平面向量基本定理(1课时)课件
合集下载
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量基本定理PPT课件
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解
决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向
量向基底化归，使问题得以解决.
→
→
设AB＝a，AD＝b，
→ → → → 1→ 1
则AE＝AD＋DE＝AD＋2AB＝2a＋b，
1
→ → → → 1→
AF＝AB＋BF＝AB＋2AD＝a＋2b，
→
所以BF＝BA＋AF＝BA＋λAC＝a＋λ(c－a)＝
(1－λ)a＋λc.
4
→ 1 4
又BF＝5a＋5c，所以 λ＝5，
→ 4→
所以AF＝5AC，所以 AF∶CF＝4∶1.
反思感悟
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量
都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解
是唯一的.
任一向量a ，有且只有一对实数1、2，可使
a 1 e1 +2 e2
若e1，不共线，我们把
e2
e1，
e2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
谢谢
人教2019A版必修 第二册
6.3.1 平面向量基本定理
回顾：向量共线定理:
a(a 0)与b共线 有且只有唯一一个实数， 使b a.
位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示。
思考：平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个
不共线向量表示呢？
创设问题情境
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，练习2 如图，在△OAB中源自OC为中线，点D为线段OB靠近O点
1
的三等分点，AD交OC于点M，若 OM OA xOB ，求x的值.
2.3.1 平面向量基本定理 课件(人教A版必修4)
角是________．
→ → 【解析】 令OA＝a，OB＝b，以 OA、OB 为 邻边作平行四边形 OACB.如图所示，则 a＋b → → ＝OC，BA＝a－b，
栏目 导引
第二章
平面向量
∴〈a＋b，a〉＝∠AOC＝30°
〈a－b，a〉＝∠ABC＝60°.
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章
平面向量
栏目 导引
第二章
平面向量
变式训练
→ 1→ → 1→ 1.在△OAB 中，OC＝ OA，OD＝ OB，AD 4 2 → → 与 BC 交于点 M，设OA＝a，OB＝b，试以 a， → b 为基底表示OM.
栏目 导引
第二章
平面向量
→ → → → 解：设OM＝ma＋nb，则AM＝OM－OA＝(m → → → 1 －1)a＋nb，AD＝OD－OA＝ b－a 2 ∵A、M、D 三点共线， → → ∴AM＝λ AD，
栏目 导引
第二章
平面向量
【名师点评】两个向量能否构成基底，主要 看两向量是否为非零向量且不共线．此外， 一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意 一个向量都可以由这组基底唯一表示．
栏目 导引
第二章
平面向量
利用基底表示其他向量
例2 如图所示，在△ABC 中，点 M 是 AB → 1→ 的中点， 且AN＝ NC， 与 CM 相交于点 E， BN 2
栏目 导引
第二章
平面向量
平面向量基本定理与夹角的 综合应用
→ → (本题满分 9 分)已知|OA|＝1，|OB|＝ 例4 3，∠AOB＝90°，点 C 在∠AOB 内，且 → → → ∠AOC＝30°.设OC＝mOA＋nOB(m、 n∈R)， m 求 的值． n
高中数学_2.2.1《平面向量基本定理》(1)
D
H
E
B
A e1
G
e2
C
F
e1, e2是两个不平行向量，观察上图 AB 2e1 3 e2 ， CD e1 4 e2 EF 4 e14e2 ， GH 2 e1 5 e2
平面向量基本定理
1.两向量和的求法 2.实数与向量的积
3.平行向量及平行向量基本定理
新课引入
已知向量 e1 、 e2 ? 如何作出 e1 + e2 ? e1 A C
e1
o
e2
e2
B
OC可以分解成 e1 ，e2
oc e1 e2
思考：平面内任意一个向量 是否可以分解成
1 e1 2 e2的形式？
பைடு நூலகம்
练习
已知ABCD为矩形，且AD=2AB，又△ADE为等腰三角
形，F为ED的中点， EA e1, EF e2 ,以e1, e2为基底
表示向量
e2 e1 e2 AF _________; AB __________ e1 2e2 e1 e2 AD _________; BD __________
b
A
M
分析：为了求MA,MB,MC,MD 只需求AC, DB即可
解：
a
B
例题2 .如图
OA , OB不共线， AP t AB ( t R ),
P B A O
OB表示 OP 用OA，
解： AP =t AB = t(OB-OA) OP =OA + AP =OA+tOB-tOA
=(1-t)OA+tOB
课件5：6.3.1 平面向量基本定理
[解析] ∵O→P与O→C共线，∴存在实数 μ，使O→P＝μO→C＝mμO→A＋2mμO→B. ∵A→P＝O→P－O→A，∴A→P＝mμO→A＋2mμO→B－O→A＝(mμ－1)O→A＋2mμO→B ＝λA→B＝λ(O→B－O→A)＝－λO→A＋λO→B. ∵O→A与O→B不共线，∴m2mμ－ μ＝1＝ λ，－λ， 解得 λ＝23.
