概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布

h− x 2 2 0≤ x ≤h ∴ f (x) = F′(x) = h 0 其 他
2.4.2 常见的连续型随机变量
2.4.2.1 均匀分布 服从区间 f (x) ，则称 X 服从区间 (a ,b)上的均匀分布 记作 X ~ U(a,b) 的密度函数为 若 X
1 , a < x <b 其中 f (x) = b − a 0, 其 他 0, x − a X 的分布函数为 F(x) = , b − a 1
X ~ E(λ)
x <0 0, X 的分布函数为 F(x) = −λx 1 −e , x ≥ 0
f ( x)
0 F( x) 1
x
0
x
对于任意的 0 < a < b,
P(a < X < b) = ∫ λe dx a
b −λx
= F(b) − F(a) = e−λa −e−λb
应用场合: 应用场合: 用指数分布描述的实例有： 用指数分布描述的实例有：
, 100 f (x) = 0, x ≤ 0.005 其 他
0.004
所以 P( X ≤ 0.004) =
−0.004
∫100dx = 0.8
2.4.2.2 指数分布 若X 的密度函数为
λe , x > 0 f (x) = 其 他 0,
−λx
λ > 0 为常数
服从参数为 参数为λ 则称X 服从参数为λ的指数分布 记作
=1− F(µ) = P(X > µ) 1 = 2
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -6 -5 -4 -3 -2 -1
f(x)的两个参数： f(x)的两个参数： 的两个参数 (6) 固定 σ ， 改变 µ 值 ， 曲线 f(x)形状不变，仅沿 轴平移。 形状不变， 轴平移。 形状不变 仅沿x轴平移 可见µ确定曲线 f(x)的位置 。 的位置
P{a < X < b} = P{a ≤ X < b} = P{a < X ≤ b}
= P{a ≤ X ≤ b} = ∫a f (x)dx = F(b) − F(a)
b
f ( x)
P(X ≤ b) = P( X < b) = F(b)
0.08
P(X > a) = P(X ≥ a) =1− F(a)
0.06 0.04 0.02
： 解 X 的密度函数为
x 1 − 10 f ( x ) = 10 e 0
例4
x>0 x≤0
等待时间为10 20分钟 10令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 P (B ) = P{10 ≤ X ≤ 20 }
1 =∫ e 10 10
20
−
x 10
dx = − e
x − 0
f (x) = F′(x)
P{a < X ≤ b} = ∫ f (x)dx
a b
对于连续型随机变量，还要指出两点： 对于连续型随机变量，还要指出两点： 是连续函数; （1）F(x)是连续函数 ） 是连续函数 为任意实数） （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. ） （ 为任意实数 因此，对于连续型随机变量， 因此，对于连续型随机变量，有
3e−3x , x ≥ 0; f ( x) = x < 0. 0,
而 X 的分布函数为
1− e−3x , x ≥ 0; F( x) = ∫ f (t)dt = −∞ x < 0. 0,
x
例2 在高为h 的
ABC 中任取一点M ,点M到
AB 的距离为X , 求X 的分布函数，概率密度函数 f (x).
P(T > t) = P(N(t) = 0)
(λt) e = 0!
