近世代数基础
近世代数基础1
S
1 p
gS
2 p
g
1
(其中S
1 p
,
S p2为sylow
p子群)
8.对{e}≠G，若 G 没有非平凡正规子群，称为单群。
9.交换群 G 是单群⇔ G Z p ，p 为素数。 10.阶数最小的非交换单群是 60 阶的 5 元交代群 A5。
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近世代数基础
2.6 群在集上的作用
2.4 同态
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近世代数基础
1.设群(G,·)和(H,×)，φ 是 G 到 H 的映射，若对 x, y G 有
(x y) (x) (y) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的同态。当 φ 是单/满射时称 φ 为单/满同态。φ 的像(G 的同态像)为 Im {(x) | x G} H ；φ 的核为 Ker {x G | (x) e,e为H的恒等元} G 。当 φ 为满 同态时 Imφ=H；当 φ 为单同态时 Kerφ={e}。
是双射，且 (1) S T (S) (T ) (2) S G (S) G (3)若 S G 则 G / S G /(S)
2.5 有限群 设有限群 G 的阶为 n，子群 H、元素 a 阶为 m。
1.m|n 且 an=e。 2.设 H 在 G 中不同左陪集的个数为[G:H]，称[G:H]为 H 在 G 中的指数，则 n=[G:H]m， 即|G|=|H|[G:H]。若 H G，则|G/H|=t，即|G|=|H||G/H|。
(x y) (y) (x) 则称 φ 是群(G,·)到(H,×)的反同构，称群(G,·)反同构于(H,×)，记为 (G,) 1 (H ,) 。反同构关 系具有对称性。
近世代数基础知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
近世代数基础知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学第一章测试1.在一个有限群里阶大于0的元的个数一定是偶数参考答案:错2.循环群一定不是交换群参考答案:错3.同构的两个群有相同的阶数参考答案:对4.整数环存在零因子参考答案:错5.设Z11是整数模11的剩余类环，则Z11的特征是1参考答案:错第二章测试1.参考答案:错2.参考答案:对3.参考答案:对4.在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数参考答案:对5.一个有限群的每一个元素的阶都是有限的参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:;8.循环群一定是交换群参考答案:对9.参考答案:对10.参考答案:对第三章测试1.参考答案:对2.参考答案:对3.参考答案:错4.参考答案:对5.参考答案:对6.正规子群的交仍是正规子群。
参考答案:对7.参考答案:对8.参考答案:对9.参考答案:错10.参考答案:对第四章测试1.参考答案:32.参考答案:3.参考答案:P仅有平凡因子4.参考答案:5.参考答案:欧式环6.若Q是一个域，不正确的是参考答案:Q对乘法成群7.参考答案:8.参考答案:9.数域P上的n阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法()参考答案:构成一个群10.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为()参考答案:4个11.参考答案:12.参考答案:R的理想一定是子环13.参考答案:有单位元的交换环14.参考答案:1第五章测试1.参考答案:错2.参考答案:对3.参考答案:对4.参考答案:对5.参考答案:对6.参考答案:错7.参考答案:错8.参考答案:;;9.参考答案:;;10.参考答案:对第六章测试1.有限域F 的非零元作成的乘群是一个循环群参考答案:对2.每个有限扩展不一定是代数扩张参考答案:错3.域一定是整环，但整环却不一定是域参考答案:对4.整数环Z是域.参考答案:错5.若R是一个可交换的除环，则称R为域参考答案:对6.有限整环不是域参考答案:错7.参考答案:对8.参考答案:对9.下面是无限域的是参考答案:全体复数构成域;全体实数构成域10.参考答案:;;。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，又称抽象代数，是数学的一个重要分支，它为许多其他数学领域提供了基础和工具。