A．x＝23，y＝13
B．x＝13，y＝23
C．x＝14，y＝34
D．x＝34，y＝14
[解析] O→P＝O→A＋A→P＝O→A＋13A→B＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13OB.
∴x＝23，y＝13.
题型三 平面向量基本定理的应用
典例 3 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在 AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM 与BP︰PN的值.
易错警示 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 典例 4 已知O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d，O→E＝e， 设 t∈R，如果 3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么 t 为何值时， C，D，E 三点在一条直线上？
→
→
[错解] 由题设，知CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，
2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形 2．能够灵活运用平面向
法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解. 量基本定理解决相关问题
3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量 .(数据分析)
正交分解的理解.
必备知识·探新知
知识点1 平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个_不__共__线____向量，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 __任__一___ 向 量 a ， _有__且__只__有__一__对____实数λ1，λ2，使a＝___λ_1_e_1＋__λ_2_e_2 __.
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
2.2.1平面向量基本定理课件人教新课标B版
新课探究： 平面向量基本定理：
如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那 么该平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数
， ，使
存
唯
在
一
性
性
新课探究：
返回
新课探究： 假设不是唯一的，即存在另外一对实数x,y， 使
新课探究：
平面向量基本定理：
如果 和 是一平面内的两个不平行的向量，那 么该平面内的任一向量 ，存在唯一的一对实数
1、在△OAP中，
反之：设点P满足等式，也一定有 即点P在直线上。
课堂练习：
课堂练习：
A
M N
B
C P
课堂小结：
• 本节课我们学习了： • 一、平面向量基本定理的内容 • 1、基底不唯一，关键不共线 • 2、可表示平面内任一向量 • 3、选择基底后表示方法唯一。 • 二、平面向量基本定理的应用 • 1、直线的向量参数方程式 • 2、线段中点的向量表达式
布置作业：
作业：
P98,3,4,5 预习下一节
2.2.1 平面向量基本定理
复习旧知：
• 1、向量加法的运算法则？
三角形法则
A
平行四边形法则
B
D
ab ab
BCBiblioteka AabC• 2、向量减法运算法则？
B
三角形法则
A
C
复习旧知：
• 3、平行向量基本定理的内容是什么？
新课导入：
ab
新课导入：
D E
B
A
C
F
问：平向任面量意内表画任 示一何 出个一 来向个 。量向并，量且都，表可都示以可方用以式用是两唯个 一不 的表平 。示行出的来吗？
， ，使
高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
高中数学人教必修四课件231平面向量基本定理
e1
A
e2
3e1
B
3e1e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
e B
A
B
e e 2
(3)
2e1
1 2
e2
.
A1 2
4e1 e2
4e1
O
C
O
练习
e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2
.
O
e1 e2
O
2e1
2e1
1 2
e2
;
2e1
C
A
1 2
e2
B
A B
小结
本节学习了： （1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个a 向1e1 量2e2 都可以用两个不共
线的向量来表示.即 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
2.3.1 平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件
：
o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一
平面» 内创的设任一情向境量、，提那么出a 与问e1题, e2 之间有什么关系呢？
湖南省江华县一中数学组
不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可以用 夹角来表示。关于向量的夹角我们规定：
已知两个非零向量a, b .作OA a,OB b .