0 −λt
=e
−λt
t <0 0, F(t) = −λt 1 −e , t > 0 t <0 0, f (t) = −λt λe , t > 0 即 T ~ E(λ)
(2) 由指数分布的“无记忆性”
P(T >18 T > 8 ) = P(T > 8+10 T > 8)
解 作 EF AB, 使EF 与AB间的距离为x 当 0≤ x ≤h 时
F(x) = P(X ≤ x) = =1− S S
CEF ABC
S S
EFBA ABC
C E
X .M
F
h
h− x 2 =1−( ) A h
x
B
于是
0 x <0 h− x 2 F(x) = 1−( ) 0≤ x ≤h h 1 x >h
20
= e −1 − e −2= 0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生 故障的次数 N( t ) 服从参数为λt 的Poisson分布, (1) 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布 (2) 求设备已经无故障运行８小时的情况下，再 无故障运行 10 小时的概率. 解 (1) F (t) = P(T ≤ t) T 0, t <0 <0 = 1 − P(T > t), t > 0
x
− ∞ < x < +∞
其中 F(x) 是它的分布函数． 是它的分布函数． 连续型随机变量， 是它的概率 则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率 是它的 密度函数或 密度函数( )，简称为密度函数 密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密 度．
分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义 f ( x)
2.4 连续型随机变量及其概率密度
2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数 2.4.２ 2.4.２ 常见的连续型随机变量
2.4.1 连续型随机变量及其概率密度函数
定义： 是一随机变量， 定义：设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f(x) 使得 (x)
F(x) = ∫−∞ f (t)dt
0.08
F(x)
y = f (x)
0.06 0.04 0.02
-10
-5
5
x
x
p.d.f. f ( x )的性质 的性质 f (x) ≥ 0
∫−∞ f (x)dx = F(+∞) =1
+∞
1
µ
x
常利用这两个性质检验一个函数能否作 为连续型随机变量的密度函数，或求其 中的未知参数 在 f ( x ) 的连续点处，
x < a, a ≤ x < b, x ≥b
f ( x)
a F( x)
b
x
a
b
x
∀(c, d) ⊂ (a,b)
1 d −c P(c < X < d) = ∫ dx = c b−a b−a
d
的取值在( ,b) ,b)内任何长为 即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d – c 的小区间 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. 这正是几何概型的情形. 应用场合: 应用场合: 若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值， 若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则 (a,b)内等可能的取值
应用场合: 应用场合: 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的 影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些 影响可以叠加, 服从正态分布. 影响可以叠加, 则 X 服从正态分布. 可用正态变量描述的实例非常之多： 可用正态变量描述的实例非常之多： 各种测量的误差； 各种测量的误差； 工厂产品的尺寸； 工厂产品的尺寸； 海洋波浪的高度； 海洋波浪的高度； 热噪声电流强度； 热噪声电流强度； 人的生理特征； 人的生理特征； 农作物的收获量； 农作物的收获量； 金属线的抗拉强度； 金属线的抗拉强度； 学生们的考试成绩； 学生们的考试成绩；
1− P(X ≤ s +t) 1− F(s +t) e = = = −λs = e−λt = P(X > t) 1− P(X ≤ s) 1− F(s) e
−λ(s+t )
所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布
1 单位：分钟） 设打一次电话所用的时 间 X （单位：分钟）是以 λ = 10 为参数的指数随机变量 ．如果某人刚好在你前 面走进公 用电话间， 分钟之间的概率． 用电话间，求你需等待 10 分钟到 20 分钟之间的概率．
f(x)
µ — 位置参数
(7) 固定µ, 改变σ值, 则σ愈小 图形的形状愈陡峭, 时 , f(x)图形的形状愈陡峭 X 图形的形状愈陡峭 附近的概率越大。 落在µ附近的概率越大。
0
µ1
µ2
x
f(x)
σ=0.5
σ=1
σ=2
σ — 形状参数
0
x
正态分布的密度曲线是一条关于 对称的 µ 钟形曲线。特点是“两头小，中间大， 钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右 对称” 对称”。 决定了图形的中心位置， σ 决定了图形的中心位置， 决定了图形中 µ 峰的陡峭程度。 峰的陡峭程度。
F(x)
F(x) = ∫
x
1 2πσ
−∞
e
( x−µ)2 − 2σ 2
dt
0
x
f (x) 的性质 的性质： (1) 图形关于直线 x = µ 对称： f (µ + x) = f (µ - x) 或对于任意的x 有 或对于任意的 >0有
P{µ-x＜X ≤µ} = P{µ＜X≤µ+x}
(2) 1 在 x = µ 时, f (x) 取得最大值 f (µ) = 2πσ ,