下面让我们一起来了解一些近世代数的关键知识点。
首先是群的概念。
群是近世代数中最基本的结构之一。
简单来说，一个群就是一个集合 G 以及定义在这个集合上的一种运算“”，满足一些特定的条件。
比如，对于集合中的任意两个元素 a 和 b，运算的结果ab 仍然属于这个集合；存在一个单位元 e，使得对于任意元素 a，都有ae ＝ ea ＝ a；对于每个元素 a，都存在一个逆元 a^（－1)，使得 aa^（－1) ＝ a^（－1)a ＝ e。
群的例子在生活中也有不少，比如整数集合在加法运算下构成一个群。
环也是近世代数中的重要概念。
一个环 R 是一个集合，上面定义了两种运算：加法“＋”和乘法“·”。
加法满足交换律、结合律，有零元，每个元素都有相反数；乘法满足结合律；乘法对加法满足分配律。
常见的环有整数环、多项式环等。
接下来是域。
域是一种特殊的环，它要求非零元素对于乘法运算构成一个群。
比如有理数域、实数域和复数域。
同态和同构是近世代数中用来比较不同代数结构的重要工具。
同态是指两个代数结构之间存在一种保持运算的映射。
如果这个映射还是一一对应的，那就是同构。
同构的两个代数结构在本质上可以看作是相同的。
在近世代数中，子群、子环和理想也具有重要地位。
子群是群的一个子集，在原来的运算下也构成群；子环是环的一个子集，在原来的两种运算下也构成环；理想则是环中的一个特殊子集，对于环中的乘法和加法有特定的性质。
再来说说商群和商环。
以商群为例，给定一个群 G 和它的一个正规子群N，就可以构造出商群G/N。
商群中的元素是由N 的陪集构成的。
近世代数中的重要定理也不少。
比如拉格朗日定理，它对于理解群的结构和性质非常有帮助。
该定理指出，子群的阶整除群的阶。
最后，我们谈谈近世代数的应用。
在密码学中，群和环的理论被广泛用于加密和解密算法的设计。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展可以追溯到16世纪。
近世代数的发展不仅对数学本身产生了深远的影响，也在其他科学领域中发挥了重要作用。
本文将介绍近世代数的发展历程，分为五个部份，分别是：1. 代数基础的奠定；2. 方程论的发展；3. 群论的兴起；4. 环论的发展；5. 近世代数的应用。
一、代数基础的奠定：1.1 古希腊代数的起源：古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人奠定了代数的基础，提出了平方数和立方数的概念，并研究了它们的性质。
1.2 文艺复兴时期的代数发展：文艺复兴时期，数学家卡尔丹诺和维埃塔等人开始研究代数方程，并提出了求解一元二次方程的方法。
1.3 笛卡尔的坐标系：17世纪，笛卡尔引入了坐标系的概念，将代数问题转化为几何问题，为代数的发展开辟了新的道路。
二、方程论的发展：2.1 代数方程的分类：18世纪，数学家拉格朗日将代数方程分为代数方程和超越方程，并研究了它们的性质和解法。
2.2 高次方程的解法：19世纪初，数学家阿贝尔和伽罗瓦等人独立地证明了五次及以上的代数方程无法用根式解出，这一结果被称为“阿贝尔-伽罗瓦定理”。
2.3 线性代数的发展：19世纪，数学家凯莱和哈密尔顿等人提出了线性代数的概念，研究了线性方程组和线性变换等内容。
三、群论的兴起：3.1 群的定义与性质：19世纪，数学家狄利克雷和凯莱等人提出了群的定义，并研究了群的性质，如封闭性、结合律和逆元等。
3.2 群论的应用：群论不仅在代数中有广泛应用，还在物理学、化学和密码学等领域中发挥了重要作用。
3.3 群论的扩展：20世纪，数学家冯·诺伊曼和埃米·诺特等人进一步发展了群论，提出了正规子群、商群和群同态等概念。
四、环论的发展：4.1 环的定义与性质：20世纪初，数学家费罗和诺特等人提出了环的定义，并研究了环的性质，如加法和乘法的封闭性、结合律和分配律等。
4.2 环论的应用：环论在代数几何、代数编码和数论等领域中有广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
近世代数基础课件
