曲面的参数方程1
曲面论复习(一)
1.1 简单曲面及参数表示 一 简单曲面 1 约当(Jordan)曲线: 平面上不自交的闭曲线。 2 初等区域：约当曲线把平面分成为两部分，有限的那部分区域 初等区域 叫初等区域。(约当曲线的内部) 3 简单曲面：平面上初等区域到三维空间的一一的、双方连续的 简单曲面 映射的像叫简单曲面。 二 （简单） 简单）曲面的参数方程 1 曲面的参数方程、 曲面的参数方程、曲纹坐标 设 G 是初等区域， G 中点的笛氏坐标是 (u,v) ,G 在空间的一一的 双方连续的像是曲面 S，S 上的点笛氏坐标为（x,y,z), 则 x,y,z 都是
r
r
r
r r r r ( ρ − r (u0 , v0 ), ru (u0 , v0 ), rv (u0 , v0 )) = 0
切平面方程用行列式表示为：
。
x − x(u0 , v0 ) xu (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
y − y (u0 , v0 ) z − z (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 ) = 0 yv (u0 , v0 )
是什么曲线?
θ -曲线：是垂直于 z 轴 的平面与旋转面的交线（纬线）
t - 曲线：是旋转面的母线（经线）
1.2 光滑曲面 曲面的切平面和法线 一 光滑曲面,正常点,正规坐标网 1 C k 类曲面: 如果曲面的分量函数有直到 k 阶的连续偏导数,则 称为 k 阶正则曲面或称为 C k 类曲面.
2
2 光滑曲面: C 类曲面叫做光滑曲面.以后假定讨论的曲面都是 光滑曲面. 3 正常点: 对曲面 S 上一点 P0 (u0 , v0 ) , 过 P0 的 u-曲线: r = r (u , v0 ) ,其切向量为 ru (u0 , v0 ) ； 过 P0 的 v-曲线: r = r (u0 , v) ,其切向量为 如果
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。
参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。
参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。
参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。
函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。
参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。
而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。
具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。
例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。
2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。
例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。
3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。
例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。
另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。
4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。
曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。
曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。
曲线的参数方程
曲线的参数方程曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。
在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。
参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。
本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。
参数方程的概念参数方程通常表示为以下形式：x = f(t) y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。
与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。
通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。
参数方程的应用参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。
以下是几个参数方程的应用示例：1. 计算机图形学在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。
