“数字黑洞”及其简易证明-

“数字黑洞”及其简易证明

近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问

题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上

的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们

的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高

深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数

字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，

而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实

存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介

绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明.

问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常

奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出

来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，

都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把

这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每

一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T

＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，

你一定能发现它的奥秘！

分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++，

接下去又是153，于是就陷在“153153−→−

F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。

再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列：

Λ1535131080792684756F −→−−→−−→−−→−−→−F F F F

这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153−→−F ”这个循环中。随便取一

个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到

“153153−→−

F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑

洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？

西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21

章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到

岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙

的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数学月刊》

对有关问题还进行了深入的探讨.

以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是：

1. 设k x x x n Λ21=,当5≥k 时，有()()()k F x x x F n F k 3219999=≤=ΛΛ＜k 310

又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，

所以 k 310＜143101010--=⨯k k 即()()

k x x x F n F Λ21=＜110-k ，也就是对于5位以上的整

数，每做一次变换它的数位都会减少若干位，所以经过有限次变换后其数位必然收缩

到五位以下.

2. 现在的问题归结为探讨4位及4位以下的整数n 的“黑洞”是否存在的问题，

于是问题就变得简单的多了.对于1位数和2位数我们可以很轻松地验证不存在“黑

洞”，而对于任意一个3位数或4位数，因为每个数的操作步骤的不确定性和无法预测

性，所以很难用一个纯粹的、数学的方法来证明它一定会掉进“153153−→−F ”这个循环中，笔者也没有见到可以浅显地证明它的相关文章.但是，因为我们所要验证的数字

的个数是有限个，所需要进行的推算也应该是有限步（如果不出意外的话），所以我们

完全可以让计算机来完成这有限步的验算工作.

对计算机编程感兴趣的读者可以自己动手（或向计算机老师请教）来编制一个简

单的程序：对所有4位数以内的3的倍数，即从3到9999这3333个自然数进行一一

验证，最后你会惊奇地发现，所有的3的倍数经过一系列的规定运算后无一例外地都

会掉进153这个数字“黑洞”之中.这也应该算是一个“人机联手”的证明范例吧！

问题2：（西西弗斯串）任取一个自然数数串，例如35962，数出这数中的偶数字

个数、奇数字个数及所有数字的个数，就可得到2、3、5，用这3个数组成下一个数字

串235.对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123.

于是123就是一个数字黑洞.

分析：读者肯定会问，是否对于每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试

看。例如：88883337777444992222，在这个数中偶数字、奇数字及全部数字个数分别

为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，

再重复这个程序得到123，于是便进入“黑洞”了.这就是的数字黑洞“西西弗斯串”.

它也是因为一个著名的古希腊神话而得名.

我国大多数数学爱好者最早了解这个数字黑洞，大概是得益于美国宾夕法尼亚大

学教授米歇尔•埃克的《数学黑洞》一文，此文曾被连载在《参考消息》1993年3月

14日—17日的报纸上.然而遗憾的是，连这位著名的大数学家米老师也不能给出一个

让人信服的证明.但令人振奋的是，9年后的2002年，我国北京师范大学附属中学的王

雪琴老师却给出了一个巧妙的、简洁的证明.有兴趣的读者可以去研读文[1].

问题3：（角谷猜想）任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果

它是奇数，我们就把它乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然

数.如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数.或迟或早，你总会掉到4→2→1

这个循环中，或者说，你总会得到1.

分析：这个问题大约是在二十世纪五十年代被提出来的.在西方它常被称为西拉古

斯(Syracuse)猜想，因为据说这个问题首先是在美国的西拉古斯大学被研究的；而在

东方，这个问题由将它带到日本的日本数学家角谷静夫的名字命名，被称作角谷猜想.

角谷静夫在谈到这个猜想的历史时讲：“一个月里，耶鲁大学的所有人都着力于

解决这个问题，毫无结果。同样的事情好象也在芝加哥大学发生了.有人猜想，这个问

题是苏联克格勃（前苏联特工组织——作者注）的阴谋，目的是要阻碍美国数学的发

展。不过我对克格勃有如此远大的数学眼光表示怀疑.这种形式如此简单，解决起来却

又如此困难的问题，实在是可遇而不可求.”

比如说我们先取5，首先我们得到3×5+1=16，然后是16÷2=8，接下去是4，2

和1，由1我们又得到4，于是我们就陷在4→2→1这个循环中了. 再举个例子，最开始的数取7，我们就会得到下面的序列：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1这次复杂了一

点，但是我们最终还是陷在4→2→1这个循环中.随便取一个其他的自然数，对它进行

这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到4→2→1这个循环中，或者说，你总会得

到1.已经有人用计算机对所有小于100×250=112589990684262400的自然数进行验算，

无一例外.那么，是否对于所有的自然数都是如此呢？这看起来是个多么简单的问题

啊！但读者朋友们可千万别小看这个“简单”得连小学二、三年级学生都能看懂的问

题，要想证明它却是非常之难！二十多年前，有人向伟大的匈牙利数论学家保尔·厄