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
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第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
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1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构及其性质。
本文将对近世代数的基础知识点进行总结，包括群、环、域和向量空间等的定义和性质。
一、群群是近世代数的基础概念，它是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群的定义包括四个要素：集合、封闭性、结合律和单位元，还需要满足可逆性。
群的性质有唯一性、消去律、幂等性和逆元的唯一性等。
二、环环是在群的基础上引入了乘法运算的代数结构。
环的定义包括三个要素：集合、封闭性和满足环公理。
环的性质有零元的唯一性、加法逆元的唯一性、分配律和幂等性等。
三、域域是在环的基础上引入了除法运算的代数结构。
域的定义包括四个要素：集合、封闭性、满足域公理和乘法逆元的存在性。
域的性质有乘法单位元的唯一性、乘法逆元的唯一性和消去律等。
四、向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它是一个集合和一个数域上的向量运算构成的代数结构。
向量空间的定义包括十个要素：集合、封闭性、加法单位元、加法逆元、加法交换律、加法结合律、标量乘法结合律、标量乘法分配律、标量乘法单位元和标量乘法结合律。
向量空间的性质有零向量的唯一性、加法逆元的唯一性和标量乘法的分配律等。
五、同态映射同态映射是近世代数中的一个重要概念，它是保持代数结构之间运算关系的映射。
同态映射的定义要求保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元。
同态映射的性质有保持运算的封闭性、满足运算关系和保持单位元等。
六、理想理想是环和域中的一个重要概念，它是一个子集，并且满足加法逆元、封闭性和分配律。
理想的性质有加法单位元的存在性、加法逆元的存在性和分配律等。
七、同余关系同余关系是环中的一个重要概念，它是一种等价关系，表示两个元素具有相同的余数。
同余关系的性质有自反性、对称性和传递性等。
八、域的扩张域的扩张是域论中的一个重要概念，它是在一个域上构造出一个更大的域。
域的扩张可以通过添加一个或多个元素来实现，使得新的域仍然满足域公理。
第1章近世代数基本概念汇总
引言 近世代数理论的两个来源
有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能 求根。 最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(1811-
1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新 的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群 与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
An到D的一个n元映射。 一的d D,则称 是A1 A2
d叫做(a1 , a2 ,
an )在之下的象; (a1, a2 ,
an ) d (a1, a2 ,
an )叫做d 在下
an )
的一个逆象(原象). 用符号表示:
: (a1, a2 ,
2018/10/13
§2 映射
A1 , A2 ,, An 的并和交分别记为：
n i 1
Ai A1
n
A2
n
An ,
i 1
Ai A1
A2
An .
x x
2018/10/13
i 1 n i 1
Ai Ai , x Ai . Ai Ai , x Ai .
§1 集合
集合的差运算： A B {x | x A但x B} 即A-B是由一切属于A但不属于B 的元素所组成。
则 不是一个A B到D的映射.
例5 设A=D=R. 定义
: a a, 若是 a 1
1 b, 这里 b2 1 则不是一个A到D的映射.