例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。
参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。
2. 物理学在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。
例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。
参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。
例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。
参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。
常见的参数方程示例以下是几个常见的参数方程示例：1. 二维直线方程对于二维直线，可以使用如下的参数方程：x = at + b y = ct + d其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。
2. 圆的参数方程对于圆，可以使用如下的参数方程：x = r * cos(t) y = r * sin(t)其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。
双叶双曲面的参数方程
双叶双曲面的参数方程在直角坐标系中，双叶双曲面的参数方程可表示为：x = a * sec(u) * cos(v)y = b * sec(u) * sin(v)z = c * tan(u)其中，a、b、c是常数，u和v是参数，范围通常为[-π/2,π/2]和[0,2π]。
接下来，我们将详细解释这个参数方程的含义以及双叶双曲面的几何特征。
首先，双叶双曲面的参数方程中的u和v是两个独立的参数。
u的范围是从负无穷到正无穷的实数集合中选择特定的区间。
通过调整u的值，我们可以控制曲面上点的高度。
当u接近π/2时，z的值趋近于无穷大，因此曲面会达到顶点；而当u接近-π/2时，z的值趋近于负无穷大，曲面会下降到负的无穷大。
因此，双叶双曲面在u方向上呈现出两个对称的分支，类似于双曲线。
其次，v的范围是从0到2π的实数集合，通过改变v的值，我们可以控制曲面上点的方向。
当v的值增加时，点将环绕z轴旋转，从而改变曲面的方向。
最后，x、y和z的参数方程中的常数a、b和c是用来控制曲面的形状和比例的。
通过改变这些参数的值，我们可以调整双叶双曲面的大小、形状和曲率。
具体地说，a和b的值控制双叶双曲面在x和y方向上的扁平程度，c的值则控制双叶双曲面在z方向上的扁平程度。
当a=b=c时，曲面是一个等轴双曲面，即三个方向上的比例相等。
双叶双曲面具有许多重要的数学和物理应用。
例如，在物理学中，它们可用于描述电荷分布、电子云的形状以及其他具有对称性质的物理现象。
在数学上，双叶双曲面是一类重要的曲面，它们具有许多特殊的性质，如曲率、法线方向和切平面等。
参数方程_精品文档
参数方程参数方程是一种数学中常用的表示曲线的方法，它是通过一组参数来描述曲线上的点的位置。
与直角坐标系中的函数表示方式不同，参数方程给出的是曲线上每一个点在某个参数下的坐标值。
参数方程的一般形式为：x = f(t) y = g(t)其中，x 和 y 是曲线上某一点的坐标，t 是参数。
通过改变参数 t 的取值，可以得到曲线上的不同点坐标，从而描绘出整个曲线。
参数方程的表示形式参数方程的表示形式可以有多种，常见的包括：•二维参数方程：x = f(t), y = g(t)•三维参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)以二维参数方程为例，可以通过给定不同的参数 t 的取值范围，来绘制出对应的曲线。
参数 t 通常是一个连续的变化的数值，可以是时间、角度或其他物理量。
通过改变参数t，我们可以得到曲线上的点的坐标变化情况，从而得到曲线的形状。
参数方程的应用参数方程在数学和物理中有广泛的应用，特别是在几何学、物理学和计算机图形学中。
在几何学中，参数方程可以用来表示各种曲线，例如抛物线、椭圆、双曲线等，通过调整参数的取值范围，可以绘制出不同形状的曲线。
参数方程还可以用来表示曲线的长度、曲率等几何性质。
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
例如，一个抛出的物体在空中的运动可以用参数方程来表示。
通过改变参数 t 的取值，可以得到物体在不同时刻的位置坐标，从而得到物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，参数方程可以用来生成各种图形。
通过给定不同的参数t，可以计算出曲线上的点的坐标，然后将这些点连接起来，就可以生成各种精美的图形，如曲线、曲面等。
参数方程的优缺点参数方程相较于直角坐标系的表示方法，有一些明显的优点和缺点。
优点：•对于复杂的曲线，参数方程可以更加简洁地描述其形状。
•参数方程可以处理直角坐标系中无法表示的曲线，如极坐标系下的曲线。
缺点：•参数方程需要额外的参数 t，增加了计算的复杂度。
大学平面方程知识点总结
大学平面方程知识点总结一、直角坐标下的平面方程在直角坐标系中，平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为与原点的距离。
