ςωω-=n d （2-13）

初始条件响应

)sin cos ()(000t x x

t x e t x d d

n d t n ωωςωωςω++

=- （2-14）

参数设定与求解

阻尼比ς分别取；应用Matlab 对式(2-11)和(2-12),（2-14）求解。程序如下：

clear,format compact;

a=0.5;t=0:0.1:18;;w0=1;

k=1;x0=1;

wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wd

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+((x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)) figure(1),plot(t,y,'r');hold on a=1.0;t=0:0.1:18; w0=1;wd=1;x1=wd;

y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t); figure(1),plot(t,y,'d');hold on

a=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t));

figure(1),plot(t,y,'v');hold on 结论：

图2-2为Matlab 计算后给出的响应曲线，从中可以得到一些重要的结论：

在10<<ς的情况下，阶跃信号输入时，输出信号为衰减振荡，其振荡角频率（阻尼振荡角频率）为d ω，幅值按指数衰减越大，阻尼越大，衰减越快。

1>ς时，振荡系统等同于两个一阶系统串联。此时虽然不产生振荡，但也需要经过较长时间才能达到稳态。

在一定的ς之下，欠阻尼系统能够更快地达到稳态值；而过阻尼系统反应迟饨，动作缓慢，所以系统通常设计成欠阻尼系统，ς取值为2

0246810121416

18

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t(s)

x (t )

a=1.0

a=2.0

a=0.5

图2-2