§2 映射
映射定义要注意以下几点:
1） 集合 A 1, A 2,
2） A1 , A2 ,
, An , D 可以相同;
高等学校教材·近世代数基础
高等学校教材·近世代数基础
近世代数学是现代数学的基础，由西方古希腊数学家贝叶斯等人发掘、深入研究而成。
它可以帮助我们更好地理解复杂的数学问题，也可以帮助我们通过数学原理来求解问题，并发现规律。
因此，熟悉近世代数学基础是一门课必须掌握的知识。
近世代数学基础包括代数、几何与微积分三大部分。
其中，代数是最基础的一部分。
它重要探索和描述不同元素之间关系，从而可以解决数学关系上的问题，建立方程式对数学问题进行描述，并且运用高级数学技巧解决数学问题。
几何是一种可视化思维，它不仅能够帮助我们更好地理解空间结构，同时也能够解决大量几何实际问题。
最后，微积分是一种可以探究数字的变化的技术，可以描述不同的函数在给定的范围内的变化，从而了解不同的系统的变化。
熟悉近世代数学基础不仅有助于我们掌握数学思想，而且也有助于我们深入理解更多的科学知识，从而加深我们对其原理的理解。
同时，它还能帮助我们预测未来，从而更好地解决问题。
例如，由于拥有微积分知识，我们可以利用微积分方法来测量物体在加速运动中的速度、位移等，并且在求解问题中发挥作用。
总而言之，近世代数学基础的学习和掌握是一门课程的必备知识，同时也是理解数学思想和深入科学知识的基础，它不仅能够为我们理解复杂的数学概念奠定坚实的基础，而且还能够帮助我们探究解决问题的方法，实现未来的可能性。
- 1 -。
近世代数基础PPT课件
来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了
一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，
它是近世代数的另一个重要理论来源。
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（3）Kummer理想数的发现
17世纪初法国数学家费马(P.Fermat 1601-1665） 研究整数方程时发现当n≥3时，方程 xn+yn=zn 没有正整数解，费马认为他能够证明这个 定理，但是其后的三百多年中人们研究发现这是一 个非常困难的问题，这一问题被后来的研究者称为 费马问题或费马大定理，此定理直到1995年才被英 国数学家A.Wiles证明。对费马问题的研究在三个半 世纪内从未间断过，欧拉、高斯等著名数学家都对 此作出过重要贡献。但最重大的一个进展是由 E.Kummer作出的。
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Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
14
加罗华
阿贝尔
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(2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发
现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2= -1。二元数按
(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行
代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一
近 世 代 数
概 述
11
>>
1． 近世代数理论的三个来现 (3) Kummer理想数的发现
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（1） 代数方程的解 两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开
信息论与编码第八章 近世代数基础
+
0
1
0
0
1
1
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×
0
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0
0
1
0
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显然，在模2加上为一个交换群，在模2乘上为一个群, 因此只需计算 a·(b+c) 和 a·b+a·c 在a、b、c 8种可能组合下的结果，容易验证模2乘法 对模2加法满足分配律，因此集合{0,1}在模2加和模2乘上为一个域。
8.5 素数域 G(p)
p为一个素数，可以证明{0,1,2,3,…,p-1}在模p加法和乘法下都是交换群。 根据模p加法与乘法的定义以及实属加法和乘法的分配律，可以证明模p加 法和乘法也满足分配律。
3为生成元
3. 循环群
8.2 子群 & 循环群
定理8.4 交换群G中的每一个元素α 都能生成一个循环群，它是G的子 群，元素α 的阶就是循环群的阶。
练习1： 请大家计算模9余数在模9加法运算“⊙”下构成的群，分别 取生成元为2 和 6， 并给出其阶数
8.3 群的陪集
1. 群的陪集
设G′为群G的非空子群，取h ∈ G，则称h ∗ G′为G′的左陪集，称 G′∗ h为G′的右陪集。当G是交换群时，子群G′的左、右陪集是相 等的，元素h称作陪集首。
有限群 阶为有限值的群称作有限群。