1. 点法式：设平面上有一点P(x1, y1, z1)，法向量为n=(A, B, C)，则平面方程为A(x-x1) +B(y-y1) + C(z-z1) = 0。
通过这个方程可以得到平面的方程。
2. 三点式：设平面上有三点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，则平面方程为| x-x1 y-y1 z-z1 || x2-x1 y2-y1 z2-z1 |= | x3-x1 y3-y1 z3-z1 | = 0三点式的平面方程可以通过行列式的形式得到，通过这个方程可以得到平面的方程。
3.截距式：平面与坐标轴的交点在坐标轴上的长度即是截距，所以可以用平面与三个坐标轴的截距来表示。
设平面截距为a、b、c，平面方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
4.参数方程：平面也可以用参数方程来表示，设平面上一点为P(x, y, z)，那么平面的参数方程可以表示为P = (x, y, z) = P0 + su + tv，其中P0是平面上一点的坐标，s、t为参数，u、v为平面的两个不平行的向量。
5.法向量的选择：平面的法向量并不唯一，可以选择任意的向量作为法向量，只要它与平面垂直即可。
通常我们会选择单位向量作为法向量，这样可以方便地计算距离。
6.与直线的关系：平面与直线有很多关系，我们可以通过平面和直线的方程来求它们的交点、角度等。
7.与平面的关系：平面与平面有很多关系，我们可以通过平面和平面的方程来求它们的交线、夹角等。
二、极坐标下的平面方程在极坐标系中，平面方程的一般形式为r = f(θ)，其中r为极径，θ为极角，f(θ)为一个关于极角的函数。
1. 直角坐标与极坐标的转换：在直角坐标系下，点P(x, y)，极坐标表示为P(r, θ)，其中r=sqrt(x^2 + y^2)，tan(θ) = y/x。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
常见空间曲面的参数方程
常见空间曲面的参数方程
空间曲面是三维空间中的曲线的推广，它可以用参数方程来描述。
常见的空间曲面包括球面、圆柱面、抛物面等，它们可以通过参数方程来表示。
首先，让我们来看看球面的参数方程。
对于半径为R的球面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)sin(v)。
y = Rsin(u)sin(v)。
z = Rcos(v)。
其中，u和v分别是球面上的参数，u的范围一般是0到2π，v的范围一般是0到π。
这个参数方程可以描述整个球面上的点。
接下来是圆柱面的参数方程。
对于以z轴为轴的圆柱面，其参数方程可以表示为：
x = Rcos(u)。
y = Rsin(u)。
z = v.
其中，u的范围一般是0到2π，v的范围可以根据具体情况来确定。
这个参数方程描述了圆柱面上的点。
最后是抛物面的参数方程。
对于抛物面，其参数方程可以表示为：
x = u.
y = v.
z = u^2 + v^2。
其中，u和v的范围可以根据具体情况确定。
这个参数方程描述了抛物面上的点。
除了这些常见的空间曲面，还有许多其他曲面，它们都可以通
过参数方程来描述。
参数方程的使用可以让我们更直观地理解曲面的性质和特点，从而更好地研究和分析空间中的曲面。
希望这些信息能够帮助到你理解常见空间曲面的参数方程。
一曲面的概念
一 曲面的概念1 简单曲面以及参数表示（1） 主要概念若尔当曲线，初等区域、简单曲曲面的参数表示、区纹坐标、坐标曲线、区纹坐标网。
（2） 主要公式曲面的参数方程：曲面S),(v x x μ=，),(v y μ=，),(v z μ=，G v ∈),(μ 曲面的向量参数表示：曲面S==),(v u r r),,({v u x ),,(v u y )},(v u z其中G v u ∈),(，u ，v 曲面上的点的曲纹坐标。
（3） 实例：圆柱面的参数表示),(z r θ={}z R ,cos θ=即,θμ=G z v ,=是一个长方形的区域：,20πθ<<.∞<<-∞z 坐标曲线是：-θ曲线（z=常数）即=),(0z r θ{}z R R 0,sin ,cos θθ.它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。
-z 曲线（θ是常数）即:{}z R R z r ,sin ,cos ),(000θθθ= 它是原柱面上的直母线。
球面的参数表示为：),(θφr r =,cos cos {φθR = }sin ,sin cos θφθR R ， G ∈),(θφ是一个长方形区域：22πθπ<<-；.20θφ<<即φ=u ，θ=v 。
坐标曲线是-ϕ曲线（θ=常数），即),(0θϕr =ϕθcos cos {0R ，ϕθsin cos 0R ，}sin 0θR 是球面上等纬度的圆——纬线，-θ曲线，（θ=常数），即==),(0θϕr ϕθ0cos cos {R ，}sin ,sin cos 0θθϕR 它是球面上过两极的半圆——纬线（子午线）。
2光滑曲面（1）主要概念k 阶正则曲面、光滑曲面、曲面的正常点、曲面的正规坐标网、曲面的特殊参数表示、曲面的切方向、曲面的切平面、曲面的法方向、曲面的法线、曲面的正侧。
（2）主要定理命题 1 曲面在正常点的邻域中可以有形式为),(y x z z =的特殊参数表示。
曲面的参数方程1
x r cos cos , y r cos sin , z r sin .
