曲面的参数方程1
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当u,v取遍变动区域的一切值时， 向径 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
3、曲面的坐标式参数方程
向径 r u , v 的坐标为 x u, v , y u, v , z u, v ，所以曲面的参 数方程也可写成
2 2
2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2
将(2.2 - 1)展开后得 x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （2.2—3） 因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项 的系数相等，交叉项消失。
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二、曲面的参数方程
1、双参数向量函数
设在两个变量u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2.2-4) (2.2-5)
称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的坐标，它们都是变数u，v的函数。
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 ,
表示的向径 r u , v 的终点 M 总在一个曲面上； 而这向径可由 u , v 的值 a u b, c v d 通过
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径
§2.2 曲面的方程
Contents
• 一、曲面的方程
• 二、曲面的参数方程 • 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程 定义2.2.1: 若曲面Σ与三元方程F (x, y, z) =0有如下关 系: (1) Σ上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0; (2) 不在Σ上点的坐标都不 满足方程F (x, y, z) =0;
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 完全决定，
那么我们就把表达式 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 叫做 曲面的向量式参数方程，其中 u , v 为参数.
2
2
y y0 z z0 R
2
z z0 R 2
（2.2—1）
特殊地：球心在原点时方程为
x 2 y 2 z 2 R2
（2.2—2）
由
x x0
2
y y0 z z0 R
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
以下给出几例常见的曲面.
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
M R M0
2
根据题意有 | MM0 | R
x x0
x x0
习惯上把上面的点叫做点球，无实图形时叫做虚球 面，这三种情形统称为球面。因此球面的方程是一 个二次项系数相等，交叉项消失的三元二次方程。
例5 方程 z ( x 1) ( y 2) 1的图形是怎样的？
2 2
解
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
z F ( x, y , z) = 0
Σ
o x y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面Σ的方程, 而曲面 Σ叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
由点的轨迹导出曲面方程
例 1 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程. 解 垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为
反之，由一般式方程 (2.2 - 3)，经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 为实的球面. 当 A² +B² +C² -4D=0 时, 为空间一点.
当 A² +B² +C² -4D 0 时, 无实图形.
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
3、曲面的坐标式参数方程
向径 r u , v 的坐标为 x u, v , y u, v , z u, v ，所以曲面的参 数方程也可写成
2 2
2
得上、下半球面的方程分别是：
z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2 z z0 R2 ( x x0 )2 ( y y0 )2
将(2.2 - 1)展开后得 x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （2.2—3） 因此球面方程是一个三元二次方程，它的所有平方项 的系数相等，交叉项消失。
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二、曲面的参数方程
1、双参数向量函数
设在两个变量u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2.2-4) (2.2-5)
称为双参数向量函数，其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变 向量r(u,v)的坐标，它们都是变数u，v的函数。
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 ,
表示的向径 r u , v 的终点 M 总在一个曲面上； 而这向径可由 u , v 的值 a u b, c v d 通过
反过来，在这个曲面上的任意点 M 总对应着以它为终点的向径
§2.2 曲面的方程
Contents
• 一、曲面的方程
• 二、曲面的参数方程 • 三、球坐标系与柱坐标系
一、曲面的方程 定义2.2.1: 若曲面Σ与三元方程F (x, y, z) =0有如下关 系: (1) Σ上任一点的坐标满 足方程F (x, y, z) =0; (2) 不在Σ上点的坐标都不 满足方程F (x, y, z) =0;
r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 完全决定，
那么我们就把表达式 r u, v x u, v e1 y u, v e2 z u, v e3 叫做 曲面的向量式参数方程，其中 u , v 为参数.
2
2
y y0 z z0 R
2
z z0 R 2
（2.2—1）
特殊地：球心在原点时方程为
x 2 y 2 z 2 R2
（2.2—2）
由
x x0
2
y y0 z z0 R
2
1 , 2
2
2 4 116 2 . 所求方程为 x y 1 z 3 3 9
以下给出几例常见的曲面.
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
M R M0
2
根据题意有 | MM0 | R
x x0
x x0
习惯上把上面的点叫做点球，无实图形时叫做虚球 面，这三种情形统称为球面。因此球面的方程是一 个二次项系数相等，交叉项消失的三元二次方程。
例5 方程 z ( x 1) ( y 2) 1的图形是怎样的？
2 2
解
根据题意有 z 1
用平面 z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
z F ( x, y , z) = 0
Σ
o x y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面Σ的方程, 而曲面 Σ叫做方程F (x, y, z) =0的图形.
由点的轨迹导出曲面方程
例 1 已知 A(1,2,3)， B( 2,1,4)，求线段 AB 的 垂直平分面的方程. 解 垂直平分面可以看成到两定点A和B等距离的动点 M(x,y,z)的轨迹，故点M的特征为
反之，由一般式方程 (2.2 - 3)，经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 为实的球面. 当 A² +B² +C² -4D=0 时, 为空间一点.
当 A² +B² +C² -4D 0 时, 无实图形.