8.1 群
定理 8.2 任何正整数a均可表示成其素因数的幂之积：
a
=
p1r1
p
r2 2
p nrn
p1 , p2 , … , pn：a的互不相同的素因数，ri：正整数。
例 8.2 若不考虑排列次序，这种分解是唯一的，例：180 = 223251。
定理 8.3 设a、b是不全为0的整数，则存在整数 p、q使 pa + qb = (a , b)
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中的一个分支，是研究代数结构的一种方法。
它主要研究了群、环、域等代数结构，以及它们之间的关系和性质。
本文将介绍近世代数的基本概念和一些重要的定理。
群群是近世代数的基础概念之一，它是一个集合和一个二元运算的组合。
这个二元运算满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。
封闭性对于群中的任意两个元素a和b，它们的运算结果ab也必须属于群中的元素。
结合律群中的运算满足结合律，即对于群中的任意三个元素a、b 和c，满足(a·b)·c = a·(b·c)。
单位元存在性群中存在一个元素e，称为单位元，对于群中的任意元素a，满足a·e = e·a = a。
逆元存在性对于群中的任意元素a，存在一个元素a’，称为逆元，满足a·a’ = a’·a = e，其中e是单位元。
环环是一种比群更一般的代数结构，它是一个集合和两个运算的组合。
这两个运算分别是加法和乘法，并且满足封闭性、结合律、分配律和单位元存在性等性质。
封闭性对于环中的任意两个元素a和b，它们的加法和乘法结果a+b和a·b也必须属于环中的元素。
结合律环中的加法和乘法满足结合律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)和(a·b)·c = a·(b·c)。
分配律环中的加法和乘法满足分配律，即对于环中的任意三个元素a、b和c，满足a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
单位元存在性环中存在一个元素0，称为加法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a+0 = 0+a = a。
同时，环中存在一个元素1，称为乘法的单位元，对于环中的任意元素a，满足a·1 = 1·a = a。
近世代数的基础知识
近世代数的基础知识初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（Classical algebra ），它的研究对象主要是代数方程和线性方程组）。
近世代数（modern algebra ）又称为抽象代数（abstract algebra ），它的研究对象是代数系，所谓代数系，是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。
近世代数主要包括：群论、环论和域论等几个方面的理论，其中群论是基础。
下面，我们首先简要回顾一下集合、映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。
3．1 集合、映射、二元运算和整数3．1．1 集合集合是指一些对象的总体，这些对象称为集合的元或元素。
“元素a 是集合A 的元”记作“A x ∈”，反之，“A a ∉”表示“x 不是集合A 的元”。
设有两个集合A 和B ，若对A 中的任意一个元素a （记作A a ∈∀）均有B a ∈，则称A 是B 的子集，记作B A ⊆。
若B A ⊆且A B ⊆，即A 和B 有完全相同的元素，则称它们相等，记作B A =。
若B A ⊆，但B A ≠，则称A 是B 的真子集，或称B 真包含A ，记作B A ⊂。
不含任何元素的集合叫空集，空集是任何一个集合的子集。
集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有的性质。
例如：{}c b a A ,,=；{})(x p x S =，其中)(x p 表示元素x 具有的性质。
本文中常用的集合及记号有：整数集合{} ,3,2,1,0±±±=Z ；非零整数集合{}{} ,3,2,10\±±±==*Z Z ； 正整数（自然数）集合{} ,3,2,1=+Z ；有理数集合Q ，实数集合R ，复数集合C 等。
一个集合A 的元素个数用A 表示。
当A 中有有限个元素时，称为有限集，否则称为无限集。
用∞=A 表示A 是无限集，∞<A 表示A 是有限集。
近世代数知识点
近世代数知识点第一章基本概念1.1集合●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.1.2映射●证明映射：●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。
●满射：像集合中每个元素都有原像。
Remark：映射满足结合律！1.3卡氏积与代数运算●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B不等于B*A.●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。