(2.2-8)
(2.2-7)或(2.2-5)中的θ，为参数，其取值范围分别是 -φ与-/2θ＜/2. 从球面的参数方程（2.2-8）消去参数φ，θ，就得它的 普通方程为 2 2 2 2
球坐标系的提出：
为了实现全球通讯线路畅通，需要发射三颗地球同 步卫星.按照要求，这三颗卫星应位于赤道平面内，距 地球36000千米的高空中，且它们构成等边三角形，那 么怎样确定它们的位置呢？ 在实际中，我们是用三个数据来确定卫星的位置， 即卫星到地球中心的距离、经度、纬度. 这种用距离和二个角度来表示空间一点的位置的思 想，就是球坐标的基本思想.
2 2
2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2
将(2.2 - 1)展开后得 x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （2.2—3） 因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项 的系数相等，交叉项消失。
此即为圆柱面的向量式参数方程。 其坐标式参数方程为
r Q
M
(2.2-9)或(2.2-10)式中的，u为参数，其取值范围是 -＜，-＜u＜+
x R cos y R sin z u
o o x
P
y
(2.2-10)
地理坐标
地理坐标是用经度、纬度表示地面点位置的球面坐 标。地理坐标系以地轴为极轴，所有通过地球南北极 的平面，均称为子午面。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。
1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。
2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。
二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。
1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。
三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。
1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。
2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。
3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。
四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。
2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。
五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。
空间曲面知识点总结
空间曲面知识点总结一、曲面的概念及分类1. 曲面的概念曲面是指在三维空间中的一种特殊的曲线形态，它是由平面或曲线在空间中移动所生成的一种特殊几何体。
曲面具有无限多个点，并且在每一点处都具有切平面。
2. 曲面的分类根据曲面的性质和特征，曲面可以分为以下几类：① 圆柱面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向垂直。
② 圆锥面：由一条曲线(母线)沿着一定方向移动形成的曲面，母线与运动方向夹角不垂直。
③ 椭球面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。
④ 双曲面：由一个椭圆绕两根相交的直线轴旋转一周而生成的曲面。
⑤ 抛物面：由一条抛物线绕其焦点旋转形成的曲面。
二、曲面的参数方程1. 曲面的参数方程概念曲面的参数方程是用参数形式来描述曲面上的所有点，其表达形式为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)其中，u和v分别是曲面上的参数。
通过选取合适的参数u和v取值范围，可以描述出曲面上的所有点。
2. 曲面的常见参数方程2.1 圆柱面圆柱面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = z其中，r和z为常数，θ为参数。
2.2 圆锥面圆锥面的参数方程为：x = rcosθy = rsinθz = kz其中，r和k为常数，θ为参数。
2.3 椭球面椭球面的参数方程为：x = acosucosvy = bcosusinvz = csinv其中，a、b、c为椭球的半轴长，u、v为参数。
2.4 双曲面双曲面的参数方程为：x = asinhucosvy = asinhusinvz = bvcosv其中，a、b为常数，u、v为参数。
2.5 抛物面抛物面的参数方程为：x = ucy = uvz = au^2+bv^2其中，a、b、c为常数，u、v为参数。
三、曲面的方程1. 曲面的一般方程曲面的一般方程一般为三元二次方程形式，表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数。
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中非常重要的概念，我们在生活中也可以发现许多物体的形状都可以用曲线与曲面来描述。
