“数字黑洞”及其简易证明-

“数字黑洞”及其简易证明近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问题。

这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++，接下去又是153，于是就陷在“153153−→−F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。

再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：Λ1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F F F F这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−F ”这个循环中。

随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到“153153−→−F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？西方把153称作“圣经数”。

这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。

英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨.以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：1. 设k x x x n Λ21=,当5≥k 时，有()()()k F x x x F n F k 3219999=≤=ΛΛ＜k 310又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，所以 k 310＜143101010--=⨯k k 即()()k x x x F n F Λ21=＜110-k ，也就是对于5位以上的整数，每做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收缩到五位以下.2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n 的“黑洞”是否存在的问题，于是问题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证不存在“黑洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不确定性和无法预测性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进“153153−→−F ”这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.但是，因为我们所要验证的数字的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有限步（如果不出意外的话），所以我们完全可以让计算机来完成这有限步的验算工作.对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一个简单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数进行一一验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后无一例外地都会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”的证明范例吧！问题2：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶数字个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成下一个数字串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123.于是123就是一个数字黑洞.分析：读者肯定会问，是否对于每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。

例如：88883337777444992222，在这个数中偶数字、奇数字及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了.这就是的数字黑洞“西西弗斯串”.它也是因为一个著名的古希腊神话而得名.我国大多数数学爱好者最早了解这个数字黑洞，大概是得益于美国宾夕法尼亚大学教授米歇尔•埃克的《数学黑洞》一文，此文曾被连载在《参考消息》1993年3月14日—17日的报纸上.然而遗憾的是，连这位著名的大数学家米老师也不能给出一个让人信服的证明.但令人振奋的是，9年后的2002年，我国北京师范大学附属中学的王雪琴老师却给出了一个巧妙的、简洁的证明.有兴趣的读者可以去研读文[1].问题3：（角谷猜想）任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数.或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1.分析：这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的.在西方它常被称为西拉古斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想.角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于解决这个问题，毫无结果。

同样的事情好象也在芝加哥大学发生了.有人猜想，这个问题是苏联克格勃（前苏联特工组织——作者注）的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发展。

不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑.这种形式如此简单，解决起来却又如此困难的问题，实在是可遇而不可求.”比如说我们先取5，首先我们得到3×5+1=16，然后是16÷2=8，接下去是4，2和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了. 再举个例子，最开始的数取7，我们就会得到下面的序列：7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中.随便取一个其他的自然数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得到1.已经有人用计算机对所有小于100×250=112589990684262400的自然数进行验算，无一例外.那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来是个多么简单的问题啊！但读者朋友们可千万别小看这个“简单”得连小学二、三年级学生都能看懂的问题，要想证明它却是非常之难！二十多年前，有人向伟大的匈牙利数论学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)介绍了这个问题，并且问他怎么看待现代数学对这个问题无能为力的现象，厄尔多斯回答说：“数学还没有准备好来回答这样的问题.”这种神奇的力量不知来自何方，是否可解释为一个很大的或很小的输入，最终都能得到一个稳定的输出，使一个无限的宇宙缩小为一个可控制的有限的宇宙呢.多么有趣的数字黑洞呀！这里给读者提供一个QBASIC 小程序，用来快速验证角谷猜想。

REM──验证角谷猜想──INPUT “N=”；NPRINT N ； “→”；40 IF N=1 THEN PRINT 1: ENDIF N/2=INT(N/2) THEN N=N/2 ELSEN=3*N+1IF N>1 THEN PRINT N ；“→”；:GOTO 40RUN问题4：（2004年全国初中数学联赛CASIO 杯武汉选拔赛试题）重排任一个三位数三个数位上的数字（三个数字不完全相同），得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成另一个三位数（允许百位数字为零）。

再重复以上过程，问重复2003次后所得的数是多少？证明你的结论.分析：例如 103， 310-013=297，972-279=693，963-369=594，954-459=495.再比如518，851-158=693，963-369=594，954-459=495.这显然是一个三位数的数字“黑洞”问题，这个“黑洞”就是495.所以原问题的答案是495.简证：任取一个三位数()的数字到为、、90c b a abc n =，不妨设a ≤b ≤c.因为a 、b 、c 不完全相同，所以两个等号不可能同时取到.即1≤c-a ≤9.∴ ()()()()()a c c b a a b c abc cba abc F n F -=++-++=-==991010010100∴ ()=n F 099，198，297，396，495，594，693，792，891.而Λ495495594693792891099F −→−−→−−→−−→−−→−−→−F F F F F495594693792198−→−−→−−→−−→−F F F F495594693297−→−−→−−→−F F F495594396−→−−→−F F 证毕.问题5：（卡布列卡猜想）印度数学家卡布列卡在研究数学问题时发现一个有趣的现象：用不完全相同的四个数字组成一个四位数，将组成这个四位数的四个数字重新排序，组成一个最大的数和一个最小的数，并用最大的数减去最小的数，对减得的差再重复上述操作，差如果不够四位数时，用零补位。

不断地做下去，最后变成了一个固定不变的数：6174.卡布列卡做过大量的试验，结果不论从任何满足条件的四位数开始，最后总能变成6174.因此，卡布列卡风趣地把6174叫做卡布列卡常数.分析：例如，我们从4231开始，首先把4231重新排列成4321和1234，两数相减得3087；再把3087重新排列成8730和0378，两数相减得8352；再把8352重新排列成8532和2358，相减得6174；再把6174重新排列成7641和1467，两数相减仍然得6174.4231：4321-1234=3087 3087：8730-0378=8352；8352：8532-2358=6174； 6174：7641-1467=6174.再比如对于3109，9310-0139=9171，9711-1179=8532，8532 - 2358 =6174。