平面向量基本定理-完整版课件
中不能作为基底的是
()
A．{e1，e2}
B．{e1＋e2,3e1＋3e2}
C．{e1,5e2}
D．{e1，e1＋e2}
[名师点津]
1．平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即 存在实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2；二是唯一性，即对任意 向量a ，存在唯一实数对λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.
[问题探究] 1.如图所示，OM∥AB，点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影 区域内(不含边界)运动，且―O→P ＝－12―O→A ＋m―O→B ，求实数m的取值范围．
[迁移应用] 如图所示，在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 Q 的半径为 1，圆心在线段 CD(含 端点)上运动，P 是圆 Q 上及其内部的动点， 设向量―A→P ＝m―A→B ＋n―A→F (m，n∈R )，则
提示：都能． 2．基底是否是固定不变的？
提示：不是．
[做一做]
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底．( )
(2)基底中的向量可以是零向量．
()
(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线
性分解形式也是唯一确定的．
()
2．设e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，则以下各组向量
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否 共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底； (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都 可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个
不共线的向量，若x1a ＋y1b ＝x2a ＋y2b ，则x1＝x2且y1＝y2. [提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同
平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
平面向量基本定理-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
= ， = . 将按 ， 的方向分解，你有
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
什么发现？
M
A
a
e1
C
a
e2
O
N
B
思考：平面内的两个不共线的向量e1 、e2与该平面内的
任一向量a 之间有什么关系？
M
A
a
e1
C
a
e2
如图 OC = OM + ON
OM = λ1 OA = λ1e1
OC = λ1e1 + λ2 e2
⑵向量的加法：
B
b
b
a
C
a b
A
a
O
平行四边形法则
B
a b
b
O
A
a
三角形法则
上节我们学习了向量的运算，知道位于同
一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个
非零向量表示.
b = λa
a
b
类似地，平面内任一向量是否可以由同一平
面内的两个不共线向量表示呢？
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合
力；反过来，一个力可以分解为两个力.
一、复习回顾:
⑴向量共线充要条件
向量b与非零向量a共线的充要条件是
有且只有一个实数，使得b a.
当 0时， b 与 a 同向， 且 | b | = | a | ;
当 0 时，b 与 a 反向，且 | b | =|||a | ;
当 0 时，b 0 ，且 | b | 0 。
思考：改变不共线的向量e1 、e2与任一向量a ，
A
是否有类似的结论？
B
e1
e1
e2
a
e2
N
a
O
数学：《平面向量基本定理》课件(人教A版必修二)
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
请大家动手, 在图中确定一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e 1,AD = e 2 ,则有：
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
DC
=
1 2
AB
=
1 2
e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.
请大家动手, 在图中确定一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e 1,AD = e 2 ,则有：
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
DC
=
1 2
AB
=
1 2
e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
6.3.1平面向量基本定理课件(人教版)
成立.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：基底
若 e1,e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的
一个基底.
问题1：零向量可以作为基底吗？
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
问题2：一组平面向量的基底有多少对？
ห้องสมุดไป่ตู้
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
F
以 OM ,ON 为基底
OC OM ON
M
C
以 OF,OE 为基底
OC OF OE
O
N
E
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.若{e1,e2} 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的
课堂总结
思考：如果给定的两向量 e1,e2 共线，还能用来表示这一平面内的任何一
个向量吗？
不能，此时1e1 2 e2 与 e1, e2 共线，当向量a
与它们不共线时，则无法表示.