这篇文章将介绍曲线与曲面的参数方程，为大家解答这个问题。
一、曲线的参数方程曲线是指在平面或空间中的一条连续的线，因为曲线有弯曲和曲度的特性，所以需要用一种方法来描述它的特性。
参数方程就是一种常用的描述曲线特性的方法。
曲线的参数方程可以用一组参数来表示曲线上的每个点的位置，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t)\end{cases}$$这就是二维平面曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$ 和$g(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，坐标系上的圆可以用以下参数方程来表示：$$\begin{cases}x=r\cos t \\ y=r\sin t \end{cases}$$其中 $r$ 是圆的半径，$t$ 的取值范围是 $0\leq t<2\pi $。
当$t=0$ 时，表示圆的起点，当 $t=2\pi$ 时，表示圆的终点。
因为$t$ 是参数，所以可以用不同的参数方程来描述同一个曲线，例如：$$\begin{cases}x=r\cos \omega t \\ y=r\sin \omega t \end{cases}$$其中 $\omega$ 是常数，这也是描述圆的参数方程，只不过经过了缩放，并且运动速度变快了。
同样，空间中的曲线也可以用参数方程来表示，通常可以表示为：$$\begin{cases}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t) \end{cases}$$这就是三维空间中曲线的参数方程，其中 $t$ 是参数，$f(t)$、$g(t)$ 和 $h(t)$ 是随参数 $t$ 的变化而改变的函数。
例如，直线的参数方程可以表示为：$$\begin{cases}x=x_0+at \\ y=y_0+bt \\ z=z_0+ct \end{cases}$$其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上的一个点，$(a,b,c)$ 是直线的方向向量。
参数方程的概念
参数方程的概念
参数方程，又称参数表达式或参数式，是一种描述曲线或曲面的数学
工具。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过给定参数的取值来确定点的
位置，从而描绘出曲线或曲面的形状。
参数方程在微积分，物理学，工程
学等领域经常被使用。
一维参数方程描述曲线在平面上的位置，通常记作：x=x(t)，y=y(t)，其中x和y是平面上的点的坐标，t是参数，表示曲线上的各个点。
二维
参数方程描述曲面在三维空间中的位置，通常记作：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，其中x，y，z是空间中的点的坐标，u和v是两个参数，表示
曲面上的各个点。
参数方程也可以用于描述物体在空间中的运动。
例如，一个物体在直
线上做匀速运动，可以使用参数方程x = x0 + vt来描述其位置，其中
x0是初始位置，v是速度，t是时间。
类似地，可以使用参数方程描述物
体在曲线上或曲面上的运动。
这在物理学和机械工程中有着广泛的应用。
在数学中，参数方程也经常用于求解方程组。
通过将未知数表示成参
数的函数，可以将方程组转化为参数方程的形式，从而简化求解过程。
参
数方程还可以用于求解微分方程和积分方程等复杂的数学问题。
总之，参数方程是一种灵活而强大的数学工具，可以描述曲线和曲面
的形状，解决各种数学问题，实现各种应用。
它在数学，物理学，工程学
和计算机科学等领域都有广泛的应用。
三维曲面的参数方程
三维曲面的参数方程通常使用两个独立的参数（常常记为u和v）来表示曲面上每个点的位置。
以下是一个一般形式的三维曲面参数方程：
x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
其中，x、y、z是笛卡尔坐标系中的坐标函数，它们都是参数u和v的函数。
u和v的变化范围定义了曲面的覆盖区域。
以下是一些常见的三维曲面参数方程的例子：
1. 球面：
x = r * cos(u) * sin(v)
y = r * sin(u) * sin(v)
z = r * cos(v)
其中，r是球的半径，u和v的取值范围分别是0到2π和0到π。
2. 柱面（以x轴为轴）：
x = u
y = v * cos(u)
z = v * sin(u)
其中，u和v的取值范围可以根据柱面的具体需求来设定。
3. 圆环面（平行于xoy平面）：
x = r * cos(u)
y = r * sin(u)
z = v
其中，r是内圆的半径，u和v的取值范围分别是0到2π和-h到h，h是圆环的厚度。
4. 莫比乌斯带：
x = (1 + a * cos(u / 2)) * cos(u)
y = (1 + a * cos(u / 2)) * sin(u)
z = v * sin(u / 2)
其中，a是控制扭曲程度的参数，u和v的取值范围分别是0到2π和-π到π。
这些参数方程可以根据需要进行调整和变换，以生成不同形状和特性的三维曲面。
在MATLAB等软件中，可以使用fsurf或meshgrid函数来绘制这些参数方程定义的三维曲面。
曲线的向量方程与参数方程1向量函数