1.4等价关系与集合的分类★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a a;2 对称性：∀a,b∈R, a b=>b a∈R;3 传递性：∀a,b,c∈R,a b,b c =>a c∈R.Remark：对称+传递≠自反★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。
第二章群2.1 半群1.半群=代数运算+结合律，记作（S,）Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。
ii.若半群中的元素可交换，即a b=b a,则称为交换半群。
2.单位元i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。
ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。
iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.3.逆元i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。
ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。
iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆元。
4.子半群i.设S是半群，≠T S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个子半群ii.T是S的子半群∀a,b T,有ab T2.2 群1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.ii. 加群=代数运算为加法+交换群iii.单位根群Um={m=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元=代数运算+结合律+∀a,b G,ax=b,ya=b有解3. 群的性质i. 群满足左右消去律ii.设G是群，则∀a,b G,ax=b,ya=b在G中有唯一解iii.e是G单位元 e2=eiv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群4. 群的阶群G的阶，即群G中的元素个数，用表示。
近世代数知识点
近世代数知识点近世代数，是数学中的一门重要分支，涉及了许多重要的知识点和概念。
在这篇文章中，我们将探讨一些近世代数中的关键概念和应用。
一、群论群论是近世代数中的基础概念，它描述了一种抽象的代数结构。
一个群由一个集合和一个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、单位元和逆元这四个性质。
群论的研究具有广泛的应用，如密码学、物理学中的对称性研究等。
二、环论环论是研究带有两个二元运算的代数结构，具有更多的性质和运算规则。
一个环由一个集合和两个二元运算组成，同时满足封闭性、结合律、分配律等性质。
环论的应用包括数论、代数几何等领域。
三、域论域论是研究带有四个基本运算（加法、减法、乘法、除法）的代数结构。
域是一种满足封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构。
域论在代数几何、密码学等领域有广泛应用。
四、线性代数线性代数是研究向量空间及其线性变换的代数学分支。
向量空间是一个满足特定性质的集合，其中定义了向量的加法和数量乘法运算。
线性代数的应用广泛，如机器学习、图像处理等。
五、域扩张域扩张是域论的重要内容之一，研究一个域如何通过添加元素扩张成一个更大的域。
域扩张的研究对于解决方程、证明数论中的一些性质等具有重要意义。
六、代数拓扑代数拓扑是代数学和拓扑学的交叉地带，研究了如何通过代数的方法来分析拓扑空间。
代数拓扑的研究在拓扑数据分析、几何学、非线性动力系统等领域有重要应用。
七、泛函分析泛函分析是研究函数空间和函数的特性以及泛函的理论和应用的数学分支。
泛函分析的应用广泛，如量子力学、信号处理等。
近世代数作为一门重要的数学学科，对于数学的发展和应用起到了重要的推动作用。
它通过抽象的方式研究代数结构，提供了一种新的思维方式和工具，为数学家们解决实际问题提供了新的途径。
同时，近世代数的理论和方法在信息科学、工程学、物理学等领域也得到了广泛的应用。
总之，近世代数是一门充满魅力的学科，通过对群论、环论、域论、线性代数、域扩张、代数拓扑和泛函分析等知识点的学习与探索，我们能够更好地理解数学的本质和思想，从而为更广泛的数学研究和应用打下坚实的基础。
近世代数基础知识点总结
近世代数基础知识点总结近世代数是现代数学中的一个重要分支，它研究的是代数结构和代数运算的一般性质。
近世代数的基础知识点包括群论、环论和域论，这些知识点在数学研究和应用中都有着广泛的应用。
一、群论群是近世代数中最基本的代数结构之一。
群由一个集合和一个二元运算组成，这个二元运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元四个性质。
群论的基本概念包括子群、陪集、正规子群、循环群等，并且研究了群之间的同构和同态等映射关系。
群论的应用非常广泛，例如在密码学、物理学、化学等领域都有着重要的应用。
二、环论环是一种比群更一般化的代数结构。