只有 e1,e2 不共线，才可以用来表示平面内的任 一向量.
e1 e2
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：用 a 1e1 2e2 表示平面内任何一个向量 a 时，实数λ1，λ2是唯
①再给出另一个向量a ，还能这样表示吗？
M
C
②与e1 或 e2 共线的向量，a 能这样表示吗？
③零向量，如e1 何表示？
取λ1=λ2=0. 即 0 0e1 e20e2
O
NB
平面上任意一个向量a 都可以表示为：
6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册
巩固新知
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知 ，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用 表示 的表达式为（ ）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有 向量的基底 （ ） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（ ） 3.基底向量可以是零向量（ ） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )
2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)
例2.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y
b 2i 3 j
b
(2, 3)
-4 -3 -2
c 2i 3 j c
(2, 3)
5
4
3 2
1
j
-1 O -1
i1
-2
B AB 2i 3 j
a
(2,3)
A
2 34
x
d
d 2i 3 j
(2, 3)
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
3.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 λ2 a2
a
做把向量正交分解.
F1
F2
λ1a1
G
重力G的分解就是正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究 问题带来方便。
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
AC
1 2
(a
b)
1 2
a
1b 2
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
22
22
MC 1 AC 1 a 1 b
(2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2.
e1
1
e2
O 2 e2
C
2e1
OB
2e1
1 2
e2 ;
A
B
2.3.2平面向量正交分解及 坐标表示
F1
F2
G
G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2
2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)
即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0
k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
即（2 - ）a +(k - 4)b = 0
2 - = 0 k – 4 = 0
k = 8 .
h
19
评析 本题在解决过程中用到了两向量
共线的充要条件这一定理，并借助平 面向量的基本定理减少变量，除此之 外，还用待定系数法列方程，通过消 元解方程组。这些知识和考虑问题的 方法都必须切实掌握好。
h
20
2. 在实际问题中的指导意义在于
请大家动手, 在图中确定一组
DM
ห้องสมุดไป่ตู้
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
h
14
解析： 设AB = e 1,AD = e 2 ,则有：
DC
=
1 2
AB
=
1 2
e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC
平面向量基本定理
h
1
平面向量的基本定理
2
h
设e 1 、e 2是同一平面内的两个不共
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
h
3
OC = OM + ON = 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a
e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
h
4
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
h
5
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
解：A、B、D三点共线
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
h
17
由于BD = CD –
CB
=(2a – b) –(a
=+3ab)– 4b
则需 2a + kb = (a – 4b ) 由向量相等的条件得 2 =
k = 4
k = 8 .
h
18
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
h
22
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
2
h
23
谢谢同学们
再 见
h
24
1
=2
e1 - e2
21
-4
e1
=
1 4
e1 - e2
.
A
N
B
h
15
评析 能够在具体问题中适当地选取
基底，使其他向量能够用基底来表 示，再利用有关知识解决问题。
h
16
思考 设 a、b是两个不共线的向量，
已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共 线，求k的值。
找到表示一个平面所有向量的一组基
底（不共线向量 e 1 与 e 2 ），从而将 问题转化为关于e 1、e 2 的相应运算。
h
21
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
M
CF
M
C
Aa
a
O
N BO
N
E
h
6
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一
向量的实数
1、
是否相同？
2
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
h
7
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若
与
1
中只
2
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
特别的，若a与 e（1 e 2）共线，则有
2=0（ 1 =0），使得:
a = 1e 1 + 2e 2 .
h
8
例3：
已知向量 e 1 、e 2 求做向量-2.5 e 1+3 e 2
C
B
e2
e 12.5e1
A
h
3e2
·O
9
例4
且 如A图 B所 a 示 A，D， b， 平用 aA行 、 bB表 四 C的 示 CD M 边两 、 AM 形条 B 、 M对 C 、 M角D?线M 相 B，交
D
C
e1
AM
·O
A
B
h
10
例５ ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
h
11
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和
D
E
AB的中点,
AE=
=
CF=
AD+
b+
1 2
CB+
DE aA BF =
-b
-
F
1 2
a
AE= - CF
AE与CF共线，又无公共点
AE,CF平行.
h
C B
12
总结：
1、平面向量基本定理内容
2、对基本定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性
３、平面向量基本定理的应用
求作向量、解（证）向量问题、解（证）
平面几何问题
h
13
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.