3：证明：三向量 mb nc, nc la, la mb
必共面（两种方法证明）
有向角 定义 平面上，若 a, b 不共线，则称由 a 到 b 的角为有向角，记做 (a, b)
[注 ]
① 若 a 到 b 为逆时针方向，则
b
(a, b) (a, b)
ห้องสมุดไป่ตู้
a
② 若 a 到 b 为顺时针方向，则
练习 1.已知 a 3, b 26, a b 72, 则 a b 2.已知 a 2i 3 j k , b i j 3k , c i 2 j 则
(1)(a b)c (a c)b (2)(a b) (b c) (3)(a b) c
r(u, v) x(u, v)e1 y(u, v)e2 z(u, v)e3
叫做曲面的向量式参数方程
(1)
§2.2 曲面的方程
x x(u , v) 定义4 称 y y (u , v) (a u b, c v d ) z z (u , v)
为曲面的坐标式参数方程
a y 2 x a arccos 2ay y (0 ) a
§2.1 平面曲线的方程
用向量函数建立曲线方程的步骤
① 建立恰当的坐标系； ② 设曲线上任意一动点P的向径为 r ，即
r OP ，将 r 表示为其它向量的代数和；
③ 求各向量与x轴正向的方向角； ④ 求出每一个向量在坐标轴上的投影， 并写出分解式； ⑤ 利用上述结果求出 r 的表达式，并写出 曲线的向量式参数方程或坐标式参数方程
y C B P A
O
x
§2.1 平面曲线的方程
第三节 曲面及其方程
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊 球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点 的全体所组成的曲面方程. 解 设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋 转 双 曲 面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.
参数方程中t1t2的用法
参数方程中t1t2的用法概述参数方程是数学中一种常见的表达等式的方法，它通过引入一个或多个参数来描述曲线、平面或立体图形。
在参数方程中，t1和t2是两个常用的参数，它们可以用来确定曲线上的点的位置。
本文将详细介绍参数方程中t1和t2的用法，以及它们在几何图形和物理问题中的应用。
什么是参数方程参数方程是一种用参数表示一组函数关系的方法。
在一般的函数表达式中，自变量和因变量之间存在直接的映射关系，而在参数方程中，通过引入参数，可以使自变量和因变量之间的关系更加灵活，能够描述出复杂的几何图形。
参数方程中的t1和t2在参数方程中，t1和t2是常用的参数名称，它们通常用来表示参数空间中的两个方向。
具体来说，t1表示参数空间中的横轴方向，而t2表示参数空间中的纵轴方向。
通过改变t1和t2的取值，可以确定参数空间中的某一点，进而确定曲线上的一点的位置。
参数方程的示例为了更好地理解参数方程中t1和t2的用法，我们可以看一些具体的示例。
示例1：直线方程考虑一个简单的直线方程，可以用参数方程表示为： x = 2t1 + 1 y = 3t2 - 2在这个示例中，t1和t2表示参数空间中的两个方向。
当我们给定t1和t2的值时，就可以确定二维空间中的某一点的坐标。
例如，当t1 = 0，t2 = 0时，可以得到x = 1，y = -2，即直线上的一个点的坐标。
示例2：圆的方程现在考虑一个圆的方程，可以用参数方程表示为： x = r * cos(t1) y = r *sin(t1)在这个示例中，t1表示参数空间中的角度，r表示圆的半径。
通过改变t1的取值，可以得到圆周上的不同点的坐标。
例如，当t1 = 0时，可以得到圆上的一个点的坐标。
参数方程在几何图形中的应用参数方程在几何图形中有广泛的应用。
通过引入参数，可以更灵活地描述各种曲线、曲面和立体图形。
曲线在曲线的研究中，参数方程可以方便地描述曲线的形状和特征。
通过改变参数的取值范围，可以绘制出曲线的不同部分，同时可以方便地计算曲线的长度、切线和曲率等属性。
高等数学空间曲面各种类型及方程
高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，其中涵盖了许多复杂的数学概念和理论。
其中，空间曲面是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
本文将系统地介绍高等数学中空间曲面的各种类型及其方程。
一、空间曲面的定义空间曲面指的是三维空间中的曲线的集合，也就是说，它是由参数方程或者隐函数方程所描述的。
在数学中，空间曲面通常可以用下面的方程形式来表示：1. 参数方程形式：$P(x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)), \alpha < t < \beta$2. 隐函数方程形式：$F(x, y, z) = 0$二、曲面的分类根据曲面的性质和方程的形式，空间曲面可以分为多种类型。
下面将分别介绍常见的曲面类型及其方程。
1. 锥面锥面是一种由一条直线（母线）绕着一个固定点（顶点）旋转而成的曲面。
它的方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = at \\y = bt \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