环由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算分别满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质。
环论的基本概念包括子环、理想、商环等，并且研究了环的同态和同构等映射关系。
环论在数论、代数几何、代数拓扑等领域有着广泛的应用。
三、域论域是一种比环更一般化的代数结构。
域由一个集合和两个二元运算组成，这两个二元运算满足封闭性、结合律、交换律和分配律等性质，并且其中一个二元运算有单位元和逆元。
域论的基本概念包括子域、域扩张、代数元和超越元等，并且研究了域之间的同态和同构等映射关系。
域论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
四、线性代数线性代数是近世代数的一个重要分支，研究的是向量空间及其线性变换的性质。
线性代数的基本概念包括向量、线性组合、线性相关性、基、维数等，并且研究了线性变换、特征值和特征向量等。
线性代数在几何学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
五、Galois理论Galois理论是近世代数的一个重要分支，研究的是域的扩张和多项式方程的解的关系。
Galois理论的基本概念包括Galois扩张、Galois群、Galois对应等，并且研究了可解多项式和不可解多项式的判别方法。
Galois理论在数论、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。
六、表示论表示论是近世代数的一个重要分支，研究的是群的表示及其性质。
近世代数主要知识点
除环、域
除环 1， R至少包含一个而不等于零的元 2，R有单位 元 3，R的每一个不等于零的元有一个逆元 域 一个交换除环叫做一个域 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说 的阶都一样的 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
变换群
定理1 假定G是集合A的若干个变换所做成的集合，并且G包含恒等 变换ε ，若是对乘法（ζ ：a→aζ，λ：a→a٨ 那么a→（a)ד٨）来说 做成一个群，那么G只包含A的一一变换。 变换群 一个集合的若干个一一变换对于以上规定的乘法做成的一个 群叫做A的一个变换群 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c · · · · · · · 我们在G里任意取出一个 元x来，那么גx：g→gx=g٨x是集合的一个变换。因为给了G的任意 元g，我们能够得到一个唯一的G的元g٨x。这样由G的每个元x，可 以得到G的一个变换גx。我们把所有这样的来的G的变换放在一起， 做成一个集合G’={ a’，b‘，c’ · · · · · · · }那么x→x’是G到G’的满射，但消 去律x≠y=>gx≠gy告诉我们若x≠y，那么x’ ≠y’，所以x→x’是一一 映射。在进一步看，是同构映射 所以任何群和一个变换群同构
同态、不变子群
一个群G同他的每一个商群G/N同态 同态映射的核 ：假定 &是一个群G到另一个群G’的一个同 态映射。G’的单位元e’在&之下的所有逆象所做成的G的 子集就叫做同态映射的核 。 定理 假定 G 与G’是两个群，并且G与G’同态，那么这个 同态映射的核N是G的一个不变子群，且G/N≌G’
高等学校教材·近世代数基础
高等学校教材·近世代数基础近世代数基础是数学的一大分支，也是在学术研究以及实际应用中，最为广泛使用的数学分支之一。
在当今社会，近世代数基础在众多学科中都有重要的地位。
本文将从以下几个方面对近世代数基础的内容进行深入的剖析：定义、概念、历史背景及其对当今社会的影响。
首先，从定义上讲，近世代数基础是指在不同年代，数学家们所推导出的用简单性质及数学推理描述和解决实际问题的一类方法。
其核心概念在于，通过数学推理及精确的计算，能够解决实际问题、推导出正确的结论，从而帮助人们预测和把握未知的现象和事件。
其次，从概念上讲，近世代数基础涉及以下概念：(1)学上定义与描述实际事物的简单性质；(2)建立数学模型；(3)用数学模型运算或断言；(4)利用统计学证据进行结论性判断；(5)用数学推理推导出有效的解决方案。
继续，在历史背景方面，近世代数基础可以追溯至古希腊，其特征是将数学的逻辑系统和实际应用结合起来。
当时，数学家们通过抽象化和推理，推导出更少的公理来表达现象或事物的性质，实现对实际问题的深入研究，他们的研究成果有助于推动当时的社会发展。
最后，近世代数基础对当今社会的影响。
如今，近世代数基础已经渗透到众多学科之中，如人文、社会科学、物理学、工程学等。
如在人文科学中，可以用其来研究历史现象和不同文化的发展；在社会科学中，可以用其来分析社会因素对人们行为的影响；在物理学中，可以用其来研究物质结构和运动规律；在工程学中，可以用其来设计有效的制造流程和设备。
同时，近世代数基础也在日常应用中发挥着重要作用，例如，可以用它来预测未来投资的利润，为决策提供充分信息，帮助决策者做出更为合理的决策；另外，近世代数基础还可以用于对社会政策的分析，用以探求其有效性。
综上所述，近世代数基础是一门充满活力的学科，它将数学与实践紧密结合起来，在当今社会众多领域均有重要的影响。
未来，近世代数基础会朝着更高的境界发展，并将发挥更大的作用。