空间向量的夹角与距离公式

2 2 2
例题
例1、已知A（3，3，1）、B（1，0，5）， 求（1）线段AB的中点坐标和长度； （2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z） 的坐标x，y，z满足的条件。
例2、在正方体ABCD-A′B′C′D′中，4B′E′ =4D′F′=A′B′ 求BE′与DF′所成的角的余弦值 。
z D′ A′ D A x
空间向量的夹角和距离公式
2004.12.16
向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a b (a1b1 , a2 b2 , a3 b3 );
a (a1 , a2 , a3 ), ( R);
A1 M C1 B1
N C
A
B
例题：
已知A（0,2,3)、B（ 2,1,6), C (1,1,5), 用向量 方法求ABC的面积S。
例题：
正方体A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1C D1A1的中点，求 AB, EF 1) 2)求点A到直线EF的距离。 (用向量方法）
A1 D1 B1 C1
F′ E′
C′
B′
C y
B
例3、求证：如果两条直线同垂直于一个平面， 则这两条直线平行。
A
z 0 α x y D
B
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于 平面α，则称这个向量垂直于平面α，，记作a⊥α。 如果a⊥α，那么向量a叫作平面α的法向量。
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ; ( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3 0;
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夹角、
cos a, b a b | a ||b |

a1b1 a2b2 a3b3 a1 a2 a3 b1 b2 b3
D B
C
A
Homework:
P43：6、7、8、9
2 2 2 2 2 2
;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
| a | a a a1 a2 a3
2 2 2 2
| b | b b b b2 b3
2 2 1 2
2
空间两点间的距离公式、
在空间直角坐标系中， 已知A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z 2 ),则 | AB | AB AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z 2 z1 ) ;