2. 圆锥曲面圆锥曲面是由一条固定直线（母线）和一个固定点（焦点）相对应的点所生成的曲面。
其方程可以用隐函数方程表示为：$x^2 + y^2 = z^2$3. 圆柱面圆柱面是由一条曲线（母线）沿着平行于一条直线轴线运动而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = ct\end{cases}$其中，a、b、c为常数。
4. 圆锥面圆锥面是由一条圆锥曲线绕着其中心轴旋转而形成的曲面。
其方程可以用参数方程形式表示为：$\begin{cases}x = a\cos(t) \\y = b\sin(t) \\z = \pm\sqrt{x^2 + y^2}\end{cases}$其中，a、b为常数。
5. 双曲面双曲面是一种具有双曲线截面的曲面。
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x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
3、曲面的坐标式参数方程
向径 r u , v 的坐标为 x u, v , y u, v , z u, v ，所以曲面的参 数方程也可写成
2 2
2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2
将(2.2 - 1)展开后得 x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （2.2—3） 因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项 的系数相等，交叉项消失。
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二、曲面的参数方程
1、双参数向量函数
设在两个变量u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2.2-4) (2.2-5)
称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的坐标，它们都是变数u，v的函数。
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 ,
表示的向径 r u , v 的终点 M 总在一个曲面上； 而这向径可由 u , v 的值 a u b, c v d 通过
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径
§2.2 曲面的方程
Contents
• 一、曲面的方程
• 二、曲面的参数方程 • 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程 定义2.2.1: 若曲面Σ与三元方程F (x, y, z) =0有如下关 系: (1) Σ上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0; (2) 不在Σ上点的坐标都不 满足方程F (x, y, z) =0;
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 完全决定，
那么我们就把表达式 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 叫做 曲面的向量式参数方程，其中 u , v 为参数.
2
2
y y0 z z0 R
2
z z0 R 2
（2.2—1）
特殊地：球心在原点时方程为
x 2 y 2 z 2 R2
（2.2—2）
由
x x0
2
y y0 z z0 R
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
以下给出几例常见的曲面.
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
M R M0
2
根据题意有 | MM0 | R
x x0
x x0
习惯上把上面的点叫做点球，无实图形时叫做虚球 面，这三种情形统称为球面。因此球面的方程是一 个二次项系数相等，交叉项消失的三元二次方程。
例5 方程 z ( x 1) ( y 2) 1的图形是怎样的？
2 2
解
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
z F ( x, y , z) = 0
Σ
o x y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面Σ的方程, 而曲面 Σ叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
由点的轨迹导出曲面方程
例 1 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程. 解 垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为
反之，由一般式方程 (2.2 - 3)，经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 为实的球面. 当 A² +B² +C² -4D=0 时, 为空间一点.
当 A² +B² +C² -4D 0 时, 无实图形.