离散数学数理逻辑测验答案

数理逻辑测验

一、 符号化下列命题

1. 如果张三与李四都不去,她就去。(命题符号)

解: 设P:张三去;Q:李四去;R:她去。

R Q P →⌝∧⌝)(。

2. 我将去上街,仅当我有时间。(命题符号)

解:设P:我将去上街;Q:我有时间。

)Q P (→。

3. 有些人喜欢所有的花。(谓词符号)

解:设P(x):x 就是人; Q(y):y 就是花; R(x,y):x 喜欢y 。

))),()()(()()((y x R y Q y x P x →∀∧∃。

4. 所有运动员都敬佩某些教练。(谓词符号)

解:设P(x):x 就是运动员;Q(y):y 就是教练;R(x,y):x 敬佩y 。

))),()()(()()((y x R y Q y x P x ∧∃→∀。

5. 每个人或者喜欢乘汽车,或者喜欢骑自行车。(谓词符号)

解:设P(x):x 就是人;Q(x):x 喜欢乘汽车;R(x):x 喜欢骑自行车;

)))()(()()((x R x Q x P x ∨→∀;

二、简答题

1、写出R Q P →→)(的析取范式,合取范式。

解:

合取范式））析取范式

--(()()()(R Q R P R Q P R

Q P R

Q P ∨⌝∧∨=--∨⌝∧=∨∨⌝⌝=→→

2、设P :今天下雨。Q :我去上街。R :我有空。 用自然语言写出以下

命题:)(P R Q ⌝∧↔,)(Q R ∨⌝。

解:)(P R Q ⌝∧↔:我去上街当且仅当我有空并且今天不下雨;

)(Q R ∨⌝:我没空,并且我不去上街。

3、设Q P ,的真值为0,S R ,的真值为1,求以下命题的真值:

)()(S R Q P ∨⌝∧↔,)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝。

解:)()(S R Q P ∨⌝∧↔的真值:

1))()((.

1)(,1)(,

1)(,1)(.

0,0,1,1,

1,1,0,0=∨⌝∧↔∴=⌝∨=⌝∧=∨⌝=↔∴=⌝=⌝=⌝=⌝∴====S R Q P S R P R S R Q P S R Q P S R Q P Θ

)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值:

.1))()))((((1))()((.

1))()))((((;

0))))((((,1))((真值为；

真值为即：S R P R Q P S R Q P S R P R Q P P R Q P P R Q ⌝∨→⌝∧→∨⌝∨⌝∧↔=⌝∨→⌝∧→∨⌝∴=⌝∧→∨⌝=⌝∧→∴

4、写出谓词公式)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀的前束范式。

解:

)))

,r ()(())w ,()()(()()(()),r ()()()(())w ,()()(())

,()()()(()),()()((z Q y P x Q x P z y x z Q z y P y x Q x P x z y Q z y P y y x Q x P x ∧→→∃∃∀=∃∧∃→→∀∃∧∃→→∀原式第二步：得出结果

；

第一步：自由变元改名

三、用形式推理理论证明其结论就是否有效。

1)、⌝P∨Q,⌝Q∨R,R→S⇒P→S。

解:有效,证明如下:

⌝P∨Q,⌝Q∨R,R→S ⇒P→S;

（1）P CP(附加前提)

（2）⌝P∨Q P

（3）P→Q T,(2),E

（4）Q T,(1),(3),I

（5）⌝Q∨R P

（6）Q→R T,(5),E

（7）R T,(4),(6),I

（8）R→S P

（9）S T,(7),(8),I

（10）P→S T,(1),(9),I

所以,上述论断有效,证毕。

2)、∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

解:有效,证明如下:

∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))

(1)∃xP(x) P

(2)P(c) ES,(1)

(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P

(4)P(c)→Q(y)∧R(c) US,(3)

(5)Q(y)∧R(c) T,(2),(4),I

(6)Q(y) T,(5),I

(6)R(c) T,(5),I

(7)P(c)∧R(c) T,(2),(6),I

(8)∃x(P(x)∧R(x)) EG,(7)

(9)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T,(6),(8),I

所以,上述论断有效,证毕。

3）如果A努力工作,那么B或C感到愉快;如果B愉快,那么A不努力工作;如果D愉快那么C不愉快。所以,如果A努力工作,则D不愉快。

解:

符号化:设P:A努力工作;Q:B愉快;R:C愉快;W:D愉快;

原论述可以符号化为: P→(Q∨R),Q→⌝P,W→⌝R⇒P→⌝W; 判断:有效,证明如下:

P→(Q∨R),Q→⌝P,W→⌝R⇒P→⌝W;

(1)P CP(附加前提)

(2)Q→⌝P P

(3)P →⌝Q T,(2),E

(4)⌝Q T,(1),(3),I

(5)P →(Q ∨R) P

(6)(Q ∨R) T,(1),(5),I

(7)R T,(4),(6),I

(8)W →⌝R P

(9)R →⌝W T,(8),E

(10)⌝W T,(7),(9),I

(11)P →⌝W T,(1),(10),I

所以,上述论断有效。

四、证明题:

1、)()(R P Q R Q P →→⇔→→

解:

;右边

左边=→→=∨⌝∨⌝=∨⌝∨⌝=∨⌝∨⌝=∨⌝∨⌝=)

()()(R P Q R P Q R P Q R

Q P R Q P 即:左边⇔右边,证毕。

2、)()())()((y yQ x xP y Q x P y x ∀→∃⇔→∀∀

解:

右边

左边=∀→∃=∀∨⌝∃=∀∨⌝∀=∨⌝∀∀=)

()()

()()

()())

()((y yQ x xP y yQ x xP y yQ x P x y Q x P y x

即:左边⇔右边,证毕。 五、计算题

1、 求公式)()(Q P Q P ⌝↔→⌝∨⌝的主析取范式,主合取范式

解: